Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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2. Klausur zur Linearen Algebra I, WS 1998/99

\underline{Aufgabe 1} (3+3=6 Punkte)

Sei die Matrix A = (\begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 3 & 1 & −3 \\ 1 & 2 & −2 \end{matrix}) gegeben.

a) Nenne zwei Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Matrix M ∈ M_{n,n}(K) regulär ist und wende eines davon auf die Matrix A an, d.h. teste, ob A invertierbar ist.

b) Löse das lineare Gleichungssystem A^{−1}x = (1, −1, 0)^{T} im Körper 𝔽_{13} := \begin{matrix}ℤ \\ / & 13ℤ \end{matrix}.

\underline{Aufgabe 2} (8 Punkte) Bestimme für jedes t ∈ ℝ die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems

(\begin{matrix}2t − 8 & 1 & t \\ 2t − 8 & 2t^{2} − 1 & t + 6 \\ 8 − 2t & −1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

in ℝ.

\underline{Aufgabe 3} (1+3+11+6=21 Punkte) Beantworte die folgenden Fragen und begründe/beweise Deine Aussagen ausführlich!

a) Sind die folgenden Aussagen richtig?

(i) Ist ⟨·, ·⟩ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ irgendein Skalarprodukt auf dem reellen Vektorraum ℝ^{n}, so gilt ⟨x, y⟩ = x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n} für alle x, y ∈ ℝ^{n}.

(ii) Definiert man ⟨x, y⟩ := x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n} für alle x, y ∈ ℝ^{n}, so ist dadurch ein Skalarprodukt auf ℝ^{n} erklärt.

b) Sei V = ℝ^{2} versehen mit dem kanonischen Skalarprodukt. Welches der folgenden Tupel von Elementen aus V ist eine orthonormale Basis?

(i) ((1, −1), (−1, −1))
(ii) ((−1, 0), (0, −1))
(iii) ((1, 0), (0, 1), (1, 1))

c) Gibt es einen Endomorphismus von K^{2} ohne Eigenwerte für

(i) K = ℝ? (Verweis auf die Vorlesung reicht nicht!)

(ii) K = ℂ?

(iii) K = 𝔽_{3} := \begin{matrix}ℤ \\ / & 3ℤ \end{matrix}?

d) Eine Matrix A ∈ M_{n,n}(ℝ) heißt orthogonal, wenn A^{−1} = A^{T} gilt. Gelten die folgenden Implikationen?

(i) A orthogonal ⇒ det A ∈ {±1}

(ii) A orthogonal ⟺ det A ∈ {±1}

(iii) A orthogonal ⇐ det A ∈ {±1} \underline{Aufgabe 4} (9+2+2=13 Punkte) Sei φ ein durch die Matrix

A := M(φ, (e_{1}, e_{2}, e_{3}), (e_{1}, e_{2}, e_{3})) = (\begin{matrix}0 & 4 & −2 \\ −2 & −6 & 2 \\ −9 & −21 & 6 \end{matrix})

eindeutig beschriebener Endomorphismus des ℝ^{3}.

a) Berechne alle Eigenwerte von φ und die zu den Eigenwerten gehörenden Eigenräume.

b) Berechne jeweils eine Basis von Im φ und ker φ.

c) Berechne Norm und Spur von φ.

\underline{Aufgabe 5} (8 Punkte) Seien die Matrizen A und B aus M_{n,n}(K) ähnlich, d.h. es gebe eine Matrix C ∈ GL_{n}(K) mit A = C ·B ·C^{−1}. Dann haben A und B dasselbe charakteristische Polynom. Dies wurde bereits in der Vorlesung mittels Interpretation der Übergangsmatrix als Basiswechsel bewiesen. Man kann dies jedoch auch direkt zeigen: Nimm an, daß char K = 0 gilt. Gilt χ_{A}(λ) = χ_{B}(λ) für alle λ ∈ K, so sind beide Polynome identisch (Das darfst Du glauben!). Zeige also unter Benutzung der Definition des charakteristischen Polynoms

χ_{A}(λ) = χ_{B}(λ) ∀ λ ∈ K.

\underline{Aufgabe 6} (8 Punkte) Sei ein rechtwinkliges Dreieck in dem euklidischen Vektorraum ℝ^{2} mit Seitenlängen a, b, c gegeben, wobei c diejenige Seite ist, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt. Zeige mit Mitteln der Vorlesung, daß der Satz des Pythagoras gilt!

\underline{Aufgabe 7} (2+2+2=6 Punkte)

Seien F, G ∈ Hom(ℝ_{2}, ℝ) mit F (x) = a^{T} · x = (a_{1}, a_{2}) · (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) und G(x) = b^{T} · x = (b_{1}, b_{2}) · (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}).

a) Zeige, daß Φ : ℝ_{2} × ℝ_{2} → ℝ : (x, y)↦F (x) · G(y) eine Bilinearform ist.

b) Seien a = (1, −1) und b = (2, λ). Gibt es mindestens ein λ ∈ ℝ, so daß Φ positiv semidefinit und symmetrisch ist?

(Φ heißt positiv semidefinit, wenn Φ(x, x) ≥ 0 für alle x ∈ ℝ_{2} gilt.)

c) Seien a und b wie in Teil b). Gibt es mindestens ein λ ∈ ℝ, so daß Φ ein Skalarprodukt von ℝ_{2} ist?

\underline{Aufgabe 8} (4+2+4=10 Punkte) Seien E = ℝ_{4} mit dem Standardskalarprodukt und F der von den Vektoren a_{1} = (1, 0, 0, −1)^{T} und a_{2} = (0, 1, 0, 1)^{T} aufgespannte Untervektorraum von E. Sei π : E → F die orthogonale Projektion von E auf F ⊂ E.

a) Zeige, daß b_{1} = (0, 0, 1, 0)^{T} und b_{2} = (1, −1, 0, 1)^{T} den Raum F^{⊥} aufspannen. Zeige ferner, daß a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} eine Basis von B bilden!

b) Bestimme eine Matrix von π bezüglich der Basis a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} von E.

c) Berechne die Matrix von π bezüglich der Standardbasis von E.

Hinweis: M(π, (a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}), (a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2})) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Viel Erfolg und schöne Semesterferien!