Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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9. Übung zur Linearen Algebra I, WS 1998/99

Aufgabe 43:(2+6=8 Punkte)

a) Berechne alle Potenzen A^{2}, A^{3}, ⋯ der reellen Matrix A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ).

b) Seien n ∈ ℕ, 𝕂 ein Körper und A ∈ M_{n,n}(𝕂) eine Matrix, bei der höchstens oberhalb der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge stehen. Zeige, daß A^{n} die Nullmatrix ist.

Aufgabe 44:(4+4=8 Punkte)

a) Gegeben seien ein Körper 𝕂 und eine n × n-Matrix A mit Einträgen aus 𝕂. Zeige, daß A genau dann invertierbar ist, wenn A^{T} invertierbar ist. Zeige weiter, daß in diesem Fall (A^{T})^{−1} = (A^{−1})^{T} gilt.

b) Invertiere die reelle Matrix B = ( \begin{matrix}−1 & −1 & 2 \\ −3 & 2 & 1 \\ −5 & −1 & 2 \end{matrix} ).

Aufgabe 45:(7+7=14 Punkte)

Sei 𝕂 = \begin{matrix}ℤ \\ / & 11ℤ \end{matrix}.

a) Zeige, daß ϵ̃ = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}7 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )\} und δ̃ = \{( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} )\} Basen des 𝕂^{4} bzw. 𝕂^{3}

sind.

b) Gegeben seien die Matrizen A = ( \begin{matrix}0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \\ 3 & 0 & −1 & 5 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \end{matrix} ) .

Die linearen Abbildungen φ und ψ seien durch φ(x) = Ax für alle x ∈ 𝕂^{4} und M(ψ, ϵ̃, δ̃) = B gegeben.

(i) Berechne die Matrix von φ bezüglich der Basen ϵ̃ und δ̃. (ii) Berechne die Matrix von ψ bezüglich der Standardbasen des 𝕂^{4} und 𝕂^{3}. (iii) Berechne jeweils eine Basis von Im φ und Im ψ. (iv) Bestimme die Dimensionen der Bilder und der Kerne von φ und ψ.

Aufgabe 46:(10 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Gleichungssystems

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) · (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

a) über dem Körper ℝ.

b) über dem Körper \begin{matrix}ℤ \\ / & 2ℤ \end{matrix}.

c) über dem Körper \begin{matrix}ℤ \\ / & 3ℤ \end{matrix}.

Abgabe der Übungen ist am Freitag, 22.1.1999 vor der Vorlesung!