Charakterisierungen subskalarer Operatoren über dem Einheitskreis

Wissenschaftliche Arbeit zum ersten Staatsexamen

Lehramt Gymnasium und Gesamtschule

angefertigt von

Andreas Backes

Mat.-Nr.: 250 13 84

unter Betreuung von

Prof. Dr. Jörg Eschmeier ^{∗} Vorwort

∗Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes

In der Operatorentheorie ist es häufig von Nutzen, einen Operator auf einen größeren Raum zu erweitern. Dadurch erhält dieser Operator gegebenenfalls bessere oder besondere Eigenschaften. Ein Beispiel hierfür ist das bekannte Theorem von Sz.-Nagy [SNF70], welches besagt, dass jede Kontraktion auf einem Hilbertraum H eine Dilatation zu einem unitären Operator auf einem Hilbertraum K ⊃ H besitzt. Operatoren mit besonderen Eigenschaften sind zum Beispiel solche, für die spezielle Funktionalkalküle (siehe Definition 1.2) existieren. Erfüllt beispielsweise ein Operator T ∈ B(H) auf einem Hilbertraum H einfache algebraische Bedingungen, zum Beispiel T^{∗}T = T T^{∗} oder T^{∗} = T, so lässt sich auf die Existenz eines Funktionalkalküls schließen. Interessant sind auch die Operatoren der Klasse [E(𝕋)] (siehe Definition 1.4). Colojoară und Foiaş [CF68] charakterisieren Operatoren dieser Klasse auf einem Banachraum X als invertierbare Operatoren, die einer Wachstumsbedingung der Form

∥T^{n}∥ ≤ C|n|^{m} (n ∈ ℤ\{0})

(mit Konstanten C > 0, m ∈ ℕ) oder

∥R(z, T)∥ ≤ \frac{M}{|1 − |z||^{n+1}} (0 < |1 − |z|| < 1)

(mit Konstanten M > 0, n ∈ ℕ) genügen. Andere Charakterisierungen finden wir auch in [LN00]. Wann lässt sich nun ein Operator zu einem E(𝕋)-skalaren Operator erweitern, d.h. wann ist ein Operator E(𝕋)-subskalar? In den Arbeiten von Didas ([Did00] und [Did98]) bieten sich uns notwendige und hinreichende Bedingungen für die E(𝕋)-Subskalarität eines Operators T auf einem Banachraum X. Ein Frage, die in diesen Arbeiten offen bleibt, ist, ob ein E(𝕋)-subskalarer Operator T durch ein polynomielles Wachstum der Potenzen

∥T^{n}∥ ≤ Cn^{p} und m(T^{n})^{−1} ≤ Cn^{q} (n ∈ ℕ)

(mit Konstanten C > 0, p, q ≥ 0) charakterisiert werden kann.(Für die Definition von m(T) siehe Definition 1.7.) Diese bei Didas offen gebliebene Frage werden wir in Korollar 5.3 dieser Arbeit positiv beantworten:

Ein Operator T ∈ B(X) ist genau dann E(𝕋)-subskalar, wenn es Konstanten C > 0 und p, q ≥ 0 gibt so, dass

∥T^{n}∥ ≤ Cn^{p} und m(T^{n})^{−1} ≤ Cn^{q}

für alle n ∈ ℕ.

Desweiteren werden wir in Satz 7.1 der vorliegenden Arbeit eine für die E(𝕋)-Subskalari-tät hinreichende Bedingung eines Operators T in Termen des Wachstums der Resolvente und der Existenz einer analytischen Linksinversen von T − z mit z ∈ 𝔻 geben:

Sei T ∈ B(X) mit σ(T) ⊂ \overline{𝔻} so, dass Konstanten C > 0 und p ≥ 0 existieren mit

∥(T − z)^{−1}∥ ≤ C(|z| − 1)^{−p} für 1 < |z| < 2.

Existieren q ≥ 0 und eine analytische Funktion L : 𝔻 → B(X) so, dass

L(z)(T − z) = 1_{B(X)}

und

∥L(z)∥ ≤ C(1 − |z|)^{−q} für |z| < 1,

dann ist T ein E(𝕋)-subskalarer Operator.

Diese Arbeit ist in sieben Abschnitte gegliedert. Nachdem wir in Abschnitt 1 grundlegende Begriffe eingeführt und uns bekannte Begriffe wieder ins Gedächtnis gerufen haben, widmen wir uns in Abschnitt 2 den oben bereits erwähnten Charakterisierungen E(𝕋)-skalarer Operatoren. In Abschnitt 3 benutzen wir den Begriff des Minimalmodul, um die Ergebnsisse aus Abschnitt 2 zu übertragen auf den Fall E(𝕋)-subskalarer Operatoren. Wir werden sehen, dass die Bedingungen

∥T^{n}∥ ≤ Cn^{p} und m(T^{n})^{−1} ≤ Cn^{q} (n ∈ ℕ)  (P)

sowie

und  \begin{matrix}∥R(z, T)∥ ≤ C(|z| − 1)^{−t} & für & 1 < |z| < 2 \\ m(z − T)^{−1} ≤ C(1 − |z|)^{−s} & für & |z| < 1 \end{matrix} \}  (R)

mit geeigneten Konstanten C, K > 0 und p, q, s, t ≥ 0 für die E(𝕋)-Subskalarität notwendig sind. Um nun zu zeigen, dass die Bedingung (P) auch hinreichend ist, konstruieren wir in Abschnitt 4 invertierbare Fortsetzungen mit vorgegebenen Wachstumsbedingungen auf geeignete Banachräume. Ähnliche Konstruktionen lassen sich auch in [Rea84], [Rea88],

[Rea87] und [BY01] finden. Mit Hilfe dieser Konstruktion zeigen wir in Abschnitt 5, dass E(𝕋)-subskalare Operatoren durch die Bedingung (P) charakterisiert werden können. In Abschnitt 6 werden wir anhand eines Beispieles sehen, dass Bedingung (R) nicht hinreichend für die E(𝕋)-Subskalarität eines Operators T ist. Zu guter Letzt werden wir in Abschnitt 7 dieser Arbeit eine hinreichende Bedingung für die E(𝕋)-Subskalarität eines Operators T in Termen des Wachstums der Resolvente und der Existenz einer analytischen Linksinversen von T − z auf der offenen Einheitskreisscheibe 𝔻 formulieren. Die Behauptungen, Sätze und Konstruktionen aus den Abschnitten 4, 5, 6 und 7 gehen zum größten Teil auf die Arbeiten von Badea und Müller ([BM05] und [BM06]) zurück.

Abschließend möchte ich diese Gelegenheit nutzen um noch einigen Personen zu danken. Als erstes danke ich meinem Erstprüfer Prof. Dr. Jörg Eschmeier, der mein Interesse an der Funktionalanalysis geweckt und mich bei der Erstellung dieser Arbeit hervorragend betreut hat. Desweiteren danke ich Dr. Christoph Barbian und Dominik Faas die mir bei Fragen zur Seite standen sowie Kevin Everard und Manuel Kaluza für das Korrekturlesen. Zu guter Letzt danke ich meiner Familie und meiner Freundin Kim für die Unterstützung während meines Studiums und während des Erstellens dieser Arbeit. Primstal, den 2. Dezember 2009

Inhaltsverzeichnis

1 Erste Begriffsklärungen 6 2 Charakterisierungen von E(𝕋)-skalaren Operatoren 13 3 Wichtige Folgerungen für E(𝕋)-subskalare Operatoren 22 4 Wachstumsbedingungen und Erweiterungen eines Operators 24 5 Subskalare Operatoren und die Bedingung (P) 44 6 Subskalare Operatoren und die Bedingung (R) 48 7 Langsam wachsende Linksinverse und E(𝕋)-Subskalarität 57 Literatur 60

1 Erste Begriffsklärungen

Eine ℂ-Algebra A heißt Banachalgebra, wenn A versehen ist mit einer Norm ∥ · ∥ so, dass (A, ∥ · ∥) ein Banachraum und die Norm submultiplikativ ist in dem Sinne, dass

∥ab∥ ≤ ∥a∥∥b∥

für alle a, b ∈ A ist. Ein Beispiel für eine solche Banachalgebra ist die Menge B(X) der stetig linearen Operatoren auf einem Banachraum X mit den üblichen algebraischen Operationen und der Norm

∥ · ∥ : B(X) → [0, ∞), ∥T ∥ = sup_{x∈X,∥x∥_{X}≤1} ∥T x∥_{X}.

Eine ℂ-Algebra A heißt topologische Algebra, wenn auf ihr eine Topologie τ definiert ist, so dass die Addition, skalare Multiplikation und Multiplikation stetig bezüglich τ sind. Eine spezielle Klasse topologischer Algebren sind die Fréchet-Algebren. Eine Fréchet-Algebra ist eine Algebra A über ℝ (oder ℂ) versehen mit einer Topologie τ so, dass A als Vektorraum versehen mit der Topologie τ ein Fréchetraum ist und die Multiplikation von A bezüglich τ stetig ist. Ein Beispiel ist die ℂ-Algebra C^{∞}(ℂ) aller beliebig oft differenzierbaren komplexwertigen Funktionen auf ℂ, versehen der Topologie der kompakt gleichmäßigen Konvergenz aller Ableitungen. Diese Algebra bezeichnen wir im Folgenden mit E(ℂ). Um mehr über lokalkonvexe Räume und Frécheträume zu erfahren, sei hiermit auf [Wer00] Kapitel VIII verwiesen. Für eine auf einer Teilmenge Ω ⊂ ℂ definierte ℂ-wertige Funktion f bezeichnen wir mit

supp(f) = \overline{\{z ∈ Ω : f(z) ≠ 0\}}^{ℂ}

den Träger von f.

Definition 1.1. Eine Algebra A von ℂ-wertigen Funktionen über Ω heißt zulässig, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

i) Es sind 1, z ∈ A, wobei z die Funktion Ω → ℂ, z ↦ z bezeichnet.

ii) Für jede endliche, offene Überdeckung U_{1}, … U_{n} von ℂ existieren Funktionen f_{1}, …, f_{n} ∈ A mit 0 ≤ f_{i} ≤ 1 für 1 ≤ i ≤ n, 1 = f_{1} + … + f_{n} auf Ω und supp(f_{i}) ⊂ U_{i} für alle 1 ≤ i ≤ n.

iii) Für alle f ∈ A und λ ∈ ℂ\supp(f) gehört die Funktion

f_{λ} : Ω → ℂ, f_{λ}(z) = \{ \begin{matrix}\frac{f(z)}{λ−z} & ; & z ∈ Ω, z ≠ λ \\ 0 & ; & z = λ ∈ Ω \end{matrix}

zu A.

Definition 1.2. Sei A eine zulässige Algebra. Wir bezeichnen einen Operator T ∈ B(X) als A-skalar, falls ein Algebrenhomomorphismus Φ : A → B(X) existiert mit Φ(1) = 1_{B(X)} und Φ(z) = T. Hierbei bezeichne 1 die konstante Funktion z ↦ 1 und z. In diesem Falle heißt Φ ein A-Kalkül (oder einfach Funktionalkalkül) für T.

Beispiel 1.3. a) Ist T ∈ B(H) ein normaler Operator auf einem Hilbertraum H, so ist T ein C(σ(T))-skalarer Operator.

b) Ist T ∈ B(X) kompakt, so ist T ein A-skalarer Operator mit

A = {f ∈ C(ℂ) : ∃U_{f} ⊃ σ(T)offen mit f|_{U_{f}} ∈ O(U_{f})}

und dem A-Kalkül

Φ : A → B(X), f ↦ (f|_{U_{f}})(T).

Die bereits oben erwähnte Algebra E(ℂ) ist eine zulässige Algebra. Ihre Topologie wird durch die Halbnormen

∥f∥_{n,K} = sup ; \begin{matrix}|α| ≤ n \\ z ∈ K \end{matrix} |D^{α}f(z)|

erzeugt, wobei n ∈ ℕ_{0} und K ⊂ ℂ kompakt sind. Hierbei sei für α = (s, t) ∈ ℕ_{0}^{2} wie üblich D^{α}f = \frac{∂^{s+t}f}{∂x^{s}∂y^{t}} (z). Es lässt sich leicht nachprüfen, dass es sich hierbei um eine Fréchet-Algebra handelt. Auch bei der Algebra

E(𝕋) = {f : 𝕋 → ℂ : f ∘ exp(i·) : ℝ → ℂ ist C^{∞} − Funktion}

versehen mit der von den Halbnormen

∥f∥_{n} = sup ; \begin{matrix}0 ≤ k ≤ n \\ t ∈ ℝ \end{matrix} |\frac{d^{k}}{dt^{k}} f(e^{it})|  (n ∈ ℕ_{0})

erzeugten Topologie handelt es sich um eine Fréchet-Algebra.

Definition 1.4. Sei nun A = E(ℂ) oder E(𝕋) und T ∈ B(X). Dann heißt T von der Klasse A, in Zeichen T ∈ [A], wenn es einen stetigen A-Kalkül Φ für T gibt.

Einen solchen stetigen A-Kalkül bezeichnet man auch als Spektraldistribution für T. Operatoren der Klasse [E(ℂ)] heißen auch verallgemeinert skalare Operatoren (siehe etwa [CF68]). Operatoren der Klasse [E(𝕋)] werden wir im Folgenden einfach als E(𝕋)-skalar bezeichnen. Die Stetigkeit des Funktionalkalküls Φ : E(ℂ) → B(X) ist äquivalent zur Existenz von n ∈ ℕ_{0}, C > 0, K ⊂ ℂ kompakt mit

∥Φ(f)∥ ≤ C∥f∥_{n,K}

für alle f ∈ E(ℂ). Die minimale natürliche Zahl n, zu der C und K wie oben existieren, heißt die Ordnung von Φ (geschrieben ord(Φ)). Analog definiert man die Ordnung einer Spektraldistribution Φ : E(𝕋) → B(X).

Einen stetig linearen Operator π : X ↪ Y zwischen zwei Banachräumen X und Y bezeichnen wir als topologische Einbettung, wenn es eine Konstante C > 0 gibt mit

C∥x∥ ≤ ∥πx∥

für alle x ∈ X. Ein Operator π ∈ B(X, Y) ist genau dann eine topologische Einbettung, wenn π injektiv mit abgeschlossenem Bild ist (siehe Lemma 1.9), oder äquivalent, wenn π einen topologischen Isomorphismus X → π(X) induziert.

Definition 1.5. Sei X ein Banachraum. Ein Operator T ∈ B(X) heißt E(𝕋)-subskalar, wenn er ähnlich zu der Einschränkung eines E(𝕋)-skalaren Operators ist, das heißt, wenn es einen E(𝕋)-skalaren Operator S ∈ B(Y) auf einem Banachraum Y und eine topologische Einbettung π : X ↪ Y gibt mit Sπ = πT.

Bevor wir uns nun Charakterisierungen E(𝕋)-skalarer Operatoren widmen, erinnern wir an einige elementare Begriffe und Ergebnisse aus der Spektraltheorie.

Definition 1.6. Sei A eine Banachalgebra mit Eins. Wir definieren das Spektrum eines Elementes a ∈ A durch

σ^{A}(a) = {λ ∈ ℂ : λ − a ist nicht invertierbar in A} .

Die Resolventenmenge eines Elementes a ∈ A definieren wir durch

ρ^{A}(a) = ℂ\σ^{A}(a).

Ist es offensichtlich, in welcher Algebra wir das Spektrum bzw. die Resolventenmenge bilden, so lassen wir den oberen Index weg.

Für zwei Banachräume bezeichne B(X, Y) die Menge aller stetig lienaren Operatoren von X nach Y. Außerdem führen wir für Operatoren auf Banachräumen folgende Bezeichnungen ein.

Definition 1.7. Seien X, Y Banachräume und T ∈ B(X), A ∈ B(X, Y) stetig lineare Operatoren. Wir definieren

(a) die Resolvente von T im Punkt λ ∈ ρ(T) durch

R(λ, T) = (λ − T)^{−1},

(b) den Spektralradius von T als

r(T) = max{|λ| : λ ∈ σ(T)},

(c) den Minimalmodul von A als m(A) = inf{∥Ax∥ : x ∈ X, ∥x∥ = 1}

(d) und das approximative Punktspektrum von T durch σ_{ap}(T) = {λ ∈ ℂ : m(λ − T) = 0} .

Für das approximative Punktspektrum gelten folgende Inklusionen. Lemma 1.8. Sei T ∈ B(X) ein stetig linearer Operator auf einem Banachraum X. Dann gilt

∂σ(T) ⊂ σ_{ap}(T) ⊂ σ(T).

Beweis. Die rechte Inklusion ist klar. Für die linke Inklusion sei λ ∈ ∂σ(T). Dann gibt es eine Folge (λ_{n})_{n∈ℕ} aus ρ(T), die gegen λ konvergiert und für die gilt

lim_{n→∞} ∥R(λ_{n}, T)∥ = ∞.

Nach dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit finden wir ein x ∈ X so, dass immerhin noch für eine Teilfolge (λ_{n_{k}})_{k} von (λ_{n})_{n} gilt

lim_{k→∞} ∥R(λ_{n_{k}}, T)x∥ = ∞.

Wir setzen

y_{k} = \frac{R(λ_{n_{k}}, T)x}{∥R(λ_{n_{k}}, T)x∥}.

Dann ist ∥y_{k}∥ = 1 und

(λ − T)y_{k} = (λ − λ_{n_{k}})y_{k} + (\frac{x}{∥R(λ_{n_{k}}, T)x∥}) ⟶^{k} 0.

Also ist λ ∈ σ_{ap}(T). Der Minimalmodul eines Operators besitzt wichtige Eigenschaften, die wir im folgenden Lemma näher beschreiben. Lemma 1.9. Seien X, Y, Z nicht triviale Banachräume.

a) Für T ∈ B(X, Y) gilt m(T) = max{α ≥ 0 : α∥x∥ ≤ ∥T x∥ für alle x ∈ X}.

b) Ist S ∈ B(Y, Z) invertierbar, so gilt m(S) = ∥S^{−1}∥^{−1}. c) Für Operatoren S ∈ B(Y, Z) und T ∈ B(X, Y) gilt

m(ST) ≥ m(S)m(T).

d) Ein Operator T ∈ B(X, Y) ist genau dann injektiv mit abgeschlossenem Bild, wenn m(T) > 0.

Beweis. a) Wir definieren

A = {α ≥ 0 : ∥T x∥ ≥ α∥x∥}.

Zunächst folgt aus

∥T x∥ ≤ ∥T ∥∥x∥ (x ∈ X)

dass die Menge A beschränkt ist. Sei weiter (α_{n})_{n∈ℕ} eine Folge aus A, die gegen α konvergiert. Dann gilt

α_{n}∥x∥ ≤ ∥T x∥

für alle n ∈ ℕ und somit auch

α∥x∥ = lim_{n→∞} α_{n}∥x∥ ≤ ∥T x∥.

Daraus erhalten wir, dass die Menge auch abgeschlossen, also kompakt ist. Somit existiert das Maximum. Zur Abkürzung bezeichnen wir dieses Maximum mit M. Dann gilt für alle x ∈ X mit ∥x∥ = 1

∥T x∥ ≥ M∥x∥ = M,

folglich

m(T) ≥ M.

Die umgekehrte Ungleichung folgt direkt aus der Tatsache, dass für x ∈ X\{0} die Abschätzung

m(T)∥x∥ = inf{∥T y∥ : ∥y∥ = 1}∥x∥
≤ ∥T \frac{x}{∥x∥}∥∥x∥ = ∥T x∥

gilt.

b) Für alle y ∈ Y gilt

∥y∥ = ∥S^{−1}Sy∥ ≤ ∥S^{−1}∥∥Sy∥.

Daraus folgt

∥S^{−1}∥^{−1}∥y∥ ≤ ∥Sy∥

für alle y ∈ Y und wir erhalten

∥S^{−1}∥^{−1} ≤ m(S).

Andererseits gilt für y ∈ Y \{0}, dass

∥Sy∥ ≥ m(S)∥y∥ = m(S)∥S^{−1}Sy∥

und somit

1 ≥ m(S) ∥S^{−1} \frac{Sy}{∥Sy∥}∥ .

Da S surjektiv ist, erhalten wir

1 ≥ m(S)∥S^{−1}∥

und schließlich

∥S^{−1}∥^{−1} ≥ m(S).

c) Sei x ∈ X. Dann gilt

∥ST x∥ ≥ m(S)∥T x∥ ≥ m(S)m(T)∥x∥.

Aus Teil a) folgt nun

m(ST) ≥ m(S)m(T).

d) Sei m(T) > 0. Angenommen T sei nicht injektiv. Dann gibt es ein x ∈ X mit x ≠ 0

so, dass

T x = 0,

also

∥T \frac{x}{∥x∥}∥ = 0

ist. Dies liefert m(T) = 0 und somit einen Widerspruch. Also ist T injektiv. Desweiteren sei

T_{0} : X → ran(T), T_{0}x = T x.

Dann ist T_{0} offensichtlich bijektiv und stetig. Für die Umkehrabbildung gilt

∥x∥ = ∥T_{0}T_{0}^{−1}x∥ ≤ m(T)∥T_{0}^{−1}x∥.

Daraus folgt

∥T_{0}^{−1}x∥ ≤ m(T)^{−1}∥x∥

und damit ist T_{0}^{−1} stetig. Somit ist T_{0} ein topologischer Isomorphismus und folglich ran(T) ⊂ Y ein Banachraum, insbesondere abgeschlossenen. Für die Rückrichtung sei T ∈ B(X) injektiv und ran(T) ⊂ Y abgeschlossen. Dann ist

T_{0} : X → ran(T), T_{0}x = T x

ein bijektiver stetig linearer Operator zwischen Banachräumen. Nach dem Prinzip der stetigen Inversen ist die Umkehrabbildung T_{0}^{−1} : ran(T) → X stetig und es gilt

∥x∥ = ∥T_{0}^{−1}T x∥ ≤ C_{0}∥T x∥.

Daraus folgt

∥T x∥ ≥ C_{0}∥x∥

und wegen Teil a)

m(T) > 0.

Die Resolvente eines Operators können wir wie folgt entwickeln. Lemma 1.10. Sei T ∈ B(X). Dann gilt:

a) Für |λ| > ∥T ∥ ist R(λ, T) = ∑_{n∈ℕ_{0}} \frac{T^{n}}{λ^{n+1}} .

b) R(z, T) konvergiert gegen 0 für |z| → ∞.

Beweis. a) Für |λ| > ∥T ∥ gilt

(λ − T)^{−1} = \frac{1}{λ} (1 − \frac{T}{λ} )^{−1} .

Da \frac{∥T ∥}{|λ|} < 1 folgt mit der Neumann-Reihe

\frac{1}{λ} (1 − \frac{T}{λ} )^{−1} = \frac{1}{λ} ∑_{n=0}^{∞} \frac{T^{n}}{λ^{n}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{T^{n}}{λ^{n+1}} .

Nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium konvergiert diese Reihe kompakt gleichmäßig auf {λ ∈ ℂ : |λ| > ∥T ∥}. Ebenfalls ist die Reihe auf {λ ∈ ℂ : |λ| ≥ r} für r > ∥T ∥ gleichmäßig konvergiert.

b) Die obige Reihendarstellung impliziert, dass für |z| > ∥T ∥ gilt

∥R(z, T)∥ ≤ \frac{1}{|z|} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{∥T ∥}{|z|})^{n} = \frac{1}{|z|} \frac{1}{1 − \frac{∥T ∥}{|z|}} ⟶^{|z|→∞} 0.

Lemma 1.11. Sei T ∈ B(X) mit σ(T) ⊂ 𝕋 und sei |λ| < 1. Dann gilt

R(λ, T) = − ∑_{n∈ℕ_{0}} λ^{n}T^{−(n+1)}

Beweis. Sei Φ der holomorphe Funktionalkalkül für T. Dann gilt

R(λ, T) = (λ − T)^{−1} = Φ (\frac{1}{λ − z} ) .

Da |λ| < 1 ist, finden wir eine reelle Zahl r mit |λ| < r < 1. Dann gilt für r ≤ |z| ≤ \frac{1}{r}, dass |\frac{λ}{z} | ≤ \frac{|λ|}{r} < 1 und daher

\frac{1}{λ − z} = \frac{1}{z (\frac{λ}{z} − 1)} = − ∑_{n∈ℕ_{0}} λ^{n}z^{−(n+1)}.

Hierbei konvergiert die Reihe nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium für alle r ≤ |z| ≤ \frac{1}{r} gleichmäßig. Da der holomorphe Kalkül stetig ist, folgt die Behauptung.

2 Charakterisierungen von E(𝕋)-skalaren Operatoren

In diesem Abschnitt wollen wir die bereits angesprochenen Charakterisierungen E(𝕋)- skalarer Operatoren beweisen. Wie wir auch in [Did98] nachlesen können, erhalten wireinen E(𝕋)-Kalkül für einen Operator T ∈ B(X) auf einem Banachraum X mit einem polynomiellen Wachstum, indem wir in der Fourier-Entwicklung ∑_{p∈ℤ} f̂(p)z^{p} einer Funktion f ∈ E(𝕋) die Funktion

z durch den Operator T ersetzen. Wir bilden also Reihen der Form

f(T) = ∑_{p∈ℤ} f̂(p)T^{p}.

Um zu zeigen, dass diese Reihen wohldefiniert sind und einen Funktionalkalkül für T definieren, benötigen wir folgendes Lemma.

Lemma 2.1. Sei f ∈ E(𝕋) mit Fourierentwicklung

f(z) = ∑_{p∈ℤ} f̂(p)z^{p},

wobei

f̂(p) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(e^{it}) · e^{−ipt}dt.

Dann ist die Familie

(f̂(p)p^{m})_{p∈ℤ}

beschränkt für jedes m ∈ ℕ_{0}.

Beweis. Sei m ∈ ℕ. Mit partieller Integration gilt für p ∈ ℤ:

f̂(p) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(e^{it}) · e^{−ipt}dt
= \frac{1}{2π} \underbrace{[−\frac{1}{ip}e^{−ipt}f(e^{it})]_{0}^{2π}}_{=0 da f(e^{it}) 2π-periodisch} +\frac{1}{2π} · \frac{1}{ip} ∫_{0}^{2π} \frac{d}{dt} (f(e^{it})) · e^{−ipt}dt

= … = \frac{1}{2π} · \frac{1}{(ip)^{m}} ∫_{0}^{2π} \frac{d^{m}}{dt^{m}} f(e^{it})e^{−ipt}dt.

Daraus folgt, dass

|f̂(p)| ≤ \frac{1}{2π} · \frac{1}{|p|^{m}} · 2π∥f∥_{m} = ∥f∥_{m} \frac{1}{|p|^{m}}

Hilfreich ist auch noch ein weiteres Lemma aus der Funktionentheorie. Lemma 2.2. Sei U ⊂ ℂ offen und f ∈ O(U). Desweiteren sei γ : [a, b] → U mit a, b ∈ ℝ und a < b eine C^{1}-Funktion. Dann gilt für t ∈ [a, b] die Formel

(f ∘ γ)′(t) = f′(γ(t)) · γ′(t).

Beweis. Wir wissen, dass für eine holomorphe Funktion f ∈ O(U) und für z_{0} ∈ U

\frac{d}{dz} f(z_{0}) = \frac{∂}{∂x}f(z_{0})

und

\frac{d}{dz} f(z_{0}) = −i\frac{∂}{∂y} f(z_{0})

gilt. Daraus erhalten wir mittels der reellen Kettenregel

(f ∘ γ)′(t) = \frac{∂f}{∂x}(γ(t))\frac{dℜγ}{dt} (t) + \frac{∂f}{∂y} (γ(t))\frac{dℑγ}{dt} (t)
= f′(γ(t))(ℜγ)′(t) + if′(γ(t))(ℑγ)′(t)
= f′(γ(t))γ′(t).

Eine erste Charakterisierung E(𝕋)-skalarer Operatoren liefert uns der nächste Satz.

Satz 2.3. Sei T ∈ B(X) mit σ(T) ⊂ 𝕋. Dann sind äquivalent:

(i) T ist E(𝕋)-skalar.

(ii) Es existieren M > 0 und n ∈ ℕ mit ∥R(λ, T)∥ ≤ \frac{M}{|1−|λ||^{n+1}} für 0 < |1 − |λ|| < 1.

(iii) Es existieren C > 0 und m ∈ ℕ mit ∥T^{k}∥ ≤ C · |k|^{m} für k ∈ ℤ\{0}.

Beweis. (i) ⇒ (ii) : Sei Φ : E(𝕋) → B(X) ein stetiger Algebrenhomomorphismus wie in der Definition E(𝕋)- skalarer Operatoren und sei 0 < |1 − |λ|| < 1. Dann ist λ ∉ 𝕋, also auch λ ∉ σ(T), und es existiert eine offene Umgebung U ⊃ 𝕋, so dass λ ∉ U. Somit ist R(λ, T) = (λ − T)^{−1} definiert und lässt sich schreiben als

∥R(λ, T)∥ = ∥Φ (\frac{1}{λ − z} )∥ ≤^{Def. von ord(Φ)} C · ∥\frac{1}{λ − z} ∥_{n} ,

wobei n = ord(Φ). Nach Definition der Halbnormen gilt für ein f ∈ E(𝕋)

∥f∥_{n} = sup ; \begin{matrix}t ∈ ℝ \\ 0 ≤ k ≤ n \end{matrix} |\frac{d^{k}}{dt^{k}} f(e^{it})| .

Setzen wir die Funktion

f : U → ℂ, z ↦ \frac{1}{λ − z}

ein, so erhalten wir mit Lemma 2.2 durch elementares Nachrechnen und Induktion

\frac{d^{n}}{dt^{n}} f(e^{it}) = \frac{p_{n}(e^{it})}{(λ − e^{it})^{n+1}} ,

wobei p_{n}(z) ein Polynom n-ten Grades ist. Da dieses Polynom beschränkt ist für z ∈ 𝕋, erhalten wir

∥\frac{1}{λ − z} ∥_{n} ≤ C_{1} sup ; \begin{matrix}t ∈ ℝ \\ 0 ≤ k ≤ n \end{matrix} \frac{1}{|λ − e^{it}|^{k+1}} ≤^{Δ−Ugl.} \frac{C_{1}}{|1 − |λ||^{n+1}}

und daher mit M = C · C_{1}

∥R(λ, T)∥ ≤ M · \frac{1}{|1 − |λ||^{n+1}}

für 0 < |1 − |λ|| < 1.

(ii) ⇒ (iii) :

1) Sei k ∈ ℕ und 0 < ε < 1. Es gilt:

sup_{|z|=ε+1} ∥R(z, T)∥ ≤ M · \frac{1}{|1 − |ε + 1||^{n+1}} = \frac{M}{ε^{n+1}} .  (1)

Dann folgt mit dem holomorphen Funktionalkalkül und der Standardabschätzung für Integrale:

\frac{∥T^{k}∥}{k^{n+1}} = \frac{1}{k^{n+1}} · ∥\frac{1}{2πi} ∫_{∂D_{1+ε}(0)} z^{k}R(z, T)dz∥ ≤^{(1)} M · \frac{(1 + ε)^{k+1}}{(kε)^{n+1}} .

Für k > 2(n + 1) gilt mit ε = \frac{n+1}{k−(n+1)}:

\frac{∥T^{k}∥}{k^{n+1}} ≤ M · (1 + \frac{n+1}{k−(n+1)})^{k+1}_{(\frac{k(n+1)}{k−(n+1)})n+1}
= M · \begin{matrix}(\frac{k−(n+1)}{k}) & −(k+1) \\ (\frac{(n+1)}{1−(n+1)/k}) & n+1 \end{matrix} ⟶^{k} M · \frac{e^{−(n+1)}}{(n + 1)^{n+1}} .

Also gibt es eine Konstante C_{1} > 0 mit

∥T^{k}∥ ≤ C_{1} · k^{n+1}

für alle k ∈ ℕ.

2) Sei k ∈ ℕ und 0 < ε < 1. Wie oben folgt:

\frac{∥T^{−k}∥}{k^{n+1}} = \frac{1}{k^{n+1}} · ∥\frac{1}{2πi} (\underbrace{∫_{∂^{+}D_{2∥T ∥}(0)} z^{−k}R(z, T)dz}_{=:A} +\underbrace{∫_{∂^{−}D_{1−ε}(0)} z^{−k}R(z, T)dz}_{=:B})∥ .

Wie in dem Beweis zu Bemerkung 1.10 gesehen ist die Neumannsche Reihe

R(z, T) = ∑_{l=0}^{∞} \frac{T^{l}}{z^{l+1}}

gleichmäßig konvergent auf ∂D_{2∥T ∥}(0). Daher gilt

A = ∑_{l∈ℕ_{0}} T^{l} ∫_{∂D_{2∥T ∥}(0)} \frac{dz}{z^{l+k+1}} = 0.

Weiter gilt

B = − ∫_{∂^{+}D_{1−ε}(0)} z^{−k}R(z, T)dz

und somit

\frac{∥T^{−k}∥}{k^{n+1}} = \frac{1}{k^{n+1}} ∥\frac{1}{2πi} ∫_{∂^{+}D_{1−ε}(0)} \frac{1}{z^{k}} R(z, T)dz∥ ≤ M · \frac{1}{(1 − ε)^{k−1}} · \frac{1}{(kε)^{n+1}} .

Mit ε = \frac{n+1}{k+(n+1)} folgt

\frac{∥T^{−k}∥}{k^{n+1}} ≤ M \frac{1}{(1 − \frac{n+1}{k+(n+1)})^{k−1}} \frac{1}{(\frac{k(n+1)}{k+n+1})n+1}

= M (\frac{k + (n + 1)}{k})^{k−1} (\frac{1 + \frac{n+1}{k}}{n + 1} )^{n+1} ⟶^{k} M \frac{e^{n+1}}{(n + 1)^{n+1}} .

Deswegen erhalten wir auch hier eine Konstante C_{2} > 0 mit

∥T^{−k}∥ ≤ C_{2} · k^{n+1}

für alle k ∈ ℕ. Mit C = max{C_{1}, C_{2}} und m = n + 1 folgt

∥T^{k}∥ ≤ C · |k|^{m}

für alle k ∈ ℤ\{0}.

(iii) ⇒ (i): Sei nun f ∈ E(𝕋). Es ist wohlbekannt, dass wir f als Fourierreihe schreiben können:

f(z) = ∑_{k∈ℤ} f̂(k)z^{k}, wobei f̂(k) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(e^{it}) · e^{−ikt}dt.

Wir zeigen nun, dass die Abbildung Ψ : E(𝕋) → B(X), Ψ(f) = ∑_{k∈ℤ} f̂(k)T^{k} einen stetigen

E(𝕋)-Kalkül definiert: Seien f, g ∈ E(𝕋). Wie im Beweis zu Lemma 2.1 gesehen, gilt |f̂(p)| ≤ ∥f∥_{m+2}|p|^{−(m+2)} für alle p ∈ ℤ. Daraus folgt

∑_{k∈ℤ}|f̂(k)| ∥T^{k}∥ ≤ ∑_{k∈ℤ}∥f∥_{m+2}|k|^{−(m+2)}C|k|^{m}
= ∥f∥_{m+2} · C ∑_{k∈ℤ}|k|^{−2} < ∞.

Somit ist die Reihe

Ψ(f) = ∑_{k∈ℤ} f̂(k)T^{k}

konvergent und Ψ ist wohldefiniert. Offensichtlich ist Ψ linear mit Ψ(1) = 1_{B(X)} und Ψ(z) = T. Wie oben gesehen gilt

∥Ψ(f)∥ ≤ ∑_{p∈ℤ}|f̂(p)|∥T^{p}∥

≤ C ( ∑_{p∈ℤ\{0}}|p|^{−2}) ∥f∥_{m+2}

≤ C \frac{π^{2}}{3} ∥f∥_{m+2},

also ist Ψ stetig. Bleibt noch die Multiplikativität zu zeigen. Für f, g ∈ E(𝕋) ist fg ∈ E(𝕋) und es gilt

(fg)(z) = ∑_{q∈ℤ} f̂g(q)z^{q}.  (2)

Andererseits ist jedoch

f(z) · g(z) = (∑_{p∈ℤ} f̂(p)z^{p}) (∑_{q∈ℤ} ĝ(q)z^{q})

= ∑_{p∈ℤ} (∑_{q∈ℤ} f̂(p)ĝ(q)z^{q}z^{p}) .

Verschieben wir hier den Index q ⇝ q − p, so ändert sich nichts an der inneren Reihe und wir erhalten

f(z) · g(z) = ∑_{p∈ℤ} (∑_{q∈ℤ} f̂(p)ĝ(q − p)z^{q}) .

Wenden wir nun den Satz von Fubini (auf ℓ^{1}(ℤ) = L^{1}(ℤ, P(ℤ), μ), wobei μ das Zählmaß ist) an, so erhalten wir

f(z)g(z) = ∑_{q∈ℤ} (∑_{p∈ℤ} f̂(p)ĝ(q − p)) z^{q}.  (3)

Da die Fourierentwicklung eindeutig ist, folgt nun aus (2) und (3), dass für q ∈ ℤ

f̂g(q) = ∑_{p∈ℤ} f̂(p)ĝ(q − p)

ist, also folgt

Ψ(fg) = Ψ(f)ψ(g).

Sei A = E(ℂ) oder E(𝕋) und sei Φ : A → B(X) ein stetiger Algebrenhomomorphismus. Wir definieren uns den Träger supp(Φ) von Φ als die kleinste abgeschlossene Menge F ⊂ ℂ so, dass Φ(f) = 0 für alle f ∈ A mit supp(f) ∩ F = ∅. Die Existenz einer solchen Menge folgt aus dem nächsten Satz.

Satz 2.4. Sei Φ : A → B(X) ein stetiger Algebrenhomomorphismus. Dann gilt

supp(Φ) = σ (Φ(z)) .

Beweis. Sei f ∈ A mit supp(f) ∩ σ (Φ(λ)) = ∅. Nach [CF68], Theorem 3.5.4 ist die Funktion

ξ ↦ Φ (f_{ξ}) (f_{ξ} wie in Definition 1.1)

auf ℂ\supp(f) analytisch. Offensichtlich gilt

(ξ1_{B(X)} − Φ(λ))Φ (f_{ξ}) = Φ ((ξ − λ)f_{ξ}) = Φ(f)

für ξ ∈ ℂ\supp(f). Daraus erhalten wir

Φ (f_{ξ}) = R(ξ, Φ(λ))Φ(f)

für ξ ∈ ρ(Φ(λ)) ∩ (ℂ\supp(f)). Durch h : ℂ → B(X),

h(ξ) = \{ \begin{matrix}R(ξ, Φ(λ))ϕ(f) & für & ξ ∈ ρ(Φ(λ)) \\ Φ (f_{ξ}) & für & ξ ∈ ℂ\supp(f) \end{matrix}

ist eine ganze Funktion definiert mit

lim_{|ξ|→∞} ∥h(ξ)∥ = 0.

Nach dem Satz von Liouville gilt h(ξ) = 0 für alle ξ ∈ ℂ. Also gilt auch Φ (f_{ξ}) = 0 auf ℂ\supp(f), insbesondere Φ(f) = 0. Sei F ⊂ 𝔸 eine abgeschlossene Menge mit Φ(f) = 0 für alle f ∈ A mit supp(f) ∩ F = ∅ und sei G eine offene Umgebung von F. Sei G_{1} ⊂ ℂ offen, so dass \overline{G_{1}} ∩ F = ∅ und G ∪ G_{1} = ℂ. Dann gibt es Funktionen f, f_{1} ∈ A so, dass

0 ≤ f, f_{1} ≤ 1,
supp(f) ⊂ G, supp(f_{1}) ⊂ G_{1}

und

f + f_{1} = 1.

Daher erhalten wir

supp(1 − f) = supp(f_{1}) ⊂ G_{1}

und deshalb

supp(1 − f) ∩ F = ∅.

Also ist

0 = Φ(1 − f) = Φ(1) − Φ(f),

das heißt

Φ(f) = Φ(1) = 1_{B(X)}.

Da supp(f) ⊂ G ist, ist die Funktion f_{ξ} ∈ A für alle ξ ∈ ℂ\G. Es gilt

Φ (f_{ξ}) (ξ1_{B(X)} − Φ(λ)) = (ξ1_{B(X)} − Φ(λ))Φ (f_{ξ}) = Φ (ξ − λ)f_{ξ}) = Φ(f) = 1_{B(X)} und somit ist ξ ∈ ρ(Φ(λ)). Folglich ist

σ(Φ(λ)) ⊂ G.

Da G beliebig war, gilt nun

σ(Φ(λ)) ⊂ ⋂(G : G ⊃ F offen) = F.

Damit haben wir gezeigt, dass σ(Φ(z)) die kleinste abgeschlossene Menge F ⊂ ℂ ist mit supp(f) ∩ F = ∅. Bemerkung 2.5. Aus Satz 2.4 folgt insbesondere, dass für f ∈ A mit

supp(1 − f) ∩ σ(Φ(z)) = ∅

gilt

Φ(f) = 1_{B(X)}.

Weitere Charakterisierungen E(𝕋)-skalarer Operatoren liefert der folgende Satz. Satz 2.6. Sei S ∈ B(X). Dann sind äquivalent:

(i) S ist E(𝕋)-skalar, (ii) S ist E(ℂ)-skalar mit σ(S) ⊂ 𝕋, (iii) S ist invertierbar und es existieren C > 0, p, q ≥ 0 so, dass

∥S^{n}∥ ≤ Cn^{p} und ∥S^{−n}∥ ≤ Cn^{q}.

für alle n ∈ ℕ, (iv) σ(S) ⊂ 𝕋 und es existieren K > 0, s, t ≥ 0 so, dass

∥(S − z)^{−1}∥ ≤ K(|z| − 1)^{−s} für 1 < |z| < 2

und

∥(S − z)^{−1}∥ ≤ K(1 − |z|)^{−t} für |z| < 1.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei Φ : E(𝕋) → B(X) ein stetiger Algebrenhomomorphismus wie in der Definition E(𝕋)- skalarer Operatoren. Wir definieren

Ψ : E(ℂ) → B(X), Ψ(f) = Φ(f|_{𝕋}).

Dann ist Ψ wohldefiniert, linear, multiplikativ und stetig mit Ψ(1) = 1_{B(X)}, Ψ(z) = S und somit ein E(ℂ)-Kalkül für S. Ist λ ∉ 𝕋, so liegt die Funktion z ↦ \frac{1}{λ−z} in E(𝕋) und es gilt

Φ (\frac{1}{λ − z} ) (λ − S) = Φ (\frac{1}{λ − z} ) Φ(λ − z) = Φ(1) = 1_{B(X)} = … = (λ − S)Φ (\frac{1}{λ − z} ) .

Somit ist λ − S invertierbar. (ii) ⇒ (iii): Sei Φ : E(ℂ) → B(X) ein stetiger Kalkül mit ord(Φ) = n. Dann existieren C > 0 und K ⊂ ℂ kompakt mit

∥Φ(f)∥ ≤ C∥f∥_{n,K}

für alle f ∈ E(ℂ). Wir fixieren ein g ∈ E(ℂ) mit g(z) = 0 für |z| ≤ \frac{1}{2} und supp(1−g) ⊂ 𝔻 und setzen

M_{1} = sup ; \begin{matrix}|α| ≤ n \\ z ∈ ℂ \end{matrix} |(D^{α}g) (z)| < ∞.

Sei weiter λ ∈ ℂ mit 0 < |1 − |λ|| = r < 1. Setze

g_{λ}(z) = g (\frac{z − λ}{r})

für z ∈ ℂ. Dann ist g_{λ} ∈ E(ℂ) mit g_{λ}(z)|_{D_{\frac{r}{2}} (λ)} ≡ 0 und supp(1 − g_{λ}) ∩ 𝕋 = ∅. Somit folgt bereits mit Bemerkung 2.5

∥R(λ, T)∥ = ∥Φ (\frac{g_{λ}}{λ − z} )∥ ≤ C ∥\frac{g_{λ}}{λ − z} ∥_{n,K} .

Setzen wir nun h = \frac{g_{λ}}{λ−z}. Für |α| ≤ n erhalten wir

(D^{α}h) (z) = \{ \begin{matrix}0 & ; & |z − λ| ≤ \frac{r}{2} \\ D^{α} (\frac{1}{λ−z} ) & ; & |λ − z| ≥ r \\ ∑_{μ+ν=α} \binom{α}{μ}D^{μ} (\frac{1}{λ−z} ) (D^{ν}g_{λ}) (z) & ; & \frac{r}{2} < |z − λ| < r. \end{matrix}

Wegen der Abschätzung

|D^{α} (\frac{1}{λ − z} )| = |α|!\frac{1}{|λ − z|^{|α|+1}} ≤ n!\frac{2^{n+1}}{r^{|α|+1}}

für |λ − z| ≥ \frac{r}{2} und

|(D^{α}g_{λ}) (z)| = |(D^{α}g) (\frac{z − λ}{r})| \frac{1}{r^{|α|}} ≤ M_{1} \frac{1}{r^{|α|}}

für z ∈ ℂ gibt es eine von λ unabhängige Konstante M_{2} > 0 mit

|(D^{α}h) (z)| ≤ M_{2} \frac{1}{r^{n+1}}

für |α| ≤ n und z ∈ ℂ. Daraus erhalten wir also mit K′ = CM_{2}

∥R(λ, T)∥ ≤ K′ \frac{1}{r^{n+1}} = \frac{K′}{|1 − |λ||^{n+1}}  (4)

für 0 < |1 − |λ|| < 1. Und somit folgt wie in Satz 2.3 die Behauptung. (iii) ⇒ (iv): Aus (iii) folgt zunächst, dass

r(S) = lim_{n→∞} ∥S^{n}∥^{\frac{1}{n}} ≤ lim_{n→∞}(Cn^{p})^{\frac{1}{n}} = 1

und

r(S^{−1}) = lim_{n→∞} ∥S^{−n}∥^{\frac{1}{n}} ≤ lim_{n→∞}(Cn^{q})^{\frac{1}{n}} = 1.

Also ist σ(S) ⊂ \overline{𝔻} und \frac{1}{σ(S)} = σ(S^{−1}) ⊂ \overline{𝔻} und damit σ(S) ⊂ 𝕋. Die Bedingung (iii) impliziert offensichtlich die Bedingung (iii) aus Satz 2.3. (Wir können für m jede natürliche Zahl mit m ≥ max{p, q} wählen.) Nach Satz 2.3 gibt es eine Konstante M > 0 und ein N ∈ ℕ mit

∥R(z, S)∥ ≤ \frac{M}{|1 − |z||^{N+1}}

für 0 < |1 − |z|| < 1. Hieraus folgt offensichtlich die Gültigkeit von (iv). (iv) ⇒ (i) : Diese Implikation ist ebenfalls klar nach Satz 2.3.

3 Wichtige Folgerungen für E(𝕋)-subskalare Operatoren

Sei T ∈ B(X) ein E(𝕋)-subskalarer Operator, das heißt es gibt eine topologische Einbettung π : X ↪ Y in einen Banachraum Y und einen E(𝕋)-skalaren Operator S ∈ B(Y) mit Sπ = πT. Wir bemerken, dass in diesem Falle π(X) ⊂ Y ein bezüglich S invarianter abgeschlossener Teilraum ist.

Folgerung 3.1. Sei T wie oben. Dann gilt:

a) Es existieren C > 0 und p, q ≥ 0 mit

∥T^{n}∥ ≤ Cn^{p} und m(T^{n})^{−1} ≤ Cn^{q}. (P) b) Es existieren C > 0 und p, q ≥ 0, so dass

∥R(z, T)∥ ≤ K(|z| − 1)^{−p} für 1 < |z| < 2 und m(z − T)^{−1} ≤ K(1 − |z|)^{−q} für |z| < 1. (R)

Beweis. a) Nach Satz 2.6 (iii) gilt für die Erweiterung S von T, dass es Konstanten K > 0 und p, q ≥ 0 gibt, so, dass

\underbrace{∥S^{n}∥ ≤ Kn^{p}}_{(I)} und \underbrace{∥S^{−n}∥ ≤ Kn^{q}}_{(II)}

für alle n ∈ ℕ. Daraus ergibt sich mit Y_{0} = π(X)

∥T^{n}∥ = ∥π^{−1} (S|_{Y_{0}})^{n} π∥ ≤ ∥π^{−1}∥ · ∥π∥ · ∥S^{n}∥ ≤^{(I)} C′n^{p}

mit C′ = ∥π^{−1}∥∥π∥K.

Weiter gilt

∥T^{n}x∥ = ∥π^{−1} (S|_{Y_{0}})^{n} πx∥
≥ m(π^{−1} (S|_{Y_{0}})^{n} π)∥x∥ ≥^{1.9 c)} m(π^{−1})m(S^{n})m(π)∥x∥
=^{1.9 b)} \frac{m(π^{−1})m(π)}{∥S^{−n}∥}∥x∥ ≥^{(II)} m(π^{−1})m(π)K^{−1}n^{−q}∥x∥

und somit

m(T^{n})^{−1} ≤ C′′n^{q}

mit C′′ = (m(π^{−1})m(π))^{−1} K. Setze C = max{C′, C′′}. Somit folgt (P).

b) Für alle z ∈ ℂ gilt

z − T = π^{−1}(z − S|_{Y_{0}})π.

Da nach [Con90], Theorem 5.4, die Zusammenhangskomponenten von ρ(S) entweder disjunkt sind zu σ(S|_{Y_{0}}) oder ganz in σ(S|_{Y_{0}}) enthalten sind, gilt

σ(S|_{Y_{0}}) ⊂ \overline{𝔻}

und

(z − S|_{Y_{0}})^{−1} = (z − S)^{−1}|_{Y_{0}}

für |z| > 1. Seien K > 0 und p, q ≥ 0 wie in Bedingung (iv) von Satz 2.6 zu dem E(𝕋)- skalaren Operator S ∈ B(Y) gewählt. Dann folgt für 1 < |z| < 2 die Abschätzung

∥(z − T)^{−1}∥ = ∥π^{−1} ((z − S)^{−1}|_{Y_{0}}) π∥
≤ (∥π^{−1}∥∥π∥K) (|z| − 1)^{−p}.

Sei |z| < 1. Da für x ∈ X gilt

∥(z − T)x∥ = ∥π^{−1}(z − S)πx∥ ≥ m(π^{−1})m(π)m(z − S)∥x∥
= m(π^{−1})m(π)\frac{1}{∥(z − S)^{−1}∥}∥x∥
≥ \frac{m(π^{−1})m(π)}{K}(1 − |z|)^{q}∥x∥,

folgt die Abschätzung

m(z − T) ≥ \frac{m(π^{−1})m(π)}{K}(1 − |z|)^{q}.

Die Bedingungen (P) und (R) sind also notwendig für die E(𝕋)-Subskalarität eines Operators T ∈ B(X). Es stellt sich nun die Frage, welche dieser Bedingungen auch hinreichend dafür ist, dass ein Operator E(𝕋)-subskalar ist. Dazu widmen wir uns in den nächsten beiden Abschnitten den Arbeiten von Badea und Müller ([BM05] sowie [BM06]).

4 Wachstumsbedingungen und Erweiterungen eines Operators

Wir betrachten zuerst allgemein Elemente einer Banachalgebra und untersuchen hinreichende Bedingungen für die Existenz einer größeren Algebra, in der die Elemente invertierbar sind. Wie üblich sei für jede positive Zahl c > 0 im Folgenden

\frac{c}{0} = ∞.

Definition 4.1. Sei A eine Banachalgebra mit Eins und u ∈ A. Wir definieren

d^{A}(u) = inf {∥ux∥ : x ∈ A, ∥x∥ = 1} .

Bemerkung 4.2. Für A = B(X) und für T ∈ B(X) gilt

d^{B(X)}(T) = m(T).

Beweis. Man beachte, dass gilt

d^{B(X)}(T) = m(L_{T}),

wobei

L_{T} : B(X) → B(X), S ↦ T S

der Operator der Linksmultiplikation mit T ist. Für x ∈ X und u ∈ X′ bezeichnen wir mit x ⊗ u ∈ B(X) den durch

x ⊗ u(ξ) = ⟨ξ, u⟩x

definierten Operator. Wir fixieren u ∈ X′ mit ∥u∥ = 1 und definieren

Θ : X → B(X), x ↦ x ⊗ u.

Dann sind die Vertikalen in dem vertauschenden Diagramm

B(X) ⟶^{L_{T}} B(X)
Θ↑  ^{Θ}↑
X ⟶^{T} X

Isometrien. Also ist

d^{B(X)}(T) = m(L_{T}) ≤ m(T).

Die umgekehrte Ungleichung erhalten wir aus der Beobachtung, dass

∥T S∥ = sup{∥T Sx∥ : ∥x∥ = 1}
≥ sup{m(T)∥Sx∥ : ∥x∥ = 1}
= m(T)∥S∥

für alle S ∈ B(X) gilt.

Diese Gleichheit zwischen dem Minimalmodul m(T) und d^{B(X)}(T) für einen Operator T lässt die Frage zu, ob wir auch für eine beliebige Banachalgebra A und die Abbildung d^{A}(·) analoge Aussagen wie über den Minimalmodul in Lemma 1.9 beweisen können.

Lemma 4.3. Sei A eine Banachalgebra und u, v ∈ A. Dann gilt:

a) d^{A}(u) = max{α ∈ [0, ∞) : ∥ux∥ ≥ α∥x∥ ∀x ∈ A}.

b) Ist v ∈ A invertierbar, so gilt

d^{A}(v) = ∥v^{−1}∥^{−1}.

c) d^{A}(uv) ≥ d^{A}(u)d^{A}(v).

Beweis. Wegen

d^{A}(u) = m(L_{u})

(L_{u} Operator der Linksmultiplikation mit u) folgen alle Behauptungen dirket aus Lemma 1.9.

Der folgende Satz liefert uns eine erste Bedingung für die Existenz größerer Banachalgebren zu Elementen einer vorgegebenen Banachalgebra und der Invertierbarkeit der Elemente in dieser.

Satz 4.4. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Eins und u ∈ A. Weiter sei (c_{j})_{j∈ℕ} ein submultiplikative Folge in (0, ∞), das heißt c_{i+j} ≤ c_{i} · c_{j} für alle i, j ∈ ℕ. Genau dann gibt es eine unitale Banachalgebra B ⊃ A mit derselben Eins so, dass u invertierbar in B ist mit ∥u^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ, wenn

∥a_{0}∥ ≤ ∑_{j=1}^{∞} c_{j}∥a_{j} − a_{j−1}u∥

für alle Folgen (a_{j})_{j∈ℕ_{0}} in A mit a_{j} = 0 für fast alle j ∈ ℕ. In diesem Fall kann man B kommutativ wählen.

Beweis. Zur Vereinfachung schreiben wir im Folgenden f_{j} = a_{j} − a_{j−1}u für j ≥ 1. Sei B ⊃ A eine Erweiterung so, dass u invertierbar in B ist und ∥u^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ. Sei (a_{j})_{j∈ℕ_{0}} eine Folge in A mit a_{j} = 0 für alle j ≥ n. Schreiben wir

a_{0} = − ∑_{j=1}^{n} a_{j}u^{−j} − a_{j−1}u^{−(j−1)}

als Teleskopsumme, so erhalten wir

∥a_{0}∥ = ∥∑_{j=1}^{n}(a_{j} − a_{j−1}u)u^{−j}∥

= ∥∑_{j=1}^{n} f_{j}u^{−j}∥ ≤ ∑_{j=1}^{n} c_{j}∥f_{j}∥.

Für die Rückrichtung setzen wir c_{0} = 1. Sei C die Menge aller Potenzreihen ∑_{j=0}^{∞} a_{j}x^{j} in

einer Veränderlichen x mit Koeffizienten a_{j} ∈ A so, dass

∑_{j=0}^{∞} ∥a_{j}∥c_{j} < ∞.

Versehen mit der punktweisen Addition und der Multiplikation, die durch

(∑_{j=0}^{∞} a_{j}x^{j}) · (∑_{j=0}^{∞} b_{j}x^{j}) = ∑_{k=0}^{∞} ( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}) x^{k}

gegeben ist, sowie der durch

∥∑_{j=0}^{∞} a_{j}x^{j}∥ = ∑_{j=0}^{∞} ∥a_{j}∥c_{j}

definierten Norm, wird C zu einer kommutativen Banachalgebra, siehe etwa Example 2.13 in [Dal00]. Die Abbildung

A → C, a ↦ ∑_{j=0}^{∞} a_{j}x^{j}

mit a_{0} = a und a_{j} = 0 für j > 0 definiert einen isometrischen Homomorphismus unitaler Banachalgebren. Vermöge dieser Isometrie lässt sich A als abgeschlossene Unteralgebra von C auffassen. Sei J das von 1_{A} − ux erzeugte, abgeschlossene Ideal und sei B = C/J. Sei ρ : A → B die Komposition der Einbettung A ↪ C und der Quotientenabbildung C → C/J. Dann gilt

ρ(u) · (x + J) = (u + J)(x + J) = ux + J
= ux + (1_{A} − ux) + J = 1_{A} + J = 1_{B}

und somit ist ρ(u) invertierbar in B mit dem Inversen (x + J). Desweiteren gilt

(x + J)^{n} = x^{n} + J

und somit, da die Quotientenabbildung Norm ≤ 1 hat, folgt ∥(x + J)^{n}∥_{B} ≤ ∥x^{n}∥_{C} = c_{n}. Es genügt also zu zeigen, dass ρ eine Isometrie ist. Nach Definition der Norm auf der Quotientenalgbra B gilt offensichtlich

∥ρ(a)∥_{B} = ∥a + J∥_{B} ≤ ∥a∥_{C} = ∥a∥_{A}.

Angenommen es gäbe ein a^{∗} ∈ A so, dass ∥ρ(a^{∗})∥_{B} < ∥a^{∗}∥_{A}. Nach der Definition der Quotientennorm

∥a + J∥_{B} = inf_{c∈J} ∥a + c∥_{C}

und des Infimums gibt es Elemente a_{j} ∈ A so, dass

∥a^{∗}∥_{A} > ∥a^{∗} + (1 − ux) ∑_{j=0}^{∞} a_{j}x^{j}∥_{C}

= ∥a^{∗} + ∑_{j=0}^{∞} a_{j}x^{j} − ∑_{j=0}^{∞} ua_{j}x^{j+1}∥_{C}

= ∥a^{∗}x^{0} + a_{0}x^{0} + ∑_{j=1}^{∞} a_{j}x^{j} − ∑_{j=1}^{∞} ua_{j−1}x^{j}∥_{C}

= c_{0}∥a^{∗} + a_{0}∥_{A} + ∑_{j=1}^{∞} c_{j}∥a_{j} − a_{j−1}u∥_{A}

≥^{c_{0}=1} ∥a^{∗}∥_{A} − ∥a_{0}∥_{A} + ∑_{j=1}^{∞} c_{j}∥f_{j}∥.

Also gilt ∥a_{0}∥ > ∑_{j=1}^{∞} c_{j}∥f_{j}∥. Da die Menge der Potenzreihen mit a_{j} = 0 für fast alle

j ∈ ℕ dicht in C ist, können wir annehmen, dass nur endlich viele a_{j} ≠ 0 sind. Dies führt uns zu einem Widerspruch. Also kann es kein solches a^{∗} ∈ A geben und somit gilt ∥ρ(a)∥_{B} = ∥a∥_{A} für alle a ∈ A.

Wir haben also eine notwendige und hinreichende Bedingung für Elemente einer Banachalgebra gefunden, dass es eine größere Banachalgebra gibt, in der die Elemente invertierbar sind und die Potenzen des Inversen vorgegebene Wachstumsbedingungen erfüllen. Unser Ziel ist es nun zusätzliche Bedingungen an die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} zu stellen, unter welchen das Kriterium aus Satz 4.4 für die Existenz einer solchen größeren Algebra automatisch erfüllt ist.

Definition 4.5. Sei A eine unitale Banachalgebra und u ∈ A. Weiter sei (c_{j})_{j∈ℕ} in (0, ∞) eine submultiplikative Folge. Wir sagen, dass die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} die Eigenschaft (∗) bezüglich u besitzt, wenn es eine Folge (k_{j})_{j∈ℕ_{0}} in ℕ_{0} gibt mit 0 = k_{0} < k_{1} < ... und

c_{j} ≥ (d^{A}(u^{k_{1}})d^{A}(u^{k_{2}−k_{1}}) … d^{A}(u^{k_{n+1}−k_{n}}))^{−1} ∥u^{k_{n+1}−j}∥

für alle n ∈ ℕ_{0} und k_{n} < j ≤ k_{n+1}.

Die Bedingung (∗) ermöglicht die folgende nützliche Umformulierung von Satz 4.4.

Satz 4.6. Sei A eine kommutative unitale Banachalgebra und u ∈ A. Sei (c_{j})_{j∈ℕ} eine submultiplikative Folge in (0, ∞), die die Bedingung (∗) für u erfüllt. Dann gibt es eine kommutative Banachalgebra B ⊃ A, so dass u in B invertierbar ist mit ∥u^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ.

Beweis. Setze c_{0} = 1. Sei (a_{j})_{j∈ℕ_{0}} eine Folge in A mit a_{j} = 0 für fast alle j ∈ ℕ. Wir

schreiben f_{j} = a_{j} − a_{j−1}u für j > 0. Dann gilt d^{A}(u^{m}) ≤ ∥u^{m} \frac{a_{l}}{∥a_{l}∥} ∥ und somit

∥a_{l}∥ ≤ d^{A}(u^{m})^{−1}∥u^{m}a_{l}∥  (5)

für alle m, l ∈ ℕ_{0}. Also ist

∥a_{0}∥ ≤^{(5)} d^{A}(u^{k_{1}})^{−1}∥a_{0}u^{k_{1}}∥
≤ d^{A}(u^{k_{1}})^{−1} (∥a_{0}u^{k_{1}} − a_{1}u^{k_{1}−1}∥ + … + ∥a_{k_{1}−1}u − a_{k_{1}}∥ + ∥a_{k_{1}}∥)
≤ d^{A}(u^{k_{1}})^{−1} (∥f_{1}∥∥u^{k_{1}−1}∥ + ∥f_{2}∥∥u^{k_{1}−2}∥ + … + ∥f_{k_{1}}∥) + d^{A}(u^{k_{1}})^{−1}∥a_{k_{1}}∥.

Da die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} die Bedingung (∗) bezüglich u erfüllt, gilt die Abschätzung

∥a_{0}∥ ≤ ∑_{j=1}^{k_{1}} c_{j}∥f_{j}∥ + d^{A}(u^{k_{1}})^{−1}∥a_{k_{1}}∥.  (6)

Mithilfe der Ungleichung (5) lässt sich nun abschätzen

d^{A}(u^{k_{1}})^{−1}∥a_{k_{1}}∥ ≤ d^{A}(u^{k_{1}})^{−1}d^{A}(u^{k_{2}−k_{1}})^{−1}∥u^{k_{2}−k_{1}}a_{k_{1}}∥.

Indem man wieder benutzt, dass die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} die Eigenschaft (∗) bezüglich u besitzt, erhält man wie oben die Abschätzung

d^{A}(u^{k_{1}})^{−1}∥a_{k_{1}}∥ ≤ ∑_{j=k_{1}+1}^{k_{2}} c_{j}∥f_{j}∥ + d^{A}(u^{k_{1}})^{−1}d^{A}(u^{k_{2}−k_{1}})^{−1}∥a_{k_{2}}∥.

Wendet man diese Schritte nun induktiv an, so erhält man

∥a_{0}∥ ≤ ∑_{j=1}^{∞} c_{j}∥f_{j}∥.

Damit haben wir gezeigt, dass u und die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} die in Satz 4.4 angegebene Abschätzung erfüllen. Nach diesem Satz existiert eine kommutative Banachalgebra B ⊃ A so, dass u invertierbar in B ist mit ∥u^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ.

Eine wichtige Arbeit in diesem Gebiet stammt von Arens [Are58]. Er bewies, dass zu Elementen u ∈ A einer Banachalgebra A mit d^{A}(u) > 0 eine Banachalgebra B ⊃ A derart existiert, dass u invertierbar in B ist. Desweiteren folgt aus seiner Konstruktion, dass ∥u^{−j}∥ ≤ (d^{A}(u))^{−j} für alle j ∈ ℕ. Dieses Resultat von Arens, lässt sich aus Satz 4.6 folgern: Sei A eine Banachalgebra und u ∈ A mit d^{A}(u) > 0. Wir setzen c_{j} = (d^{A}(u))^{−j} für alle j ∈ ℕ. Dann ist

c_{j+i} = (d^{A}(u))^{−(j+i)} = (d^{A}(u))^{−j} (d^{A}(u))^{−i} = c_{j}c_{i}

für alle j, i ∈ ℕ. Desweiteren ist k_{n} = n für alle n ∈ ℕ_{0} eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen und für alle k_{n} < j ≤ k_{n+1} gilt

(d^{A}(u))^{−j} = (d^{A}(u))^{−k_{1}} (d^{A}(u))^{−(k_{2}−k_{1})} … (d^{A}(u))^{−(k_{n+1}−k_{n})}
≥^{4.3} (d^{A}(u^{k_{1}})d^{A}(u^{k_{2}−k_{1}}) ⋯ d^{A}(u^{k_{n+1}−k_{n}}))^{−1} ∥1_{A}∥
= (d^{A}(u^{k_{1}})d^{A}(u^{k_{2}−k_{1}}) ⋯ d^{A}(u^{k_{n}−k_{n+1}}))^{−1} ∥u^{k_{n+1}−j}∥.

Somit erfüllt die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} die Bedingung (∗) bezüglich u und nach Satz 4.6 ist das Ergebnis von Arens bewiesen. Folgendes Lemma aus der Spektraltheorie ist nützlich für unser weiteres Vorgehen.

Lemma 4.7. Sei R eine Banachalgebra mit Einselement 1 und sei A ⊂ R eine abgeschlossene Unteralgebra mit 1 ∈ A. Dann gilt für alle x ∈ A

σ^{R}(x) ⊂ σ^{A}(x).

Beweis. Sei x ∈ A beliebig und sei λ ∈ σ^{R}(x). Dann ist λ1 − x nicht invertierbar in R. Angenommen λ1 − x sei invertierbar in A. Dann gibt es ein w ∈ A mit

(λ1 − x)w = 1 = w(λ1 − x).

Da aber w ∈ A ⊂ R, wäre λ1 − x invertierbar in R. Dies ist ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung.

Im Folgenden werden wir uns die Banachalgebra B(X) der stetig linearen Operatoren auf einem Banachraum X näher betrachten.

Satz 4.8. Sei T ∈ B(X) und (c_{j})_{j∈ℕ} in (0, ∞) eine submultiplikative Folge, die die Bedingung (∗) bezüglich T erfüllt. Dann gibt es einen Banachraum Y ⊃ X und einen invertierbaren Operator S ∈ B(Y) mit

(i) S|_{X} = T,

(ii) ∥S^{j}∥ ≤ ∥T^{j}∥ für alle j ∈ ℕ,

(iii) ∥S^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ und

(iv) σ(S) ⊂ σ(T).

Beweis. Sei A die von T und R(λ, T) für alle λ ∈ ρ(T) erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von B(X). Dann ist A offensichtlich kommutativ, denn T vertauscht mit allen seinen Resolventen und alle Resolventen von T vertauschen. Außerdem enthält A die Eins, denn

1_{B(X)} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D_{∥T ∥+1}(0)} R(λ, T)dλ ⊂ A.

Beachte hierzu, dass sich dieses Integral als Grenzwert von Riemannsummen in R(λ, T) darstellen lässt und dass diese Riemannsummen in A liegen. Desweiteren ist offensichtlich

σ^{A}(T) = σ^{B(X)}(T).  (7)

Sei B = A ⊕ X. Wir definieren eine Multiplikation auf B durch

(A ⊕ x)(A′ ⊕ x′) = AA′ ⊕ (Ax′ + A′x) (A, A′ ∈ A, x, x′ ∈ X)

und eine Norm durch

∥(A ⊕ x)∥ = ∥A∥_{A} + ∥x∥.

Diese Multiplikation und diese Norm machen B zu einer kommutativen Banachalgebra mit Eins und A zu einer abgeschlossenen Unteralgebra vermöge der isometrischen Einbettung

j : A ↪ B, A ↦ (A ⊕ 0).

Für n ∈ ℕ gilt

d^{B}(T^{n} ⊕ 0) = d^{B(X)}(T^{n}) = m(T^{n}),

denn

d^{B}(T^{n} ⊕ 0) = inf {∥(T^{n} ⊕ 0)(S ⊕ x)∥ : ∥S ⊕ x∥ = ∥S∥ + ∥x∥ = 1}
= inf {∥T^{n}S∥ + ∥T^{n}x∥ : ∥S∥ + ∥x∥ = 1}
≤^{S=0} inf {∥T^{n}x∥ : ∥x∥ = 1} = m(T^{n}).

Andererseits gilt für x ∈ X und S ∈ A mit ∥S∥ + ∥x∥ = 1 nach Bemerkung 4.2

∥T^{n}S∥ + ∥T^{n}x∥ ≥ m(T^{n})∥S∥ + m(T^{n})∥x∥
= m(T^{n}).

Zusammen mit Bemerkung 4.2 impliziert dies die Identität

d^{B}(T^{n} ⊕ 0) = m(T^{n}) = d^{B(X)}(T^{n}).

Daher erfüllt die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} die Bedingung (∗) bezüglich (T ⊕ 0) als Element der kommutativen unitalen Banachalgebra B = A⊕X und nach Satz 4.6 existiert eine unitale kommutative Banachalgebra C ⊃ B mit der selben Eins so, dass (T ⊕ 0) invertierbar in C ist mit ∥(T ⊕ 0)^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ. Sei nun S : C → C, Sc = (T ⊕0)c. Dann ist S invertierbar mit ∥S^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ. Identifizieren wir x ∈ X mit (0 ⊕ x) ∈ B ⊂ C, dann gilt

S(0 ⊕ x) = (T ⊕ 0)(0 ⊕ x) = (0 ⊕ T x)

und wir erhalten S|_{X} = T. Somit haben wir eine invertierbare Erweiterung von T gefunden. Außerdem sieht man, dass

S^{j}c = (T ⊕ 0)^{j}c = (T^{j} ⊕ 0)c

gilt und somit

∥S^{j}∥ = ∥T^{j} ⊕ 0∥ = ∥T^{j}∥.

Letztendlich erhalten wir auch, dass

σ^{B(X)}(T) =^{(7)} σ^{A}(T) ⊃^{j hom.} σ^{B}(T ⊕ 0) ⊃^{4.7} σ^{C}(T ⊕ 0).

Für λ ∉ σ^{C}(T ⊕ 0) existiert ein u ∈ C, so dass ((T ⊕ 0) − λ)u = 1_{C} = u((T ⊕ 0) − λ). Dann gilt für alle c ∈ C

u(S − λ)c = u((T ⊕ 0) − λ)c = c

und somit ist R : C → C, Rc = uc die Inverse zu S − λ. Daraus erhalten wir

σ(T) ⊃ σ^{C}(T ⊕ 0) ⊃ σ(S).

Unser nächstes Ziel wird es nun sein, eine submultiplikative Folge (c_{j})_{j} positiver Zahlen zu finden, die der Bedingung (∗) bezüglich T genügt und zusätzlich noch die Ungleichung c_{j} ≤ Cj^{s} für alle j ∈ ℕ mit geeineten C > 0 und s ≥ 0 erfüllt. In Korollar 5.3 werden wir uns eine solche Folge konstruieren. (Beachte hierzu Definition 4.14 und Bemerkung 4.15.) Diese Konstruktion ist jedoch sehr aufwendig und liefert uns interessante zusätzliche Ergebnisse. Zur Vorbereitung führen wir im folgenden Unterabschnitt eine Klasse spezieller Banachräume ein.

4.1 Erweiterungen auf SQ_{p}(X)-Räume

Die Räume die wir einführen woolen, sind die sogenannten SQ_{p}(X)-Räume für einen Banachraum X. Ebenfalls werden wir invertierbare Erweiterungen mit vorgegebenem Potenzwachstum auf solche SQ_{p}(X)-Räume betrachten. Wir werden zudem sehen, dass wir Operatoren auf Hilberträumen wieder zu Operatoren auf Hilberträumen erweitern zu können.

Definition 4.9. Sei p ≥ 1 und X ein Banachraum. Ein Banachraum Y heißt ein SQ_{p}(X)-Raum, wenn er isomorph zu einem Quotienten eines abgeschlossenen Teilraums eines Ultraproduktes von L^{p}(Ω, μ, X)-Räumen für irgendwelche Maßräume (Ω, μ) ist.

Sei E ein beliebiger Banachraum und p ≥ 1. Für eine n × n-Matrix A = (a_{ij}) mit komplexen Einträgen definieren wir

∥A∥_{p,E} = sup {(∑_{i=1}^{n} ∥∑_{j=1}^{n} a_{ij}e_{j}∥^{p})^{1/p} : e_{1} … e_{n} ∈ E, ∑_{j=1}^{n} ∥e_{j}∥^{p} ≤ 1} .

Bemerkung 4.10. (a) Sei X ein Banachraum. Dann ist ein Banachraum Y genau dann ein SQ_{p}(X)-Raum, wenn für jedes n ∈ ℕ und jede komplexe n × n-Matrix A gilt

∥A∥_{p,Y} ≤ ∥A∥_{p,X}.

(b) Ist H ein Hilbertraum, so ist jeder SQ_{2}(H)-Raum insbesondere ein Hilbertraum.

Beweis. (a) Theorem 3.2 in [LM96]

(b) Nach [Lan83] Chapter XI, §1, ist ein L^{2}(Ω, μ, H) wieder ein Hilbertraum. Desweiteren gilt wegen [Pis86] Chapter 8 b und Proposition 2.3, dass Ultraprodukte von Hilberträumen wieder Hilberträume sind. Da nun Quotienten abgeschlossener Teilräume von Hilberträumen wieder Hilberträume sind, folgt die Behauptung.

Wir suchen hinreichende Bedingungen dafür, dass ein gegebener Operator eine Erweiterung auf einen SQ_{p}(X)-Raum besitzt.

Lemma 4.11. Seien x_{1}, …, x_{n} ≥ 0 und p ≥ 1. Dann gilt

(∑_{j=1}^{n} x_{j})^{p} ≤ n^{p−1} (∑_{j=1}^{n} x_{j}^{p}) .

Beweis. Seien x_{1}, …, x_{n} ≥ 0 und p > 1. Dann gilt mit der Hölder-Ungleichung

∑_{j=1}^{n} x_{j} = ∥( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} )∥_{1} = ∥( 1 · x_{1} ; 1 · x_{2} ; ⋮ ; 1 · x_{n} )∥_{1} ≤ ∥( 1 1 ⋮ 1 )∥_{q} · ∥( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} )∥_{p} ,

wobei \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 bzw. q = \frac{p}{p−1}. Weiter gilt

∥( 1 1 ⋮ 1 )∥_{q} · ∥( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} )∥_{p} = (∑_{j=1}^{n} 1^{q})^{(1/q)} · (∑_{j=1}^{n} x_{j}^{p})^{(1/p)} = n^{1/q} · (∑_{j=1}^{n} x_{j}^{p})^{(1/p)} .

Potenzieren wir mit p, so erhalten wir schließlich die Behauptung.

Folgerung 4.12. Sei p ≥ 1 und X ein Banachraum. Dann gilt

\frac{1}{2^{p−1}} ∥a∥^{p} − ∥b∥^{p} ≤ ∥a − b∥^{p}

für alle a, b ∈ X.

Beweis. Mit n = 2, x_{1} = ∥a − b∥ und x_{2} = ∥b∥ folgt direkt aus der Dreiecksungleichung und Lemma 4.11, dass

\frac{1}{2^{p−1}} ∥a∥^{p} ≤ \frac{1}{2^{p−1}} (∥a − b∥ + ∥b∥)^{p} ≤ \frac{1}{2^{p−1}} 2^{p−1}(∥a − b∥^{p} + ∥b∥^{p})

und somit

\frac{1}{2^{p−1}} ∥a∥^{p} − ∥b∥^{p} ≤ ∥a − b∥^{p}.

Der folgende Satz (Theroem 3.1 in [BM05]) ist von zentraler Bedeutung in dieser Arbeit. Er formuliert Bedingungen an einen Operator T ∈ B(X), die es gestatten,ihn zu einem invertierbaren Operator auf einen SQ_{p}(X)-Raum Y ⊃ X erweitern zu können.

Satz 4.13. Sei c = (c_{j})_{j∈ℕ} eine submultiplikative Folge positiver Zahlen, seien M, p ≥ 1 und sei T ∈ B(X) ein stetiger Operator auf einem Banachraum X. Dann gilt:

(a) Ist π : X ↪ Y ein stetig linearer Operator in einen Banachraum Y mit ∥x∥ ≤ M∥π(x)∥ für alle x ∈ X und ist S ∈ B(Y) invertierbar mit Sπ = πT und

∥∑_{j=1}^{n} S^{−j}π(y_{j})∥ ≤ (∑_{j=1}^{n} c_{j}^{p}∥y_{j}∥^{p})^{\frac{1}{p}}

für alle n ∈ ℕ und y_{1}, …, y_{n} ∈ X, dann gilt für je endlich viele Vektoren

x, x_{0}, x_{1}, …, x_{n−1} ∈ X

mit

T^{n}x = x_{0} + T x_{1} + … T^{n−1}x_{n−1}

die Ungleichung

∥x∥^{p} ≤ M^{p}(c_{n}^{p}∥x_{0}∥^{p} + c_{n−1}^{p}∥x_{1}∥^{p} + … + c_{1}^{p}∥x_{n−1}∥^{p}).

(b) Folgt für je endlich viele Vektoren x, x_{0}, x_{1}, …, x_{n−1} ∈ X mit

T^{n}x = x_{0} + T x_{1} + … T^{n−1}x_{n−1}

die Ungleichung

∥x∥^{p} ≤ M^{p}(c_{n}^{p}∥x_{0}∥^{p} + c_{n−1}^{p}∥x_{1}∥^{p} + … + c_{1}^{p}∥x_{n−1}∥^{p}),

dann gibt es umgekehrt einen stetig linearen Operator π : X ↪ Y in einen SQ_{p}(X)- Raum (Y, | · |) mit

\frac{∥x∥}{M2^{(p−1)/p}} ≤ |π(X)| ≤ ∥x∥

für alle x ∈ X und einen invertierbaren Operator S ∈ B(Y) mit

(i) Sπ = πT, (ii) ∥S^{j}∥ ≤ ∥T^{j}∥ und ∥S^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ, (iii) σ(S) ⊂ σ(T),

(iv) | ∑_{j=1}^{n} S^{−j}π(y_{j})| ≤ ( ∑_{j=1}^{n} c_{j}^{p}∥y_{j}∥^{p})^{\frac{1}{p}} für je endlich viele y_{1}, … y_{n} ∈ X.

Beweis. (a) Sei T^{n}x = x_{0} + T x_{1} + … + T^{n−1}x_{n−1}. Dann gilt

∥x∥ ≤ M∥π(x)∥ = M∥S^{−n}S^{n}π(x)∥ = M∥S^{−n}π(T^{n}x)∥
= M ∥S^{−n}π (∑_{j=0}^{n−1} T^{j}x_{j})∥ = M ∥S^{−n} (∑_{j=0}^{n−1} S^{j}π(x_{j}))∥

= M ∥∑_{j=0}^{n−1} S^{−(n−j)}π(x_{j})∥

≤ M (∑_{j=0}^{n−1} c_{n−j}^{p}∥x_{j}∥^{p})^{1/p} .

(b) Angenommem T^{n}x = x_{0} + T x_{1} + … T^{n−1}x_{n−1} impliziert

∥x∥^{p} ≤ M^{p}(c_{n}^{p}∥x_{0}∥^{p} + c_{n−1}^{p}∥x_{1}∥^{p} + … + c_{1}^{p}∥x_{n−1}∥^{p}).

Für x_{0} = T^{n}x erhalten wir

∥T^{n}x∥ ≥ \frac{1}{Mc_{n}} ∥x∥.

Also ist jeder Operator T^{n} injektiv.

Die folgende Konstruktion geht zurück auf [BY01], Theorem 3.3. Wir nennen zwei Paare (x, t) und (y, s) in X_{0} = X ⊕ ℤ äquivalent (geschrieben (x, t) ∼ (y, s)), falls ein m ∈ ℕ_{0} existiert mit s+m, t+m ∈ ℕ_{0} und T^{s+m}x = T^{t+m}y. Offensichtlich ist diese Relation reflexiv und symmetrisch. Um zu zeigen, dass diese Relation transistiv und somit eine Äquivalenzrelation ist, genügt es zu bemerken, dass für je drei Paare (x, t), (y, s), (z, r) ∈ X_{0} mit (x, t) ∼ (y, s) und (y, s) ∼ (z, r) ein m ∈ ℕ_{0} existiert mit

T^{s+m}x = T^{t+m}y, T^{r+m}y = T^{s+m}z

und dass in diesem Fall

T^{r+(s+2m)}x = T^{r+m+s+m}x = T^{t+m+r+m}y = T^{t+m+s+m}z = T^{t+(s+2m)}z

gilt. Sei X_{1} die Menge aller Äquivalenzklassen X_{1} = X_{0}/ ∼ und sei [x, t] die Äquivalenzklasse des Paares (x, t) ∈ X_{0}. Für alle x ∈ X, t ∈ ℤ gilt

(x, t) ∼ (T x, t + 1),  (8)

denn für m ∈ ℕ_{0} mit t + m ∈ ℕ_{0} ist auch t + m + 1 ∈ ℕ_{0}und

T^{t+1+m}T x = T^{t+m}(T x).

Insbesondere gibt es in jeder Klasse [x, t] mit t < 0 einen Vertreter (T^{−t}x, 0). Wir können also im Folgenden immer annehmen, dass t ∈ ℕ_{0} ist. Aus (8) folgt sofort, dass [0, 0] = [0, s] für alle s ∈ ℤ.

Wir definieren Verknüpfungen auf dem Raum X_{1} durch

+ : X_{1} × X_{1} → X_{1}, [x, t] + [y, s] = [T^{s}x + T^{t}y, s + t],

falls t, s ∈ ℕ_{0} und

· : ℂ × X_{1} → X_{1}, α · [x, t] = [αx, t].

Seien (x′, t′) ∼ (x, t) und (y′, s′) ∼ (y, s) mit t, t′, s, s′ ∈ ℕ_{0}. Dann existiert ein m ∈ ℕ_{0} so, dass

T^{t′+m}x = T^{t+m}x′ und T^{s′+m}y = T^{s+m}y′.

Dann gilt

T^{s′+t′+m}(T^{s}x + T^{t}y) = T^{s′+t′+s+m}x + T^{s′+t′+t+m}y
= T^{s+t+m+s′}x′ + T^{(t+s+m+t′}y′ = T^{s+t+m}(T^{s′}x′ + T^{t′}y′).

Somit stehen (T^{s}x + T^{t}y, s + t) und (T^{s′}x′ + T^{t′}y′, s′ + t′) in Relation zueinander. Die Operationen sind also wohldefiniert. Weiter gilt für [x, t], [y, s], [z, r] ∈ X_{1} mit r, s, t ∈ ℕ_{0} und α, β ∈ ℂ

[x, t] + [y, s] = [T^{s}x + T^{t}y, t + s]
= [T^{t}y + T^{s}x, s + t] = [y, s] + [x, t],
[x, t] + ([y, s] + [z, r]) = [x, t] + [T^{r}y + T^{s}z, s + r]
= [T^{s+r}x + T^{t+r}y + T^{t+s}z, t + s + r]
= [T^{s}x + T^{t}y, t + s] + [z, r] = ([x, t] + [y, s]) + [z, r],
[x, t] + [0, 0] = [T^{0}x + T^{t}0, t] = [x, t],
[x, t] + [−x, t] = [T^{t}(−x) + T^{t}x, t + t] = [0, 2t] = [0, 0],
(α + β)[x, t] = [αx + βx, t] =^{(8)} [T^{t}αx + T^{t}βx, t + t] = [αx, t] + [βx, t],
α([x, t] + [y, s]) = α[T^{s}x + T^{t}y, t + s]
= [T^{s}αx + T^{t}αy, t + s] = [αx, t] + [αy, s].

Diese Gleichungen zeigen, dass X_{1} versehen mit obigen Operationen zu einem Vektorraum wird. Setze c_{0} = 1. Wir wollen nun zeigen, dass

| · | : X_{1} → [0, ∞), |[x, t]| = inf {∑_{j=0}^{n} ∥x_{J}∥^{p}c_{j}^{p} : n ∈ ℕ_{0}, ∑_{j=0}^{n}[x_{j}, j] = [x, t]}^{1/p}

eine Norm auf X_{1} definiert. Diese Abbildung ist wohldefiniert, da für [x, t] ∈ X_{1} mit t ∈ ℕ_{0} gilt

[x, t] = [0, 0] + [0, 1] + … + [0, t − 1] + [x, t].

Außerdem gilt offensichtlich |λ[x, t]| = |λ||[x, t]| für alle λ ∈ ℂ und [x, t] ∈ X_{1}. Seien nun [x, t], [y, s] ∈ X_{1} mit den Zerlegungen [x, t] = ∑_{j}[x_{j}, j] und [y, s] = ∑_{j}[y_{j}, j]. Dann folgt wegen der Minkowski-Ungleichung,

dass

|[x, t] + [y, s]| ≤ (∑_{j} ∥x_{j} + y_{j}∥^{p}c_{j}^{p})^{1/p} ≤ (∑_{j} ∥x_{j}∥^{p}c_{j}^{p})^{1/p} + (∑_{j} ∥y_{j}∥^{p}c_{j}^{p})^{1/p} .

Bilden wir das Infimum über alle solchen Zerlegungen von [x, t] und [y, s], so erhalten wir die Dreiecksungleichung für | · |. Bleibt noch die Definitheit zu zeigen. Nehmen wir uns hierfür ein x ∈ X, ein t ∈ ℕ_{0} und eine Zerlegung

[x, t] = ∑_{j=0}^{n}[x_{j}, j].

Dann gilt

[x, t] =^{(8)} ∑_{j=0}^{n}[T^{n−j}x_{j}, n] = [∑_{j=0}^{n} T^{n−j}x_{j}, n] .

Nach Definition der äquivalenzrelation existiert ein l ∈ ℕ_{0} mit

T^{n+l}(x − T^{t}x_{0}) = ∑_{j=1}^{n} T^{n+l−j}T^{t}x_{j}.

Da T^{l} injektiv ist, folgt

T^{n}(x − T^{t}x_{0}) = ∑_{j=1}^{n} T^{n−j}T^{t}x_{j} = ∑_{j=0}^{n−1} T^{j}y_{j}

mit y_{n−j} = T^{t}x_{j} für j = 1, … n. Nach Folgerung 4.12 gilt mit a = x und b = T^{t}x_{0}, dass

\frac{1}{2^{p−1}} ∥x∥^{p} − ∥T^{t}x_{0}∥^{p} ≤ ∥x − T^{t}x_{0}∥^{p}

und somit

\frac{1}{2^{p−1}} ∥x∥^{p} ≤ M^{p} (∑_{j=0}^{n} c_{j}^{p}∥T^{t}x_{j}∥^{p}) ≤ M^{p}∥T^{t}∥^{p} (∑_{j=0}^{n} c_{j}^{p}∥x_{j}∥^{p}) .

Da dies für alle Zerlegungen von [x, t] gilt, können wir nun folgern, dass

|[x, t]| ≥ \frac{1}{2^{(p−1)/p}M∥T^{t}∥}∥x∥.

Damit ist gezeigt, dass | · | eine Norm auf X_{1} definiert. Die Abbildung π : X ↪ X_{1}, x ↦ [x, 0] definiert eine topologische Einbettung von X nach X_{1}. Offensichtlich gilt

|π(x)| ≤ ∥x∥.

Der vorhergehende Abschnitt zeigt zudem, dass für alle x ∈ X gilt

|π(x)| = |[x, 0]| ≥ \frac{1}{2^{(p−1)/p}M} ∥x∥.

Wir definieren eine lineare Abbildung durch

S : X_{1} → X_{1}, S[x, t] = [x, t − 1].

Die Abbildung S ist wohldefiniert, denn seien (x, t), (y, s) ∈ X_{0} äquivalent, dann gibt es ein m ∈ ℕ so, dass t + m, s + m ∈ ℕ_{0} und T^{s+m}x = T^{t+m}y. Setze n = m + 1. Dann gilt s − 1 + n, t − 1 + n ∈ ℕ_{0} sowie

T^{s−1+n}x = T^{s+m}x = T^{t+m}y = T^{t−1+n}y.

Daraus folgt die Äquivalenz von (x, t − 1) und (y, s − 1). Seien [x, t], [y, s] ∈ X_{1} mit t, s ∈ ℕ_{0}. Dann gilt

S([x, t] + [y, s]) = S[T^{s}x + T^{t}y, t + s] = [T^{s}x + T^{t}y, t + s − 1]
= [T^{s+1}x + T^{t+1}y, t + s] = [T x, t] + [T y + s]
= [x, t − 1] + [y, s − 1] = S[x, t] + S[y, s].

Somit ist S linear. Offensichtlich ist S invertierbar mit

S^{−1}[x, t] = [x, t + 1]

für alle [x, t] ∈ X_{1}. Ebenso gilt nach Gleichung (8), dass Sπx = [x, −1] = [T x, 0] = πT x für alle x ∈ X und somit gilt Sπ = πT. Nach Gleichung (8) gilt

[T^{j}x, t] = [x, t − j] = S^{j}[x, t]
= S^{j} ∑_{k=0}^{n}[x_{k}, k] = ∑_{k=0}^{n} S^{j}[x_{k}, k]

= ∑_{k=0}^{n}[T^{j}x_{k}, k]

für jede Darstellung [x, t] = ∑_{k=0}^{n}[x_{k}, k] eines Elementes [x, t] ∈ X_{1} und jedes j ∈ ℕ_{0}.

Somit erhalten wir

|S^{j}[x, t]|^{p} = |[T^{j}x, t]|^{p}
≤ inf {∑_{k=0}^{n} c_{k}^{p}∥T^{j}x_{k}∥^{p} : n ∈ ℕ_{0}, [x, t] = ∑_{k=0}^{n}[x_{k}, k]}

≤ ∥T^{j}∥^{p} inf {∑_{k=0}^{n} c_{k}^{p}∥x_{k}∥^{p} : n ∈ ℕ_{0}, [x, t] = ∑_{k=0}^{n}[x_{k}, k]}
= ∥T^{j}∥^{p}|[x, t]|^{p}.

Also gilt ∥S^{j}∥ ≤ ∥T^{j}∥.

Desweiteren sei [x, t] ∈ X_{1} mit der Zerlegung [x, t] = ∑_{j=0}^{n}[x_{j}, j]. Dann gilt für jedes

s ∈ ℕ_{0}

[x, t + s] = S^{−s}[x, t] = ∑_{j=0}^{n}[x_{j}, j + s].

Folglich gilt dann auch

|[x, t + s]|^{p} ≤ ∑_{j=0}^{n} c_{j+s}^{p}∥x_{j}∥^{p}.

Da die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} submultiplikativ ist, gilt nun

|S^{−s}[x, t]|^{p} ≤ c_{s}^{p} (∑_{j=0}^{n} c_{j}^{p}∥x_{j}∥^{p}) .

Bilden wir das Infimum über alle Zerlegungen von [x, t], so erhalten wir ∥S^{−s}∥ ≤ c_{s} für alle s ∈ ℕ. Für n ∈ ℕ und x_{1}, …, x_{n} ∈ X folgt

∑_{j=1}^{n} S^{−j}π(x_{j}) = ∑_{j=1}^{n} S^{−j}[x_{j}, 0] = ∑_{j=1}^{n}[x_{j}, j]

und somit

|∑_{j=1}^{n} S^{−j}π(x_{j})|^{p} ≤ ∑_{j=1}^{n} c_{j}^{p}∥x_{j}∥^{p}.

Wir bezeichnen die Vervollständigung von X_{1} als Y. Damit ist Y ein Banachraum bezüglich der Norm | · |. Den Operator S erweitern wir zu einem stetig linearen Operator auf Y, welchen wir ebenfalls mit S bezeichnen. Die oben für S bewiesenen Eigenschaften übertragen sich offensichtlich auf die eindeutige stetig lineare Fortsetzung von S.

Wir zeigen, dass Y ein SQ_{p}(X)-Raum ist. Sei hierzu

A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n}

eine n × n-Matrix mit komplexen Einträgen und ∥A∥_{p,X} = 1. Desweiteren seien [x_{j}, t_{j}] ∈ X_{1} für j = 1, …, n mit den Zerlegungen

[x_{j}, t_{j}] = ∑_{ν=0}^{n(j)} [w_{ν}^{(j)}, ν] .

Wir definieren m = max{n(j)} : j = 1, …, n} und setzen w_{ν}^{(j)} = 0 für alle ν > n(j) und für alle j = 1, …, n. Es gilt

∑_{i=1}^{n} |∑_{j=1}^{n}[a_{ij}x_{j}, t_{j}]|^{p} = ∑_{i=1}^{n} |∑_{j=1}^{n} ∑_{ν=0}^{m}[a_{ij}w_{ν}^{(j)}, ν]|^{p} = ∑_{i=1}^{n} |∑_{ν=0}^{m} [∑_{j=0}^{n} a_{ij}w_{ν}^{(j)}, ν]|^{p}

≤ ∑_{i=1}^{n} ∑_{ν=0}^{m} c_{ν}^{p} ∥∑_{j=1}^{n} a_{ij}w_{ν}^{(j)}∥^{p} = ∑_{ν=0}^{m} c_{ν}^{p} ∑_{i=1}^{n} ∥∑_{j=1}^{n} a_{ij}w_{ν}^{(j)}∥^{p}

≤ ∑_{ν=0}^{m} c_{ν}^{p} ∑_{j=1}^{n} ∥w_{ν}^{(j)}∥^{p}

= ∑_{j=1}^{n} ∑_{ν=0}^{m} c_{ν}^{p}∥w_{ν}^{(j)}∥^{p}.

Bilden wir nun das Infimum über alle möglichen Zerlegungen von [x_{j}, t_{j}] mit j = 1, …, n, so erhalten wir

∑_{i=1}^{n} |∑_{j=1}^{n}[a_{ij}x_{j}, t_{j}]|^{p} ≤ ∑_{j=1}^{n} |[x_{j}, t_{j}]^{p}.

Da X_{1} dicht in Y liegt, folgt aus obiger Abschätzung, dass

∑_{i=1}^{n} |∑_{j=1}^{n} a_{ij}ξ_{j}|^{p} ≤ ∑_{j=1}^{n} ∥ξ_{j}∥^{p}

für alle ξ_{1}, …, ξ_{n} ∈ Y und somit auch ∥A∥_{p,Y} ≤ 1. Daher ist nach Bemerkung 4.10 Y ein SQ_{p}(X)-Raum.

Um den Beweis zu beenden, zeigen wir, dass σ(S) ⊂ σ(T). Sei hierzu λ ∉ σ(T). Wir definieren

L : X_{1} → X_{1}, L[x, t] = [(T − λ)^{−1}x, t].

Dann ist L wohldefiniert, denn für (x, t) ∼ (y, s) gibt es ein m ∈ ℕ_{0} mit

T^{t+m}y = T^{s+m}x.

Dann gilt aber auch, da (T − λ)^{−1} und T kommutieren, dass

T^{s+m}(T − λ)^{−1}x = (T − λ)^{−1}T^{s+m}x = (T − λ)^{−1}T^{t+m}y = T^{t+m}(T − λ)^{−1}y.

Daher gilt ((T − λ)^{−1}x, t) ∼ ((T − λ)^{−1}y, s). Für [x, t] ∈ X_{1} mit t ≥ 1 gilt

(S − λ)[x, t] = [x, t − 1] − [λx, t] = [T^{t}x − T^{t−1}λx, t + t − 1]
= [T^{t−1}(T − λ)x, t + t − 1]
= [(T − λ)x, t].

Daraus folgt

L(S − λ)[x, t] = L[(T − λ)x, t] = [x, t] = (S − λ)[(T − λ)^{−1}x, t] = (S − λ)L[x, t]

und somit

L(S − λ) = 1_{B(X_{1})} = (S − λ)L.

Insbesondere ist L linear. Offensichtlich ist L auch stetig, denn hat [x, t] eine Zerlegung

[x, t] = ∑_{j=0}^{n}[x_{k}, k],

so ist [(T − λ)^{−1}x, t] = ∑_{j=0}^{n}[(T − λ)^{−1}x_{k}, k]. Daraus folgt

|L[x, t]|^{p} ≤ ∑_{j=0}^{n} ∥(T − λ)^{−1}∥^{p}∥x_{k}∥^{p}c_{k}^{p} = ∥(T − λ)^{−1}∥^{p} ∑_{j=0}^{n} ∥x_{k}∥^{p}c_{k}^{p},

also ∥L∥ ≤ ∥(T − λ)^{−1}∥. Die Abbildung L hat also eine stetig lineare Fortsetzung auf Y, die wir ebenfalls mit L bezeichnen. Da X_{1} ⊂ Y dicht ist, gilt die Identität L(S − λ)ξ = ξ = (S − λ)Lξ für alle ξ ∈ Y. Also ist λ ∉ σ(S). Damit ist auch die Eigenschaft (iii) bewiesen.

Unser nächstes Ziel ist es, dass in Teil b) von Satz 4.13 formuliert Kriterium für die Existenz geeigneter invertierbarer Fortsetzungen in eine Form zu bringen, die für unsere Anwendungen nützlicher ist.

Definition 4.14. Sei T ∈ B(X) ein Operator und p ≥ 1. Sei (c_{j})_{j∈ℕ} eine submultiplikative Folge in (0, ∞).

(a) Die Folge (c_{j})_{j} erfüllt die Bedingung (∗)_{p} bezüglich T definitionsgemäß, wenn es eine Folge (k_{j})_{j∈ℕ_{0}} in ℕ_{0} mit 0 = k_{0} < k_{1} < ... gibt, so dass

c_{j} ≥ \frac{2^{\frac{(n+1)(p−1)}{p}} (k_{n+1} − k_{n})^{\frac{(p−1)}{p}}}{m(T^{k_{1}})m(T^{k_{2}−k_{1}}) … m(T^{k_{n+1}−k_{n}})}∥T^{k_{n+1}−j}∥

für alle n ∈ ℕ_{0} und k_{n} < j ≤ k_{n+1}.

(b) Die Folge (c_{j})_{j} erfüllt die Bedingung (∗)_{∞} bezüglich T, wenn es eine Folge (k_{j})_{j∈ℕ_{0}} in ℕ_{0} mit 0 = k_{0} < k_{1} < ... gibt, so dass

c_{j} ≥ \frac{2^{n+1}(k_{n+1} − k_{n})}{m(T^{k_{1}})m(T^{k_{2}−k_{1}}) … m(T^{k_{n+1}−k_{n}})}∥T^{k_{n+1}−j}∥

für alle n ∈ ℕ_{0} und k_{n} < j ≤ k_{n+1}.

Bemerkung 4.15. Sei T ∈ B(X) und (c_{j})_{j∈ℕ} ein submultiplikative Folge in (0, ∞).

(a) Die Bedingung (∗)_{1} entspricht der Bedingung (∗) aus Definition 4.5 mit A = B(X).

(b) Erfüllt die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} die Bedingung (∗)_{p} für T mit p ∈ [1, ∞], so erfüllt sie die Bedingung (∗)_{q} für T für 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞. Insbesondere erfüllt (c_{j})_{j∈ℕ} die Bedingung (∗).

Beweis zu (b). Die Funktion

p ↦ \frac{p − 1}{p}

ist stetig differenzierbar für alle p ≥ 1 und ist wegen

\frac{d}{dp} (\frac{p − 1}{p}) = \frac{1}{p^{2}} > 0

für alle p ≥ 1 monoton wachsend. Außerdem gilt lim_{p→∞} \frac{p−1}{p} = 1. Also folgt für

1 ≤ q ≤ p < ∞,

dass

0 ≤ \frac{q − 1}{q} ≤ \frac{p − 1}{p} ≤ 1.

Die folgende Beobachtung wird es uns erlauben, Satz 4.13 zur Konstruktion E(𝕋)-skalarer Fortsetzungen zu benutzen.

Lemma 4.16. Sei 1 ≤ p < ∞ und (c_{j})_{j∈ℕ} eine submultiplikative Folge positiver Zahlen, die die Bedingung (∗)_{p} für T ∈ B(X) erfüllt. Dann gilt

∥x∥^{p} ≤ (c_{n}^{p}∥x_{0}∥^{p} + c_{n−1}^{p}∥x_{1}∥^{p} + … + c_{1}^{p}∥x_{n−1}∥^{p}),

falls

T^{n}x = x_{0} + T x_{1} + … T^{n−1}x_{n−1}.

Beweis. Sei die Folge (k_{n})_{n∈ℕ_{0}} wie in Definiton 4.14 gewählt und sei k_{n} < m ≤ k_{n+1}. Es genügt zu zeigen, dass die Aussage für Zerlegungen der Form

T^{k_{n+1}}x = x_{0} + T x_{1} + … T^{k_{n+1}−1}x_{k_{n+1}−1}

gilt. Denn sei

T^{m}y = y_{0} + T y_{1} + … T^{m−1}y_{m−1},

so erhalten wir

T^{k_{n+1}}y = 0 + … 0 + T^{k_{n+1}−m}y_{0} + T^{k_{n+1}−m+1}y_{1} + … T^{k_{n+1}−1}y_{m−1}.

Sei also

T^{k_{n+1}}x = x_{0} + T x_{1} + … T^{k_{n+1}−1}x_{k_{n+1}−1}.

Durch Anwendung von Folgerung 4.12 und Bemerkung 1.9 erhalten wir

∥x_{0}∥^{p} = ∥T^{k_{n+1}}x − ∑_{j=1}^{k_{n+1}−1}T^{k_{n+1}−j}x_{k_{n+1}−j}∥^{p}

= ∥T^{k_{n+1}−k_{n}} (T^{k_{n}}x − ∑_{j=1}^{k_{n}} T^{k_{n}−j}x_{k_{n+1}−j}) − ∑_{j=k_{n}+1}^{k_{n+1}−1}T^{k_{n+1}−j}x_{k_{n+1}−j}∥^{p}

≥ \frac{1}{2^{p−1}} m(T^{k_{n+1}−k_{n}})^{p} ∥T^{k_{n}}x − ∑_{j=1}^{k_{n}} T^{k_{n}−j}x_{k_{n+1}−j}∥^{p}− ∥ ∑_{j=k_{n}+1}^{k_{n+1}−1}T^{k_{n+1}−j}x_{k_{n+1}−j}∥^{p}.

Wenden wir Lemma 4.11 auf den hinteren Summanden an und bringen ihn auf die andere Seite der Ungleichung, so erhalten wir

∥x_{0}∥^{p} + (k_{n+1} − k_{n} − 1)^{p−1} ∑_{j=k_{n}+1}^{k_{n+1}−1} ∥T^{k_{n+1}−j}∥^{p}∥x_{k_{n+1}−j}∥^{p}

≥ \frac{1}{2^{p−1}} m(T^{k_{n+1}−k_{n}})^{p} ∥T^{k_{n}}x − ∑_{j=1}^{k_{n}} T^{k_{n}−j}x_{k_{n+1}−j}∥^{p} .

Wie oben können wir

∥T^{k_{n}}x − ∑_{j=1}^{k_{n}} T^{k_{n}−j}x_{k_{n+1}−j}∥^{p}

nach unten abschätzen. Durch endliches Iterieren diesen Schrittes erhalten wir die Ungleichung

∥x_{0}∥^{p} + (k_{n+1} − k_{n} − 1)^{p−1} ∑_{j=k_{n}+1}^{k_{n+1}−1} ∥T^{k_{n+1}−j}∥^{p}∥x_{k_{n+1}−j}∥^{p}

+ ∑_{ν=1}^{n} [(\frac{1}{2^{p−1}} )^{ν} m(T^{k_{n+1}−k_{n}})^{p} … m(T^{k_{n−ν+2}−k_{n−ν+1}})^{p}(k_{n−ν+1} − k_{n−ν})^{p−1}

· ∑_{j=k_{n−ν}+1}^{k_{n−ν+1}} ∥T^{k_{n−ν+1}−j}∥^{p}∥x_{k_{n+1}−j}∥^{p}]

≥ (\frac{1}{2^{p−1}} )^{n+1} m(T^{k_{n+1}−k_{n}})^{p} … m(T^{k_{2}−k_{1}})^{p}m(T^{k_{1}})^{p}∥x∥^{p}.

Da (c_{j})_{j} nach Voraussetzung die Bedingung (∗)_{p} für T erfüllt, folgt

∥x∥^{p} ≤ ∑_{ν=0}^{n} \frac{(2^{p−1})^{n+1−ν}(k_{n−ν+1} − k_{n−ν})^{p−1}}{m(T^{k_{n−ν+1}−k_{n−ν}})^{p} … m(T^{k_{1}})^{p}} ∑_{j=k_{n−ν}+1}^{k_{n−ν+1}} ∥T^{k_{n−ν+1}−j}∥^{p}∥x_{k_{n+1}−j}∥^{p}

≤ ∑_{ν=0}^{n} ∑_{j=k_{n−ν}+1}^{k_{n−ν+1}} c_{j}^{p}∥x_{k_{n+1}−j}∥^{p} = ∑_{j=1}^{k_{n+1}} c_{j}^{p}∥x_{k_{n+1}−j}∥^{p},

und dies zeigt unsere Behauptung.

5 Subskalare Operatoren und die Bedingung (P)

Die Resultate in Abschnitt 4.1 ermöglichen uns, eine Erweiterung S eines Operators T ∈ B(X) auf einem SQ_{p}(X)-Raum zu finden, für die wir die Norm aller ganzzahligen Potenzen von S kontollieren können. Durch Konstruktion einer entsprechenden Folge (c_{j})_{j∈ℕ_{0}} erzielen wir unser gewünschtes Resultat.

Folgerung 5.1. i) Sei p ≥ 1, T ∈ B(X) und sei (c_{j})_{j∈ℕ} eine submultiplikative Folge positiver Zahlen, die die Bedingung (∗)_{p} für T erfüllt. Dann gibt es einen SQ_{p}(X)- Raum (Y, | · |), eine topologische Einbettung π : X ↪ Y mit

\frac{∥x∥}{2^{(p−1)/p}} ≤ |π(x)| ≤ ∥x∥

für alle x ∈ X und einen invertierbaren Operator S ∈ B(Y) so, dass Sπ = πT, ∥S^{j}∥ ≤ ∥T^{j}∥, ∥S^{−j}∥ ≤ c_{j} für alle j ∈ ℕ und σ(S) ⊂ σ(T). Wir können zusätzlich erreichen, dass

|∑_{j=1}^{n} S^{−j}π(y_{j})| ≤ (∑_{j=1}^{n} c_{j}^{p}∥y_{j}∥^{p})^{\frac{1}{p}}

für je endlich viele Vektoren y_{1}, … y_{n} ∈ X gilt.

ii) Sei T ∈ B(H) und sei (c_{j})_{j∈ℕ} eine submultiplikative Folge positiver Zahlen, die die Bedingung (∗)_{2} für T erfüllt. Dann gibt es einen SQ_{2}(H)-Raum (K, | · |), welcher nach Bemerkung 4.10 ein Hilbertraum ist, eine topologischen Einbettung π : H ↪ K mit

\frac{∥x∥}{\sqrt{2}} ≤ |π(x)| ≤ ∥x∥

für alle x ∈ H und einen invertierbaren Operator S ∈ B(K) so, dass Sπ = πT, ∥S^{j}∥ ≤ ∥T^{j}∥, ∥S^{−j}∥ ≤ c_{j} für j ∈ ℕ und σ(S) ⊂ σ(T). Ebenfalls können wir hier erreichen, dass

|∑_{j=1}^{n} S^{−j}π(y_{j})| ≤ (∑_{j=1}^{n} c_{j}^{2}∥y_{j}∥^{2})^{\frac{1}{2}}

für je endlich viele Vektoren y_{1}, … y_{n} ∈ X gilt.

Beweis. i) Nach Lemma 4.16 impliziert

T^{n}x = x_{0} + T x_{1} + … T^{n−1}x_{n−1}

immer, dass

∥x∥^{p} ≤ (c_{n}^{p}∥x_{0}∥^{p} + c_{n−1}^{p}∥x_{1}∥^{p} + … + c_{1}^{p}∥x_{n−1}∥^{p}).

Für M = 1 haben wir also alle Voraussetzungen aus Satz 4.13 (b). Somit folgt die Behauptung.

ii) Analog obigem Teil mit p = 2 folgt die Behauptung.

Bemerkung 5.2. In Folgerung 5.1 ii) können wir erreichen, dass die topologische Einbettung π : H ↪ K isometrisch wird.

Beweis. Sei ∥ · ∥ die Hilbertraumnorm auf H und | · | die Hilbertraumnorm auf K wie in der Folgerung 5.1 ii). Sei P die Orthogonalprojektion auf π(H). Wir definieren uns eine weitere Norm auf K durch

|||u||| = (∥π^{−1}P u∥^{2} + |(I − P)u|^{2})^{\frac{1}{2}}

für alle u ∈ K. Dann gilt für alle u ∈ K

|u| = |P u + (I − P)u| = |ππ^{−1}P u + (I − P)u|
≤ |ππ^{−1}P u| + |(I − P)u| ≤ ∥π^{−1}P u∥ + |(I − P)u| ≤ \sqrt{2}|||u|||.

Weiter gilt

|||u||| = (∥π^{−1}P u∥^{2} + |(I − P)u|^{2})^{\frac{1}{2}}
≤ (∥π^{−1}P u∥^{2} + |u|^{2})^{\frac{1}{2}}
≤ (∥π^{−1}P ∥^{2}|u|^{2} + |u|^{2})^{\frac{1}{2}} = (∥π^{−1}P ∥^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} |u|.

Somit sind | · | und ||| · ||| äquivalente Hilbertraumnormen auf K ⊃ H und der Operator S ∈ B((K, ||| · |||)) ist eine E(𝕋)-skalare Erweiterung von T. Insbesondere gilt

|||π(x)||| = ∥x∥

für alle x ∈ H. Also ist π : (H, ∥ · ∥) ↪ (K, ||| · |||) eine Isometrie.

Mit dieser Vorarbeit lässt sich nun folgendes Korollar beweisen:

Korollar 5.3. Ein Operator T ∈ B(X) ist genau dann E(𝕋)-subskalar, wenn es Konstanten C > 0 und p, q ≥ 0 gibt so, dass T die polynomielle Wachstumsbedingung (P) aus Folgerung 3.1 erfüllt.

Beweis. Die Notwendigkeit der Bedingung (P) für die A(𝕋)-Subskalarität wurde bereits in der Folgerung 3.1 (a) gezeigt.. Für die umgekehrte Richtung sei nun T ∈ B(X) so, dass es ein C > 0, s ≥ 0 gibt mit

ν_{n}(T) = max{∥T^{n}∥, m(T^{n})^{−1}} ≤ Cn^{s}

für alle n ∈ ℕ. Sei ε > 0. Dann ist lim_{n→∞} \frac{ν_{n}(T)}{n^{s+ε/6}} = 0. Wähle k_{1} ≥ e^{4} so, dass

ν_{n}(T) ≤ n^{s+ε/6}  (9)

für alle n ≥ k_{1}. Sei M = max{2k_{1}∥T^{j}∥ · m(T^{k_{1}})^{−1} : 0 ≤ j ≤ k_{1}}. Für alle x ∈ X ist

∥T^{k_{1}}∥∥x∥ ≥ ∥T^{k_{1}}x∥ ≥ m(T^{k_{1}})∥x∥

und somit

M ≥ ∥T^{k_{1}}∥ · m(T^{k_{1}})^{−1} ≥ 1.

Setzen wir α = 6s + ε + 3 und c_{j} = M(j + 1)^{α} für j ≥ 1 dann gilt für i, j ∈ ℕ, dass

c_{j+i} = M(j + i + 1)^{α} ≤^{α≥0} M(j + 1)^{α}(i + 1)^{α} ≤^{M≥1} M(j + 1)^{α}M(i + 1)^{α} = c_{j}c_{i}.

Die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} ist also submultiplikativ. Setze k_{n} = k_{1}^{2^{n−1}} für n ∈ ℕ. Für 0 < j ≤ k_{1} gilt

2k_{1}m(T^{k_{1}})^{−1} · ∥T^{k_{1}−j}∥ ≤ M ≤ c_{j}.  (10)

Sei nun n ∈ ℕ und k_{n} < j ≤ k_{n+1}. Wir definieren

d_{j} = 2^{n+1}(k_{n+1} − k_{n})m(T^{k_{1}})^{−1}m(T^{k_{2}−k_{1}})^{−1} … m(T^{k_{n+1}−k_{n}})^{−1}∥T^{k_{n+1}−j}∥

i) Für k_{n+1} − j ≥ k_{1} folgt, da p ↦ p^{s+ε/6} monoton wachsend auf [0, ∞) ist, mit (9)

∥T^{k_{n+1}−j}∥ ≤ (k_{n+1} − j)^{s+ε/6} ≤ M(k_{n+1})^{s+ε/6}.

Somit gilt wegen (9)

d_{j} ≤ 2^{n}k_{n+1}(k_{1}k_{2} … k_{n+1})^{s+ε/6}M(k_{n+1})^{s+ε/6}
= M2^{n+1}k_{n+1}(k_{1}k_{2} … k_{n+1}k_{n+1})^{s+ε/6}.

ii) Falls k_{n+1} − j < k_{1}, so gibt es ein i ∈ ℕ mit 0 < i ≤ k_{1} so, dass k_{n+1} − j = k_{1} − i. Nach (10) folgt nun

∥T^{k_{n+1}−j}∥ ≤ \frac{M}{2k_{1}m(T^{k_{1}})^{−1}} .

Ebenfalls wegen (9) ist

d_{j} ≤ 2^{n}k_{n+1}(k_{2} … k_{n+1})^{s+ε/6}M \frac{1}{k_{1}}
≤ M2^{n+1}k_{n+1}(k_{1}k_{2} … k_{n+1})^{s+ε/6}
≤ M2^{n+1}k_{n+1}(k_{1}k_{2} … k_{n+1}k_{n+1})^{s+ε/6}.

Insgesamt folgt also für alle k_{n} < j ≤ k_{n+1}, dass

d_{j} ≤ M2^{n+1}k_{n+1}(k_{1}k_{2} … k_{n+1}k_{n+1})^{s+ε/6}.

Offensichtlich gilt 2^{n−1} log k_{1} < log j und es folgt

2^{n+1}k_{n+1}(k_{1}k_{2} … k_{n+1}k_{n+1})^{s+ε/6} ≤ (\frac{2^{2}}{log k_{1}} log j) k_{1}^{2^{n}}(k_{1}k_{2} … k_{1}^{2^{n}}k_{1}^{2^{n}})^{s+ε/6}.

Wegen k_{1} ≥ e^{4} ist log k_{1} ≥ 4. Ebenfalls ist

k_{1}k_{2} … k_{n} = k_{1}^{∑_{j=1}^{n} 2^{j−1}} ≤ k_{1}^{2^{n}}

und somit folgt

(\frac{2^{2}}{log k_{1}} log j) k_{1}^{2^{n}}(k_{1}k_{2} … k_{1}^{2^{n}}k_{1}^{2^{n}})^{s+ε/6} ≤ (log j)(k_{1}^{2^{n−1}})^{2}(k_{1}^{3·2^{n}})^{s+ε/6}
≤ j(k_{1}^{2^{n−1}})^{2+6s+ε} ≤ j^{6s+ε+3} ≤ \frac{c_{j}}{M} .

Zusammengefasst erhalten wir

\frac{2^{n+1}(k_{n+1} − k_{n})}{m(T^{k_{1}})m(T^{k_{2}−k_{1}}) … m(T^{k_{n+1}−k_{n}})}∥T^{k_{n+1}−j}∥ ≤ c_{j}

für alle k_{n} < j ≤ k_{n+1}. Die Folge (c_{j})_{j∈ℕ} erfüllt also die Bedingung (∗)_{∞} bezüglich T und somit nach Bemerkung 4.15 auch für jedes beliebige p ≥ 1 die Bedingung (∗)_{p}. Nach der Folgerung 5.1 existiert nun zu T ∈ B(X) ein invertierbarer Operator S auf einem SQ_{p}(X)-Raum Y mit

∥S^{j}∥ ≤ ∥T^{j}∥ ≤ Cj^{s}

und

∥S^{−j}∥ ≤ c_{j} = M(j + 1)^{6s+ε+3}

für alle j ∈ ℕ. Nach Satz 2.6 ist S ∈ B(Y) ein E(𝕋)-skalarer Operator. Desweiteren existiert nach Folgerung 5.1 eine topologische Einbettung π : X ↪ Y mit Sπ = πT. Somit ist T ein E(𝕋)-subskalarer Operator.

Bemerkung 5.4. Wir können erreichen, dass die topologische Einbettung π : X ↪ Y isometrisch wird, indem wir p = 1 wählen.

Bemerkung 5.5. Sei H ein Hilbertraum und T ∈ B(H) ein E(𝕋)-subskalarer Operator. Die Konstruktion im Beweis zu Korollar 5.3 zeigt, dass ein E(𝕋)-skalarer Operator S ∈ B(K) auf einem Hilbertraum K und eine topologische Einbettung π : H ↪ K existieren, so dass Sπ = πT ist. Beachte dazu, dass nach Bemerkung 4.10 jeder SQ_{2}(H)-Raum ein Hilbertraum ist. Nach Bemerkung 5.2 kann man π in diesem Fall als Isometrie wählen.

Es stellt sich nun die Frage, ob auch die Umkehrung der Folgerung 3.1 (b) gilt. Eine Antwort darauf liefert der nächste Abschnitt.

6 Subskalare Operatoren und die Bedingung (R)

In Folgerung 3.1 haben wir gesehen, dass zu jedem E(𝕋)-subskalaren Operator Konstanten C > 0 und p, q ≥ 0 existieren so, dass die Abschätzungen

und  \begin{matrix}∥R(z, T)∥ ≤ C(|z| − 1)^{t} & für & 1 < |z| < 2 \\ m(z − T)^{−1} ≤ C(1 − |z|)^{−s} & für & |z| < 1 \end{matrix} \}  (R)

gelten. In diesem Abschnitt wollen wir jedoch zeigen, dass Eigenschaft (R) nicht hinreichend ist für die E(𝕋)-Subskalarität von T ist. Doch auch hier führen wir zunächst noch ein paar Bezeichnungen ein.

Definition 6.1. a) Ein Operator T ∈ B(X) heißt zerlegbar, wenn für alle offenen Überdeckungen ℂ = U ∪ V abgeschlossene Unterräume Z, Y ⊂ X existieren mit:

(i) T Y ⊂ Y, T Z ⊂ Z

(ii) X = Y + Z

(iii) σ(T |_{Y}) ⊂ U, σ(T |_{Z}) ⊂ V b) Ein Operator T ∈ B(X) hat Bishops Eigenschaft (β), wenn für alle offenen Mengen

U ⊂ ℂ der Operator T_{U} : O(U, X) → O(U, X), T_{U}(f)(z) = (T − z)f(z) injektiv mit abgeschlossenem Bild ist.

c) Ein Operator T ∈ B(X) erfüllt die Beurlingsche Bedingung (B) falls

∑_{n=1}^{∞} \frac{log max \{∥T^{n}∥, m(T^{n})^{−1}\}}{n^{2}} < ∞.

Bemerkung 6.2. (a) In [AE97] wird gezeigt: Ein Operator T ∈ B(X) hat genau dann Bishops Eigenschaft (β), wenn er subzerlegbar ist , d.h. ähnlich zur Einschränkung eines zerlegbaren Operators.

(b) In [CF68] wird gezeigt: Ist T ∈ B(X) invertierbar mit

∑_{n=−∞}^{∞} \frac{log ∥T^{n}∥}{1 + n^{2}} < ∞,

so ist S zerlegbar.

(c) Aus [BM05], Theorem 4.5, zusammen mit (a) und (b), folgt, dass Operatoren, die die Beurlingsche Bedingung (B) erfüllen, die Eigenschaft (β) besitzen.

Für den Minimalmodul ergeben sich noch folgende nützliche Abschätzungen.

Lemma 6.3. Sei T ∈ B(X) ein stetiger Operator auf einem Banachraum X und sei z ∈ ℂ\σ_{ap}(T). Dann existiert ein y ∈ X mit ∥y∥ = 1 so, dass

∥(T − z)y∥ < 2m(T − z).

Beweis. Es gilt m(T − z) > 0 und es folgt

2m(T − z) > m(T − z) = inf{∥(T − z)x∥ : ∥x∥ = 1}.

Nach Definition des Infimums existiert nun ein y ∈ X mit ∥y∥ = 1 so, dass

∥(T − z)y∥ < 2m(T − z).

Lemma 6.4. Sei T ∈ B(X) ein stetiger Operator auf einem Banachraum X. Dann gilt für jede kompakte Menge K ⊂ ℂ\σ_{ap}(T)

inf_{z∈K} m(T − z) > 0.

Beweis. Angenommen inf_{z∈K} m(T − z) = 0. Dann gibt es eine Folge (z_{n})_{n∈ℕ} in K mit

lim_{n→∞} m(T − z_{n}) = 0.

Da K kompakt ist, kann man durch Übergang zu einer Teilfolge erreichen, dass (z_{n})_{n∈ℕ} gegen einen Punkt z ∈ K konvergiert. Nach Lemma 6.3 existiert eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in X mit ∥x_{n}∥ = 1 und

∥(T − z_{n})x_{n}∥ < 2m(T − z_{n})

für alle n ∈ ℕ. Daraus folgt

∥(T − z)x_{n}∥ ≤ ∥(T − z_{n})x_{n}∥ + ∥(z_{n} − z)x_{n}∥ < 2m(T − z_{n}) + ∥z_{n} − z∥ →^{n} 0.

Da ∥x_{n}∥ = 1 für alle n ∈ ℕ ist, folgt nun, dass entweder T − z nicht injektiv ist, oder kein abgeschlossenes Bild hat. Dies ist ein Widerspruch zu z ∈ K. Im folgenden Beispiel konstruieren wir einen Operator, der die Bedingung (R) erfüllt, jedoch nicht E(𝕋)-subskalar ist. Beispiel 6.5. Sei X = c_{0} der Banachraum aller komplexen Nullfolgen versehen mit der Supremumsnorm

∥(x_{n})_{n∈ℕ}∥ = sup_{n∈ℕ}|x_{n}|.

Es existiert ein T ∈ B(X) so, dass

(i) ∥T ∥ = 1, σ_{ap}(T) = 𝕋, σ(T) = \overline{𝔻}, (ii) ∥(T − z)^{−1}∥ ≤ (|z| − 1)^{−1} für 1 < |z| < 2, (iii) für eine geeignete Konstante C > 0 gilt m(T − z)^{−1} ≤ C(1 − |z|)^{−3} für |z| < 1, (iv) T nicht E(𝕋)-subskalar ist und

(v) T die Eigenschaft (β) hat. Insbesonderere ist die Eigenschaft (R) nicht hinreichend für die E(𝕋)-Subskalarität. Beweis. Sei e_{1}, e_{2}, … die Standardbasis von c_{0}. Für n ∈ ℕ definieren wir

w_{n} = e^{log^{2}(n+2)−log^{2}(n+3)}.

Sei T ∈ B(X) der gewichtete Shift mit T e_{n} = w_{n}e_{n+1} für n ∈ ℕ. Um zu zeigen, dass T die gewünschten Eigenschaften hat, gehen wir in verschiedenen Schritten vor. Behauptung 1: Die Folge (w_{n})_{n} ist monoton wachsend mit lim_{n→∞} w_{n} = 1.

Beweis. Offensichtlich gilt für alle n ∈ ℕ, dass 0 < w_{n} < 1. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert für alle n ∈ ℕ ein x = x(n) so dass n + 2 ≤ x ≤ n + 3 und

log^{2}(n + 2) − log^{2}(n + 3) = −2\frac{log x}{x}.  (11)

Die Funktion g(x) = −2\frac{log x}{x} ist wegen g′(x) = −2\frac{1−log x}{x^{2}} > 0 für x > e monoton wachsend. Also ist log^{2}(n + 2) − log^{2}(n + 3) monoton wachsend für n ∈ ℕ mit

lim_{n→∞}(log^{2}(n + 2) − log^{2}(n + 3)) = 0.

Behauptung 1 impliziert, dass

∥T ∥ = sup_{∥x∥=1} ∥T x∥ = sup_{∥x∥=1} ∥T ∑_{n=1}^{∞} x_{n}e_{n}∥

= sup_{∥x∥=1} ∥ ∑_{n=1}^{∞} x_{n}T e_{n}∥
= sup_{∥x∥=1} sup_{n∈ℕ}|x_{n}w_{n}| = 1.

Also folgt für 1 < |z| < 2, dass

∥(T − z)^{−1}∥ = ∥−\frac{1}{z} ∑_{n=0}^{∞} z^{−n}T^{n}∥ ≤ \frac{1}{|z| − 1}.

Dies zeigt (ii). Sei n ∈ ℕ beliebig. Dann gilt für alle k ∈ ℕ

T^{n}e_{k} = w_{k}w_{k+1} … w_{k+n−1}e_{k+n}.

Behauptung 2: Es gilt

m(T) = inf{|w_{n}| : n ∈ ℕ}.

Beweis. Offensichtlich gilt

m(T) = inf{∥T x∥ : ∥x∥ = 1} ≤ inf{∥T e_{n}∥ : n ∈ ℕ} = inf{∥w_{n}| : n ∈ ℕ}.

Für die andere Ungleichung seien x ∈ X mit ∥x∥ = 1 und ε > 0. Wir fixieren ein k ∈ ℕ so, dass |x_{k−1}| > 1 − ε. Dann gilt

∥T x∥ = sup_{n∈ℕ}|(T x)_{n}| = sup_{n∈ℕ}|w_{n}||x_{k−1}|
≥ |w_{k}||x_{k−1}| > |w_{k}|(1 − ε)
≥ inf{|w_{n}| : n ∈ ℕ}(1 − ε)

Dieser Term konvergiert für ε → 0 gegen inf{|w_{n}| : n ∈ ℕ} und es folgt, da x beliebig mit ∥x∥ = 1 war, die Aussage.

Sei n ∈ ℕ beliebig. Dann ist die Folge (w_{k})_{k∈ℕ} monoton wachsend und somit ist die Folge (w_{k}w_{k+1} … w_{k+n−1})_{k∈ℕ} ebenfalls monoton wachsend. Zusammen mit Behautpung 2 liefert dies

m(T^{n}) = inf_{k} w_{k} … w_{k+n−1} = w_{1} … w_{n}
= e^{log^{2} 3−log^{2} 4}e^{log^{2} 4−log^{2} 5} … e^{log^{2}(n+2)−log^{2}(n+3)}
= e^{∑_{j=3}^{n+2} log^{2}(j)−log^{2}(j+1)} = e^{log^{2} 3−log^{2}(n+3)}
= \frac{3^{log 3}}{(n + 3)^{log(n+3)}} .

Angenommen, es gäbe nun ein C > 0 und ein q ≥ 0 so, dass m(T^{n})^{−1} ≤ Cn^{q} für alle n ∈ ℕ. Dann müsste die Folge

a_{n} = \frac{m(T^{n})^{−1}}{n^{q}}

für alle n ∈ ℕ beschränkt sein. Allerdings gilt

\frac{n^{log n}}{n^{q}} = n^{−q+log n} →^{n} ∞.

Somit gilt auch

a_{n} = \frac{(\frac{3^{log 3}}{(n+3)^{log(n+3)}} )−1}{n^{q}} = \frac{(n + 3)^{log(n+3)}}{3^{log 3}n^{q}} → ∞,

was zu einem Widerspruch führt. Daher erfüllt T keine polynomielle Wachstumsbedingung (P) und ist deswegen nach Korollar 3.1 nicht E(𝕋)-subskalar. Wir haben also (iv) gezeigt.

Behautpung 3: Es gilt σ(T) = \overline{𝔻}

Beweis. Die Inklusion σ(T) ⊂ \overline{𝔻} ist klar wegen ∥T ∥ = 1. Für die andere Inklusion sei z ∈ 𝔻\{0}. Wir zeigen nun, dass (z − T) nicht surjektiv ist. Angenommen es existiere ein x = (x_{k})_{k∈ℕ} ∈ c_{0} so, dass e_{1} = (z − T)x. Dann gilt

e_{1} = (z − T)x = (zx_{k} − w_{k−1}x_{k−1})_{k∈ℕ},

wobei x_{0} = w_{0} = 0. Dies führt zu

x_{1} = \frac{1}{z}

und

x_{k} = \frac{w_{k−1}x_{k−1}}{z} (k ≥ 2).

Induktiv sieht man, dass

x_{k} = (∏_{j=1}^{k−1} w_{j}) z^{−k}.

Da |z| < 1 und w_{k} → 1 für k → ∞, existiert ein N ∈ ℕ so, dass w_{k} > |z| für k ≥ N.Also ist für k ≥ N die Ungleichung

|x_{k}| = \frac{1}{|z|} ∏_{j=1}^{k−1} \frac{w_{j}}{|z|}

< \frac{1}{|z|} ∏_{j=1}^{k} \frac{w_{j}}{|z|} = |x_{k+1}|.

Erfüllt. Die Folge (|x_{k}|)_{k} ist somit ab dem Index N monoton wachsend. Folglich kann x = (x_{k})_{k} keine Nullfolge gewesen sein. Somit ist 𝔻\{0} ⊂ σ(T). Da das Spektrum eines Operators kompakt ist, ist auch \overline{𝔻} ⊂ σ(T).

Es gilt, dass

(\frac{3^{log 3}}{(n + 3)^{log(n+3)}} )^{1/n} = (3^{log 3})^{1/n} exp (−\frac{log(n + 3)}{n} log(n + 3))
= (3^{log 3})^{1/n} exp (−\frac{log^{2}(n + 3)}{n}) .

Da

lim_{n→∞} −\frac{log^{2}(n + 3)}{n} = 0,

folgt

lim_{n→∞} m(T^{n})^{1/n} = lim_{n→∞} \underbrace{(3^{log 3})^{1/n}}_{→1} \underbrace{exp (−\frac{log^{2}(n + 3)}{n})}_{→1} = 1.

Deswegen gilt nach [MZ83], Theorem 3 in Section 4, dass

σ_{ap}(T) ⊂ ℂ\𝔻.

Zusammen mit der Aussage

∂σ(T) ⊂ σ_{ap}(T) ⊂ σ(T)

und Behauptung 3 folgt

σ_{ap}(T) = 𝕋

und wir erhalten (i). Da

∥T^{n}∥ ≤ 1,

folgt

∑_{n=1}^{∞} \frac{log(max\{∥T^{n}∥, m(T^{n})^{−1}\})}{n^{2}} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{log ((n + 3)^{log(n+3)}/3^{log 3})}{n^{2}}

= ∑_{n=1}^{∞} \frac{log^{2}(n + 3) − log^{2} 3}{n^{2}} < ∞.

Also erfüllt T die Beurlingsche Bedingung (B). Nach Bemerkung 6.2 besitzt T Bishops Eigenschaft (β). Also gilt (v).

Bleibt noch (iii) zu zeigen. Behauptung 4: lim_{n→∞} \frac{(1−w_{n})^{3}}{w_{n+1}−w_{n}} = 0.

Beweis. Sei n ∈ ℕ. Durch Anwenden des Mittelwertsatzes finden wir ein x = x(n) mit n + 2 ≤ x ≤ n + 3 so, dass gilt

w_{n+1} − w_{n} = e^{log^{2}(n+3)−log^{2}(n+4)} − e^{log^{2}(n+2)−log^{2}(n+3)}
= e^{log^{2} x−log^{2}(x+1)} (\frac{2 log x}{x} − \frac{2 log(x + 1)}{x + 1}) .

Wenden wir erneut den Mittelwertsatz an, so finden wir ein y = y(x) mit x ≤ y ≤ x + 1 so, dass

w_{n+1} − w_{n} = e^{log^{2} x−log^{2}(x+1)} (\frac{2 log x}{x} − \frac{2 log(x + 1)}{x + 1}) = −2e^{log^{2} x−log^{2}(x+1)} \frac{1 − log y}{y^{2}} .

Mit einem n + 2 ≤ x′ ≤ n + 3 wie in (11) folgt

lim_{n→∞} \frac{(1 − w_{n})^{3}}{w_{n+1} − w_{n}} = lim_{n→∞} \frac{(\frac{1−e^{log^{2}(n+2)−log^{2}(n+3)}}{log^{2}(n+2)−log^{2}(n+3)} )^{3} (log^{2}(n + 2) − log^{2}(n + 3))^{3}}{−2e^{log^{2} x−log^{2}(x+1)} \frac{1−log y}{y^{2}}}

= (−1)^{3} (−\frac{1}{2}) lim_{n→∞} \frac{(log^{2}(n + 2) − log^{2}(n + 3))^{3}}{\frac{1−log y}{y^{2}}}

= \frac{1}{2} lim_{n→∞} ^{\frac{(\frac{−2 log x′}{x′} )3}{\frac{1−log y}{y^{2}}}}

= −4 lim_{n→∞} \frac{y^{2}}{x^{′2}} · lim_{n→∞} \frac{log^{3} x′}{x′(1 − log y)} = 0.

Behauptung 5: Es gibt ein r ∈ (0, 1) so, dass m(T − z) ≥ (1 − |z|)^{3} für alle z ∈ 𝔻 mit |z| > r.

Beweis. Wähle ein n_{0} ∈ ℕ so, dass

\frac{(1 − w_{n})^{3}}{w_{n+1} − w_{n}} < \frac{1}{16}

für alle n ≥ n_{0}. Zu diesem n_{0} wählen wir ein r mit \frac{1}{2} ≤ r < 1, so dass

r − (1 − r)^{3} > w_{n_{0}}.

Angenommen es gäbe ein λ ∈ 𝔻 mit |λ| > r so, dass

m(T − λ) < (1 − |λ|)^{3}.

Dann gibt es ein x = (x_{n})_{n∈ℕ} ∈ X mit ∥x∥ = sup_{n} |x_{n}| = 1 und ∥(T − λ)x∥ < (1 − |λ|)^{3}. Da

(T − λ)x = (−λx_{1}, w_{1}x_{1} − λx_{2}, w_{2}x_{2} − λx_{3}, …),

erhalten wir

|λ||x_{1}| < (1 − |λ|)^{3} und sup_{n∈ℕ}|w_{n}x_{n} − λx_{n+1}| < (1 − |λ|)^{3}.  (12)

Wir zeigen nun, dass dies nicht möglich ist. Aus der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt

sup_{n} |w_{n}|x_{n}| − |λ||x_{n+1}|| ≤ sup_{n} |w_{n}x_{n} − λx_{n+1}| < (1 − |λ|)^{3}.

Indem wir λ durch |λ| und die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} durch die Folge (|x_{n}|)_{n∈ℕ} ersetzen, können wir annehmen, dass λ > 0 und alle x_{n} ≥ 0 sind. Wir schreiben a = (1 − λ)^{3}. Sei m ∈ ℕ mit x_{m} = 1 und x_{j} < 1 für alle j < m. Nach Konstruktion gilt x_{1} < \frac{(1−λ)^{3}}{λ} < 1. Also muss m ≥ 2 sein. Wre w_{m−1} < λ − a so müsste nach (12) die Ungleichung

a > |w_{m−1}x_{m−1} − λx_{m}| ≥ λx_{m} − w_{m−1}x_{m−1} ≥ λ − (λ − a)x_{m−1}
= (λ − a)(1 − x_{m−1}) + a ≥ a

gelten. Dies ist ein Widerspruch. Folglich gilt

w_{m−1} ≥ λ − a.  (13)

Nehmen wir nun an, dass w_{m} < λ + a. Dann ist

w_{m} − w_{m−1} ≤ 2a

und

1 − w_{m−1} ≥ 1 − w_{m} ≥ 1 − λ − a.

Da λ ≥ \frac{1}{2} und somit

(1 − λ) − (1 − λ)^{3} = (1 − λ)λ(2 − λ) ≥ \frac{1}{2}(1 − λ),

folgt nun

\frac{(1 − w_{m})^{3}}{w_{m} − w_{m−1}} ≥ \frac{(1 − λ − a)^{3}}{2a} = \frac{(1 − λ − (1 − λ)^{3})^{3}}{2(1 − λ)^{3}} ≥ \frac{1}{16}.

Also ist m − 1 < n_{0} und es gilt

λ − a = λ − (1 − λ)^{3} ≥ r − (1 − r)^{3} > w_{n_{0}} ≥ w_{m−1}.

Dies widerspricht jedoch (13). Somit ist

w_{m} ≥ λ + a.  (14)

Weil |w_{m}x_{m} − λx_{m+1}| < a und x_{m} = 1 ist, folgt nun λx_{m+1} > w_{m} − a und somit

x_{m+1} > \frac{w_{m} − a}{λ} ≥ 1,

was wiederum der Annahme ∥x∥ = 1 widerspricht. Somit gilt

m(T − z) ≥ (1 − |z|)^{3}

für alle z ∈ 𝔻 mit |z| > r. Wegen Lemma 6.4 ist C′ = inf{m(T − z) : |z| ≤ r} > 0. Daher gilt

m(T − z) ≥ C′ ≥ C′(1 − |z|)^{3}

für alle |z| ≤ r. Setzen wir C = min{1, C′}, so erhalten wir

m(T − z) ≥ C(1 − |z|)^{3}

für alle z ∈ 𝔻. Somit haben wir (iii) gezeigt und unser Beispiel ist bewiesen. Satz 6.6. Sei X ein separabler Banachraum und π : c_{0} → X eine topologische Einbettung. Dann gibt es ein R ∈ B(X) und ein C > 0 so dass

(i) σ(R) = \overline{𝔻}, (ii) ∥(R − z)^{−1}∥ ≤ C(|z| − 1)^{−1} für 1 < |z| < 2, (iii) m(R − z)^{−1} ≤ C(1 − |z|)^{−3} für |z| < 1, (iv) R ist nicht E(𝕋)-subskalar,

(v) R hat Eigenschaft (β) Beweis. Nach [BP58] ist Y = π(c_{0}) ⊂ X topologisch komplementiert, das heißt es gibt einen abgeschlossenen Teilraum Z ⊂ X so, dass X = Y ⊕Z. Sei T ∈ B(c_{0}) der in Beispiel 6.5 konstruierte Operator und R ∈ B(X) der stetig lineare Operator mit Rπx = πT x für x ∈ c_{0} und Rz = z für z ∈ Z. Dann hat R die geforderten Eigenschaften. Somit haben wir die Frage aus dem vorherigen Abschnitt mit nein beantwortet. Aus dem polynomiellen Wachstum der Resolvente und des Minimalmoduls nahe der Einheitskreislinie lässt sich nicht die E(𝕋)-Subskalarität eines Operators folgern.

7 Langsam wachsende Linksinverse und E(𝕋)-Subskalarität

In Korollar 5.3 haben wir gesehen, dass die Bedingung (P) sowohl notwendig als auch hinreichend für die E(𝕋)-Subskalarität eines Operators T ∈ B(X) auf einem Banachraum X ist. Im vorhergehenden Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Bedingung (R) nur notwendig hierfür ist. In diesem Abschnitt wollen wir zu einem Operator T ∈ B(X) auf einem Banachraum X eine für die E(𝕋)-Subskalarität hinreichende Bedingung in Termen von dem Wachstum der Resolvente und der Existenz einer analytischen Linksinversen von T − z mit vorgegebenen Wachstumsbedingungen formulieren.

Satz 7.1. Sei T ∈ B(X) mit σ(T) ⊂ \overline{𝔻} so, dass Konstanten C > 0 und p ≥ 0 existieren mit

∥(T − z)^{−1}∥ ≤ C(|z| − 1)^{−p} für 1 < |z| < 2.

Existieren q ≥ 0 und eine analytische Funktion L : 𝔻 → B(X) so, dass

L(z)(T − z) = 1_{B(X)}

und

∥L(z)∥ ≤ C(1 − |z|)^{−q} für |z| < 1,  (15)

so ist T ein E(𝕋)-subskalarer Operator.

Bemerkung 7.2. Die Ungleichung (15) impliziert, dass für |z| < 1 und x ∈ X gilt

∥x∥ = ∥L(z)(T − z)x∥ ≤ C(1 − |z|)^{−q}∥(T − z)x∥,

was sich umschreiben lässt zu

∥(T − z)x∥ ≥ C^{−1}(1 − |z|)^{q}∥x∥.

Daraus folgt

m(T − z) ≥ C^{−1}(1 − |z|)^{q}.

Beweis zu Satz 7.1: Wie im Beweis zu Satz 2.3 (ii) ⇒ (iii) gesehen, impliziert

∥(T − z)^{−1}∥ ≤ C(|z| − 1)^{−p} für 1 < |z| < 2,

dass

∥T^{n}∥ ≤ M · n^{p}

für alle n ∈ ℕ mit einem geeigneten M > 0. Sei 0 < R < 1 beliebig. Wir entwickeln L in seine Taylorreihe und schreiben

L(z) = ∑_{ν=0}^{∞} L_{ν}z^{ν}, z ∈ 𝔻, wobei L_{ν} = \frac{L^{(ν)}(0)}{ν!} ∈ B(X).

Nach den Cauchyungleichungen für die Taylorkoeffizienten gilt für n ∈ ℕ:

∥L_{ν}∥ ≤ \frac{max\{∥L(z)∥ : |z| = R\}}{R^{ν}} ≤^{(15)} C · \frac{1}{R^{ν}(1 − R)^{q}}

Sei f : (0, 1) → ℝ, r ↦ r^{−ν}(1 − r)^{−q}. Wegen

\frac{d}{dr} f(r) = −νr^{−(ν+1)}(1 − r)^{−q} + qr^{−ν}(1 − r)^{−(q+1)} = \frac{νr + qr − ν}{r^{(ν+1)}(1 − r)^{(q+1)}} \begin{matrix}> \\ = \\ < \end{matrix} 0

genau dann, wenn

r \begin{matrix}> \\ = \\ < \end{matrix} \frac{ν}{ν + p}

ist, nimmt die Funktion f im Punkt r = \frac{ν}{ν+q} ihr absolutes Minimum auf (0, 1) an. Wir folgern, dass

∥L_{ν}∥ ≤ C · (\frac{ν}{ν + q} )^{−ν} · (1 − \frac{ν}{ν + q} )^{−q} .

Weiter gilt, dass ((\frac{ν}{ν+q} )^{−ν})_{ν} eine monoton wachsende Folge ist, mit

lim_{ν→∞} (\frac{ν}{ν + q} )^{−ν} = lim_{ν→∞} (1 + \frac{q}{ν} )^{ν} = e^{q}.

Für ν ≥ q ist

(1 − \frac{ν}{ν + q} )^{−q} = (\frac{ν + q}{q} )^{q} ≤ (\frac{2ν}{q} )^{q} = (\frac{2}{q})^{q} ν^{q}.

Für alle 2 ≤ ν < q erhalten wir

(1 − \frac{ν}{ν + q} )^{−q} = (\frac{ν + q}{q} )^{q} ≤ (\frac{2q}{q} )^{q} = 2^{q} ≤ ν^{q}.

Dann folgt mit

K = Ce^{q} · max \{(\frac{2}{q})^{q} , 1\}

dass

∥L_{ν}∥ ≤ K · ν^{q}

für alle ν ≥ 2. Außerdem ist

1_{B(X)} = L(z)(T − z) = ∑_{ν=0}^{∞} L_{ν}z^{ν}(T − z) = L_{0}T + ∑_{ν=1}^{∞} (L_{ν}T − L_{ν−1}) z^{ν}

für alle |z| < 1. Daraus können wir folgern, dass

L_{0}T = 1_{B(X)} und L_{ν}T = L_{ν−1}

für alle ν ∈ ℕ und somit

L_{ν}T^{ν+1} = L_{ν−1}T^{ν} = … = L_{0}T = 1_{B(X)}.

Sei x ∈ X mit ∥x∥ = 1. Dann gilt wegen

∥x∥ = ∥L_{ν−1}T^{ν}x∥ ≤ ∥L_{ν−1}∥∥T^{ν}x∥,

dass für alle ν ≥ 2

m(T^{ν}) ≥ ∥L_{ν−1}∥^{−1} ≥ K^{−1}(ν − 1)^{−q} ≥ K^{−1}ν^{−q}.

Mit einer geeigneten Konstanten ρ > 0 gilt

∥T^{n}∥ ≤ ρn^{p} und (m(T^{n}))^{−1} ≤ ρn^{q}

für alle n ∈ ℕ. Nach Korollar 5.3 ist T ein E(𝕋)-subskalarer Operator.

Im Hilbertraum-Fall ist das in Satz 7.1 gegebene Kriterium auch notwendig für die E(𝕋)- Subskalarität.

Satz 7.3. Sei H ein Hilbertraum und T ∈ B(H) mit σ(T) ⊂ \overline{𝔻}. Der Operator T ist E(𝕋)-subskalar genau dann, wenn es C > 0, p, q ≥ 0 und eine analytische Funktion L : 𝔻 → B(H) gibt so, dass

(i) ∥(T − z)^{−1}∥ ≤ C(|z| − 1)^{−p} für 1 < |z| < 2,

(ii) L(z)(T − z) = 1_{B(H)} für |z| < 1,

(iii) ∥L(z)∥ ≤ C(1 − |z|)^{−q} für |z| < 1.

Beweis. Sei T ∈ B(H) ein E(𝕋)-subskalarer Operator. Nach Bemerkung 5.5 gibt es einen Hilbertraum K, eine Isometrie π : H → K und einen E(𝕋)-skalaren Operator S ∈ B(K) mit

Sπx = πT x

für alle x ∈ H. Im Folgenden identifizieren wir H mit dem abgeschlossenen Teilraum πH ⊂ K vermöge der Isometrie π. Nach 2.6 existieren Konstanten C > 0 sowie p, q ≥ 0 so, dass

∥(S − z)^{−1}∥ ≤ C(|z| − 1)^{−p} für 1 < |z| < 2

und

∥(S − z)^{−1}∥ ≤ C(1 − |z|)^{−q} für |z| < 1

ist. Daraus folgt nun

∥(T − z)^{−1}∥ ≤ C(|z| − 1)^{−p} für 1 < |z| < 2.

Definieren wir

L : 𝔻 → B(H), L(z)x = P_{H}(S − z)^{−1}x

für x ∈ H, so ist L analytisch und es gilt

∥L(z)∥ ≤ ∥(S − z)^{−1}∥ ≤ C(1 − |z|)^{−q}

für |z| < 1. Die Identität L(z)(T − z) = 1_{B(H)} auf 𝔻 folgt aus T − z = (S − z)|_{H}. Die Rückrichtung des Beweises folgt unmittelbar aus Satz 7.1.

Wir haben also eine hinreichende Bedingung in Termen des Wachtums der Resolvente und der Existenz einer analytischen Linksinversen mit vorgeschriebendem Wachtum für die E(𝕋)-Subskalarität gefunden. Diese Bedingung ist zudem notwendig für E(𝕋)- subskalare Operatoren auf Hilberträumen. Eine Frage die offen bleibt: Ist diese Bedingung auch notwendig für die E(𝕋)-Subskalarität von Operatoren auf Banachräumen? Zudem kennen wir kein zu Beispiel 6.5 analoges Gegenspiel eines Operators auf einem Hilbertraum, der der Bedingung (R) genügt, jedoch nicht E(𝕋)-subskalar ist.

Literatur

[AE97] Ernst Albrecht and Jörg Eschmeier. Analytic functional models and local spectral theory. Proc. London Math. Soc. (3), 75(2):323–348, 1997.

[Are58] Richard Arens. Inverse-producing extensions of normed algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 88:536–548, 1958.

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Hiermit erkläre ich an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbst angefertigt und nur die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.

Primstal, den 2. Dezember 2008