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Dominik Faas
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Dilatationssätze und Wold-Zerlegung für nichtvertauschende Kontraktionen
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Diplomarbeit, 2003
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Zusammenfassung:
Béla Sz.-Nagy und Ciprian Foiaş zeigen 1970 die Existenz der minimalen isometrischen
Dilatation für Kontraktionen und leiten die Wold-Zerlegung für Isometrien auf Hilberträumen her. Eine Konsequenz daraus ist die Von-Neumann-Ungleichung für
Hilbertraum-Kontraktionen.
Betrachtet man statt einer einzelnen Kontraktion ein Tupel von Operatoren, das eine geeignete Kontraktionsbedingung erfüllt, so erhält man den Begriff der
n-Kontraktion. Für vertauschende n-Kontraktionen beweist William Arveson 1997 eine verallgemeinerte Von-Neumann-Ungleichung.
Für nichtvertauschende n-Kontraktionen wurden entsprechende Resultate (minimale isometrische Dilatation, Wold-Zerlegung, Von-Neumann-Ungleichung) schon 1989-1991 von Gelu
Popescu gezeigt.
In der Arbeit wird die Methodik von Arveson benutzt, um neue (grundsätzlich andere) Beweise für die Ergebnisse im nichtkommutativen Fall zu geben.
Zunächst werden dabei
Multiplikatonsoperatoren auf dem Fockraum definiert und auf verschiedene Weise charakterisiert. Darauf aufbauend wird die Poisson-Transformation einer (nichtvertauschenden)
n-Kontraktion konstruiert und daraus wird mithilfe des Dilatationssatzes von Stinespring die Existenz der minimalen isometrischen Dilatation neu gezeigt.
Die Wold-Zerlegung wird mithilfe geeigneter Zerlegungssätze für Darstellungen konstruiert, wobei zunächst gezeigt wird,
dass die vom Shift auf dem Fockraum erzeugte C*-Algebra alle kompakten Operatoren enthält. Schließlich münden alle Ergebnisse in einem Modellsatz für
nichtvertauschende n-Kontraktionen, der somit das Hauptresulat der Arbeit darstellt.
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