Dilatationssätze und Wold-Zerlegung für nichtvertauschende

Kontraktionen

Diplomarbeit

zur Erlangung des Grades eines

Diplom-Mathematikers

der Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät I der Universität des Saarlandes

von

Dominik Faas

Betreuer: Prof. Dr. J. Eschmeier

Saarbrücken Januar 2003

Inhaltsverzeichnis

1 Multiplikationsoperatoren auf dem Fockraum 4 1.1 Bezeichnungen und Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Multiplikatoren auf ℱ^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Der Vorwärtsshift auf ℱ^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Der Raum ℋ^{∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Die vom Shift erzeugte, WOT-abgeschlossene, unitale Algebra . . 28 1.6 Der Kommutant der Rechtsmultiplikationsoperatoren . . . . . . . 32

2 Minimale isometrische Dilatation und Wold-Zerlegung 36 2.1 Poisson-Transformation und Von-Neumann-Ungleichung . . . . . 36 2.2 Minimale isometrische Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Wold-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Modellsatz für n-Kontraktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Einleitung

In [18] (Chapter 1) zeigen Nagy und Foiaş die Existenz der minimalen isometrischen Dilatation von Kontraktionen und die Wold-Zerlegung für Isometrien. Als Konsequenz daraus erhält man die bekannte Von-Neumann-Ungleichung

∥p(T)∥ ≤ ∥p∥_{∞,𝔻}

für Polynome p ∈ ℂ[z] und Hibertraum-Kontraktionen T. Dabei bezeichne 𝔻 die offene Kreisscheibe in ℂ. Ando verallgemeinerte in [1] die Existenz der minimalen isometrischen Dilatation und die Gültigkeit der Von-Neumann-Ungleichung für Tupel T = (T_{1}, T_{2}) zweier vertauschender Kontraktionen. Allerdings bleiben diese Resultate für höhere Dimensionen nicht mehr richtig. Parrott ([14]) widerlegte für n ≥ 3 die Existenz von isometrischen Dilatationen für Tupel vertauschender Kontraktionen und Varopoulos zeigte in [19], dass die Von-Neumann-Ungleichung für Tupel vertauschender Kontraktionen falsch ist, falls n hinreichend groß ist. Um dennoch eine Verallgemeinerung für den mehrdimensionalen Fall zu erhalten, braucht man daher einen geeigneteren Kontraktionsbegriff. Wir bezeichnen Tupel T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} von stetigen Operatoren auf einem Hilbertraum ℋ als n-Kontraktion, falls

∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} ≤ I_{ℋ}

gilt. Mit dieser Definition zeigt Arveson in [5] (Theorem 8.1), dass für eine n-Kontraktion T, deren Komponenten T_{1}, ..., T_{n} miteinander kommmutieren, und ein Polynom p ∈ ℂ[z_{1}, ..., z_{n}] in n Variablen die Abschätzung

∥p(T)∥ ≤ ∥p∥_{ℳ}

gilt. Dabei ist ∥p∥_{ℳ} die Norm des Multiplikationsoperators mit p auf einem geeigneten funktionalen Hilbertraum analytischer Funktionen über der Einheitskugel, den man mit dem symmetrischen Fockraum ℱ_{+}^{2} identifizieren kann. Offenbar ist dieses Resultat eine Verallgemeinerung der ursprünglichen Von-Neumann-Ungleichung auf den Fall von Tupeln vertauschender Operatoren. Wir beschäftigen uns in dieser Arbeit mit n-Kontraktionen, deren Komponenten nicht notwendigerweise miteinander kommutieren. Popescu beweist in [11] (Theorem 2.1) die Existenz der minimalen isometrischen Dilatation für eine solche n-Kontraktion. Diese ist dabei gegeben als Tupel V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n} von Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern auf einem Hilbertraum 𝒦, der ℋ umfasst.

Weiterhin enthält [11] einen Beweis der Wold-Zerlegung eines Tupels von Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern (Theorem 1.3). Davon ausgehend zeigt Popescu in [12] (Theorem 2.1) eine Version der Von-Neumann-Ungleichung für beliebige n-Kontraktionen. An die Stelle des Polynoms p ∈ ℂ[z_{1}, ..., z_{n}] tritt dabei ein Polynom aus dem Fockraum

ℱ^{2} = ℱ_{n}^{2} = ⨁_{k∈ℕ}(ℂ^{n})^{⊗k}

und die Norm des Multiplikationsoperators mit p auf dem symmetrischen Fockraum ℱ_{+}^{2} wird ersetzt durch die Norm des (Links-)Multiplikationsoperators mit p auf dem vollen Fockraum ℱ^{2}. Im kommutativen Fall betrachtet Arveson ([5]) die Multiplikationsoperatoren S_{i} = M_{z_{i}} mit den Koordinaten z_{i} (i = 1, ..., n) und definiert die Toeplitz-Algebra τ als die von S_{1}, ..., S_{n} erzeugte C^{∗}-Algebra. Als entscheidendes Mittel zum Beweis der Von-Neumann-Ungleichung für eine n-Kontraktion T ∈ ℒ(ℋ)^{n} mit vertauschenden Komponenten benutzt er einen unitalen, vollständig positiven und vollständig kontraktiven Operator

Φ_{T} : τ → ℒ(ℋ)

von der Toeplitz-Algebra in die stetig linearen Operatoren auf ℋ, der

Φ_{T} (S_{i}) = T_{i} (i = 1, ..., n)

erfüllt (vergleiche [5], Theorem 6.2). Analog dazu konstruieren Arias und Popescu in [3] (Chapter 3) einen entsprechenden Operator

Φ_{T} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(ℋ)

für beliebige n-Kontraktionen T ∈ ℒ(ℋ)^{n} und nennen diesen Operator die Poisson-Transformation von T. Dabei entspricht S_{i} dem Multiplikationsoperator mit e_{i} auf dem Fockraum ℱ^{2} (i = 1, ..., n) und C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) ist die von S_{1}, ..., S_{n} erzeugte C^{∗}-Unteralgebra von ℒ(ℱ^{2}). Wir geben in dieser Arbeit einen Beweis der (nichtkommutativen) Von-Neumann-Ungleichung mit Hilfe der Poisson-Transformation Φ_{T}. Dabei orientieren wir uns am Beweis von Arveson ([5]) im kommutativen Fall. Darüber hinaus erhalten wir neue Beweise für die Existenz der minimalen isometrischen Dilatation und der Wold-Zerlegung mit Hilfe der Poisson-Transformation. Im ersten Kapitel geben wir zunächst eine für unsere Zwecke geeignete Darstellung des Fockraums ℱ^{2} an. Dann beschäftigen wir uns mit Multiplikatoren auf ℱ^{2}. Wir geben verschiedene Darstellungen der Menge der Multiplikatoren beziehungsweise der Menge der zugehörigen Multiplikationsoperatoren in ℒ(ℱ^{2}) an. Außerdem wird eine allgemeine Definition des Shiftbegriffs (n-Shift) gegeben und speziell der Vorwärtsshift S = (S_{1}, ..., S_{n}) ∈ ℒ(ℱ^{2})^{n}, dessen Komponenten S_{i} = M_{e_{i}} (i = 1, ..., n) die (Links-)Multiplikationsoperatoren mit e_{i} auf ℱ^{2} sind, näher untersucht. Im zweiten Kapitel führen wir die Konstruktion der Poisson-Transformation einer n-Kontraktion T aus und erhalten damit die Von-Neumann-Ungleichung für T. Der Dilatationssatz von Stinespring, angewendet auf die Poisson-Transforma-tion, erlaubt es uns, die minimale isometrische Dilatation von T zu konstruieren.

Wir zeigen, dass die Toeplitz C^{∗}-Algebra C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) alle kompakten Operatoren auf ℱ^{2} enthält, und benutzen Zerlegungssätze für Darstellungen von C^{∗}-Algebren von Operatoren, die die kompakten Operatoren enthalten, um die Wold-Zerlegung für Tupel von Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern zu konstruieren. Schließlich benutzen wir die Wold-Zerlegung, um zu zeigen, dass jede n-Kontraktion T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} auf einem Hilbertraum ℋ bis auf unitäre Äquivalenz Kompression der direkten Summe aus einem n-Shift und einem sphärisch unitären Tupel auf einen ∗-invarianten Unterraum ist. Es stellt sich heraus, dass die Vielfachheit des Shiftanteils durch die Hilbertraum-Dimension des Defektraums von T gegeben ist. Mein Dank gilt Herrn Prof. Dr. J. Eschmeier für das interessante Thema und die geduldige Betreuung. Weiterhin bedanke ich mich bei Herrn Dipl. Math. Christoph Barbian und Herrn Jochen Haupenthal für zahlreiche fachliche Diskussionen, Frau Ute Staemmler für das Korrekturlesen meiner Arbeit und Herrn Dipl. Kfm. Martin Becker für die wertvolle Hilfe beim Layout. Außerdem danke ich meiner Familie für die finanzielle und moralische Unterstützung, ohne die mein Studium nicht möglich gewesen wäre.

Kapitel 1

Multiplikationsoperatoren auf dem Fockraum

1.1 Bezeichnungen und Grundlegendes

Sei n ∈ ℕ^{∗} eine natürliche Zahl. Im folgenden bezeichne

F = F_{n} = {0} ∪ ⋃_{k∈ℕ^{∗}}{1, ..., n}^{k}

die freie Halbgruppe über den Erzeugern 1, ..., n. Dabei ist 0 neutrales Element von F und für a = (a_{1}, ...a_{k}), b = (b_{1}, ..., b_{l}) ∈ F definiert

a · b = (a, b) = (a_{1}, ..., a_{k}, b_{1}, ..., b_{l})

das Produkt von a und b in F. Weiter sei für a ∈ F der Betrag von a definiert durch

|a| = k, falls a ∈ {1, ..., n}^{k}, und |0| = 0 .

Man sieht sofort, dass |(a, b)| = |a| + |b| für alle a, b ∈ F gilt. Wir schreiben außerdem

F^{∗} = F \ {0} .

Weiterhin sei H_{n} = ℂ^{n} mit dem üblichen Skalarprodukt

⟨ (x_{i})_{i=1}^{n} , (y_{i})_{i=1}^{n} ⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{y_{i}}

versehen. Wir definieren

H_{n}^{⊗m} = \underbrace{H_{n} ⊗ ⋯ ⊗ H_{n}}_{m−mal} (m ∈ ℕ^{∗})

und

H_{n}^{⊗0} = ℂ .

Es bezeichne

ℱ = ℱ(ℂ) = {(x_{m})_{m∈ℕ}; x_{m} ∈ H_{n}^{⊗m}} .

Mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation ist ℱ dann ein ℂ-Vektorraum. Im folgenden definieren wir eine Multiplikation auf ℱ. Für k, l ∈ ℕ sei

⊗ : H_{n}^{⊗k} ⊕ H_{n}^{⊗l} → H_{n}^{⊗k} ⊗ H_{n}^{⊗l} ≅ H_{n}^{⊗(k+l)}

die kanonische bilineare Abbildung, die durch

(x, y) ↦ x ⊗ y (x ∈ H_{n}^{⊗k}, y ∈ H_{n}^{⊗l})

gegeben ist. Für x = (x_{m})_{m∈ℕ}, y = (y_{m})_{m∈ℕ} ∈ ℱ definieren wir dann

x ⊙ y = ( ∑_{k+l=m} x_{k} ⊗ y_{l} )_{m∈ℕ} ∈ ℱ .

Mit diesem Produkt wird ℱ zu einer (für n ≥ 2 nichtkommutativen) ℂ-Algebra mit Einselement e_{0} = (δ_{0,m})_{m∈ℕ}, das durch δ_{0,0} = 1 und δ_{0,m} = 0 (m ∈ ℕ^{∗}) gegeben ist. Für 1 ≤ p < ∞ definieren wir

ℱ^{p} = ℱ^{p}(ℂ) = {x = (x_{m})_{m∈ℕ} ∈ ℱ; ∥x∥_{p}^{p} = ∑_{m=0}^{∞} ∥x_{m}∥^{p} < ∞} .

Damit ist (ℱ^{p}, ∥ · ∥_{p}) (1 ≤ p < ∞) ein Banachraum. Im Fall p = 2 erhält man einen Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

⟨ (x_{m})_{m∈ℕ} , (y_{m})_{m∈ℕ} ⟩ = ∑_{m∈ℕ}⟨x_{m}, y_{m}⟩_{H_{n}^{⊗m}} ( (x_{m})_{m∈ℕ}, (y_{m})_{m∈ℕ} ∈ ℱ^{2} ).

Dieser Hilbertraum ℱ^{2} heißt Fockraum. Aus der Standardorthonormalbasis (e_{1}, ..., e_{n}) von H_{n} erhält man für m ∈ ℕ^{∗} die Orthonormalbasis (e_{a}; a ∈ {1, ..., n}^{m}) von H_{n}^{⊗m}. (Dabei ist e_{a} = e_{a_{1}} ⊗ ... ⊗ e_{a_{m}} für a = (a_{1}, ..., a_{m}) ∈ {1, ..., n}^{m}.) Wegen {1, ..., n}^{m} = {a ∈ F; |a| = m} kann man (e_{a}; a ∈ {1, ..., n}^{m}) auch als Orthonormalbasis der endlichen Hilbertraum-direkten Summe

⨁_{a∈F,|a|=m} ℂ = { (x_{a})_{|a|=m}; x_{a} ∈ ℂ }

auffassen und so H_{n}^{⊗m} mit ⨁_{|a|=m} ℂ identifizieren.

Damit kann man ℱ = ∏_{m∈ℕ} H_{n}^{⊗m} algebraisch mit

∏_{m∈ℕ} ⨁_{|a|=m} ℂ = ∏_{a∈F} ℂ = {(x_{a})_{a∈F}; x_{a} ∈ ℂ für a ∈ F }

identifizieren. Wie man leicht nachrechnet erhält man vermöge dieser Identifizierung für das Produkt auf ℱ die Darstellung

(x_{a})_{a∈F} ⊙ (y_{b})_{b∈F} = ( ∑_{(a,b)=c} x_{a} · y_{b} )_{c∈F}

und der Fockraum ergibt sich als

ℱ^{2} = {x = (x_{a})_{a∈F} ∈ ℱ; ∥x∥_{2}^{2} = ∑_{a∈F} |x_{a}|^{2} < ∞} ⊂ ℱ

mit dem Skalarprodukt

⟨ (x_{a})_{a∈F} , (y_{a})_{a∈F} ⟩ = ∑_{a∈F} x_{a}\overline{y_{a}} .

Wir benutzen im folgenden für (x_{a})_{a∈F} ∈ ℱ auch die Schreibweise ∑_{a∈F} x_{a}e_{a}.

Sei nun ℋ ein Hilbertraum und seien T_{1}, ..., T_{n} ∈ ℒ(ℋ) stetig lineare Operatoren auf ℋ. Wir definieren für a ∈ F den Operator T_{a} ∈ ℒ(ℋ) durch

T_{a} = T_{a_{1}} ⋯ T_{a_{k}}, falls a = (a_{1}, ..., a_{k}) ∈ {1, ..., n}^{k}

und

T_{a} = I_{ℋ} , falls a = 0 .

Damit ergibt sich für a, b ∈ F die Beziehung

T_{a} T_{b} = T_{(a,b)} .

1.2 Multiplikatoren auf ℱ^{2}

Wir haben gesehen, dass ℱ eine Algebra bezüglich dem Faltungsprodukt ⊙ ist. Multipliziert man aber zwei Elemente aus ℱ^{2}, so erhält man im allgemeinen nicht wieder ein Element aus ℱ^{2}. Wir interessieren uns nun für die Elemente x ∈ ℱ, für die die zugehörige Linksmultiplikation mit x

M_{x} : ℱ → ℱ ; y ↦ x ⊙ y

den Fockraum ℱ^{2} invariant lässt (das heißt, es gilt M_{x}(ℱ^{2}) ⊂ ℱ^{2} ).

Definition 1.2.1. Sei x ∈ ℱ. Wir nennen x einen Multiplikator (von ℱ^{2}), falls x ⊙ y ∈ ℱ^{2} für alle y ∈ ℱ^{2} gilt. Schreibe ℳ für die Menge der Multiplikatoren, also

ℳ = {x ∈ ℱ; x ist Multiplikator von ℱ^{2}} .

Für x ∈ ℳ heißt der Operator

M_{x} : ℱ^{2} → ℱ^{2} ; y ↦ x ⊙ y (Linksmultiplikation mit x auf ℱ^{2})

der zu x gehörige Multiplikationsoperator. Die Menge der Multiplikationsoperatoren bezeichnen wir mit

M = {M_{x}; x ∈ ℳ} .

Man sieht sofort, dass ℳ ein Untervektorraum von ℱ ist. Außerdem gilt ℳ ⊂ ℱ^{2}, denn für x ∈ ℳ ist x = x ⊙ e_{0} ∈ ℱ^{2}, da e_{0} ∈ ℱ^{2} . Wir wollen nun zeigen, dass alle Multiplikationsoperatoren M_{x} (x ∈ ℳ) schon stetig sind. Dies ist Gegenstand des nächsten Satzes. Wie üblich bezeichnen wir den Raum der stetig linearen Operatoren auf einem Hilbertraum ℋ mit ℒ(ℋ).

Satz 1.2.2. Sei x ∈ ℳ. Dann ist M_{x} ∈ ℒ(ℱ^{2}) .

Beweis. Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen genügt es zu zeigen, dass für jede Folge (y^{m})_{m∈ℕ} in ℱ^{2} und für y, ỹ ∈ ℱ^{2} mit

lim_{m→∞} y^{m} = y und lim_{m→∞} M_{x}y^{m} = ỹ

bereits M_{x}y = ỹ gilt. Man beachte zunächst, dass aus Konvergenz in ℱ^{2} komponentenweise Konvergenz folgt, das heißt es gilt

lim_{m→∞}(y^{m})_{a} = y_{a} und lim_{m→∞}(M_{x}y^{m})_{a} = ỹ_{a} (a ∈ F) .

Daher folgt für alle c ∈ F:

(M_{x}y)_{c} = ∑_{(a,b)=c} x_{a}y_{b}
= lim_{m→∞} ∑_{(a,b)=c} x_{a}(y^{m})_{b} (denn die Summe ist endlich)
= lim_{m→∞}(M_{x}y^{m})_{c}
= ỹ_{c} .

Also ergibt sich M_{x}y = ỹ, was zu zeigen war.

Im nächsten Lemma zeigen wir, dass alle Elemente aus ℱ^{1} Multiplikatoren auf ℱ^{2} sind, das heißt also, es gilt

x ⊙ y ∈ ℱ^{2} für x ∈ ℱ^{1} und y ∈ ℱ^{2} .

Lemma 1.2.3.

(a) Seien (λ_{k})_{k∈ℕ} ∈ ℓ^{1} und (μ_{l})_{l∈ℕ} ∈ ℓ^{2}. Definiere die Folge

(ν_{m})_{m∈ℕ} = (λ_{k})_{k∈ℕ} ∗ (μ_{l})_{l∈ℕ}

durch

ν_{m} = ∑_{k+l=m} λ_{k} · μ_{l} für m ∈ ℕ .

Dann ist (ν_{m})_{m} ∈ ℓ^{2} und es gilt

∥(ν_{m})_{m}∥_{ℓ^{2}} ≤ ∥(λ_{k})_{k}∥_{ℓ^{1}} · ∥(μ_{l})_{l}∥_{ℓ^{2}} .

(b) Es gilt ℱ^{1} ⊂ ℳ und ∥M_{x}∥ ≤ ∥x∥_{1} für alle x ∈ ℱ^{1}.

Beweis. Die Aussage in Teil (a) ist bekannt, man vergleiche etwa [9] (Theorem 276) . Für (b) ist zu zeigen, dass

∥x ⊙ y∥_{2} ≤ ∥x∥_{1} · ∥y∥_{2}

für alle x ∈ ℱ^{1} und y ∈ ℱ^{2} gilt. Seien also x = (x_{k})_{k∈ℕ} ∈ ℱ^{1} und y = (y_{l})_{l∈ℕ} ∈ ℱ^{2}. Dann gilt

∥x ⊙ y∥_{2} = ( ∑_{m=0}^{∞} ∥ ∑_{k+l=m} x_{k} ⊗ y_{l}∥^{2} )^{\frac{1}{2}}

≤ ( ∑_{m=0}^{∞}( ∑_{k+l=m} ∥x_{k} ⊗ y_{l}∥ )^{2} )^{\frac{1}{2}}

= ( ∑_{m=0}^{∞}( ∑_{k+l=m} ∥x_{k}∥ · ∥y_{l}∥ )^{2} )^{\frac{1}{2}}
= ∥ ( ∥x_{k}∥ )_{k∈ℕ} ∗ ( ∥y_{l}∥ )_{l∈ℕ} ∥_{ℓ^{2}}
≤^{(a)} ∥( ∥x_{k}∥ )_{k∈ℕ}∥_{ℓ^{1}} · ∥( ∥y_{l}∥ )_{l∈ℕ}∥_{ℓ^{2}}
= ∥x∥_{1} · ∥y∥_{2} .

Da y ∈ ℱ^{2} beliebig war, folgt nun, dass x ∈ ℳ und ∥M_{x}∥ ≤ ∥x∥_{1} gilt, was zu zeigen war.

Definition 1.2.4. Es bezeichne

P = { ∑_{a∈F,|a|≤m} p_{a}e_{a}; m ∈ ℕ, p_{a} ∈ ℂ für a ∈ F mit |a| ≤ m}
= LH{e_{a}; a ∈ F } ⊂ ℱ

die Menge der Polynome in ℱ. Für ein Polynom p ∈ P mit p ≠ 0 sei der Grad von p definiert als

grad(p) = max{m ∈ ℕ; es existiert ein a ∈ F mit |a| = m und p_{a} ≠ 0} .

(Außerdem sei grad(0) = −∞.) Weiterhin sei (P)_{1} der Schnitt der Polynome mit der abgeschlossenen Einheitskugel in ℱ^{2}, also

(P)_{1} = {p ∈ P; ∥p∥_{2} ≤ 1} .

Offenbar liegt die Menge der Polynome P dicht in ℱ^{2}, da für x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ ℱ^{2}

die Folge

( ∑_{|a|≤m} x_{a}e_{a} )_{m∈ℕ}

in P liegt und bezüglich ∥ · ∥_{2} gegen x konvergiert. Da offensichtlich P ⊂ ℱ^{1} gilt, folgt wie in 1.2.3, dass x ⊙ p ∈ ℱ^{2} für alle x ∈ ℱ^{2} und p ∈ P gilt. Wir zeigen nun, dass ein x ∈ ℱ^{2} genau dann Multiplikator von ℱ^{2} ist, wenn {x ⊙ p; p ∈ (P)_{1}} beschränkt in ℱ^{2} ist. Diese Charakterisierung von ℳ enthält der nächste Satz.

Satz 1.2.5. Sei x ∈ ℱ^{2}. Dann gilt

x ∈ ℳ ⟺ ∥x∥_{∞} := sup_{p∈(P)_{1}} ∥x ⊙ p∥_{2} < ∞ .

In diesem Fall gilt ∥x∥_{∞} = ∥M_{x}∥.

Beweis. Sei zunächst x ∈ ℳ. Dann gilt für alle p ∈ (P)_{1}

∥x ⊙ p∥_{2} = ∥M_{x}p∥_{2} ≤ ∥M_{x}∥ · ∥p∥_{2} ≤ ∥M_{x}∥ .

Also folgt

∥x∥_{∞} = sup_{p∈(P)_{1}} ∥x ⊙ p∥_{2} ≤ ∥M_{x}∥ < ∞ .

Umgekehrt nehmen wir nun an, dass ∥x∥_{∞} < ∞ gilt, und betrachten ein belie-

biges y = ∑_{c∈F} y_{c}e_{c} ∈ ℱ^{2}.

Wir wollen zeigen, dass x ⊙ y ∈ ℱ^{2} mit ∥x ⊙ y∥_{2} ≤ ∥x∥_{∞} · ∥y∥_{2} gilt. Für y = 0 ist dies klar. Sei also y ≠ 0. Für k ∈ ℕ betrachte man

y^{k} = ∑_{|c|≤k} y_{c}e_{c} .

Offenbar ist y^{k} ∈ P und wegen

∥y^{k}∥_{2} = ( ∑_{|c|≤k} |y_{c}|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ (∑_{c∈F} |y_{c}|^{2})^{\frac{1}{2}} = ∥y∥_{2}

ist \frac{y^{k}}{∥y∥_{2}} ∈ (P)_{1}. Nach Definition von ∥ · ∥_{∞} gilt also

∥x ⊙ (\frac{y^{k}}{∥y∥_{2}} )∥_{2} ≤ ∥x∥_{∞} < ∞

und damit

∥x ⊙ y^{k}∥_{2} ≤ ∥x∥_{∞} · ∥y∥_{2} (k ∈ ℕ).

Man beachte nun weiter, dass sich für k ∈ ℕ und c ∈ F mit |c| ≤ k die Komponenten von x ⊙ y und von x ⊙ y^{k} an der Stelle c nicht unterscheiden, denn es gilt

(x ⊙ y)_{c} = ∑_{(a,b)=c} x_{a}y_{b} = (x ⊙ y^{k})_{c} für |c| ≤ k .

Damit folgt für alle k ∈ ℕ

∑_{|c|≤k} |(x ⊙ y)_{c}|^{2} = ∑_{|c|≤k} |(x ⊙ y^{k})_{c}|^{2}
≤ ∥x ⊙ y^{k}∥_{2}^{2}
≤ ∥x∥_{∞}^{2} · ∥y∥_{2}^{2}

und mit k → ∞ erhält man x ⊙ y ∈ ℱ^{2} und

∥x ⊙ y∥_{2}^{2} ≤ ∥x∥_{∞}^{2} · ∥y∥_{2}^{2} .

Daraus ergibt sich

x ∈ ℳ und ∥M_{x}∥ ≤ ∥x∥_{∞} .

Nun wollen wir zeigen, dass die Funktion

∥ · ∥_{∞} : ℳ → ℝ ; x ↦ ∥x∥_{∞} = sup_{p∈(P)_{1}} ∥x ⊙ p∥_{2}

eine Norm definiert, die ℳ zu einem Banachraum macht.

Satz 1.2.6. Die Menge ℳ der Multiplikatoren von ℱ^{2} ist mit ∥ · ∥_{∞} ein Banachraum.

Beweis. Da die Abbildung

Φ : ℳ → ℒ(ℱ^{2}) ; x ↦ M_{x}

offensichtlich linear und injektiv ist und nach 1.2.5 ∥x∥_{∞} = ∥M_{x}∥ (x ∈ ℳ) gilt, ist ∥ · ∥_{∞} eine Norm auf ℳ. Zum Beweis der Vollständigkeit orientieren wir uns an der Arbeit [12] von Popescu. Sei (x_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in (ℳ, ∥ · ∥_{∞}). Für alle y ∈ ℳ gilt

∥y∥_{∞} = sup_{p∈(P)_{1}} ∥y ⊙ p∥_{2} ≥ ∥y ⊙ e_{0}∥_{2} = ∥y∥_{2}

und daher ist (x_{k})_{k} auch eine Cauchy-Folge in dem Hilbertraum (ℱ^{2}, ∥ · ∥_{2}). Also existiert ein x ∈ ℱ^{2} mit ∥x − x_{k}∥_{2} ⟶^{k} 0. Es bleibt zu zeigen, dass x ∈ ℳ

und ∥x − x_{k}∥_{∞} ⟶^{k} 0 gilt.

Sei ϵ > 0 gegeben. Wähle k_{0} ∈ ℕ, so dass ∥x_{k} − x_{l}∥_{∞} < ϵ für alle k, l ≥ k_{0} gilt. Dann folgt für alle k, l ≥ k_{0} und für alle Polynome p = ∑_{|a|≤m} p_{a}e_{a} ∈ P die

Abschätzung

∥(x − x_{k}) ⊙ p∥_{2} ≤ ∥(x − x_{l}) ⊙ p∥_{2} + ∥(x_{k} − x_{l}) ⊙ p∥_{2}
≤ ∑_{|a|≤m} |p_{a}| · ∥(x − x_{l}) ⊙ e_{a}∥_{2} + ∥x_{k} − x_{l}∥_{∞} · ∥p∥_{2}
≤ ∑_{|a|≤m} |p_{a}| · ∥x − x_{l}∥_{2} + ϵ · ∥p∥_{2} .

Für l → ∞ konvergiert der erste Summand gegen 0 und man erhält

∥(x − x_{k}) ⊙ p∥_{2} ≤ ϵ · ∥p∥_{2} (k ≥ k_{0}).

Dies zeigt, dass x − x_{k} ∈ ℳ und ∥x − x_{k}∥_{∞} ≤ ϵ für alle k ≥ k_{0} gilt. Man erhält also x ∈ ℳ und ∥x − x_{k}∥_{∞} ⟶^{k} 0, was zu zeigen war.

Die Abbildung

Φ : (ℳ, ∥ · ∥_{∞}) → ℒ(ℱ^{2}) ; x ↦ M_{x}

definiert nach 1.2.5 eine Isometrie, deren Bild M ist. Daher folgt nach 1.2.6, dass M mit der Operatornorm ein Banachraum und somit M ⊂ ℒ(ℱ^{2}) abgeschlossen ist.

1.3 Der Vorwärtsshift auf ℱ^{2}

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Tupel S ∈ ℒ(ℱ^{2})^{n} aus den zu e_{i} ∈ ℱ^{2} (i = 1, ..., n) gehörigen Multiplikationsoperatoren und mit der von S erzeugten, norm-abgeschlossenen, unitalen Unteralgebra von ℒ(ℱ^{2}). Wir definieren zunächst allgemein den Begriff eines n-Shifts.

Definition 1.3.1.

(a) Für einen Hilbertraum ℋ und ein Tupel V = (V_{i})_{i=1}^{n} von Isometrien auf ℋ heißt ein abgeschlossener Unterraum L ⊂ ℋ wandernd für V, falls V_{a}L ⊥ V_{b}L für a, b ∈ F mit a ≠ b gilt. In diesem Fall definiert man

M_{F} (L, V) = ⨁_{a∈F} V_{a}L ⊂ ℋ .

(Dabei bezeichne ⨁ die ℓ^{2}-direkte Summe.)

(b) Ein Tupel V = (V_{i})_{i=1}^{n} von Isometrien auf einem Hilbertraum ℋ heißt n-Shift auf ℋ, falls es einen wandernden Unterraum L ⊂ ℋ für V gibt mit ℋ = M_{F} (L, V).

Das folgende technische Lemma beschäftigt sich mit einigen elementaren Aussagen über Tupel von Isometrien und n-Shifts.

Lemma 1.3.2.

(a) Ein Tupel V = (V_{i})_{i=1}^{n} von Isometrien auf einem Hilbertraum ℋ hat genau dann paarweise orthogonale Bilder, wenn

∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} ≤ I_{ℋ}

gilt.

(b) Für ein Tupel V = (V_{i})_{i=1}^{n} von Isometrien auf ℋ mit paarweise orthogonalen Bildern ist

L = ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ

ein wandernder Unterraum für V und

P_{L} = I_{ℋ} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} ∈ ℒ(ℋ)

ist die Orthogonalprojektion auf L in ℋ.

(c) Für einen n-Shift V = (V_{i})_{i=1}^{n} auf ℋ sind die Bilder der V_{i} paarweise orthogonal. Der wandernde Unterraum L ⊂ ℋ für V mit ℋ = M_{F} (L, V) ist eindeutig bestimmt, es gilt

L = ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ .

Beweis.

(a) Für jede Isometrie V ∈ ℒ(ℋ) ist V^{∗}V = I_{ℋ} und damit rechnet man leicht nach, dass V V^{∗} die Orthogonalprojektion auf V ℋ ist. Damit ist ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} die

Summe der Orthogonalprojektionen auf die Bilder der V_{i}.

Also gilt ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} ≤ I_{ℋ} genau dann, wenn die Bilder der V_{i} (i = 1, ..., n) paar-

weise orthogonal sind.

(b) Seien a, b ∈ F mit a ≠ b. Wir nehmen ohne Einschränkung an, dass |a| ≥ |b| gilt und betrachten zunächst den Fall, dass ein c ∈ F existiert mit a = (b, c). Dann gilt c ≠ 0 (sonst a = b) und damit

⟨V_{a}l, V_{b}l̃⟩ = ⟨V_{b}V_{c}l, V_{b}l̃⟩ = ⟨V_{c}l, l̃⟩ = 0

für alle l, l̃∈ L, denn V_{b} ist isometrisch und V_{c}l ∈ V_{c}ℋ ⊥ L. Also ist V_{a}L ⊥ V_{b}L. Falls kein solches c ∈ F existiert, folgt mit a = (a_{1}, ..., a_{k}) und b = (b_{1}, ..., b_{m}) (k = |a|, m = |b|, a_{1}, ..., a_{k}, b_{1}, ..., b_{m} ∈ {1, ..., n}), dass a_{j} ≠ b_{j} für ein geeignetes j ∈ {1, ..., m} gilt. Für minimales j mit dieser Eigenschaft folgt

⟨ V_{a}l , V_{b}l̃ ⟩ = ⟨ V_{(a_{1},...a_{j−1})}V_{a_{j}}V_{(a_{j+1},...,a_{k})}l , V_{(a_{1},...a_{j−1})}V_{b_{j}}V_{(b_{j+1},...,b_{m})}l̃ ⟩
= ⟨ V_{a_{j}}V_{(a_{j+1},...,a_{k})}l , V_{b_{j}}V_{(b_{j+1},...,b_{m})}l̃ ⟩
= 0 (denn V_{a_{j}}ℋ ⊥ V_{b_{j}}ℋ)

für alle l, l̃ ∈ L, also gilt V_{a}L ⊥ V_{b}L. Damit ist gezeigt, dass L ein wandernder Unterraum für V ist. Da V_{i}V_{i}^{∗} die Orthogonalprojektion auf V_{i}ℋ ist (i = 1, ..., n) und V_{i}ℋ ⊥ V_{j}ℋ

für i ≠ j gilt, ist I_{ℋ} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} die Orthogonalprojektion auf ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ = L.

(c) Sei V = (V_{i})_{i=1}^{n} ein n-Shift auf ℋ und L ein wandernder Unterraum für V mit ℋ = M_{F} (L, V). Für h, h̃ ∈ ℋ gibt es dann (l_{a})_{a∈F} , (l̃_{b})_{b∈F} ∈ ℓ^{2}(F, L) mit

h = ∑_{a∈F} V_{a}l_{a} und h̃ = ∑_{b∈F} V_{b}l̃_{b}.

Da V_{1}, ...V_{n} linear und stetig sind, folgt dann

⟨ V_{i}h , V_{j}h̃ ⟩ = ∑_{a,b∈F}⟨ V_{i}V_{a}l_{a} , V_{j}V_{b}l̃_{b} ⟩
= ∑_{a,b∈F}⟨ V_{(i,a)}l_{a} , V_{(j,b)}l̃_{b} ⟩
= 0

für i, j ∈ {1, ..., n} mit i ≠ j, denn es gilt (i, a) ≠ (j, b) und somit V_{(i,a)}L ⊥ V_{(j,b)}L. Insgesamt folgt V_{i}ℋ ⊥ V_{j}ℋ für i ≠ j.

Es bleibt noch die Eindeutigkeit von L zu zeigen. Sei h ∈ ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ. Dann

existiert (l_{a})_{a∈F} ∈ ℓ^{2}(F, L) mit h = ∑_{a∈F} V_{a}l_{a} und für alle b ∈ F^{∗} gilt

0 = ⟨ h , V_{b}l_{b} ⟩
= ∑_{a∈F}⟨ V_{a}l_{a} , V_{b}l_{b} ⟩
= ⟨V_{b}l_{b} , V_{b}l_{b} ⟩ = ⟨ l_{b} , l_{b} ⟩ = ∥l_{b}∥^{2} .

(Man beachte, dass h ⊥ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ und V_{a}L ⊥ V_{b}L für a ≠ b gilt.)

Also folgt h = V_{0}l_{0} = l_{0} ∈ L und damit gilt L ⊃ ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ.

Umgekehrt sei l ∈ L und i ∈ {1, ..., n}. Dann lässt sich jedes h ∈ ℋ in der Form h = ∑_{a∈F} V_{a}l_{a} mit (l_{a})_{a∈F} ∈ ℓ^{2}(F, L) schreiben und es folgt

⟨ l , V_{i}h ⟩ = ∑_{a∈F}⟨ l , V_{i}V_{a}l_{a} ⟩
= ∑_{a∈F}⟨ l , V_{(i,a)}l_{a} ⟩
= 0 ,

denn L ⊥ V_{(i,a)}L. Also ist l ∈ ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ gezeigt und insgesamt folgt

L = ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ .

Bemerkung 1.3.3. Für einen n-Shift V auf ℋ nennt man die (Hilbertraum-)Dimension des eindeutig bestimmten (vergleiche 1.3.2) wandernden Unterraums L ⊂ ℋ für V mit ℋ = M_{F} (L, V) die Vielfachheit des n-Shifts V.

Für i = 1, ..., n definieren wir nun S_{i} = M_{e_{i}} ∈ ℒ(ℱ^{2}) als Multiplikationsoperator von links mit dem Einheitsvektor e_{i} ∈ ℱ^{2} und setzen S = (S_{1}, ...S_{n}) ∈ ℒ(ℱ^{2})^{n}. Wir bezeichnen S als den (Links-)Vorwärtsshift auf ℱ^{2}. Im nächsten Lemma fassen wir einige Eigenschaften von S zusammen, unter anderem die Tatsache, dass S ein n-Shift auf ℱ^{2} mit wanderndem Unterraum ⟨e_{0}⟩ ⊂ ℱ^{2} ist.

Lemma 1.3.4.

(a) Für x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ ℱ^{2} und i ∈ {1, ..., n} gilt

(S_{i}x)_{0} = 0

und

(S_{i}x)_{(j,a)} = δ_{i,j} · x_{a} (a ∈ F, j ∈ {1, ..., n}) .

(b) Für die adjungierten Abbildungen zu den S_{i} (i = 1, ..., n) gilt

S_{i}^{∗}x = ∑_{a∈F} x_{(i,a)}e_{a}

für alle x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ ℱ^{2}.

(c) Für i, j ∈ {1, ..., n} gilt

S_{j}^{∗}S_{i} = δ_{i,j}I_{ℱ^{2}}

und somit sind S_{1}, ..., S_{n} Isometrien auf ℱ^{2} mit paarweise orthogonalen Bildern.

(d) Wir definieren nun den Unterraum

L = ℱ^{2} ⊖ ⨁_{i=1}^{n} S_{i}ℱ^{2}

von ℱ^{2} als das orthogonale Komplement der Bilder der S_{i}. Dann gilt L = ⟨e_{0}⟩.

(e) Es gilt ∑_{i=1}^{n} S_{i}S_{i}^{∗} ≤ I_{ℱ^{2}} und P_{0} = I_{ℱ^{2}} − ∑_{i=1}^{n} S_{i}S_{i}^{∗} ist die Orthogonalprojektion

auf L in ℱ^{2}.

(f) Der Unterraum L ⊂ ℱ^{2} ist ein wandernder Unterraum für S und es gilt M_{F} (L, S) = ℱ^{2}. Somit ist S ein n-Shift auf ℱ^{2} mit Vielfachheit 1.

Beweis.

(a) Es gilt

S_{i}( ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ) = e_{i} ⊙ ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} = ∑_{a∈F} x_{a}e_{(i,a)} .

Durch Vergleich der Komponenten folgt die Behauptung.

(b) Für alle x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a}, y = ∑_{a∈F} y_{a}e_{a} ∈ ℱ^{2} gilt

⟨ ∑_{a∈F} x_{(i,a)}e_{a} , y ⟩ = ∑_{a∈F} x_{(i,a)}\overline{y_{a}}

= ∑_{j=1}^{n} ∑_{a∈F} δ_{i,j}x_{(j,a)}\overline{y_{a}}

= ∑_{j=1}^{n} ∑_{a∈F} x_{(j,a)}\overline{δ_{i,j}y_{a}}

=^{(a)} ∑_{j=1}^{n} ∑_{a∈F} x_{(j,a)}\overline{(S_{i}y)_{(j,a)}} + x_{0}\overline{(S_{i}y)_{0}}
= ∑_{a∈F} x_{a}\overline{(S_{i}y)_{a}}
= ⟨ x , S_{i}y ⟩ .

Daraus folgt die behauptete Darstellung von S_{i}^{∗}.

(c) Aus (a) und (b) folgt für alle x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} die Beziehung

(S_{j}^{∗}S_{i}x)_{a} = (S_{i}x)_{(j,a)} = δ_{i,j}x_{a} (a ∈ F)

und somit gilt S_{j}^{∗}S_{i} = δ_{i,j}I_{ℱ^{2}} . Damit ist klar, dass S_{1}, ..., S_{n} Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern sind.

(d) Für alle i ∈ {1, .., n} und x ∈ ℱ^{2} gilt

⟨ S_{i}x , e_{0} ⟩ = (S_{i}x)_{0} =^{(a)} 0 .

Also steht e_{0} senkrecht auf den Bildern der S_{i} (i = 1, ..., n) und damit gilt ⟨e_{0}⟩ ⊂ L. Sei umgekehrt x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ L. Dann folgt x_{a} = ⟨x, e_{a}⟩ = 0 für alle

a = (a_{1}, ..., a_{k}) ∈ F^{∗}, denn

e_{a} = e_{a_{1}} ⊙ e_{(a_{2},...,a_{k})} = S_{a_{1}}e_{(a_{2},...,a_{k})} ∈ S_{a_{1}}ℱ^{2} ⊂ L^{⊥}

und x ∈ L. Also ist

x = x_{0} · e_{0} ∈ ⟨ e_{0} ⟩

und damit ist auch die umgekehrte Inklusion gezeigt.

(e) Nach (c) sind S_{1}, ..., S_{n} Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern. Daher folgt (e) aus 1.3.2.

(f) Nach 1.3.2 ist L ein wandernder Unterraum für S. Zudem gilt

S_{a}L = S_{a}⟨e_{0}⟩ = {e_{a} ⊙ (λ · e_{0}); λ ∈ ℂ} = {λe_{a}; λ ∈ ℂ} = ⟨e_{a}⟩ (a ∈ F)

und damit

M_{F} (L, S) = ℓ^{2} − ⨁_{a∈F} S_{a}L = ℓ^{2} − ⨁_{a∈F}⟨e_{a}⟩ = ℱ^{2} .

Also ist S ein n-Shift auf ℱ^{2}.

Bemerkung 1.3.5. Aus dem obigen Lemma 1.3.4 überlegt man sich leicht die folgenden Aussagen für die Operatoren S_{a}^{∗} und S_{b} (a, b ∈ F).

(a) Es gilt S_{b}e_{c} = e_{(b,c)} für alle b, c ∈ F.

(b) Es gilt

S_{a}^{∗}e_{c} = \{ \begin{matrix}e_{d} & ; & falls ein d ∈ F existiert mit c = (a, d) \\ 0 & ; & sonst \end{matrix}

für alle a, c ∈ F.

(c) Es gilt

S_{a}^{∗}S_{b} = \{ \begin{matrix}S_{d} & ; & falls ein d ∈ F existiert mit b = (a, d) \\ S_{d}^{∗} & ; & falls ein d ∈ F existiert mit a = (b, d) \\ 0 & ; & sonst \end{matrix}

für alle a, b ∈ F. Insbesondere gilt also S_{a}^{∗}S_{a} = I_{ℱ^{2}} (a ∈ F).

Wir interessieren uns im folgenden für die von S erzeugte, norm-abgeschlossene, unitale Unteralgebra A von ℒ(ℱ^{2}), also

A = \overline{Alg(S_{1}, ..., S_{n}, I_{ℱ^{2}} )}^{∥·∥_{ℒ(ℱ^{2})}} .

Wir wollen zeigen, dass A genau aus den Multiplikationsoperatoren von Multiplikatoren aus dem ∥ · ∥_{∞}-Abschluss von P besteht. Später werden wir sehen, dass der schwache Abschluss von A gleich der Menge M aller Multiplikationsoperatoren ist. Zunächst definieren wir

𝒜 = \overline{P}^{∥·∥_{∞}} ⊂ ℳ .

Satz 1.3.6. Es gilt

A = {M_{x}; x ∈ 𝒜} .

Beweis. Für die von S_{1}, ..., S_{n} und I_{ℱ^{2}} erzeugte Unteralgebra von ℒ(ℱ^{2}) gilt

Alg(S_{1}, ..., S_{n}, I_{ℱ^{2}} ) = LH(S_{a}; a ∈ F) .

Offensichtlich ist aber S_{a} gleich dem Multiplikationsoperator mit e_{a}, denn für a = (a_{1}, ..., a_{k}) ∈ F^{∗} ist

S_{a} = S_{a_{1}} ⋯ S_{a_{k}} = M_{e_{a_{1}}} ⋯ M_{e_{a_{k}}} = M_{(e_{a_{1}} ⊙...⊙e_{a_{k}})} = M_{e_{a}}

und es gilt

S_{0} = I_{ℱ^{2}} = M_{e_{0}} .

Damit sind die Linearkombinationen der S_{a} (a ∈ F) genau die Multiplikationsoperatoren zu Linearkombinationen der e_{a}, also zu Polynomen p ∈ P. Es folgt also

Alg(S_{1}, ..., S_{n}, I_{ℱ^{2}} ) = {M_{p}; p ∈ P } = Φ(P) .

Dabei sei Φ die Abbildung, die jedem Multiplikator den zugehörigen Multiplikationsoperator zuordnet, also

Φ : ℳ → ℒ(ℱ^{2}) ; x ↦ M_{x} .

Nach 1.2.5 ist Φ ein isometrischer Isomorphismus von (ℳ, ∥ · ∥_{∞}) nach M mit der Operatornorm. Daher ist

\overline{Φ(P)}^{∥·∥_{ℒ(ℱ^{2})}} = Φ(\overline{P}^{∥·∥_{∞}}) .

Zusammen folgt die Behauptung.

1.4 Der Raum ℋ^{∞}

Für x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ ℱ und 0 < r < 1 definiere man das Element x_{r} ∈ ℱ durch

x_{r} = ∑_{a∈F}( r^{|a|}x_{a} )e_{a} .

Daraus ergeben sich unmittelbar einige Rechenregeln.

Propostion 1.4.1. Seien x, y ∈ ℱ, λ ∈ ℂ und r, s ∈ (0, 1). Dann gelten die folgenden Beziehungen:

(x_{r})_{s} = x_{(r·s)}
(x + y)_{r} = x_{r} + y_{r}
(λ · x)_{r} = λ · x_{r}
(x ⊙ y)_{r} = x_{r} ⊙ y_{r} .

Beweis. Wir wollen exemplarisch die letzte Gleichung beweisen.

Seien dazu also x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a}, y = ∑_{b∈F} y_{b}e_{b} ∈ ℱ und 0 < r < 1. Dann folgt

x_{r} ⊙ y_{r} = ∑_{c∈F}( ∑_{(a,b)=c}(x_{r})_{a} · (y_{r})_{b} ) e_{c}
= ∑_{c∈F}( ∑_{(a,b)=c} r^{|a|}x_{a} · r^{|b|}y_{b} ) e_{c}
= ∑_{c∈F}( ∑_{(a,b)=c} r^{|a|+|b|}x_{a}y_{b} ) e_{c}
= ∑_{c∈F}( r^{|c|} · ∑_{(a,b)=c} x_{a}y_{b} ) e_{c}
= ∑_{c∈F}( (x ⊙ y)_{r} )_{c} e_{c}
= (x ⊙ y)_{r} .

(Man beachte, dass |a| + |b| = |c| für (a, b) = c gilt.) Die ersten drei Gleichungen ergeben sich analog unmittelbar aus der Definition von x_{r}.

Wir wollen im folgenden zeigen, dass x_{r} ∈ ℳ für alle x ∈ ℱ^{2} gilt. Nach 1.2.3 genügt es, x_{r} ∈ ℱ^{1} zu zeigen. Dies tun wir im folgenden Lemma.

Lemma 1.4.2. Für x ∈ ℱ^{2} und 0 < r < 1 ist x_{r} ∈ ℱ^{1} und es gilt

∥x_{r}∥_{1} ≤ (1 − r^{2})^{− \frac{1}{2}} · ∥x∥_{2} .

Beweis. Seien x = (x_{m})_{m∈ℕ} ∈ ℱ^{2} (x_{m} ∈ ℋ_{n}^{⊗m} für m ∈ ℕ) und 0 < r < 1 gegeben. Damit ergibt sich x_{r} = (r^{m}x_{m})_{m∈ℕ} und für M ∈ ℕ gilt

∑_{m=0}^{M} ∥r^{m}x_{m}∥

= ∑_{m=0}^{M} r^{m} · ∥x_{m}∥

≤ ( ∑_{m=0}^{M}(r^{m})^{2} )^{\frac{1}{2}} · ( ∑_{m=0}^{M} ∥x_{m}∥^{2} )^{\frac{1}{2}} (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)

≤ ( ∑_{m=0}^{∞} r^{2m} )^{\frac{1}{2}} · ( ∑_{m=0}^{∞} ∥x_{m}∥^{2} )^{\frac{1}{2}}
= (1 − r^{2})^{− \frac{1}{2}} · ∥x∥_{2} .

Für M → ∞ folgt nun x_{r} ∈ ℱ^{1} und ∥x_{r}∥_{1} ≤ (1 − r^{2})^{− \frac{1}{2}} · ∥x∥_{2}, was zu zeigen war.

Aus obigem Lemma 1.4.2 ergibt sich zusammen mit 1.2.3 unmittelbar der folgende Satz.

Satz 1.4.3. Seien x ∈ ℱ^{2} und 0 < r < 1. Dann ist x_{r} ∈ ℳ und es gilt

∥x_{r}∥_{∞} ≤ (1 − r^{2})^{− \frac{1}{2}} · ∥x∥_{2} .

Also ist für x ∈ ℱ^{2} die Abbildung M_{x_{r}} ein stetig linearer Operator auf ℱ^{2} für jedes 0 < r < 1. Wir betrachten nun die Elemente x ∈ ℱ^{2}, für die ∥M_{x_{r}}∥ (beziehungsweise ∥x_{r}∥_{∞}) für 0 < r < 1 beschränkt bleibt, und definieren

ℋ^{∞} = {x ∈ ℱ^{2}; ∥x∥_{ℋ^{∞}} = sup_{0<r<1} ∥M_{x_{r}}∥ < ∞} .

Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen, dass dies lediglich eine neue Charakterisierung von (ℳ, ∥ · ∥_{∞}) darstellt, das heißt

ℋ^{∞} = ℳ und ∥ · ∥_{ℋ^{∞}} = ∥ · ∥_{∞}

soll gezeigt werden. Dazu zeigen wir zunächst, dass (ℋ^{∞}, ∥ · ∥_{ℋ^{∞}} ) ein normierter Raum ist.

Propostion 1.4.4. Die Funktion

∥ · ∥_{ℋ^{∞}} : ℋ^{∞} → ℝ ; x ↦ sup_{0<r<1} ∥M_{x_{r}}∥

ist eine Norm auf dem Unterraum ℋ^{∞} von ℱ^{2}.

Beweis. Es ist klar, dass 0 ∈ ℋ^{∞} mit ∥0∥_{ℋ^{∞}} = 0 ist. Ist x ∈ ℋ^{∞}, so ist offensichtlich ∥x∥_{ℋ^{∞}} ≥ 0 und aus ∥x∥_{ℋ^{∞}} = 0 folgt x = 0. Seien nun x ∈ ℋ^{∞} und λ ∈ ℂ. Dann gilt (λ · x)_{r} = λ · x_{r} für alle r ∈ (0, 1) und damit

sup_{0<r<1} ∥M_{(λ·x)_{r}}∥ = sup_{0<r<1} ∥M_{(λ·x_{r})}∥
= sup_{0<r<1} ∥λM_{x_{r}}∥
= sup_{0<r<1} |λ| · ∥M_{x_{r}}∥
= |λ| · ∥x∥_{ℋ^{∞}} < ∞ .

Also folgt

λ · x ∈ ℋ^{∞} und ∥λ · x∥_{ℋ^{∞}} = |λ| · ∥x∥_{ℋ^{∞}} .

Nun ist noch die Abgeschlossenheit von ℋ^{∞} bezüglich der Addition und die Dreiecksungleichung zu zeigen. Seien also x, y ∈ ℋ^{∞}. Dann gilt (x + y)_{r} = x_{r} + y_{r} für alle r ∈ (0, 1) und damit folgt

sup_{0<r<1} ∥M_{(x+y)_{r}}∥ = sup_{0<r<1} ∥M_{(x_{r}+y_{r})}∥
= sup_{0<r<1} ∥M_{x_{r}} + M_{y_{r}}∥
≤ sup_{0<r<1}(∥M_{x_{r}}∥ + ∥M_{y_{r}}∥)
≤ sup_{0<r<1} ∥M_{x_{r}}∥ + sup_{0<r<1} ∥M_{y_{r}}∥
= ∥x∥_{ℋ^{∞}} + ∥y∥_{ℋ^{∞}} < ∞ .

Also ist x + y ∈ ℋ^{∞} mit ∥x + y∥_{ℋ^{∞}} ≤ ∥x∥_{ℋ^{∞}} + ∥y∥_{ℋ^{∞}} . Damit ist gezeigt, dass (ℋ^{∞}, ∥ · ∥_{ℋ^{∞}} ) ein normierter Raum ist.

Als nächstes zeigen wir die Abschätzung ∥·∥_{∞} ≤ ∥·∥_{ℋ^{∞}} und damit die Inklusion ℋ^{∞} ⊂ ℳ. Außerdem kann der Operator M_{x} für x ∈ ℋ^{∞} in der schwachen Operatortopologie durch die Operatoren M_{x_{r}} für r ↑ 1 approximiert werden. Zum Beweis brauchen wir noch die folgende Bemerkung.

Bemerkung 1.4.5. In [17] (Theorem 1.8) wird gezeigt, dass die abgeschlossene Einheitskugel in ℒ(ℋ) (für einen Hilbertraum ℋ) WOT-kompakt ist und damit sind beliebige abgeschlossene Kugeln in ℒ(ℋ) WOT-kompakt. Jede beschränkte Teilmenge von ℒ(ℋ) ist in einer abgeschlossenen Kugel enthalten und daher relativ kompakt in der WOT-Topologie.

Satz 1.4.6. Für x ∈ ℋ^{∞} gilt

• x ∈ ℳ und ∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{ℋ^{∞}} ,

• M_{x} = lim_{r↑1} M_{x_{r}} in der WOT-Topologie auf ℒ(ℱ^{2}).

Beweis. Sei x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ ℋ^{∞} gegeben. Wir zeigen zunächst, dass für jeden Operator

B ∈ ℒ(ℱ^{2}), der WOT-Limes eines Teilnetzes von (M_{x_{r}})_{0<r<1} ist, bereits By = x ⊙ y für alle y ∈ ℱ^{2} gilt. Sei also B ∈ ℒ(ℱ^{2}) und (M_{x_{(rα)}})_{α∈Λ} ein Teilnetz von (M_{x_{r}})_{0<r<1} mit

WOT − lim_{α∈Λ} M_{x_{(rα)}} = B

und sei y = ∑_{b∈F} y_{b}e_{b} ∈ ℱ^{2}. Dann gilt

(By)_{c} = ⟨ By , e_{c} ⟩
= lim_{α∈Λ} ⟨ M_{x_{(rα)}}y , e_{c} ⟩
= lim_{α∈Λ} ⟨ x_{(r_{α})} ⊙ y , e_{c} ⟩
= lim_{α∈Λ} ∑_{(a,b)=c} r_{α}^{|a|}x_{a}y_{b}

= ∑_{(a,b)=c} x_{a}y_{b} (denn die Summe ist endlich und r_{α} ⟶^{α∈Λ} 1 )
= (x ⊙ y)_{c}

für alle c ∈ F und somit gilt By = x ⊙ y. Nach Definition von ℋ^{∞} ist die Menge {M_{x_{r}}; 0 < r < 1} ⊂ ℒ(ℋ) normbeschränkt und damit relativ WOT-kompakt. Somit hat (M_{x_{r}})_{0<r<1} ein WOTkonvergentes Teilnetz, das — wie wir oben gesehen haben — gegen einen Operator B ∈ ℒ(ℱ^{2}) mit By = x ⊙ y (y ∈ ℱ^{2}) konvergiert. Also ist x ⊙ y ∈ ℱ^{2} für y ∈ ℱ^{2} und damit ist x ∈ ℳ. Da auch jedes Teilnetz von (M_{x_{r}})_{0<r<1} ein WOTkonvergentes Teilnetz hat und dessen WOT-Limes ebenfalls M_{x} sein muss, folgt schließlich, dass (M_{x_{r}})_{0<r<1} selbst WOT gegen M_{x} konvergiert. Da die Kugel {B ∈ ℒ(ℱ^{2}); ∥B∥ ≤ ∥x∥_{ℋ^{∞}} } ⊂ ℒ(ℱ^{2}) abgeschlossen in der WOT-Topologie von ℒ(ℱ^{2}) ist, überträgt sich die Abschätzung

∥M_{x_{r}}∥ ≤ ∥x∥_{ℋ^{∞}} (0 < r < 1)

auf den WOT-Limes M_{x}, das heißt es gilt

∥x∥_{∞} =^{1.2.5} ∥M_{x}∥ ≤ ∥x∥_{ℋ^{∞}} .

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Damit sind eine Inklusion zwischen ℋ^{∞} und ℱ^{∞} und eine Ungleichung zwischen den entsprechenden Normen gezeigt. Für die umgekehrten Beziehungen benutzen wir einen Operator Ψ_{T} : ℒ(ℱ^{2}) → ℒ(ℋ) für eine C_{·0}-Kontraktion T ∈ ℒ(ℋ)^{n} auf einem Hilbertraum ℋ, den Arias und Popescu in [3] (Abschnitt 3) entwickeln. Wir beginnen mit der Definition einer C_{·0}-Kontraktion.

Definition 1.4.7. Seien ℋ ein Hilbertraum und T_{1}, ..., T_{n} ∈ ℒ(ℋ). Das Tupel T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} heißt n-Kontraktion auf ℋ, falls

∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} ≤ I_{ℋ}

gilt. Eine n-Kontraktion T = (T_{1}, ..., T_{n}) heißt C_{·0}-Kontraktion, falls

SOT − lim_{k→∞} ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗} = 0

ist.

Eine andere Charakterisierung für C_{·0}-Kontraktionen wird im folgenden Lemma gegeben.

Lemma 1.4.8.

(a) Sei (T_{k})_{k∈ℕ} eine Folge positiver Operatoren auf einem Hilbertraum ℋ. Falls SOT- lim_{k→∞} Tk^{\frac{1}{2}} = 0 gilt, so folgt auch SOT- lim_{k→∞} T_{k} = 0.

(b) Eine n-Kontraktion T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} auf einem Hilbertraum ℋ ist genau dann eine C_{·0}-Kontraktion, wenn

lim_{k→∞} ∑_{|a|=k} ∥T_{a}^{∗}h∥^{2} = 0

für alle h ∈ ℋ gilt.

Beweis.

(a) Es gelte SOT- lim_{k→∞} Tk^{\frac{1}{2}} = 0. Sei h ∈ ℋ. Nach dem Satz von Fischer-Riesz und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt

∥T_{k}h∥ = sup_{∥g∥=1} |⟨T_{k}h, g⟩|
= sup_{∥g∥=1} |⟨Tk^{\frac{1}{2}} h, Tk^{\frac{1}{2}} g⟩|
≤ sup_{∥g∥=1} ∥Tk^{\frac{1}{2}} h∥ · ∥Tk^{\frac{1}{2}} g∥
= ∥Tk^{\frac{1}{2}} ∥ · ∥Tk^{\frac{1}{2}} h∥

für alle k ∈ ℕ. Die Folge (Tk^{\frac{1}{2}} )_{k} ist punktweise beschränkt (sie ist SOT-kon-vergent) und damit nach dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit auch normbeschränkt. Da außerdem lim_{k→∞} ∥Tk^{\frac{1}{2}} h∥ = 0 gilt, folgt insgesamt lim_{k→∞} ∥T_{k}h∥ = 0, was zu zeigen war.

(b) Sei T zunächst eine C_{·0}-Kontraktion. Dann gilt für alle h ∈ ℋ und k ∈ ℕ

∑_{|a|=k} ∥T_{a}^{∗}h∥^{2} = ⟨ ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗}h , h ⟩ ⟶^{k→∞} 0 ,

denn nach Vorraussetzung gilt ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗}h ⟶^{k→∞} 0.

Umgekehrt setzen wir voraus, dass lim_{k→∞} ∑_{|a|=k} ∥T_{a}^{∗}h∥^{2} = 0 (h ∈ ℋ) gilt.

Da ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗} ∈ ℒ(ℋ) positiv ist, existiert ( ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗} )^{\frac{1}{2}} ∈ ℒ(ℋ) (k ∈ ℕ) und

es folgt für h ∈ ℋ und k ∈ ℕ

∥( ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗})^{\frac{1}{2}} h∥^{2} = ⟨ ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗}h , h ⟩ = ∑_{|a|=k} ∥T_{a}^{∗}h∥^{2} ⟶^{k→∞} 0 .

Mit (a) folgt, dass SOT− lim_{k→∞} ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗} = 0 gilt, T ist also eine C_{·0}-Kontrak-

tion.

Sei nun eine solche C_{·0}-Kontraktion T = (T_{1}, ..., T_{n}) auf einem Hilbertraum ℋ gegeben. Wir definieren den zu T gehörigen Defektoperator

Δ = Δ_{T} = ( I_{ℋ} − ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} )^{\frac{1}{2}} ∈ ℒ(ℋ) .

Damit ist Δ offenbar ein positiver Operator auf ℋ. Weiter sei der zu T gehörige Poisson-Kern K = K_{T} definiert als die lineare Abbildung

K : ℋ → ℱ^{2} ⊗ ℋ ; h ↦ ∑_{a∈F}( e_{a} ⊗ ΔT_{a}^{∗}h ) .

Damit gilt das folgende Lemma.

Lemma 1.4.9. Der Poisson-Kern K ist eine (wohldefinierte) Isometrie, die die Bedingung

K^{∗}( S_{a}S_{b}^{∗} ⊗ I_{ℋ} )K = T_{a}T_{b}^{∗}

für alle a, b ∈ F erfüllt.

Beweis. Sei h ∈ ℋ. Dann gilt

∑_{a∈F} ∥e_{a} ⊗ ΔT_{a}^{∗}h∥^{2} = ∑_{a∈F} ∥e_{a}∥_{2}^{2} · ∥ΔT_{a}^{∗}h∥^{2}
= ∑_{a∈F}⟨ Δ^{2}T_{a}^{∗}h , T_{a}^{∗}h ⟩

= ∑_{a∈F}⟨ (I_{H} − ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗})T_{a}^{∗}h , T_{a}^{∗}h ⟩

= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{|a|=k}( ⟨ T_{a}^{∗}h , T_{a}^{∗}h ⟩ − ∑_{i=1}^{n}⟨ T_{i}^{∗}T_{a}^{∗}h , T_{i}^{∗}T_{a}^{∗}h ⟩ )

= ∑_{k=0}^{∞}( ∑_{|a|=k} ⟨ T_{a}^{∗}h , T_{a}^{∗}h ⟩ − ∑_{|a|=k+1} ⟨ T_{a}^{∗}h , T_{a}^{∗}h ⟩ )
= ∥T_{0}^{∗}h∥^{2} − lim_{k→∞} ∑_{|a|=k+1} ∥T_{a}^{∗}h∥^{2}
= ∥h∥^{2} (denn T ist eine C_{·0}-Kontraktion) .

Für a, b ∈ F mit a ≠ b gilt e_{a} ⊥ e_{b} und somit auch (e_{a} ⊗ ΔT_{a}^{∗}h) ⊥ (e_{b} ⊗ ΔT_{b}^{∗}h). Mit obiger Rechnung folgt daraus, dass ∑_{a∈F}( e_{a} ⊗ ΔT_{a}^{∗}h ) in ℱ^{2} ⊗ ℋ konvergiert

und

∥ ∑_{a∈F}( e_{a} ⊗ ΔT_{a}^{∗}h )∥ = ∥h∥

gilt. Also ist K eine wohldefinierte Isometrie. Es bleibt zu zeigen, dass K^{∗}( S_{a}S_{b}^{∗} ⊗ I_{ℋ} )K = T_{a}T_{b}^{∗} (a, b ∈ F) gilt. Seien dazu zunächst a ∈ F und h ∈ ℋ. Dann gilt

( S_{a}^{∗} ⊗ I_{H} )Kh = ( S_{a}^{∗} ⊗ I_{ℋ} )(∑_{c∈F} e_{c} ⊗ ΔT_{c}^{∗}h )
= ∑_{c∈F} S_{a}^{∗}e_{c} ⊗ ΔT_{c}^{∗}h
=^{1.3.5} ∑_{d∈F} e_{d} ⊗ ΔT_{(a,d)}^{∗}h
= ∑_{d∈F} e_{d} ⊗ ΔT_{d}^{∗}T_{a}^{∗}h
= KT_{a}^{∗}h

und es folgt (S_{a}^{∗} ⊗ I_{ℋ} )K = KT_{a}^{∗}. Damit erhält man nun

K^{∗}( S_{a}S_{b}^{∗} ⊗ I_{ℋ} )K = K^{∗}( S_{a} ⊗ I_{ℋ} )( S_{b}^{∗} ⊗ I_{ℋ} )K
= ( ( S_{a}^{∗} ⊗ I_{ℋ} )K )^{∗} ( S_{b}^{∗} ⊗ I_{ℋ} )K
= (KT_{a}^{∗})^{∗}KT_{b}^{∗}
= T_{a}K^{∗}KT_{b}^{∗}
= T_{a}T_{b}^{∗} (K ist Isometrie)

für alle a, b ∈ F. Damit ist die Behauptung gezeigt.

Wir definieren nun

Ψ = Ψ_{T} : ℒ(ℱ^{2}) → ℒ(ℋ) ; B ↦ K^{∗}( B ⊗ I_{ℋ} )K .

Mit dem nächsten Satz werden grundlegende Eigenschaften dieser Abbildung gezeigt.

Satz 1.4.10. Der Operator Ψ ist unital, vollständig kontraktiv, vollständig positiv und erfüllt

Ψ(S_{a}S_{b}^{∗}) = T_{a}T_{b}^{∗}

für alle a, b ∈ F.

Beweis. Es gilt

Ψ(I_{ℱ^{2}} ) = K^{∗}( I_{ℱ^{2}} ⊗ I_{ℋ} )K = K^{∗}K = I_{ℋ} ,

denn K ist eine Isometrie. Also ist Ψ unital. Die Abbildung

π : ℒ(ℱ^{2}) → ℒ(ℱ^{2} ⊗ ℋ) ; B ↦ B ⊗ I_{ℋ}

ist offensichtlich ein ∗-Homomorphismus und es gilt K ∈ ℒ(ℱ^{2}, ℱ^{2} ⊗ ℋ) mit ∥K∥ = 1. Wegen Ψ(B) = K^{∗}π(B)K (B ∈ ℒ(ℱ^{2})) folgt nach [15] (Seite 28), dass Ψ vollständig positiv und vollständig kontraktiv ist. Die Bedingung Ψ(S_{a}S_{b}^{∗}) = T_{a}T_{b}^{∗} (a, b ∈ F) folgt unmittelbar aus 1.4.9.

Wir wollen nun diesen Operator Ψ_{T} im Fall T = rS anwenden, wobei S der Vorwärtsshift auf ℱ^{2} und 0 < r < 1 ist. Dazu benötigt man zunächst, dass rS eine C_{·0}-Kontraktion ist. Wir definieren für T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} (ℋ ein Hilbertraum) die Abbildung

Σ_{T} : ℒ(ℋ) → ℒ(ℋ) ; X ↦ ∑_{i=1}^{n} T_{i}XT_{i}^{∗} .

Damit ist offensichtlich Σ_{T} ∈ ℒ(ℒ(ℋ)) und es gilt das folgende Lemma.

Lemma 1.4.11.

(a) Es ist T genau dann eine n-Kontraktion auf ℋ, wenn ∥Σ_{T} ∥ ≤ 1 gilt.

(b) Für k ∈ ℕ gilt (Σ_{T})^{k}(I_{ℋ} ) = ∑_{|a|=k} T_{a}T_{a}^{∗}.

(c) Für λ ∈ ℂ gilt Σ_{λT} = |λ|^{2}Σ_{T}.

Beweis. Offensichtlich ist Σ_{T} ein positiver Operator. Es gilt also

∥Σ_{T} ∥ = ∥Σ_{T} (I_{ℋ} )∥ = ∥ ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗}∥ .

(Vergleiche etwa [15], Corollary 2.9.)

Da ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} positiv ist, gilt ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} ≤ I_{ℋ} genau dann, wenn ∥ ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗}∥ ≤ 1

ist, und damit folgt Teil (a). Die Teile (b) und (c) lassen sich leicht nachrechnen.

Lemma 1.4.12.

(a) Für eine n-Kontraktion T ∈ ℒ(ℋ)^{n} auf ℋ und 0 < r < 1 ist rT eine C_{·0}- Kontraktion auf ℋ.

(b) Ist S = (S_{1}, ..., S_{n}) = (M_{e_{1}}, ..., M_{e_{n}}) ∈ ℒ(ℱ^{2})^{n} der Vorwärtsshift auf ℱ^{2} und 0 < r < 1, so ist rS eine C_{·0}-Kontraktion auf ℱ^{2}.

Beweis.

(a) Nach 1.4.11 ist

∥Σ_{rT} ∥ = r^{2}∥Σ_{T} ∥ ≤ r^{2} < 1 .

Damit gilt (Σ_{rT})^{k} ⟶^{k→∞} 0 in ℒ(ℒ(ℋ)) und somit insbesondere

∑_{|a|=k}(rT)_{a}(rT)_{a}^{∗} = (Σ_{rT})^{k}(I_{ℋ} ) ⟶^{k→∞} 0 .

Somit ist rT eine C_{·0}-Kontraktion auf ℋ.

(b) In 1.3.4 (e) haben wir gesehen, dass

∑_{i=1}^{n} S_{i}S_{i}^{∗} ≤ I_{ℱ^{2}}

gilt. Also ist S eine n-Kontraktion. Mit (a) folgt die Behauptung.

Also ist rS (0 < r < 1) eine C_{·0}-Kontraktion auf ℱ^{2}. Man kann also wie oben den Defektoperator Δ_{rS}, den Poisson-Kern K_{rS} und den Operator Ψ_{rS} bilden. Für einen Multiplikator x ∈ ℳ kann man dann den stetig linearen Operator M_{x} in Ψ_{rS} einsetzen. Unser Ziel ist es, zu zeigen, dass das Ergebnis dann der zu x_{r} gehörige Multiplikationsoperator M_{x_{r}} ist, es soll also die Beziehung

Ψ_{rS}(M_{x}) = M_{x_{r}} (x ∈ ℳ, 0 < r < 1)

gezeigt werden. Dann folgt die Abschätzung

∥M_{x_{r}}∥ ≤ ∥M_{x}∥ = ∥x∥_{∞}

aus der Tatsache, dass Ψ_{rS} kontraktiv ist. Schließlich ergibt sich daraus

ℳ ⊂ ℋ^{∞} und ∥x∥_{ℋ^{∞}} ≤ ∥x∥_{∞} für x ∈ ℋ^{∞} .

Zunächst berechnen wir den Defektoperator Δ_{rS}.

Lemma 1.4.13. Sei S der Vorwärtsshift auf ℱ^{2} und 0 < r < 1. Sei Δ_{rS} ∈ ℒ(ℱ^{2}) der Defektoperator zu der C_{·0}-Kontraktion rS. Dann gilt

Δ_{rS}^{2} = (1 − r^{2})I_{ℱ^{2}} + r^{2}P_{0} ,

wobei P_{0} ∈ ℒ(ℱ^{2}) die orthogonale Projektion in ℱ^{2} auf den Unterraum ⟨ e_{0} ⟩ ist, also

P_{0} : ℱ^{2} → ℱ^{2} ; ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ↦ x_{0}e_{0} .

Beweis. Nach 1.3.4 (e) gilt

∑_{i=1}^{n} S_{i}S_{i}^{∗} = I_{ℱ^{2}} − P_{0}

und daraus folgt

Δ_{rS}^{2} = I_{ℱ^{2}} − ∑_{i=1}^{n} rS_{i}rS_{i}^{∗}
= I_{ℱ^{2}} − r^{2}( I_{ℱ^{2}} − P_{0} )
= (1 − r^{2})I_{ℱ^{2}} + r^{2}P_{0} ,

was zu zeigen war.

Satz 1.4.14. Sei 0 < r < 1 und x ∈ ℳ. Dann gilt

Ψ_{rS}(M_{x}) = M_{x_{r}} .

Beweis. Nach Definition des Kalküls Ψ_{rS} gilt

Ψ_{rS}(M_{x}) = K_{rS}^{∗}( M_{x} ⊗ I_{ℱ^{2}} )K_{rS} ,

wobei der Poisson-Kern

K_{rS} : ℱ^{2} → ℱ^{2} ⊗ ℱ^{2}

durch

K_{rS} y = ∑_{a∈F}( e_{a} ⊗ Δ_{rS}(rS)_{a}^{∗}y ) = ∑_{a∈F} r^{|a|} · ( e_{a} ⊗ Δ_{rS}S_{a}^{∗}y ) (y ∈ ℱ^{2})

gegeben ist. Es genügt zu zeigen, dass die Beziehung

⟨ Ψ_{rS}(M_{x})y , z ⟩ = ⟨ M_{x_{r}}y , z ⟩

für alle y, z ∈ ℱ^{2} gilt.

Seien also y = ∑_{a∈F} y_{a}e_{a}, z = ∑_{b∈F} z_{b}e_{b} ∈ ℱ^{2}. Dann gilt

⟨ Ψ_{rS}(M_{x})y , z ⟩
= ⟨ K_{rS}^{∗}( M_{x} ⊗ I_{ℱ^{2}} )K_{rS} y , z ⟩
= ⟨ ( M_{x} ⊗ I_{ℱ^{2}} )K_{rS} y , K_{rS} z ⟩
= ⟨ ( M_{x} ⊗ I_{ℱ^{2}} )( ∑_{a∈F} r^{|a|} · ( e_{a} ⊗ Δ_{rS}S_{a}^{∗}y ) ) , ∑_{b∈F} r^{|b|} · ( e_{b} ⊗ Δ_{rS}S_{b}^{∗}z ) ⟩
= ∑_{a,b∈F} r^{|a|+|b|} · ⟨ ( x ⊙ e_{a} ) ⊗ Δ_{rS}S_{a}^{∗}y , e_{b} ⊗ Δ_{rS}S_{b}^{∗}z ⟩
= ∑_{a,b∈F} r^{|a|+|b|} · ⟨ x ⊙ e_{a} , e_{b} ⟩ · ⟨ Δ_{rS}S_{a}^{∗}y , Δ_{rS}S_{b}^{∗}z ⟩ .

Für a, b ∈ F gilt

x ⊙ e_{a} = ∑_{c∈F} x_{c}e_{(c,a)}

und daraus folgt

⟨ x ⊙ e_{a} , e_{b} ⟩ = x_{c}, falls ein c ∈ F existiert mit b = (c, a),

und

⟨ x ⊙ e_{a} , e_{b} ⟩ = 0 sonst.

Außerdem gilt im Fall b = (c, a) mit c ∈ F

|a| + |b| = 2|a| + |c|

sowie

⟨ Δ_{rS}S_{a}^{∗}y , Δ_{rS}S_{b}^{∗}z ⟩
= ⟨ Δ_{rS}^{2}S_{a}^{∗}y , S_{a}^{∗}S_{c}^{∗}z ⟩
=^{1.4.13} ⟨ ( (1 − r^{2})I_{ℱ^{2}} + r^{2}P_{0} )S_{a}^{∗}y , S_{a}^{∗}S_{c}^{∗}z ⟩
= (1 − r^{2}) · ⟨ S_{a}^{∗}y , S_{a}^{∗}S_{c}^{∗}z ⟩ + r^{2} · ⟨ P_{0}S_{a}^{∗}y , S_{a}^{∗}S_{c}^{∗}z ⟩
= (1 − r^{2}) · ∑_{d∈F} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}} + r^{2} · y_{a}\overline{z_{(c,a)}}
= y_{a}\overline{z_{(c,a)}} + (1 − r^{2}) · ∑_{d∈F^{∗}} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}} .

(Man beachte dabei, dass Δ_{rS} selbstadjungiert ist und dass S_{(c,a)}^{∗} = S_{a}^{∗}S_{c}^{∗} gilt.) Setzt man dies alles in obige Gleichung ein, so erhält man

⟨ Ψ_{rS}(M_{x})y , z ⟩
= ∑_{a,c∈F} [r^{2|a|+|c|} · x_{c} · ( y_{a}\overline{z_{(c,a)}} + (1 − r^{2}) · ∑_{d∈F^{∗}} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}} )]
= ∑_{c∈F} [r^{|c|}x_{c} ∑_{a∈F} ( r^{2|a|}y_{a}\overline{z_{(c,a)}} + r^{2|a|}(1 − r^{2}) ∑_{d∈F^{∗}} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}} )]

= ∑_{c∈F}(x_{r})_{c}[ ∑_{m=0}^{∞} r^{2m} ∑_{|a|=m} y_{a}\overline{z_{(c,a)}}

+ ∑_{m=0}^{∞}( r^{2m} − r^{2(m+1)} ) ∑_{|a|=m} ∑_{d∈F^{∗}} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}} ] .

Nun berechnen wir die zweite Summe über m in diesem Ausdruck. Durch eine Indexverschiebung im zweiten Teil ergibt sich

∑_{m=0}^{∞}( r^{2m} − r^{2(m+1)} ) ∑_{|a|=m} ∑_{d∈F^{∗}} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}}

= ∑_{m=0}^{∞} r^{2m} ∑_{|a|=m} ∑_{d∈F^{∗}} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}} − ∑_{m=1}^{∞} r^{2m} ∑_{|a|=m−1} ∑_{d∈F^{∗}} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}}

= ∑_{m=0}^{∞} r^{2m} ∑_{|a|=m} ∑_{d∈F^{∗}} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}} − ∑_{m=1}^{∞} r^{2m} ∑_{|a|=m} ∑_{d∈F} y_{(a,d)}\overline{z_{(c,a,d)}}

= ∑_{d∈F^{∗}} y_{d}\overline{z_{(c,d)}} − ∑_{m=1}^{∞} r^{2m} ∑_{|a|=m} y_{a}\overline{z_{(c,a)}} .

Beim zweiten Gleichheitszeichen beachte man dabei, dass für m ∈ ℕ^{∗} der Index (a, d) auf beiden Seiten die selben Elemente durchläuft, denn für a ∈ F mit |a| = m − 1 und d = (d_{1}, ..., d_{k}) ∈ F^{∗} ist

(a, d) = (a, d_{1}, d_{2}, ..., d_{k}) = (ã, d̃)

mit ã = (a, d_{1}) und d̃ = (d_{2}, ..., d_{k}), also ã ∈ F mit |ã| = m und d̃ ∈ F (umgekehrt analog). Nun kann man dieses Ergebnis in die Berechnung von ⟨ Ψ_{rS}(M_{x})y , z ⟩ einsetzen. Man erhält

⟨ Ψ_{rS}(M_{x})y , z ⟩
= ∑_{c∈F}(x_{r})_{c}[ ∑_{m=0}^{∞} r^{2m} ∑_{|a|=m} y_{a}\overline{z_{(c,a)}} + ∑_{d∈F^{∗}} y_{d}\overline{z_{(c,d)}} − ∑_{m=1}^{∞} r^{2m} ∑_{|a|=m} y_{a}\overline{z_{(c,a)}} ]
= ∑_{c∈F}(x_{r})_{c}[ y_{0}\overline{z_{c}} + ∑_{d∈F^{∗}} y_{d}\overline{z_{(c,d)}} ]
= ∑_{c∈F} ∑_{d∈F}(x_{r})_{c} y_{d} \overline{z_{(c,d)}}

=^{(∗)} ∑_{a∈F}( ∑_{(c,d)=a}(x_{r})_{c}y_{d} ) · \overline{z_{a}}
= ∑_{a∈F}(x_{r} ⊙ y)_{a} · \overline{z_{a}}
= ⟨ x_{r} ⊙ y , z ⟩
= ⟨ M_{x_{r}}y , z ⟩ .

(Für (∗) benutzen wir, dass man F × F als disjunkte Vereinigung

F × F = ⋃_{a∈F}{(c, d); (c, d) = a}

schreiben kann.) Da y, z ∈ ℱ^{2} beliebig waren, folgt schließlich

Ψ_{rS}(M_{x}) = M_{x_{r}} ,

was zu zeigen war.

Aus diesem Satz folgt nun, wie bereits oben angedeutet, die Gleichheit der Räume

( ℳ, ∥ · ∥_{∞} ) und ( ℋ^{∞}, ∥ · ∥_{ℋ^{∞}} ) .

Korollar 1.4.15. Es gilt ℳ = ℋ^{∞} und ∥x∥_{∞} = ∥x∥_{ℋ^{∞}} für alle x ∈ ℳ.

Beweis. Nach 1.4.6 gilt ℋ^{∞} ⊂ ℳ und ∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{ℋ^{∞}} für alle x ∈ ℋ^{∞}. Sei also x ∈ ℳ. Dann gilt für 0 < r < 1

∥M_{x_{r}}∥ =^{1.4.14} ∥Ψ_{rS}(M_{x})∥ ≤ ∥M_{x}∥ =^{1.2.5} ∥x∥_{∞} ,

denn Ψ_{rS} ist kontraktiv nach 1.4.10. Also folgt

sup_{0<r<1} ∥M_{x_{r}}∥ ≤ ∥x∥_{∞} < ∞

und damit ist x ∈ ℋ^{∞} mit

∥x∥_{ℋ^{∞}} ≤ ∥x∥_{∞} .

1.5 Die vom Shift erzeugte, WOT-abgeschlossene, unitale Algebra

In Abschnitt 1.3 wurde die vom Vorwärtsshift S = (S_{1}, ..., S_{n}) ∈ ℒ(ℱ^{2})^{n} erzeugte, abgeschlossene, unitale Unteralgebra A von ℒ(ℱ^{2}) untersucht, also

A = \overline{Alg(S_{1}, ..., S_{n}, I_{ℱ^{2}} )}^{ℒ(ℱ^{2})} .

In 1.3.6 wurde gezeigt, dass A gleich der Menge der Multiplikationsoperatoren zu Multiplikatoren aus der Menge

𝒜 = \overline{P}^{∥·∥_{∞}} ⊂ ℳ

ist, das heißt es gilt

A = {M_{x}; x ∈ 𝒜} .

Also folgt insbesondere

A ⊂ M = {M_{x}; x ∈ ℳ} .

Ziel dieses Abschnitts ist es, zu zeigen, dass der Abschluss von A in der schwachen Operatortopologie gleich M ist. Man erhält eine Inklusion, indem man zeigt, dass M WOT-abgeschlossen ist.

Satz 1.5.1. M ist abgeschlossen in der WOT-Topologie von ℒ(ℱ^{2}).

Beweis. Sei (x_{i})_{i∈I} ein Netz in ℳ und B ∈ ℒ(ℱ^{2}), so dass

WOT − lim_{i∈I} M_{x_{i}} = B

ist, das heißt es gilt

lim_{i∈I}⟨ M_{x_{i}}y , z ⟩ = ⟨ By , z ⟩

für alle y, z ∈ ℱ^{2}. Wir müssen zeigen, dass B ∈ M gilt, es muss also einen Multiplikator x ∈ ℳ mit B = M_{x} geben. Dazu betrachten wir zunächst ein festes a ∈ F und untersuchen das Bild von e_{a} unter B. Wir wollen zeigen, dass es ein Element x^{a} ∈ ℱ^{2} mit

Be_{a} = x^{a} ⊙ e_{a}

gibt. Definiere

E_{a} = {x ⊙ e_{a}; x ∈ ℱ^{2}} ⊂ ℱ^{2} .

Zu zeigen ist, dass Be_{a} ∈ E_{a} gilt. Da E_{a} ein abgeschlossener Unterraum von ℱ^{2} ist, genügt es für z ∈ ℱ^{2} die Implikation

z ⊥ E_{a} ⇒ z ⊥ Be_{a}

zu zeigen. Für z ∈ ℱ^{2} mit z ⊥ E_{a} gilt aber für alle i ∈ I

⟨ x_{i} ⊙ e_{a} , z ⟩ = 0

und demzufolge

⟨ Be_{a} , z ⟩ = lim_{i∈I}⟨ x_{i} ⊙ e_{a} , z ⟩ = 0 .

Also ist z ⊥ Be_{a} und daher gibt es für jedes a ∈ F ein x^{a} ∈ ℱ^{2} mit

Be_{a} = x^{a} ⊙ e_{a} .

Als nächstes wollen wir zeigen, dass x^{a} unabhängig von a ist. Für alle a, b ∈ F gilt

0 = lim_{i∈I}⟨ ( M_{x_{i}} − B )e_{a} , e_{(b,a)} ⟩
= lim_{i∈I}⟨ ( x_{i} − x^{a} ) ⊙ e_{a} , e_{(b,a)} ⟩
= lim_{i∈I}⟨ x_{i} − x^{a} , e_{b} ⟩
= lim_{i∈I}⟨ x_{i} , e_{b} ⟩ − ⟨ x^{a} , e_{b} ⟩ .

Also gilt

⟨ x^{a} , e_{b} ⟩ = lim_{i∈I}⟨ x_{i} , e_{b} ⟩

und daher ist ⟨ x^{a} , e_{b} ⟩ für alle b ∈ F unabhängig von a. Also ist auch x^{a} unabhängig von a. Es gibt also ein x ∈ ℱ^{2} mit

Be_{a} = x ⊙ e_{a}

für alle a ∈ F. Weiter gilt für alle Polynome p = ∑_{|a|≤m} p_{a}e_{a} ∈ (P)_{1} in der abgeschlossenen

Einheitskugel von ℱ^{2} die Abschätzung

∥x ⊙ p∥_{2} = ∥x ⊙ ∑_{|a|≤m} p_{a}e_{a}∥_{2}
= ∥ ∑_{|a|≤m} p_{a}(x ⊙ e_{a})∥_{2}
= ∥ ∑_{|a|≤m} p_{a}(Be_{a})∥_{2}
= ∥Bp∥_{2}
≤ ∥B∥ · ∥p∥_{2}
≤ ∥B∥ .

Damit ist

sup_{p∈(P)_{1}} ∥x ⊙ p∥_{2} ≤ ∥B∥ < ∞ ,

also ist x ∈ ℳ nach 1.2.5. Damit ist nach 1.2.2 der zu x gehörige Multiplikationsoperator M_{x} stetig. Wie oben sieht man, dass M_{x} und B auf den Polynomen übereinstimmen. Diese liegen aber dicht in ℱ^{2}. Da auch B stetig ist, folgt schließlich

B = M_{x} ,

was zu zeigen war.

Also ist M WOT-abgeschlossen. Wegen A ⊂ M erhält man unmittelbar das folgende Korollar.

Korollar 1.5.2. Es gilt

\overline{A}^{WOT} ⊂ M .

Für die umgekehrte Inklusion betrachte man einen Multiplikationsoperator M_{x} zu einem Multiplikator x ∈ ℳ. Nach 1.4.6 gilt

M_{x} = WOT − lim_{r↑1} M_{x_{r}} .

Kann man zeigen, dass M_{x_{r}} ∈ A für alle 0 < r < 1 gilt, so folgt damit M_{x} ∈ \overline{A}^{WOT} und man hat die umgekehrte Inklusion gezeigt. Nach 1.3.6 ist A gegeben als die Menge der Multiplikationsoperatoren zu Elementen aus

𝒜 = \overline{P}^{∥·∥_{∞}} .

Es genügt also zu zeigen, dass x_{r} ∈ 𝒜 gilt, das heißt, dass sich x_{r} bezüglich ∥ · ∥_{∞} durch Polynome approximieren lässt (0 < r < 1). Im nächsten Lemma wird dies sogar für alle x ∈ ℱ^{2} gezeigt.

Lemma 1.5.3. Für x ∈ ℱ^{2} und 0 < r < 1 gilt x_{r} ∈ 𝒜.

Beweis. Sei x ∈ ℱ^{2} und 0 < r < 1. Da die Polynome dicht in ℱ^{2} liegen, gibt es eine Folge (p_{k})_{k∈ℕ} in P mit

lim_{k→∞} ∥x − p_{k}∥_{2} = 0 .

Es gilt weiter

(x − p_{k})_{r} = x_{r} − (p_{k})_{r}

und nach 1.4.3 folgt

∥x_{r} − (p_{k})_{r}∥_{∞} = ∥(x − p_{k})_{r}∥_{∞} ≤ (1 − r^{2})^{− \frac{1}{2}} · ∥x − p_{k}∥_{2} ⟶^{k→∞} 0 .

Wegen p_{k} ∈ P ist auch (p_{k})_{r} ∈ P (k ∈ ℕ). Daher ist ((p_{k})_{r})_{k∈ℕ} eine Folge von Polynomen, die bezüglich ∥ · ∥_{∞} gegen x_{r} konvergiert, und damit ist

x_{r} ∈ \overline{P}^{∥·∥_{∞}} = 𝒜 .

Es wurde bereits gezeigt, dass hieraus die umgekehrte Inklusion in 1.5.2 folgt. Damit ist der folgende Satz bewiesen.

Satz 1.5.4. Der Abschluss von A in der schwachen Operatortopologie ist gleich der Menge aller Multiplikationsoperatoren, also

\overline{A}^{WOT} = M .

Bemerkung 1.5.5.

(a) Nach Definition ist A der Operatornorm-Abschluss der von S_{1}, ..., S_{n} und I_{ℱ^{2}} erzeugten Unteralgebra von ℒ(ℱ^{2}). Da die WOT-Topologie gröber als die Normtopologie ist, folgt für den WOT-Abschluss von A

\overline{A}^{WOT} = \overline{\overline{Alg(S_{1}, ..., S_{n}, I_{ℱ^{2}} )}^{∥·∥_{ℒ(ℱ^{2})}}} ^{WOT} = \overline{Alg(S_{1}, ..., S_{n}, I_{ℱ^{2}} )}^{WOT} .

Also besagt 1.5.4, dass die Menge M der Multiplikationsoperatoren die kleinste WOT-abgeschlossene Unteralgebra von ℒ(ℱ^{2}) ist, die S_{1}, ..., S_{n} und I_{ℱ^{2}} enthält.

(b) Sei τ_{ω^{∗}} die ultraschwache Topologie auf ℒ(ℱ^{2}). Da diese stets feiner als die WOT-Topologie ist, folgt aus 1.5.4 unmittelbar

\overline{A}^{τ_{ω^{∗}}} ⊂ \overline{A}^{WOT} = M .

In 1.4.6 wurde für x ∈ ℋ^{∞} = ℳ gezeigt, dass WOT-lim_{r↑1} M_{x_{r}} = M_{x} gilt. Da die

ultraschwache Topologie und die WOT-Topologie auf normbeschränkten Teilmengen übereinstimmen (vergleiche [17], Lemma in 1.3) und

sup_{0<r<1} ∥M_{x_{r}}∥ = ∥x∥_{ℋ^{∞}} < ∞

gilt, folgt sogar

τ_{ω^{∗}} − lim_{r↑1} M_{x_{r}} = M_{x} (x ∈ ℳ) .

Mit 1.5.3 erhält man

\overline{A}^{τ_{ω^{∗}}} = M .

1.6 Der Kommutant der Rechtsmultiplikationsoperatoren

Wir haben in 1.5.4 gesehen, dass M als unitale, WOT-abgeschlossene Unteralgebra in ℒ(ℱ^{2}) vom Linksvorwärtsshift S erzeugt wird. Wir definieren nun den Rechtsvorwärtsshift R = (R_{1}, ..., R_{n}) ∈ ℒ(ℱ^{2})^{n} auf ℱ^{2} als Tupel der Rechtsmultiplikationsoperatoren

R_{i} : ℱ^{2} → ℱ^{2} ; x ↦ x ⊙ e_{i} (i = 1, ..., n) .

Damit ist R — ebenso wie S — ein n-Shift auf ℱ^{2} und wie für S ist L = ⟨e_{0}⟩ wandernd für R mit M_{F} (L, R) = ℱ^{2}. Zunächst bemerken wir, dass S und R miteinander kommutieren und folglich ist M im Kommutant von R enthalten.

Lemma 1.6.1.

(a) Für i, j ∈ {1, ..., n} gilt S_{i}R_{j} = R_{j}S_{i}.

(b) Der Kommutant

(R)′ = (R_{1}, ..., R_{n})′ = {B ∈ ℒ(ℱ^{2}); R_{i}B = BR_{i} für i = 1, ..., n}

von R enthält die Menge M der Multiplikationsoperatoren.

Beweis.

(a) Seien i, j ∈ {1, ..., n} und x ∈ ℱ^{2}. Dann folgt

S_{i}R_{j}x = S_{i}(x ⊙ e_{j}) = e_{i} ⊙ x ⊙ e_{j} = R_{j}(e_{i} ⊙ x) = R_{j}S_{i}x .

(b) Wegen (a) gilt S_{1}, ..., S_{n} ∈ (R)′ und da Kommutanten stets unitale, WOTabgeschlossene Unteralgebren der Algebra der stetig linearen Operatoren sind, folgt

M =^{1.5.4} \overline{Alg(S_{1}, ..., S_{n}, I_{ℱ^{2}} )}^{WOT} ⊂ (R)′ .

(Alternativ dazu sieht man auch direkt, dass für x ∈ ℳ und j = 1, ..., n

M_{x}R_{j}y = x ⊙ y ⊙ e_{j} = R_{j}M_{x}y (y ∈ ℱ^{2})

gilt und damit M_{x} ∈ (R)′ ist.)

Wir wollen im folgenden zeigen, dass auch die umgekehrte Inklusion gilt, es gibt also zu jedem Operator B ∈ ℒ(ℱ^{2}), der mit R_{1}, ..., R_{n} kommutiert, einen Multiplikator x ∈ ℳ mit B = M_{x}. Wir führen zunächst einige Bezeichnungen ein.

Definition 1.6.2.

(a) Für a ∈ F sei \overline{a} ∈ F definiert durch

\overline{(a_{1}, ..., a_{k})} = (a_{k}, ..., a_{1}) (k ∈ ℕ, a_{1}, ..., a_{k} ∈ \{1, ..., n\})

und \overline{0} = 0.

(b) Der Operator

f : ℱ^{2} → ℱ^{2} ; ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ↦ ∑_{a∈F} x\overline{a}e_{a}

heißt Flipoperator auf ℱ^{2}.

Damit erhält man die folgenden Rechenregeln.

Propostion 1.6.3.

(a) Für alle a ∈ F gilt \overline{\overline{a}} = a.

(b) Für alle a, b ∈ F gilt \overline{(a, b)} = (\overline{b}, \overline{a}).

(c) Der Flipoperator f auf ℱ^{2} ist unitär (Insbesondere ist f linear und stetig.) mit f^{2} = I_{ℱ^{2}} .

(d) Für alle x, y ∈ ℱ^{2} gilt f(x ⊙ y) = f(y) ⊙ f(x).

(e) Für den Rechtsvorwärtsshift R = (R_{1}, ..., R_{n}) ∈ ℒ(ℱ^{2})^{n} gilt

R_{a}x = x ⊙ e\overline{a} (a ∈ F) ,

das heißt, der Operator R_{a} wirkt auf ℱ^{2} durch Multiplikation von rechts mit e\overline{a}.

(f) Für a ∈ F gilt S_{a} = fR_{a}f und R_{a} = fS_{a}f.

(g) Für a ∈ F gilt S_{a}^{∗} = fR_{a}^{∗}f und R_{a}^{∗} = fS_{a}^{∗}f.

Beweis. (a)-(c) ergeben sich unmittelbar aus der Definition 1.6.2.

(d) Seien x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a}, y = ∑_{b∈F} y_{b}e_{b} ∈ ℱ^{2} gegeben. Dann gilt für alle c ∈ F

( f(x ⊙ y) )_{c} = (x ⊙ y)\overline{c}
= ∑_{(a,b)=\overline{c}} x_{a}y_{b}

=^{(a),(b)} ∑_{(b,a)=c} x\overline{a}y\overline{b}
= ∑_{(b,a)=c}(fx)_{a}(fy)_{b}
= ( (fy) ⊙ (fx) )_{c}

und somit folgt die Behauptung.

(e) Für a = 0 ist die Behauptung klar, sei also a = (a_{1}, ..., a_{k}) ∈ F^{∗}. Dann gilt

R_{a}x = R_{a_{1}} ⋯ R_{a_{k}}x
= ( R_{a_{2}} ⋯ R_{a_{k}}x ) ⊙ e_{a_{1}}
= ...
= x ⊙ e_{a_{k}} ⊙ ... ⊙ e_{a_{1}}
= x ⊙ e_{(a_{k},...,a_{1})}
= x ⊙ e\overline{a}

für alle x ∈ ℱ^{2}.

(f) Für a ∈ F gilt

R_{a}x =^{(e)} x ⊙ e\overline{a} =^{(c),(d)} f(e_{a} ⊙ (fx)) = fS_{a}fx

für alle x ∈ ℱ^{2}. Damit folgt R_{a} = fS_{a}f und damit

fR_{a}f = f^{2}S_{a}f^{2} =^{(c)} S_{a} (a ∈ F) .

(g) ist klar nach (f) und (c).

Wir definieren weiterhin den Operator

Q : ℱ^{2} → ℂ ; ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ↦ e_{0}

als die Projektion von ℱ^{2} auf die e_{0}-Komponente. Mit den Rechenregeln aus 1.3.5 für den Linksvorwärtsshift S ergibt sich damit für x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ ℱ^{2} und

c ∈ F

QS_{c}^{∗}x = x_{c} .

Offensichtlich gilt Qf = Q und man erhält mit 1.6.3 (g)

QR_{c}^{∗}x = QfS_{c}^{∗}fx = QS_{c}^{∗}fx = (fx)_{c} = x\overline{c}

für x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ ℱ^{2} und c ∈ F.

Nun können wir zu einem Operator B ∈ (R)′ einen Multiplikator x ∈ ℳ mit B = M_{x} konstruieren und damit den folgenden Satz beweisen.

Satz 1.6.4.

(a) Sei B ∈ ℒ(ℱ^{2}) mit BR_{i} = R_{i}B für i = 1, ..., n. Setzt man x_{a} = QR∗ ; \overline{a}Be_{0} ∈ ℂ

für a ∈ F und x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ∈ ℱ, so gilt x ∈ ℳ und B = M_{x}.

(b) Der Kommutant von R ist gleich der Menge der Multiplikationsoperatoren zu Multiplikatoren von ℱ^{2}, es gilt also

(R)′ = M .

Beweis.

(a) Sei y = ∑_{b∈F} y_{b}e_{b} ∈ ℱ^{2}. Nach 1.6.3 (a),(e) gilt e_{b} = e_{0} ⊙ e\overline{\overline{b}} = R\overline{b}e_{0} und es

folgt

y = ∑_{b∈F} y_{b}e_{b} = ∑_{b∈F} y_{b}R\overline{b}e_{0} .

Damit folgt

(By)_{c}  = QR∗ ; \overline{c}By
= ∑_{b∈F} y_{b}QR∗ ; \overline{c}BR\overline{b}e_{0}

=^{B∈(R)′}  ∑_{b∈F} y_{b}QR∗ ; \overline{c}R\overline{b}Be_{0}

=^{(∗)}  ∑_{(a,b)=c} y_{b}QR∗ ; \overline{a}Be_{0}
= ∑_{(a,b)=c} x_{a}y_{b}
= (x ⊙ y)_{c}

für alle c ∈ F.

(Man beachte in (∗), dass

QR∗ ; \overline{c}R\overline{b} =^{1.6.3} QfS∗ ; \overline{c}f^{2}S\overline{b}f
= QS∗ ; \overline{c}S\overline{b}f  (denn Qf = Q und f^{2} = I_{ℱ^{2}} )
=^{1.3.5} \{ \begin{matrix}QS\overline{a}f = 0 & ; & falls ein a ∈ F^{∗} existiert mit \overline{b} = (\overline{c}, \overline{a}) \\ QS∗ ; \overline{a}f = QR∗ ; \overline{a} & ; & falls ein a ∈ F existiert mit \overline{c} = (\overline{b}, \overline{a}) \\ 0 & ; & sonst \end{matrix}

= \{ \begin{matrix}QR∗ ; \overline{a} & ; & falls ein a ∈ F existiert mit c = (a, b) \\ 0 & ; & sonst \end{matrix}

für b, c ∈ F gilt.) Also gilt x ⊙ y = By ∈ ℱ^{2} für alle y ∈ ℱ^{2} und damit ist x ein Multiplikator und der zu x gehörige Multiplikationsoperator M_{x} ist gleich B.

(b) ist klar nach (a) und 1.6.1.

Kapitel 2

Minimale isometrische Dilatation und Wold-Zerlegung

2.1 Poisson-Transformation und Von-Neumann-Ungleichung

Wir definieren für ein Polynom p = ∑_{|a|≤m} p_{a}e_{a} ∈ P ⊂ ℳ (m ∈ ℕ, p_{a} ∈ ℂ) in ℱ

(vergleiche 1.2.4) und ein Tupel T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} von Operatoren auf einem Hilbertraum ℋ den Operator

p(T) = ∑_{|a|≤m} p_{a}T_{a} ∈ ℒ(ℋ) .

In [12], Theorem 2.1 hat Popescu gezeigt, dass dann die Von-Neumann-Ungleichung

∥p(T)∥ ≤ ∥p∥_{∞}

für n-Kontraktionen T und Polynome p ∈ P gilt.

In diesem Abschnitt zeigen wir diese Ungleichung mit Hilfe der Poisson-Transformation Φ_{T} zu einer n-Kontraktion T (vergleiche dazu auch [3]). Wir beginnen mit der Konstruktion der Poisson-Transformation. Es sei S = (S_{1}, ..., S_{n}) der Vorwärtsshift auf ℱ^{2} und C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) die von S_{1}, ..., S_{n} und I_{ℱ^{2}} in ℒ(ℱ^{2}) erzeugte C^{∗}-Algebra. Zunächst geben wir eine Charakterisierung von C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) an.

Lemma 2.1.1. Die von S erzeugte, unitale C^{∗}-Algebra C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) ⊂ ℒ(ℱ^{2}) ist die abgeschlossene lineare Hülle der Operatoren

S_{a}S_{b}^{∗} (a, b ∈ F) .

Beweis. Offensichtlich sind alle Operatoren der Form

S_{a}S_{b}^{∗} (a, b ∈ F)

in C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) enthalten, also ist auch die abgeschlossene lineare Hülle

ℬ = ⋁ (S_{a}S_{b}^{∗}; a, b ∈ F)

eine Teilmenge von C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}). Da außerdem

S_{1}, ..., S_{n}, I_{ℱ^{2}} ∈ ℬ

gilt, genügt es zu zeigen, dass ℬ eine abgeschlossene, ∗-abgeschlossene Unteralgebra von ℒ(ℱ^{2}) ist, um die umgekehrte Inklusion zu zeigen. Es ist klar, dass ℬ ein abgeschlossener Unterraum von ℒ(ℱ^{2}) ist, und wegen

(S_{a}S_{b}^{∗})^{∗} = S_{b}S_{a}^{∗} ∈ ℬ (a, b ∈ F)

ist ℬ auch ∗-abgeschlossen. Die Abgeschlossenheit von ℬ bezüglich der Multiplikation folgt, weil nach 1.3.5 für b, c ∈ F

S_{b}^{∗}S_{c} = \{ \begin{matrix}S_{f}^{∗} & ; & falls ein f ∈ F existiert mit b = (c, f) \\ S_{f} & ; & falls ein f ∈ F existiert mit c = (b, f) \\ 0 & ; & sonst \end{matrix}

gilt, denn damit ist das Produkt zweier Erzeuger von ℬ

(S_{a}S_{b}^{∗})(S_{c}S_{d}^{∗}) (a, b, c, d ∈ F)

von einer der Formen

S_{a}S_{(d,f)}^{∗} (f ∈ F), S_{(a,f)}S_{d}^{∗} (f ∈ F), 0

und damit sicherlich wieder in ℬ, also ist ℬ multiplikativ abgeschlossen.

Sei nun T eine n-Kontraktion auf einem Hilbertraum ℋ. Nach 1.4.12 ist dann rT für jedes r ∈ (0, 1) eine C_{·0}-Kontraktion mit zugehörigem Poisson-Kern

K_{rT} : ℋ → ℱ^{2} ⊗ ℋ ; h ↦ ∑_{a∈F}(e_{a} ⊗ r^{|a|}Δ_{rT} T_{a}^{∗}h)

und

Ψ_{rT} : ℒ(ℱ^{2}) → ℒ(ℋ) ; B ↦ K_{rT}^{∗} (B ⊗ I_{ℋ} )K_{rT} .

Mit dem nächsten Satz zeigen wir, dass Ψ_{rT} (B) für r ↑ 1 in der Normtopologie auf ℒ(ℱ^{2}) konvergiert, falls B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) ist, und erhalten dadurch die zu T gehörige Poisson-Transformation Φ_{T}.

Satz 2.1.2. Für jedes B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) existiert der Grenzwert

Φ_{T} (B) = lim_{r↑1} Ψ_{rT} (B) ∈ ℒ(ℋ)

bezüglich der Operatornorm auf ℒ(ℋ). Die Abbildung

Φ = Φ_{T} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(ℋ) ; B ↦ Φ_{T} (B)

ist ein unitaler, vollständig positiver und vollständig kontraktiver Operator, der die Bedingung

Φ_{T} (S_{a}S_{b}^{∗}) = T_{a}T_{b}^{∗}

für alle a, b ∈ F erfüllt. Man nennt Φ_{T} die zu T gehörige Poisson-Transformation.

Beweis. Zunächst gilt nach 1.4.10 für alle a, b ∈ F und 0 < r < 1

Ψ_{rT} (S_{a}S_{b}^{∗}) = (rT)_{a}(rT)_{b}^{∗} = r^{|a|+|b|}T_{a}T_{b}^{∗} ⟶^{r↑1} T_{a}T_{b}^{∗} (bezüglich ∥ · ∥_{ℒ(ℋ)} ) .

Damit ist Φ_{T} (S_{a}S_{b}^{∗}) wohldefiniert und gleich T_{a}T_{b}^{∗}. Da Ψ_{rT} linear ist (0 < r < 1), existiert lim_{r↑1} Ψ_{rT} (B) ∈ ℒ(ℋ) bezüglich der

Operatornorm auch für alle B ∈ LH(S_{a}S_{b}^{∗}; a, b ∈ F). Da {Ψ_{rT}; 0 < r < 1} beschränkt in der Operatornorm ist (denn ∥Ψ_{rT} ∥ ≤ 1 nach 1.4.10) und LH(S_{a}S_{b}^{∗}; a, b ∈ F) nach 2.1.1 dicht in C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) liegt, existiert lim_{r↑1} Ψ_{rT} (B) für alle B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}).

Also ist Φ_{T} wohldefiniert und offensichtlich linear. Nach 1.4.10 ist Ψ_{rT} für 0 < r < 1 unital, vollständig positiv und vollständig kontraktiv. Man sieht leicht, dass sich diese Eigenschaften auf Φ_{T} übertragen.

Für a ∈ F erhält man aus Φ_{T} (S_{a}) = T_{a} (vergleiche 2.1.2) mit der Linearität von Φ_{T}

p(T) = ∑_{|a|≤m} p_{a}T_{a}
= Φ_{T} ( ∑_{|a|≤m} p_{a}S_{a})
= Φ_{T} (M_{p})

für beliebige Polynome p = ∑_{|a|≤m} p_{a}e_{a} ∈ P.

(Man beachte, dass S_{a} = M_{e_{a}} (a ∈ F) und damit

∑_{|a|≤m} p_{a}S_{a} = ∑_{|a|≤m} p_{a}M_{e_{a}} = M_{( ∑_{|a|≤m} p_{a}e_{a})} = M_{p}

gilt.) Nun folgt aus der Kontraktivität der Poisson-Transformation

∥p(T)∥ = ∥Φ_{T} (M_{p})∥ ≤ ∥M_{p}∥ =^{1.2.5} ∥p∥_{∞} ,

die Von-Neumann-Ungleichung ist also gezeigt.

Korollar 2.1.3. (Von-Neumann-Ungleichung) Für ein Polynom p ∈ P und eine n-Kontraktion T ∈ ℒ(ℋ)^{n} auf einem Hilbertraum ℋ gilt

∥p(T)∥ ≤ ∥p∥_{∞} .

2.2 Minimale isometrische Dilatation

Gegeben seien n ∈ ℕ, ein Hilbertraum ℋ, sowie eine n-Kontraktion T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} auf ℋ, das heißt es gilt

∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} ≤ I_{ℋ} .

Wir definieren zunächst den Begriff einer minimalen isometrischen Dilatation für T.

Definition 2.2.1. Sei T eine n-Kontraktion auf ℋ. Für einen Hilbertraum 𝒦 ⊃ ℋ und Isometrien V_{1}, ..., V_{n} ∈ ℒ(𝒦) heißt das Tupel

V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n}

minimale isometrische Dilatation für T, falls

• ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} ≤ I_{𝒦}

• V_{i}^{∗}ℋ ⊂ ℋ und V_{i}^{∗}|_{ℋ} = T_{i}^{∗} (i = 1, ..., n)

• 𝒦 = ⋁_{a∈F} V_{a}ℋ

gilt.

Bemerkung 2.2.2.

(a) Die erste Bedingung in 2.2.1 ist äquivalent dazu, dass

(V_{i}𝒦) ⊥ (V_{j}𝒦) (i, j = 1, ..., n, i ≠ j)

gilt (vergleiche dazu 1.3.2), und damit äquivalent dazu, dass V_{j}^{∗}V_{i} = δ_{i,j}I_{𝒦} für i, j ∈ {1, ..., n} gilt.

(b) Eine minimale isometrische Dilatation für T erfüllt

P_{ℋ} V_{a}|_{ℋ} = T_{a} (a ∈ F)

und damit

P_{ℋ} p(V)|_{ℋ} = p(T) (p ∈ P) ,

wobei P_{ℋ} : 𝒦 → ℋ die Projektion von 𝒦 auf ℋ ist.

Beweis. Für alle h, h̃ ∈ ℋ gilt

⟨P_{ℋ} V_{a}h, h̃⟩ = ⟨h, V_{a}^{∗}P_{ℋ}^{∗} h̃⟩ = ⟨h, T_{a}^{∗}h̃⟩ = ⟨T_{a}h, h̃⟩ .

(Man beachte dabei, dass P_{ℋ}^{∗} : ℋ → 𝒦 die Inklusionsabbildung ist und dass V_{a}^{∗}h̃ = T_{a}^{∗}h̃ gilt.)

In [11] (Theorem 2.1) hat Popescu gezeigt, dass jede n-Kontraktion T eine (bis auf Isomorphie eindeutige) minimale isometrische Dilatation besitzt. Ein Ziel dieses Kapitels ist es, diese minimale isometrische Dilatation durch Konstruktion der minimalen Stinespring-Dilatation für die Poisson Transformation

Ψ_{T} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(ℋ) (vergleiche 2.1.2)

zu erhalten. Wir brauchen zunächst einen Dilatationssatz für vollständig positive Abbildungen, der in [15] (Theorem 4.1 und anschließende Bemerkung) gezeigt wird.

Satz 2.2.3. (Minimale Stinespring-Dilatation) Seien ℬ eine unitale C^{∗}-Algebra, H ein Hilbertraum und

ϕ : ℬ → ℒ(H)

ein vollständig positiver Operator. Dann existiert ein Hilbertraum K, ein unitaler ∗-Homomorphismus

π : ℬ → ℒ(K)

und eine stetig lineare Abbildung

V : H → K ,

so dass

• ∥ϕ(1_{ℬ} )∥ = ∥V ∥^{2}

• ϕ(β) = V^{∗}π(β)V für alle β ∈ ℬ

• K = ⋁ ( π(β)V H; β ∈ ℬ )

gilt.

Geht man in 2.2.3 zusätzlich davon aus, dass ϕ unital ist, so ist die Abbildung V eine Isometrie. Identifiziert man H in diesem Fall mit V H vermöge V, so wird ϕ(β) zur Kompression von π(β) auf H ⊂ K für alle β ∈ ℬ.

Korollar 2.2.4. Seien ℬ eine unitale C^{∗}-Algebra, H ein Hilbertraum und

ϕ : ℬ → ℒ(H)

ein vollständig positiver, unitaler Operator. Dann existiert ein Hilbertraum K ⊃ H und ein unitaler ∗-Homomorphismus

π : ℬ → ℒ(K) ,

so dass

ϕ(β) = P_{H}π(β)|_{H}

für alle β ∈ ℬ und

K = ⋁ ( π(β)H; β ∈ ℬ )

gilt. (Dabei sei P_{H} : K → H die Projektion von K auf H.)

Beweis. Zunächst wähle man K, π : ℬ → ℒ(K) und V : H → K wie in 2.2.3. Weil ϕ und π unital sind, gilt

V^{∗}V = V^{∗}I_{K}V = V^{∗}π(1_{ℬ} )V = ϕ(1_{ℬ} ) = I_{H} ,

also ist V eine Isometrie. Damit ist V H ein Hilbertraum und H und V H sind isometrisch isomorph. Also kann man H mit V H identifizieren und so als Unterraum von K auffassen. Bei dieser Identifizierung entspricht V der Einbettung

j : H → K ; h ↦ h

und V^{∗} der Projektion P_{H} von K auf H. Setzt man dies in die Bedingungen aus 2.2.3 ein, so folgt die Behauptung.

Man kann also jeden vollständig positiven, unitalen Operator als Kompression eines unitalen ∗-Homomorphismus darstellen. Die Poisson-Transformation

Φ_{T} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(ℋ)

ist ein solcher vollständig positiver, unitaler Operator auf C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) (vergleiche 2.1.2). Wendet man 2.2.4 auf Φ_{T} an, so erhält man den folgenden Satz.

Satz 2.2.5. Seien T = (T_{1}, ..., T_{n}) eine n-Kontraktion auf einem Hilbertraum ℋ und Φ_{T} die zu T gehörige Poisson-Transformation. Dann existiert ein Hilbertraum 𝒦 = 𝒦_{T} ⊃ ℋ und ein unitaler ∗-Homomorphis-mus

π = π_{T} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦_{T}) ,

so dass

Φ_{T} (B) = P_{ℋ} π_{T} (B)|_{ℋ} (B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}))

und

𝒦_{T} = ⋁ ( π_{T} (B)ℋ; B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) )

gilt. Weiter gilt

T_{a}T_{b}^{∗} = P_{ℋ} π_{T} (S_{a}S_{b}^{∗})|_{ℋ}

für alle a, b ∈ F.

Beweis. Es ist nur noch die letzte Gleichung zu zeigen. Diese gilt wegen

T_{a}T_{b}^{∗} = Φ_{T} (S_{a}S_{b}^{∗}) = P_{ℋ} π_{T} (S_{a}S_{b}^{∗})|_{ℋ} .

Sei nun eine n-Kontraktion T auf einem Hilbertraum ℋ gegeben. Wir fixieren einen Hilbertraum

𝒦 = 𝒦_{T} ⊃ ℋ

und einen unitalen ∗-Homomorphismus

π = π_{T} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦)

wie in 2.2.5. Mit dem nächsten Satz zeigen wir, dass man eine minimale isometrische Dilatation von T erhält, indem man den Vorwärtsshift S in π einsetzt.

Satz 2.2.6. (Minimale isometrische Dilatation) Seien T = (T_{1}, ..., T_{n}) eine n-Kontraktion auf einem Hilbertraum ℋ und 𝒦, π wie oben. Setze

V_{i} = π(S_{i}) ∈ ℒ(𝒦) (i = 1, ..., n) .

Dann ist

V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n}

eine minimale isometrische Dilatation von T.

Beweis. Wegen

S_{j}^{∗}S_{i} = δ_{i,j}I_{ℱ^{2}} (vergleiche 1.3.4 (c))

ist

V_{j}^{∗}V_{i} = π(S_{j})^{∗}π(S_{i}) = π(S_{j}^{∗}S_{i}) = δ_{i,j}π(I_{ℱ^{2}} ) = δ_{i,j}I_{𝒦}

für i, j ∈ {1, ..., n}. Also sind V_{1}, ..., V_{n} Isometrien und nach 2.2.2 gilt

∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} ≤ I_{𝒦} .

Nun wollen wir zeigen, dass

V_{i}^{∗}ℋ ⊂ ℋ und V_{i}^{∗}|_{ℋ} = T_{i}^{∗} (i = 1, ..., n)

gilt. Sei dazu

P_{ℋ} : 𝒦 → ℋ

die Projektion von 𝒦 auf ℋ und

j : ℋ → 𝒦 ; h ↦ h

die Inklusion von ℋ in 𝒦. Dann sind P_{ℋ} und j zueinander adjungiert, das heißt es gilt

P_{ℋ}^{∗} = j und j^{∗} = P_{ℋ} .

Außerdem ist

P_{ℋ} j = I_{ℋ} .

Nach 2.2.5 gilt

T_{a}T_{b}^{∗} = P_{ℋ} π(S_{a}S_{b}^{∗})|_{ℋ} = P_{ℋ} π(S_{a}S_{b}^{∗})j

für alle a, b ∈ F. (Damit gilt insbesondere

T_{a} = P_{ℋ} π(S_{a})j ,
T_{b}^{∗} = P_{ℋ} π(S_{b}^{∗})j .)

Es folgt

P_{ℋ} π(S_{a})jP_{ℋ} π(S_{b}^{∗})j = T_{a}T_{b}^{∗} = P_{ℋ} π(S_{a}S_{b}^{∗})j (a, b ∈ F) .

Man sieht nun weiter, dass

( jP_{ℋ} π(S_{a}^{∗})j − π(S_{a}^{∗})j )^{∗} ( jP_{ℋ} π(S_{a}^{∗})j − π(S_{a}^{∗})j )
= ( P_{ℋ} π(S_{a})jP_{ℋ} − P_{ℋ} π(S_{a}) ) ( jP_{ℋ} π(S_{a}^{∗})j − π(S_{a}^{∗})j )
= P_{ℋ} π(S_{a})jP_{ℋ} jP_{ℋ} π(S_{a}^{∗})j − P_{ℋ} π(S_{a})jP_{ℋ} π(S_{a}^{∗})j
− P_{ℋ} π(S_{a})jP_{ℋ} π(S_{a}^{∗})j + P_{ℋ} π(S_{a})π(S_{a}^{∗})j
= 0

und damit

jP_{ℋ} π(S_{a}^{∗})j − π(S_{a}^{∗})j = 0

für alle a ∈ F gilt. Es folgt

V_{a}^{∗}j = π(S_{a}^{∗})j = jP_{ℋ} π(S_{a}^{∗})j = jT_{a}^{∗} (a ∈ F) ,

und damit

V_{a}^{∗}ℋ ⊂ ℋ und V_{a}^{∗}|_{ℋ} = T_{a}^{∗} (a ∈ F) .

Insbesondere kann man für a die Elemente aus F mit Betrag 1 einsetzen und erhält das Gewünschte. Nun ist noch die Minimalitätsbedingung

𝒦 = ⋁_{a∈F} V_{a}ℋ

zu zeigen. Aus 2.2.5 wissen wir, dass

𝒦 = ⋁ ( π(B)ℋ; B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) )

gilt. Kann man nun zeigen, dass

π(B)h ∈ 𝒦^{0} = ⋁_{a∈F} V_{a}ℋ

für alle B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) und h ∈ ℋ gilt, so folgt die Behauptung

𝒦 = 𝒦^{0} ,

weil 𝒦^{0} ein abgeschlossener Unterraum von 𝒦 ist. Seien dazu also B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) und h ∈ ℋ. Wir betrachten zunächst den Fall, dass B eine Linearkombination von Operatoren der Form

S_{a}S_{b}^{∗} (a, b ∈ F)

ist, es gebe also m ∈ ℕ, λ_{1}, ..., λ_{m} ∈ ℂ, a_{1}, ..., a_{m}, b_{1}, ..., b_{m} ∈ F derart, dass

B = ∑_{j=0}^{m} λ_{j}S_{a_{j}}S_{b_{j}}^{∗}

ist. Damit folgt

π(B)h = π( ∑_{j=0}^{m} λ_{j}S_{a_{j}}S_{b_{j}}^{∗} ) h

= ∑_{j=0}^{m} λ_{j}π(S_{a_{j}})π(S_{b_{j}}^{∗})h

= ∑_{j=0}^{m} λ_{j}V_{a_{j}}V_{b_{j}}^{∗}h .

Weil ℋ invariant unter allen V_{b_{j}}^{∗} ist, gilt

h_{j} = V_{b_{j}}^{∗}h ∈ ℋ

für alle j ∈ {1, ..., m}. Daher ist dann π(B)h eine Linearkombination der Elemente V_{a_{j}}h_{j}, wobei a_{j} ∈ F und h_{j} ∈ ℋ (j = 1, ..., m) sind, und damit ist

π(B)h ∈ 𝒦^{0} .

Sei nun B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) beliebig. Nach 2.1.1 ist B der Grenzwert einer Folge (B_{k})_{k∈ℕ} von Linearkombinationen der S_{a}S_{b}^{∗} (a, b ∈ F) in der Normtopologie auf ℒ(ℱ^{2}). Für die Operatoren B_{k} wurde oben bereits gezeigt, dass

π(B_{k})h ∈ 𝒦^{0}

für alle k ∈ ℕ gilt. Weil π : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦) stetig ist, folgt aus

B_{k} ⟶^{k→∞} B bezüglich ∥ · ∥_{ℒ(ℱ^{2})} ,

dass

π(B_{k}) ⟶^{k→∞} π(B) bezüglich ∥ · ∥_{ℒ(𝒦)}

und damit insbesondere

π(B_{k})h ⟶^{k→∞} π(B)h bezüglich ∥ · ∥_{𝒦}

gilt. Da alle π(B_{k})h ∈ 𝒦^{0} (k ∈ ℕ) und da 𝒦^{0} abgeschlossen ist, folgt

π(B)h ∈ 𝒦^{0} ,

was zu zeigen war.

Wir haben nun gesehen, dass jede n-Kontraktion T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} eine minimale isometrische Dilatation V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n} auf einem größeren Hilbertraum 𝒦 ⊃ ℋ besitzt. Die V_{i} (i = 1, ...n) sind dabei Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern. Durch die Minimalitätsbedingung 𝒦 = ⋁_{a∈F} V_{a}ℋ

wird garantiert, dass der Raum 𝒦 nicht ’zu groß’ gewählt wird. Wegen dieser Minimalität des Raumes 𝒦 können wir mit dem folgenden Satz zeigen, dass die minimale isometrische Dilatation von T eindeutig bis auf unitäre Äquivalenz ist. Die der Äquivalenz zugrundeliegende unitäre Abbildung ist dabei konstant auf ℋ.

Satz 2.2.7. Sei T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} eine n-Kontraktion auf einem Hilbertraum ℋ und seien V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n}, Ṽ = (Ṽ_{1}, ..., Ṽ_{n}) ∈ ℒ(𝒦̃)^{n} minimale isometrische Dilatationen von T auf Hilberträumen 𝒦 ⊃ ℋ und 𝒦̃ ⊃ ℋ. Dann gibt es einen unitären Operator θ : 𝒦 → 𝒦̃ mit θh = h für alle h ∈ ℋ, so dass

θV_{i} = Ṽ_{i}θ

für alle i ∈ {1, ..., n} gilt.

Beweis. Seien h, h̃ ∈ ℋ. Für alle c ∈ F gilt dann V_{c}^{∗}ℋ ⊂ ℋ und V_{c}^{∗}|_{ℋ} = T_{c}^{∗}. Damit folgt

⟨V_{c}h, h̃⟩ = ⟨h, V_{c}^{∗}h̃⟩ = ⟨h, T_{c}^{∗}h̃⟩ = ⟨T_{c}h, h̃⟩

und analog

⟨h, V_{c}h̃⟩ = ⟨h, T_{c}h̃⟩ (c ∈ F) .

Da V_{1}, ..., V_{n} Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern sind, erhält man für alle a, b ∈ F

⟨V_{a}h, V_{b}h̃⟩ = \{ \begin{matrix}⟨V_{c}h, h̃⟩ = ⟨T_{c}h, h̃⟩ & ; & falls ein c ∈ F existiert mit a = (b, c) \\ ⟨h, V_{c}h̃⟩ = ⟨h, T_{c}h̃⟩ & ; & falls ein c ∈ F existiert mit b = (a, c) \\ 0 & ; & sonst. \end{matrix}

Man sieht also, dass ⟨V_{a}h, V_{b}h̃⟩ unabhängig von V ist und damit erhält man

⟨V_{a}h, V_{b}h̃⟩ = ⟨Ṽ_{a}h, Ṽ_{b}h̃⟩ (a, b ∈ F) .  (2.1)

Wir definieren nun die Untervektorräume L ⊂ 𝒦 und L̃ ⊂ 𝒦̃ durch

L = {∑_{i=1}^{k} V_{a_{i}}h_{i}; k ∈ ℕ, a_{1}, ..., a_{k} ∈ F, h_{1}, ..., h_{k} ∈ ℋ}

und

L̃ = {∑_{i=1}^{k} Ṽ_{a_{i}}h_{i}; k ∈ ℕ, a_{1}, ..., a_{k} ∈ F, h_{1}, ..., h_{k} ∈ ℋ}

und betrachten die Abbildung

θ_{0} : L → L̃ ; ∑_{i=1}^{k} V_{a_{i}}h_{i} ↦ ∑_{i=1}^{k} Ṽ_{a_{i}}h_{i} .

Mit 2.1 rechnet man leicht nach, dass θ_{0} eine wohldefinierte Isometrie ist. Offensichtlich ist θ_{0} auch surjektiv, also eine unitäre Abbildung zwischen L und L̃. Da V und Ṽ minimale isometrische Dilatationen von T sind, liegt L, beziehungsweise L̃, dicht in 𝒦, beziehungsweise 𝒦̃. Daher kann θ_{0} zu einer unitären Abbildung θ : 𝒦 → 𝒦̃ fortgesetzt werden. Man erhält

θV_{i}k = Ṽ_{i}θk (i = 1, ..., n)

zunächst durch eine einfache Rechnung für k ∈ L und dann aus Stetigkeitsgründen für k ∈ 𝒦. Offensichtlich ist θh = h für alle h ∈ ℋ. Also hat θ alle geforderten Eigenschaften und somit ist die Behauptung gezeigt.

Wir betrachten nun den Fall, dass T_{1}, ..., T_{n} ∈ ℒ(ℋ) bereits Isometrien auf ℋ mit paarweise orthogonalen Bildern sind. Dann ist T insbesondere eine n-Kontraktion und eine minimale isometrische Dilatation von sich selbst. Nach 2.2.7 folgt dann, dass jede minimale isometrische Dilatation von T mit T übereinstimmt.

Korollar 2.2.8. Sei T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} ein Tupel von Isometrien auf einem Hilbertraum ℋ mit paarweise orthogonalen Bildern. Dann ist T insbesondere eine n-Kontraktion auf ℋ und für eine minimale isometrische Dilatation V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n} von T auf einem Hilbertraum 𝒦 ⊃ ℋ gilt

𝒦 = ℋ und V_{i} = T_{i} für i ∈ {1, ..., n} .

Bemerkung 2.2.9. Sei nun V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} ein Tupel von Isometrien auf 𝒦 mit paarweise orthogonalen Bildern. Damit ist V insbesondere eine n-Kontraktion und man erhält die Poisson-Transformation

Φ_{V} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦)

wie in 2.1.2 und gemäß 2.2.5 einen Hilbertraum 𝒦̃ ⊃ 𝒦 und einen unitalen ∗-Homomorphismus

π_{V} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦̃) ,

der die Bedingung

P_{𝒦} π_{V} (B)|_{𝒦} = Φ_{V} (B) (B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}))

erfüllt. Nach 2.2.6 ist

π_{V} (S) = (π_{V} (S_{1}), ..., π_{V} (S_{n})) ∈ ℒ(𝒦̃)^{n}

eine minimale isometrische Dilatation von V auf 𝒦̃. Nach 2.2.8 folgt jetzt aber, dass 𝒦̃ = 𝒦 und damit π_{V} = Φ_{V} gilt. Also ist die Poisson-Transformation in diesem Fall ein ∗-Homomorphismus.

2.3 Wold-Zerlegung

Man betrachte ein Tupel V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n} von Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern auf einem Hilbertraum 𝒦, das heißt es gilt

V_{i}^{∗}V_{j} = δ_{i,j}I_{𝒦}

für alle i, j ∈ {1, ..., n}. In diesem Abschnitt soll eine Zerlegung von 𝒦 in eine orthogonale Summe

𝒦 = 𝒦_{0} ⊕ 𝒦_{1}

konstruiert werden, so dass

V |_{𝒦_{0}} = (V_{1}|_{𝒦_{0}} , ..., V_{n}|_{𝒦_{0}} )

ein n-Shift auf 𝒦_{0} ist und

( I_{𝒦} − ∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗} )|_{𝒦_{1}} = 0

gilt. Dabei sollen 𝒦_{0} und 𝒦_{1} abgeschlossene Unterräume von 𝒦 sein, die reduzierend für V sind, das heißt

V_{j}𝒦_{s} ⊂ K_{s} und V_{j}^{∗}𝒦_{s} ⊂ 𝒦_{s} (j = 1, ..., n; s = 0, 1)

soll gelten. Dieses Resultat, das Popescu mit einer anderen Methode in [11] (Theorem 1.3) gezeigt hat, soll hier mit Hilfe der Poisson-Transformation π_{V} = Φ_{V} (vergleiche 2.2.9) bewiesen werden. Wir werden sehen, dass man 𝒦_{0} und 𝒦_{1} durch

𝒦_{0} = ⋁ ( π_{V} (C)𝒦; C kompakter Operator auf ℱ^{2} )

und

𝒦_{1} = ⋂ ( ker(π_{V} (C)); C kompakter Operator auf ℱ^{2} )

definieren kann. Zunächst ist zu zeigen, dass man jeden kompakten Operator C ∈ ℒ(ℱ^{2}) in π_{V} einsetzen kann, das heißt es muss C ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) gelten. Es bezeichne

𝒞(ℱ^{2}) = { C ∈ ℒ(ℱ^{2}); C kompakt }

die Menge der kompakten Operatoren auf ℱ^{2}.

Lemma 2.3.1. Die kompakten Operatoren auf ℱ^{2} sind in der von S = (S_{1}, ..., S_{n}) erzeugten, unitalen C^{∗}-Algebra enthalten, es gilt also

𝒞(ℱ^{2}) ⊂ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) .

Beweis. Wir wollen zunächst zeigen, dass die Operatoren in ℒ(ℱ^{2}) mit eindimensionalem Bild in C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) enthalten sind. Sei also B ∈ ℒ(ℱ^{2}) mit

dim(Bℱ^{2}) = 1 .

Wir wählen ein Element x ∈ ℱ^{2} mit ∥x∥_{2} = 1, so dass das Bild von B von x erzeugt wird, also

Bℱ^{2} = ⟨x⟩ = {λ · x; λ ∈ ℂ} .

Weiterhin definiere man

y = B^{∗}x ∈ ℱ^{2}

und schreibe

x = ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} und y = ∑_{a∈F} y_{a}e_{a} (x_{a}, y_{a} ∈ ℂ für a ∈ F) .

Wie bisher bezeichne

P_{0} : ℱ^{2} → ℱ^{2} ; ∑_{a∈F} z_{a}e_{a} ↦ z_{0}e_{0}

die Orthogonalprojektion auf ⟨ e_{0} ⟩ in ℱ^{2} und für k ∈ ℕ sei B_{k} ∈ ℒ(ℱ^{2}) definiert durch

B_{k} = ∑_{|a|,|b|≤k} x_{b}\overline{y_{a}}S_{b}P_{0}S_{a}^{∗} .

Wegen

P_{0} = I_{ℱ^{2}} − ∑_{i=1}^{n} S_{i}S_{i}^{∗} (vergleiche 1.3.4)

ist P_{0} ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) und damit ist auch

B_{k} ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) (k ∈ ℕ) .

Da C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) ∈ ℒ(ℱ^{2}) abgeschlossen bezüglich der Operatornorm ist, genügt es zu zeigen, dass

lim_{k→∞} B_{k} = B (bezüglich der Normtopologie auf ℱ^{2})

gilt, um zu schließen, dass auch B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) ist. Wir definieren für u, v ∈ ℱ^{2} die lineare Abbildung

β_{u,v} : ℱ^{2} → ℱ^{2} ; z ↦ ⟨z, v⟩ · u .

Offensichtlich ist β_{u,v} ∈ ℒ(ℱ^{2}) mit ∥β_{u,v}∥ ≤ ∥u∥_{2} · ∥v∥_{2} (u, v ∈ ℱ^{2}) und damit ist die sesquilineare Abbildung

β : ℱ^{2} × ℱ^{2} → ℒ(ℱ^{2}) ; (u, v) ↦ β_{u,v}

stetig. Wir betrachten nun ein beliebiges z = ∑_{a∈F} z_{a}e_{a} ∈ ℱ^{2}. Weil das Bild von B von

x erzeugt wird, existiert ein λ ∈ ℂ mit

Bz = λ · x .

Wegen ∥x∥_{2} = 1 folgt

λ = λ · ∥x∥_{2}^{2} = ⟨ λx , x ⟩ = ⟨ Bz , x ⟩ .

Also gilt

Bz = ⟨ Bz , x ⟩ · x
= ⟨ z , B^{∗}x ⟩ · x
= ⟨ z , y ⟩ · x
= β_{x,y} z

und

B_{k}z = ∑_{|a|,|b|≤k} x_{b}\overline{y_{a}}S_{b}P_{0}S_{a}^{∗}z
= ∑_{|a|,|b|≤k} x_{b}\overline{y_{a}}z_{a}e_{b}
= ( ∑_{|a|≤k} z_{a}\overline{y_{a}} ) · ( ∑_{|b|≤k} x_{b}e_{b} )
= ⟨ z , y_{k} ⟩ · x_{k}
= β_{x_{k},y_{k}} z

mit x_{k} = ∑_{|a|≤k} x_{a}e_{a}, y_{k} = ∑_{|a|≤k} y_{a}e_{a} (k ∈ ℕ).

(Man beachte dabei, dass

S_{b}P_{0}S_{a}^{∗}( ∑_{c∈F} z_{c}e_{c} ) =^{1.3.4} S_{b}P_{0}( ∑_{c∈F} z_{(c,a)}e_{c} ) = S_{b}(z_{a}e_{0}) = z_{a}e_{b}

für alle a, b ∈ F gilt.) Man sieht also, dass B = β_{x,y} und B_{k} = β_{x_{k},y_{k}} (k ∈ ℕ) gilt und wegen x_{k} ⟶^{k→∞} x und y_{k} ⟶^{k→∞} y in ℱ^{2} folgt mit der Stetigkeit von β

B_{k} = β_{x_{k},y_{k}} ⟶^{k→∞} β_{x,y} = B ,

was zu zeigen war. Jeder Operator B ∈ ℒ(ℱ^{2}) mit endlichdimensionalem Bild ist endliche Summe von Operatoren mit eindimensionalem Bild. Diese sind, wie bereits gezeigt, in C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) enthalten und weil C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) additiv abgeschlossen ist, gilt B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}), falls dim(Bℱ^{2}) < ∞. Die Operatoren in ℒ(ℱ^{2}) mit endlichdimensionalem Bild liegen dicht in den kompakten Operatoren 𝒞(ℱ^{2}) (ℱ^{2} Hilbertraum). Da C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) abgeschlossen ist und die Operatoren mit endlichdimensionalem Bild enthält, folgt

𝒞(ℱ^{2}) ⊂ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) ,

was zu zeigen war.

Sei nun 𝒦 ein Hilbertraum und V_{1}, ..., V_{n} ∈ ℒ(𝒦) Isometrien auf 𝒦 mit

∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗} ≤ I_{𝒦} .

Weiterhin sei

π = π_{V} (= Φ_{V}) : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦)

die Poisson-Transformation zu V, das heißt es gilt

π(S_{a}S_{b}^{∗}) = V_{a}V_{b}^{∗}

für alle a, b ∈ F. Nach 2.2.9 ist π_{V} ein ∗-Homomorphismus. Wir definieren

𝒦_{0} = ⋁ ( π(C)𝒦; C ∈ 𝒞(ℱ^{2}) ) ⊂ 𝒦 .

Dann ist 𝒦_{0} ein abgeschlossener Unterraum von 𝒦. Wir zeigen nun, dass 𝒦_{0} π-invariant ist, das heißt es gilt

π(B)𝒦_{0} ⊂ 𝒦_{0}

für alle B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}).

Lemma 2.3.2. Für alle B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) und k_{0} ∈ 𝒦_{0} ist π(B)k_{0} ∈ 𝒦_{0}, das heißt 𝒦_{0} ist invariant unter allen Operatoren

π(B) ∈ ℒ(𝒦) (B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n})) .

Beweis. Sei B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}). Dann gilt für alle C ∈ 𝒞(ℱ^{2}), dass auch BC ∈ 𝒞(ℱ^{2}) ist und damit folgt für alle k ∈ 𝒦

π(B)π(C)k = π(BC)k ∈ 𝒦_{0} .

Also gilt

π(B) (π(C)𝒦) ⊂ 𝒦_{0} (C ∈ 𝒞(ℱ^{2}))

und weil π(B) ∈ ℒ(𝒦) linear und stetig ist, folgt

π(B) ( ⋁_{C∈𝒞(ℱ^{2})} π(C)𝒦 ) ⊂ 𝒦_{0},

also

π(B)𝒦_{0} ⊂ 𝒦_{0}.

Also lässt jedes π(B) ∈ ℒ(𝒦) (B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n})) den Unterraum 𝒦_{0} ⊂ 𝒦 invariant, und daher kann man π im folgenden Sinn auf 𝒦_{0} einschränken. Man definiert

π_{0} = π|_{𝒦_{0}} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦_{0}) ; B ↦ π(B)|_{𝒦_{0}} .

Wir schränken diese Abbildung außerdem auf die C^{∗}-Unteralgebra 𝒞(ℱ^{2}) von C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) ein und betrachten

π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} : 𝒞(ℱ^{2}) → ℒ(𝒦_{0}) ; C ↦ π(C)|_{𝒦_{0}} .

Definition 2.3.3. Sei ℬ eine C^{∗}-Algebra und K ein Hilbertraum.

(a) Ein C^{∗}-Homomorphismus

Π : ℬ → ℒ(K)

heißt Darstellung von ℬ auf K.

(b) Eine Darstellung Π von ℬ auf K heißt nichtentartet, falls

⋂_{β∈ℬ} ker( Π(β) ) = {0} .

Bemerkung 2.3.4. Eine Darstellung Π : ℬ → ℒ(K) von einer C^{∗}-Algebra ℬ auf einen Hilbertraum K ist genau dann nichtentartet, wenn

( ⋂_{β∈ℬ} ker Π(β) )^{⊥} = K

gilt. Für alle β ∈ ℬ ist aber

( ker Π(β) )^{⊥} = \overline{Π(β)^{∗}K} = \overline{Π(β^{∗})K}

und mit {β^{∗}; β ∈ ℬ} = ℬ folgt

( ⋂_{β∈ℬ} ker Π(β) )^{⊥} = ⋁_{β∈ℬ} ( ker Π(β) )^{⊥}
= ⋁_{β∈ℬ} Π(β^{∗})K
= ⋁_{β∈ℬ} Π(β)K .

Also ist Π genau dann nichtentartet, wenn ⋁_{β∈ℬ} Π(β)K = K gilt.

In [4] wird gezeigt, dass jede nichtentartete Darstellung Π von einer C^{∗}-Unter-algebra ℬ ⊂ 𝒞(H) (H Hilbertraum) der kompakten Operatoren in H auf einen Hilbertraum K unitär äquivalent zu einem Produkt von Unterdarstellungen der identischen Darstellung ist, das heißt man kann den Raum K in eine orthogonale Summe

K = ⨁_{i∈I} K_{i} (I Indexmenge)

von Π-invarianten Unterräumen K_{i} ⊂ K zerlegen, derart dass für B ∈ ℬ der Operator Π(B)|_{K_{i}} ∈ ℒ(K_{i}) unitär äquivalent zu einer Einschränkung B|_{H_{i}} von B auf einen ℬ-invarianten Unterraum H_{i} ⊂ H ist. Dabei hängen der Unterraum H_{i} und die der Äquivalenz zugrundeliegende unitäre Abbildung nicht von B ∈ ℬ ab. Das heißt, es gilt der folgende Satz.

Satz 2.3.5. Seien H, K Hilberträume, ℬ eine C^{∗}-Unteralgebra von 𝒞(H) und

Π : ℬ → ℒ(K)

eine nichtentartete Darstellung von ℬ auf K. Dann existieren eine Indexmenge I und eine Zerlegung

⨁_{i∈I} K_{i} = K (ℓ^{2} − direkte Summe)

von 𝒦 in Π-invariante Unterräume {0} ≠ K_{i} (i ∈ I), so dass für jedes i ∈ I ein abgeschlossener, ℬ-invarianter Unterraum {0} ≠ H_{i} ⊂ H und eine unitäre Abbildung

U_{i} : K_{i} → H_{i} ,

existieren mit

Π(B)|_{K_{i}} = U_{i}^{∗}B|_{H_{i}}U_{i}

für alle B ∈ ℬ.

Der Beweis findet sich in [4], Theorem 1.4.4 (und Beweis von Theorem 1.4.4). Wir betrachten nun den Spezialfall

ℬ = 𝒞(H)

in 2.3.5, das heißt Π ist eine Darstellung der kompakten Operatoren von H auf K. Dann sind die abgeschlossenen Unterräume {0} ≠ H_{i} ⊂ H (i ∈ I) invariant unter allen kompakten Operatoren. Mit dem nächsten Lemma folgt daraus, dass

H_{i} = H für alle i ∈ I

gilt.

Lemma 2.3.6. Sei H ein Hilbertraum. Dann ist die C^{∗}-Algebra 𝒞(H) der kompakten Operatoren auf H irreduzibel, das heißt für jeden abgeschlossenen Unterraum H̃ ⊂ H mit

CH̃ ⊂ H̃

für alle C ∈ 𝒞(H) gilt

H̃ = {0} oder H̃ = H .

Beweis. Sei

{0} ≠ H̃ ⊂ H

ein 𝒞(H)-invarianter Unterraum von H. Zu zeigen ist, dass dann H̃ = H gilt. Wähle x ∈ H̃ \ {0}. Da es für jedes y ∈ H einen stetig linearen Operator mit eindimensionalem Bild, also insbesondere einen kompakten Operator C_{y} ∈ 𝒞(H) gibt mit

C_{y}x = y

und da mit x ∈ H̃ auch Cx ∈ H̃ (C ∈ 𝒞(H)) ist, folgt also

H̃ = H .

Wie bereits oben beschrieben, erhält man nun das folgende Korollar aus 2.3.5 für den Fall ℬ = 𝒞(H).

Korollar 2.3.7. Seien H, K Hilberträume und

Π : 𝒞(H) → ℒ(K)

eine nichtentartete Darstellung. Dann existieren eine Indexmenge I und eine Zerlegung

ℓ^{2} − ⨁_{i∈I} K_{i} = K

von K in Π-invariante Unterräume {0} ≠ K_{i} (i ∈ I), so dass für jedes i ∈ I eine unitäre Abbildung

U_{i} : K_{i} → H

existiert mit

Π(C)|_{K_{i}} = U_{i}^{∗}CU_{i}

für alle C ∈ 𝒞(H).

Dieses Resultat kann man nun auf die Darstellung

π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} : 𝒞(ℱ^{2}) → ℒ(𝒦_{0}) ; C ↦ π(C)|_{𝒦_{0}}

anwenden. Dazu braucht man noch das folgende Lemma, in dem gezeigt wird, dass π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} nichtentartet ist. Dies liegt an der Konstruktion des Raumes 𝒦_{0}, der gerade von den Bildern der π(C) (C ∈ 𝒞(ℱ^{2})) erzeugt wird. Zum Beweis geben wir außerdem explizit die Gestalt des orthogonalen Komplements

𝒦_{1} = 𝒦 ⊖ 𝒦_{0}

von 𝒦_{0} in 𝒦 an.

Lemma 2.3.8.

(a) Für das orthogonale Komplement 𝒦_{1} von 𝒦_{0} in 𝒦 gilt

𝒦_{1} = 𝒦 ⊖ 𝒦_{0} = ⋂ ( ker(π(C)); C ∈ 𝒞(ℱ^{2}) ) .

(b) Die Darstellung

π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} : 𝒞(ℱ^{2}) → ℒ(𝒦_{0})

ist nichtentartet.

Beweis.

(a) Für C ∈ 𝒞(ℱ^{2}) gilt

𝒦 ⊖ π(C)𝒦 = ker( π(C)^{∗} ) = ker( π(C^{∗}) )

und weil mit C auch C^{∗} kompakt ist, gilt

𝒦 ⊖ 𝒦_{0} = 𝒦 ⊖ ( ⋁_{C∈𝒞(ℱ^{2})} π(C)𝒦 )
= ⋂_{C∈𝒞(ℱ^{2})} ( 𝒦 ⊖ π(C)𝒦 )
= ⋂_{C∈𝒞(ℱ^{2})} ker π(C^{∗})
= ⋂_{C∈𝒞(ℱ^{2})} ker π(C) .

(b) Sei k ∈ 𝒦_{0} gegeben mit

π_{0}(C)k = 0

für alle C ∈ 𝒞(ℱ^{2}). Dann ist auch π(C)k = 0, das heißt

k ∈ ker π(C) (C ∈ 𝒞(ℱ^{2})) .

Nach (a) folgt

k ∈ 𝒦_{1} = 𝒦 ⊖ 𝒦_{0}

und wegen k ∈ 𝒦_{0} muss k = 0 gelten. Somit ist π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} nichtentartet.

Man kann also 2.3.7 auf π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} anwenden und erhält so Teil (a) des folgenden Satzes. In Teil (b) betrachten wir die direkte Summe der unitären Abbildungen U_{i} aus (a) und erhalten, dass π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} unitär äquivalent zu einem Vielfachen der identischen Darstellung ist.

Satz 2.3.9.

(a) Sei

π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} : 𝒞(ℱ^{2}) → ℒ(𝒦_{0}) ; C ↦ π(C)|_{𝒦_{0}}

wie bisher. Dann existieren eine Indexmenge I und eine Zerlegung

ℓ^{2} − ⨁_{i∈I} 𝒦_{i} = 𝒦_{0}

von 𝒦_{0} in π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} -invariante Unterräume {0} ≠ 𝒦_{i} (i ∈ I), so dass für jedes i ∈ I eine unitäre Abbildung

U_{i} : 𝒦_{i} → ℱ^{2}

existiert mit

π_{0}(C)|_{𝒦_{i}} = U_{i}^{∗}CU_{i}

für alle C ∈ 𝒞(ℱ^{2}). Das heißt also, dass

π_{i} : 𝒞(ℱ^{2}) → ℒ(𝒦_{i}) ; C ↦ π_{0}(C)|_{𝒦_{i}}

unitär äquivalent zur identischen Darstellung auf 𝒞(ℱ^{2}) ist.

(b) Definiert man die Abbildung

U = ⨁_{i∈I} U_{i} : 𝒦_{0} = ⨁_{i∈I} 𝒦_{i} → ⨁_{i∈I} ℱ^{2}

als direkte Summe der unitären Abbildungen U_{i}, so ist U ebenfalls unitär und es gilt

π_{0}(C) = U^{∗}( ⨁_{i∈I} C )U

für alle C ∈ 𝒞(ℱ^{2}).

Beweis.

(a) Nach 2.3.8 (b) kann man 2.3.7 auf π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} anwenden.

(b) Der Operator U ist als direkte orthogonale Summe von unitären Operatoren unitär und es gilt

π_{0}(C) = ⨁_{i∈I}(π_{0}(C)|_{𝒦_{i}} )

=^{(a)} ⨁_{i∈I}(U_{i}^{∗}CU_{i})
= (⨁_{i∈I} U_{i}^{∗})(⨁_{i∈I} C)(⨁_{i∈I} U_{i})
= U^{∗}(⨁_{i∈I} C)U

für alle C ∈ 𝒞(ℱ^{2}).

Man sieht also, dass

π_{0} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦_{0}) ; B ↦ π(B)|_{𝒦_{0}}

bis auf unitäre Äquivalenz auf den kompakten Operatoren wie ein Vielfaches der identischen Darstellung wirkt. Die Tatsache, dass die kompakten Operatoren auf ℱ^{2} ein Ideal in C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) bilden, gestattet uns mit Hilfe einer Eindeutigkeitsaussage für Fortsetzungen nichtentarteter Darstellungen zu schließen, dass sich die Beziehung

π_{0}(C) = U^{∗}( ⨁_{i∈I} C )U (C ∈ 𝒞(ℱ^{2}))

auf die ganze C^{∗}-Algebra C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) erweitern lässt, das heißt es gilt

π_{0}(B) = U^{∗}( ⨁_{i∈I} B )U (B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n})) .

Damit erhält man

V_{j}|_{𝒦_{0}} = π(S_{j})|_{𝒦_{0}} = π_{0}(S_{j}) = U^{∗}( ⨁_{i∈I} S_{j} )U (j = 1, ..., n)

und weil S ein n-Shift auf ℱ^{2} ist, kann man damit leicht zeigen, dass

V |_{𝒦_{0}} = (V_{1}|_{𝒦_{0}} , ..., V_{n}|_{𝒦_{0}} )

ein n-Shift auf 𝒦_{0} ist. Wir beginnen mit dem Fortsetzungssatz für nichtentartete Darstellungen.

Satz 2.3.10. Sei K ein Hilbertraum, ℬ eine C^{∗}-Algebra und J ⊂ ℬ ein Ideal in ℬ. Dann hat jede nichtentartete Darstellung

Π : J → ℒ(K)

eine eindeutige Fortsetzung zu einer Darstellung von ℬ auf K. Diese Fortsetzung ist ebenfalls nichtentartet.

Bemerkung 2.3.11. Wir bezeichnen mit dem Begriff ’Ideal’ stets ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal. In einer C^{∗}-Algebra ist ein solches Ideal immer ∗-abgeschlossen (vergleiche etwa [4], 1.3 Corollary 1), also selbst eine C^{∗}-Algebra. Daher ist es in 2.3.10 berechtigt, von Darstellungen von J auf K zu sprechen.

Beweis. (von 2.3.10) Für die Existenz der Fortsetzung vergleiche man [4]. Wir zeigen noch die Eindeutigkeit. Nach 2.3.4 ist ⋁_{α∈J} Π(α)K = K, denn Π : J → ℒ(K) ist nichtentartet. Ist

Π_{0} : ℬ → ℒ(K) eine Fortsetzung von Π, so gilt für alle β ∈ ℬ, α ∈ J und k ∈ K

Π_{0}(β)(Π(α)k) = Π_{0}(β)Π_{0}(α)k = Π_{0}(βα)k = Π(βα)k .

(Man beachte, dass βα ∈ J gilt, weil J ⊂ ℬ ein Ideal ist.) Also ist für β ∈ ℬ der Operator Π_{0}(β) ∈ ℒ(K) auf allen Elementen der Form Π(α)k (α ∈ J, k ∈ K) und daher auch auf ⋁_{α∈J} Π(α)K = K durch Π eindeutig

festgelegt. Somit ist die Fortsetzung Π_{0} eindeutig bestimmt.

Nun können wir zeigen, dass π_{0} unitär äquivalent zu einem Vielfachen der identischen Darstellung ist.

Satz 2.3.12. Für alle B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) gilt

π_{0}(B) = U^{∗}( ⨁_{i∈I} B )U

für eine Indexmenge I und eine unitäre Abbildung

U : 𝒦_{0} → ⨁_{i∈I} ℱ^{2} .

Beweis. Wir betrachten die C^{∗}-Algebra C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) und die unitäre Abbildung U : 𝒦_{0} → ⨁_{i∈I} ℱ^{2} aus 2.3.9. Die Darstellungen

π_{0} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦_{0}) ; B ↦ π(B)|_{𝒦_{0}}

und

C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦_{0}) ; B ↦ U^{∗}( ⨁_{i∈I} B )U

sind nach 2.3.9 Fortsetzungen der (nach 2.3.8 nichtentarteten) Darstellung π_{0}|_{𝒞(ℱ^{2})} auf dem Ideal 𝒞(ℱ^{2}) ⊂ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}). Nach 2.3.10 stimmen sie überein, es gilt also

π_{0}(B) = U^{∗}( ⨁_{i∈I} B )U (B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n})) .

Wir kehren nun zum Ausgangspunkt zurück und betrachten wieder das Tupel V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n} von Isometrien mit orthogonalen Bildern vom Beginn dieses Abschnitts. Nach Konstruktion von π = π_{V} gilt die Bedingung

V_{j} = π(S_{j}) (j = 1, ..., n) .

Mit den bisherigen Resultaten über die ’Einschränkung’ von π auf 𝒦_{0} soll nun gezeigt werden, dass V |_{𝒦_{0}} ein n-Shift ist.

Satz 2.3.13. Sei V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n} ein Tupel von Isometrien auf einem Hilbertraum 𝒦 mit paarweise orthogonalen Bildern. Sei

π = π_{V} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦)

wie in 2.2.5. Dann ist der Unterraum

𝒦_{0} = ⋁_{C∈𝒞(ℱ^{2})} ( π(C)𝒦 ) ⊂ 𝒦

reduzierend für alle V_{j} (j = 1, ..., n) und

V |_{𝒦_{0}} = (V_{1}|_{𝒦_{0}} , ..., V_{n}|_{𝒦_{0}} )

ist ein n-Shift auf 𝒦_{0}. Wählt man I und U : 𝒦_{0} → ⨁_{i∈I} ℱ^{2} wie in 2.3.12, so ist

der wandernde Unterraum ℒ für V |_{𝒦_{0}} mit 𝒦_{0} = M_{F} (ℒ, V |_{𝒦_{0}} ) durch

ℒ = U^{∗}( ⨁_{i∈I}⟨e_{0}⟩ )

gegeben.

Beweis. Nach Lemma 2.3.2 ist 𝒦_{0} invariant unter allen Operatoren der Form π(B) mit B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}), also insbesondere unter V_{j} = π(S_{j}) und V_{j}^{∗} = π(S_{j}^{∗}) mit j = 1, ..., n. Also ist 𝒦_{0} reduzierend für V. Da V_{1}, ..., V_{n} Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern sind, gilt dies auch für die Einschränkungen V_{1}|_{𝒦_{0}} , ..., V_{n}|_{𝒦_{0}} . Weiter gilt

V_{j}|_{𝒦_{0}} = π_{0}(S_{j}) =^{2.3.12} U^{∗}( ⨁_{i∈I} S_{j} )U (j = 1, ..., n)

mit einer Indexmenge I und einem unitären Operator U : 𝒦_{0} → ⨁_{i∈I} ℱ^{2} wie in

2.3.12. Wir definieren nun

ℒ = U^{∗}( ⨁_{i∈I}⟨e_{0}⟩ ) ⊂ 𝒦_{0}

und wollen zeigen, dass ℒ ein wandernder Unterraum für V |_{𝒦_{0}} ist, für den

M_{F} (ℒ, V |_{𝒦_{0}} ) = 𝒦_{0}

gilt. Wegen

ℒ = U^{∗}( ⨁_{i∈I}⟨e_{0}⟩ )

= U^{∗}( ⨁_{i∈I} (ℱ^{2} ⊖ ⨁_{j=1}^{n} S_{j}ℱ^{2}) )

= U^{∗}( (⨁_{i∈I} ℱ^{2}) ⊖ (⨁_{j=1}^{n} ⨁_{i∈I} S_{j}ℱ^{2}) )

= U^{∗}(⨁_{i∈I} ℱ^{2}) ⊖ (⨁_{j=1}^{n} U^{∗}(⨁_{i∈I} S_{j}ℱ^{2}))

= 𝒦_{0} ⊖ ( ⨁_{j=1}^{n} U^{∗}(⨁_{i∈I} S_{j})(⨁_{i∈I} ℱ^{2}) )

= 𝒦_{0} ⊖ ( ⨁_{j=1}^{n} U^{∗}(⨁_{i∈I} S_{j})U𝒦_{0} )

= 𝒦_{0} ⊖ ( ⨁_{j=1}^{n}(V_{j}|_{𝒦_{0}} )𝒦_{0} )

ist ℒ nach 1.3.2 ein wandernder Unterraum für V |_{𝒦_{0}} . Außerdem gilt

V_{a}|_{𝒦_{0}} = π(S_{a})|_{𝒦_{0}} = U^{∗}( ⨁_{i∈I} S_{a} )U

für alle a ∈ F und damit folgt

V_{a}ℒ = U^{∗}( ⨁_{i∈I} S_{a} )UU^{∗}( ⨁_{i∈I}⟨e_{0}⟩ )
= U^{∗}( ⨁_{i∈I} S_{a}⟨e_{0}⟩ )
= U^{∗}( ⨁_{i∈I}⟨e_{a}⟩ ) (a ∈ F) .

Schließlich kann man daraus den Raum M_{F} (ℒ, V |_{𝒦_{0}} ) wie folgt berechnen:

M_{F} (ℒ, V |_{𝒦_{0}} ) = ⨁_{a∈F} V_{a}ℒ
= ⨁_{a∈F} U^{∗}( ⨁_{i∈I}⟨e_{a}⟩ )
= U^{∗}( ⨁_{i∈I} ⨁_{a∈F}⟨e_{a}⟩ )
= U^{∗}( ⨁_{i∈I} ℱ^{2} )
= 𝒦_{0}

Es folgt die Behauptung.

Wir haben nun gezeigt, dass V auf 𝒦_{0} als n-Shift wirkt. Nun untersuchen wir die Wirkung von V auf dem orthogonalen Komplement

𝒦_{1} = 𝒦 ⊖ 𝒦_{0}

von 𝒦_{0} in 𝒦. Wir haben in 2.3.8 bereits gesehen, dass

𝒦_{1} = ⋂_{C∈𝒞(ℱ^{2})} ker π(C)

gilt. Man sieht leicht, dass 𝒦_{1} reduzierend für V_{1}, ..., V_{n} ist. (Es gilt sogar, dass 𝒦_{1} πinvariant ist.) Im folgenden Satz zeigen wir

( ∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗} )|_{𝒦_{1}} = I_{𝒦_{1}} .

Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass der Operator

(𝒦_{1})^{n} → 𝒦_{1} ; (y_{1}, ..., y_{n}) ↦ ∑_{j=1}^{n} V_{j}y_{j}

unitär ist.

Satz 2.3.14.

(a) Der Unterraum 𝒦_{1} ⊂ 𝒦 ist π-invariant und insbesondere reduzierend für V_{1}, ..., V_{n}.

(b) Es gilt

( ∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗} )|_{𝒦_{1}} = I_{𝒦_{1}} .

.

Beweis.

(a) Seien k ∈ 𝒦_{1} und B ∈ C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}). Dann ist k im Kern aller kompakten Operatoren auf ℱ^{2} und für C ∈ 𝒞(ℱ^{2}) ist auch CB ∈ 𝒞(ℱ^{2}). Also folgt

π(C)( π(B)k ) = π(CB)k = 0 (C ∈ 𝒞(ℱ^{2}))

und damit ist

π(B)k ∈ 𝒦_{1} .

Also ist 𝒦_{1} π-invariant. Insbesondere ist 𝒦_{1} invariant unter den Operatoren

V_{j} = π(S_{j}) und V_{j}^{∗} = π(S_{j}^{∗}) (j = 1, ..., n) ,

das heißt 𝒦_{1} ist reduzierend für V_{1}, ..., V_{n}.

(b) Wir betrachten den Operator

I_{𝒦} − ∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗}

und wollen zeigen, dass er das Bild eines kompakten Operators auf ℱ^{2} unter der Darstellung π ist. Da 𝒦_{1} der gemeinsame Kern aller π(C) (C ∈ 𝒞(ℱ^{2})) ist, folgt dann

( I_{𝒦} − ∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗} )|_{𝒦_{1}} = 0 .

In der Tat gilt

I_{𝒦} − ∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗} = π(I_{ℱ^{2}} ) − ∑_{j=1}^{n} π(S_{j})π(S_{j})^{∗}

= π( I_{ℱ^{2}} − ∑_{j=1}^{n} S_{j}S_{j}^{∗} )
= π(P_{0}) ,

wobei

P_{0} : ℱ^{2} → ℱ^{2} ; ∑_{a∈F} x_{a}e_{a} ↦ x_{0}e_{0}

die Projektion auf ⟨ e_{0} ⟩ in ℱ^{2} ist. Diese ist als Operator mit eindimensionalem Bild sicherlich kompakt und damit folgt die Behauptung.

Definition 2.3.15. Ein Tupel V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(K) von Operatoren auf einem Hilbertraum K heißt sphärisch unitäres Tupel auf K, falls

V_{i}^{∗}V_{j} = δ_{i,j}I_{K} (i, j = 1, ..., n)

und

∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} = I_{K}

gilt.

In 2.3.14 wurde gezeigt, dass V |_{𝒦_{1}} = (V_{1}|_{𝒦_{1}} , ..., V_{n}|_{𝒦_{1}} ) ∈ ℒ(𝒦_{1})^{n} ein sphärisch unitäres Tupel auf 𝒦_{1} ist. Fasst man die bisherigen Ergebnisse zusammen, so erhält man den folgenden Satz über die Wold-Zerlegung eines Tupels von Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern.

Satz 2.3.16. (Wold-Zerlegung) Seien 𝒦 ein Hilbertraum und V_{1}, ..., V_{n} Isometrien auf 𝒦 mit

∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗} ≤ I_{𝒦} .

Sei

π = π_{V} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦)

die Poisson-Transformation zu V. Dann sind die Unterräume

𝒦_{0} = ⋁( π(C)𝒦; C ∈ 𝒞(ℱ^{2}) )

und

𝒦_{1} = ⋂( ker π(C); C ∈ 𝒞(ℱ^{2}) )

reduzierend für V_{1}, ..., V_{n} und es gilt

• 𝒦_{0} ⊕ 𝒦_{1} = 𝒦

• V |_{𝒦_{0}} ist ein n-Shift.

• V |_{𝒦_{1}} ist ein sphärisch unitäres Tupel.

Mit dem nächsten Satz zeigen wir, dass die Wold-Zerlegung in 2.3.16 eindeutig bestimmt ist. Man vergleiche dazu auch [11] (Theorem 1.3).

Satz 2.3.17. Seien 𝒦 ein Hilbertraum und V_{1}, ..., V_{n} Isometrien auf 𝒦 mit

∑_{j=1}^{n} V_{j}V_{j}^{∗} ≤ I_{𝒦} .

Eine Zerlegung

𝒦 = 𝒦_{0} ⊕ 𝒦_{1}

von 𝒦 in V -invariante Untervektorräume 𝒦_{0}, 𝒦_{1} von 𝒦, derart dass V |_{𝒦_{0}} ein n-Shift und V |_{𝒦_{1}} ein sphärisch unitäres Tupel ist, ist eindeutig bestimmt, es gilt

𝒦_{0} = M_{F} (L, V)

mit

L = 𝒦 ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}𝒦 .

Beweis. Da V |_{𝒦_{0}} ein n-Shift ist, gibt es einen abgeschlossenen Unterraum L ⊂ 𝒦_{0}, der wandernd für V |_{𝒦_{0}} ist und für den 𝒦_{0} = M_{F} (L, V |_{𝒦_{0}} ) gilt. Da 𝒦_{0} V -invariant ist, ist L wandernd für V mit 𝒦_{0} = M_{F} (L, V). Also ist 𝒦_{0} (und damit auch 𝒦_{1}) durch L gegeben. Es genügt also zu zeigen, dass L eindeutig bestimmt ist.

Da V |_{𝒦_{1}} sphärisch unitär ist, gilt 𝒦_{1} = ⨁_{i=1}^{n} V_{i}𝒦_{1} und mit 𝒦_{0} ⊥ 𝒦_{1} erhält man

L =^{1.3.2(c)} 𝒦_{0} ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}𝒦_{0}

= ( 𝒦_{0} ⊕ 𝒦_{1} ) ⊖ ⨁_{i=1}^{n}( V_{i}𝒦_{0} ⊕ V_{i}𝒦_{1} )

= 𝒦 ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}𝒦

und somit ist L eindeutig bestimmt.

2.4 Modellsatz für n-Kontraktionen

In diesem Abschnitt benutzen wir die Existenz einer minimalen isometrischen Dilatation V ∈ ℒ(𝒦)^{n} für eine n-Kontraktion T ∈ ℒ(ℋ)^{n} (vergleiche 2.2.6) und die Konstruktion der Wold-Zerlegung (vergleiche 2.3.16), um einen Modellsatz für T zu erhalten. Darin wird T als Kompression einer orthogonalen Summe, bestehend aus einem n-Shift und einem sphärisch unitären Tupel, dargestellt. Der Shiftanteil ist dabei unitär äquivalent zu ⨁_{i∈I} S, mit einer Indexmenge I und

dem Vorwärtsshift S auf ℱ^{2}. Wir zeigen außerdem, dass die Mächtigkeit von I der (Hilbertraum-)Dimension des Defektraums \overline{Δ_{T} ℋ} entspricht. Wir führen zunächst einige Bezeichnungen ein.

Definition 2.4.1. Seien ℋ ein Hilbertraum und T ∈ ℒ(ℋ)^{n} eine n-Kontraktion auf ℋ. Wie zuvor ist der Defektoperator Δ_{T} von T durch

Δ_{T} = ( I_{H} − ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} )^{\frac{1}{2}} ∈ ℒ(ℋ)

definiert. Weiterhin heißt

𝒟_{T} = \overline{Δ_{T} ℋ} ⊂ ℋ

der Defektraum von T und

d_{T} = dim 𝒟_{T} (Hilbertraumdimension von 𝒟_{T})

der Defekt von T.

Bemerkung 2.4.2.

(a) Da Δ_{T} ein positiver Operator ist, gilt

𝒟_{T} = \overline{Δ_{T} ℋ} = \overline{Δ_{T}^{2} ℋ} .

Beweis. Wir zeigen, dass die Kerne von Δ_{T} und Δ_{T}^{2} übereinstimmen. Da Δ_{T} und Δ_{T}^{2} selbstadjungiert sind, folgt dann

\overline{Δ_{T} ℋ} = (ker Δ_{T})^{⊥} = (ker Δ_{T}^{2} )^{⊥} = \overline{Δ_{T}^{2} ℋ} .

Sei also h ∈ ker Δ_{T}^{2} . Dann gilt

⟨ Δ_{T} h , Δ_{T} h ⟩ = ⟨ Δ_{T}^{2} h , h ⟩ = 0

und folglich ist h ∈ ker Δ_{T}^{2} . Die umgekehrte Inklusion ist trivial.

(b) Ist V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} ein Tupel von Isometrien mit paarweise ortho-

gonalen Bildern, so ist Δ_{V}^{2} = I_{H} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} die Orthogonalprojektion auf den

abgeschlossenen Unterraum L = ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ von ℋ (vergleiche 1.3.2).

Damit ist

Δ_{V} = Δ_{V}^{2} = I_{H} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗}

und

𝒟_{V} = L = ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ .

Insbesondere kann man die folgenden beiden Spezialfälle betrachten.

• Ist V ein n-Shift auf ℋ, so gibt es nach 1.3.2 einen eindeutigen wandernden

Unterraum L für V mit M_{F} (L, V) = ℋ. Es gilt L = ℋ ⊖ ⨁_{i=1}^{n} V_{i}ℋ = 𝒟_{V}

und damit ist der Defekt d_{V} von V gleich der (Hilbertraum-)Dimension von L, also gleich der Vielfachheit von V.

• Ist V sphärisch unitär, so gilt Δ_{V} = I_{H} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} = 0 und folglich 𝒟_{V} = 0

und d_{V} = 0.

Im folgenden Lemma untersuchen wir den Defektraum und den Defekt einer n-Kontraktion T auf einem Hilbertraum ℋ, der sich in eine orthogonale Summe ℋ = ℋ_{0} ⊕ ℋ_{1} für T reduzierender Unterräume ℋ_{0}, ℋ_{1} ⊂ ℋ aufspalten lässt. Wir erhalten 𝒟_{T} = 𝒟_{(T |_{ℋ_{0}} )} ⊕ 𝒟_{(T |_{ℋ_{1}} )} und damit d_{T} = d_{(T |_{ℋ_{0}} )} + d_{(T |_{ℋ_{1}} )}.

Bemerkung 2.4.3. Die Defekte von T |_{ℋ_{s}} (s = 0, 1) sind nach Definition Hilbertraumdimensionen, also Kardinalzahlen. Für zwei Kardinalzahlen α, β erklären wir die Summe α+β als die Kardinalität der Menge A ∪ B, wenn A, B disjunkte Mengen mit den Kardinalitäten α beziehungsweise β sind. Dabei ergibt sich die übliche Summe natürlicher Zahlen, falls α, β beide endlich sind. Falls α oder β unendlich ist, so ist α + β die größere der beiden Kardinalitäten.

Lemma 2.4.4. Sei T = (T_{1}, .., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} eine n-Kontraktion auf ℋ und seien ℋ_{0} und ℋ_{1} T -invariante Unterräume von ℋ mit ℋ = ℋ_{0} ⊕ ℋ_{1}. Dann sind T |_{ℋ_{0}} = (T_{1}|_{ℋ_{0}} , ..., T_{1}|_{ℋ_{0}} ) und T |_{ℋ_{1}} = (T_{1}|_{ℋ_{1}} , ..., T_{1}|_{ℋ_{1}} ) n-Kontrak-tionen auf ℋ_{0} beziehungsweise ℋ_{1} und es gelten die folgenden Aussagen.

(a) Der Defektraum von T ist die orthogonale Summe der Defekträume von T |_{ℋ_{0}} und T |_{ℋ_{1}} .

(b) Der Defekt von T ist die Summe der Defekte von T |_{ℋ_{0}} und T |_{ℋ_{1}} .

Beweis. (von 2.4.4) Da ℋ_{0}, ℋ_{1} invariant für T_{1}, ..., T_{n} sind und ℋ = ℋ_{0} ⊕ ℋ_{1} gilt, sind ℋ_{0} und ℋ_{1} sogar reduzierend für T_{1}, ..., T_{n}. Also gilt (T_{i}|_{ℋ_{s}} )^{∗} = T_{i}^{∗}|_{ℋ_{s}} für i = 1, ..., n und s = 0, 1. Man erhält

∑_{i=1}^{n}(T_{i}|_{ℋ_{s}} )(T_{i}^{∗}|_{ℋ_{s}} ) = ( ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} )|_{ℋ_{s}} ≤ I_{ℋ_{s}} (s = 0, 1)

und somit sind T |_{ℋ_{0}} , T |_{ℋ_{1}} n-Kontraktionen auf ℋ_{0} beziehungsweise ℋ_{1}.

Außerdem sind ℋ_{0} und ℋ_{1} auch invariant für I_{ℋ} − ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} und damit für

Δ_{T} = ( I_{ℋ} − ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} )^{\frac{1}{2}} . Es gilt

Δ_{(T |_{ℋs} )} = ( I_{ℋ_{s}} − ∑_{i=1}^{n}(T_{i}|_{ℋ_{s}} )(T_{i}^{∗}|_{ℋ_{s}} ) )^{\frac{1}{2}}

= ( I_{ℋ} − ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗} )^{\frac{1}{2}} |_{ℋ_{s}}
= Δ_{T} |_{ℋ_{s}} (s = 0, 1)

und somit folgt

Δ_{T} = Δ_{(T |_{ℋ_{0}} )} ⊕ Δ_{(T |_{ℋ_{1}} )} .

Es ergibt sich

𝒟_{T} = \overline{Δ_{T} ℋ}
= \overline{Δ_{(T |_{ℋ_{0}} )}ℋ_{0}} ⊕ \overline{Δ_{(T |_{ℋ_{1}} )}ℋ_{1}}
= 𝒟_{(T |_{ℋ_{0}} )} ⊕ 𝒟_{(T |_{ℋ_{1}} )}

und damit ist (a) gezeigt.

(b) folgt unmittelbar.

Im folgenden Satz zeigen wir, dass der Defekt einer n-Kontraktion und der Defekt ihrer minimalen isometrischen Dilatation identisch sind.

Satz 2.4.5. Sei T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} eine n-Kontraktion und V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n} eine minimale isometrische Dilatation von T auf 𝒦 ⊃ ℋ. Dann gelten die folgenden Aussagen.

(a) Der Defektraum 𝒟_{V} = \overline{Δ_{V} 𝒦} von V ist bereits durch 𝒟_{V} = \overline{Δ_{V} ℋ} gegeben.

(b) Der Operator Δ_{T}^{2} ist die Kompression des Operators Δ_{V}^{2} auf ℋ, das heißt es gilt

Δ_{T}^{2} = P_{ℋ} Δ_{V}^{2} |_{ℋ} .

(c) Es gilt d_{T} = d_{V}.

Beweis.

(a) Da Δ_{V} linear und stetig ist, folgt aus der Minimalitätsbedingung 𝒦 = ⋁_{a∈F} V_{a}ℋ für die minimale isometrische Dilatation, dass

𝒟_{V} = \overline{Δ_{V} ⋁_{a∈F} V_{a}ℋ} ⊂ ⋁_{a∈F} Δ_{V} V_{a}ℋ  (2.2)

gilt. Nach 2.4.2 gilt Δ_{V} = Δ_{V}^{2} = I_{H} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} und mit V_{i}^{∗}V_{j} = δ_{i,j}I_{H}

(i, j = 1, ..., n) folgt

Δ_{V} V_{j} = ( I_{H} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} )V_{j}

= V_{j} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗}V_{j}
= V_{j} − V_{j}
= 0  (j = 1, ..., n) .

Damit gilt Δ_{V} V_{a} = 0 für alle a ∈ F^{∗} und aus 2.2 erhält man 𝒟_{V} ⊂ \overline{Δ_{V} ℋ}. Die umgekehrte Inklusion ist trivial, es gilt also Gleichheit.

(b) Es gilt V_{i}^{∗}ℋ ⊂ ℋ und V_{i}^{∗}|_{ℋ} = T_{i}^{∗}, sowie P_{H}V_{i}|_{ℋ} = T_{i} für i ∈ {1, ..., n}. Damit folgt

P_{ℋ} Δ_{V}^{2} |_{ℋ} = P_{ℋ} ( I_{𝒦} − ∑_{i=1}^{n} V_{i}V_{i}^{∗} )|_{ℋ}

= I_{ℋ} − ∑_{i=1}^{n} T_{i}T_{i}^{∗}
= Δ_{T}^{2} .

(c) Wir betrachten die Abbildung

W_{0} : Δ_{V} ℋ → Δ_{T} ℋ ; Δ_{V} h ↦ Δ_{T} h .

Für h, h̃ ∈ ℋ gilt

⟨ Δ_{V} h , Δ_{V} h̃ ⟩ = ⟨ P_{ℋ} Δ_{V}^{2} h , h̃ ⟩
=^{(b)} ⟨ Δ_{T}^{2} h , h̃ ⟩
= ⟨ Δ_{T} h , Δ_{T} h̃ ⟩ .

(Man beachte, dass Δ_{V} und Δ_{T} selbstadjungiert sind.) Daher ist W_{0} eine wohldefinierte Isometrie (Linearität klar), die nach Definition surjektiv ist. Somit ist W_{0} unitär und lässt sich folglich zu einer unitären Abbildung

W : 𝒟_{V} =^{(a)} \overline{Δ_{V} ℋ} ⟶ \overline{Δ_{T} ℋ} = 𝒟_{T}

fortsetzen. Also haben 𝒟_{V} und 𝒟_{T} die gleiche (Hilbertraum-)Dimension, es gilt also d_{V} = d_{T}, was zu zeigen war.

Um Aussagen über den Defekt einer n-Kontraktion zu erhalten, kann man also auch den Defekt ihrer minimalen isometrischen Dilatation untersuchen. Wir betrachten also ein Tupel V = (V_{1}, ..., V_{n}) ∈ ℒ(𝒦)^{n} von Isometrien mit paarweise orthogonalen Bildern auf einem Hilbertraum 𝒦. Wie zuvor betrachten wir die Poisson-Transformation

π = π_{V} : C^{∗}(S_{1}, ..., S_{n}) → ℒ(𝒦)

mit π(S_{a}S_{b}^{∗}) = V_{a}V_{b}^{∗} (a, b ∈ F) und die Unterräume

𝒦_{0} = ⋁_{C∈𝒞(ℱ^{2})} π(C)𝒦 und 𝒦_{1} = ⋂_{C∈𝒞(ℱ^{2})} ker π(C)

von 𝒦. Wir übernehmen die folgenden Ergebnisse aus 2.3.

• Die Unterräume 𝒦_{0} und 𝒦_{1} sind reduzierend für V_{1}, ..., V_{n} und es gilt 𝒦 = 𝒦_{0} ⊕ 𝒦_{1}.

• Das Tupel V |_{𝒦_{1}} = (V_{1}|_{𝒦_{1}} , ..., V_{n}|_{𝒦_{1}} ) ∈ ℒ(𝒦_{1})^{n} ist sphärisch unitär.

• Es existieren eine Indexmenge I und ein unitärer Operator

U : 𝒦_{0} → ⨁_{i∈I} ℱ^{2} ,

so dass V |_{𝒦_{0}} = (V_{1}|_{𝒦_{0}} , ..., V_{n}|_{𝒦_{0}} ) ∈ ℒ(𝒦_{0})^{n} ein n-Shift auf 𝒦_{0} ist. Dabei

ist L = U^{∗}(⨁_{i∈I}⟨e_{0}⟩) ⊂ 𝒦_{0} wandernd für V |_{𝒦_{0}} mit M_{F} (L, V |_{𝒦_{0}} ) = 𝒦_{0}.

Nach 2.4.2 ist der Defekt von V |_{𝒦_{1}} gleich 0 und der Defekt von V |_{𝒦_{0}} ist gleich der Dimension von L. Da U unitär ist, gilt

dim(L) = dim ⨁_{i∈I}⟨e_{0}⟩ = #I .

Nach 2.4.4 gilt für den Defekt von V

d_{V} = d_{(V |_{𝒦_{0}} )} + d_{(V |_{𝒦_{1}} )} = #I + 0 = #I .

Betrachtet man nun eine n-Kontraktion T ∈ ℒ(ℋ)^{n} und benutzt die Existenz einer minimalen isometrischen Dilatation V ∈ ℒ(𝒦)^{n} von T (vergleiche 2.2.6) und die obigen Ergebnisse aus 2.3 für V, so erhält man mit 2.4.5 den folgenden Modellsatz für T.

Satz 2.4.6. (Modellsatz für n-Kontraktionen) Sei T = (T_{1}, ..., T_{n}) ∈ ℒ(ℋ)^{n} eine n-Kontraktion auf einem Hilbertraum ℋ. Dann existieren Hilberträume 𝒦_{0} und 𝒦_{1} mit ℋ ⊂ 𝒦_{0} ⊕𝒦_{1}, eine Indexmenge I mit #I = d_{T}, ein unitärer Operator U : 𝒦_{0} → ⨁_{i∈I} ℱ^{2} und ein sphärisch unitäres

Tupel V^{1} = (V_{1}^{1}, ..., V_{n}^{1}) ∈ ℒ(𝒦_{1})^{n} auf 𝒦_{1}, so dass T die Kompression von U^{∗}(⨁_{i∈I} S)U ⊕ V^{1} auf ℋ ist, das heißt es gilt

T_{j} = P_{ℋ} ( (U^{∗} ⨁_{i∈I} S_{j} U) ⊕ V_{j}^{1} )|_{ℋ} (j = 1, ..., n) .

Außerdem ist ℋ dabei invariant unter den Adjungierten zu den Operatoren

(U^{∗} ⨁_{i∈I} S_{j}U) ⊕ V_{j}^{1} (j = 1, ..., n).

(Dabei ist S der Vorwärtsshift auf ℱ^{2}, P_{ℋ} : 𝒦_{0} ⊕ 𝒦_{1} → ℋ die Projektion in 𝒦_{0} ⊕ 𝒦_{1} auf ℋ und d_{T} der Defekt von T.)

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Hiermit erkläre ich an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die ausdrücklich angegebenen Hilfsmittel benutzt habe. Saarbrücken, den 17.Januar 2003