Asymptotisches Verhalten diskreter und kontinuierlicher

Operatorhalbgruppen

Diplomarbeit

angefertigt von Eric Réolon

im Fachbereich Mathematik der Universität des Saarlandes unter Betreuung von Professor Dr. Jörg Eschmeier

Saarbrücken ii

Einleitung

Für komplexe Zahlen λ und a hat das Anfangswertproblem

u′ = λu, u(0) = a

in der Menge der stetigen, komplexwertigen Funktionen über [0, +∞) bekanntlich die eindeutige Lösung f : [0, +∞) → ℂ mit

f(t) = e^{λt}, t ∈ ℝ.

In der mathematische Physik stößt man auf ganz ähnlich geartete Probleme. Die Wärmeleitungsgleichung etwa beschreibt den zeitlichen Verlauf der Wärmeverteilung in einem homogenen, nach außen hin isolierten Materials. Nehmen wir das Material kugelförmig mit Radius 1 an, so läßt sich die Wärmeleitungsgleichung wie folgt beschreiben: Die Temperturverteilung zu einem beliebigen Zeitpunkt t wird gegen durch eine stetige Funktion auf K = {x ∈ ℝ^{3} : ∥x∥ ≤ 1}; den zeitlichen Verlauf der Verteilung drückt dann eine Funktion u : [0, +∞) → C(K) mit u(0) = f aus, wobei f ∈ C(K) für die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t = 0 steht. Die Wärmeleitungsgleichung schreibt sich dann

u̇ = −\frac{1}{c}Δu, u(0) = f,

wobei u̇ für die Ableitung von u nach der Zeit, Δ = \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂z^{2}} für den Laplace-Operator und c > 0 für eine vom Material abhängige Konstante steht. Man sieht leicht, daß man es hier mit einem Anfangswertproblem in einem verallgemeinerten Sinn zu tun hat. Dies führt zu dem abstrakten Cauchy-Problem .

Gegeben sei ein Banachraum X, ein Element x ∈ X und ein unbeschränkter Operator A auf X mit Definitinsbereich 𝔇(A). Gesucht ist eine differenzierbare Funktion u : [0, +∞) → X mit

u̇ = Au,  u(0) = x.  (1)

Die Lösung des abstrakten Cauchy-Problems führt in kanonischer Weise auf (stark-stetige) Operatorhalbgruppen, die formal ganz ähnliche Eigenschaften besitzen wie die Exponentialfunktion als Lösung des eigangs gestellten Anfangswertproblems. Ist T : [0, +∞) → L(X) eine solche Operatorhalbgruppe, so ist definitionsgemäß T (0) = id_{X} und T (s + t) = T (s)T (t) für alle s, t ≥ 0. Stark-stetig nennt man die Halbgruppe, wenn zudem [0, +∞) → X, t ↦ T (t)x stetig ist für alle x ∈ X. Im günstigsten Fall, also wenn A hinreichend ”gutartig“ ist, läßt sich ein Lösung von (1) schreiben in der Form

u(t) = T (t)x, t ∈ [0, +∞),

mit einer stark-stetigen Operatorhalbgruppe T : [0, +∞) → L(X).

Im Rahmen mathematischer Untersuchungen ist man nun am Verhalten der Lösung auf ”lange Sicht“, d.h. für t → ∞ interessiert. In den letzten zehn Jahren hat eine rege Tätigkeit in diesem Bereich stattgefunden, die einen ersten Niederschlag in dem kürzlich erschienen Buch von J. Neerven ”The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators“ ([17]) gefunden hat. Wie der Titel des Buches bereits verrät, liegt der Schwerpunkt auf dem asymptotischen Verhalten von Operatorhalbgruppen. Diese Arbeit ist ein (bescheidener) Beitrag zu diesen Entwicklungen.

Für eine gleichmäßig beschränkte, stark-stetige Operatorhalbgruppe T mit infinitesimalem Erzeuger A, dessen peripheres Spektrum σ(A)∩iℝ höchstens abzählbar ist und für den das periphere Punktspektrum σ_{p}(A′)∩iℝ des adjungierten Operators A′ von A leer ist, haben Arendt und Batty in [1] sowie Lyubich und Phong in [20] zeigen können, daß die Operatorhalbgruppe T in der starken Operatortopologie für t → ∞ gegen Null konvergiert. Phong hat dieses Ergebnis in [19] verallgemeinert: Ist die Operatorhalbgruppe T zwar nicht mehr gleichmäßig beschränkt, aber läßt sich das Wachtum von ∥T (t)∥ für t → ∞ durch eine geeignete (nicht zu schnell wachsende) Funktion α kontrollieren, so läßt sich unter denselben Voraussetzungen wie eben zeigen, daß \frac{T}{α} für t → ∞ in der starken Operatortopologie gegen Null konvergiert.

Die Beweise all dieser Aussagen beruhen auf der Reduktion der gegeben Operatothalbgruppe zuerst auf isometrische Operatorhalbgruppen und dann auf isometrische Operatorgruppen. Die Anwendung von Spektraltheorie für gleichmäßig beschränkte, stark-stetige Operatorhalbgruppen führt dann zu den Ergebnissen. In der verallgemeinerten Version von Phong werden im wesentlichen dieselben Ideen aufgegriffen und das vorhandene Gewicht α eingearbeitet.

Wir werden in dieser Arbeit einen neuen Beweis der obigen Sachverhalte bringen, die auf eine Ideen von Eschmeier zurückgehen ([10]). Kurz gesagt beruht diese Idee darauf, einen Intertwining-Operator aus verallgemeinerten Limiten zu konstruieren, der den infinitesimalen Erzeuger der zu betrachtenden stark-stetigen Operatorhalbgruppe mit einem Multiplikationsoperator auf einer Beuerling-Algebra stetiger Funktionen vertauscht. Aus Eigenschaften dieses Multiplikationsoperators lassen sich dann Rückschlüsse auf die Operatorhalbgruppe selber ziehen. Es ist uns dabei gelungen, das obige Resultat in einem noch zu klärenden Sinn zu verallgemeinern.

Wir haben unsere Untersuchungen in 4 Kapitel unterteilt, deren Inhalt wir an dieser Stelle in Kurzform wiedergeben wollen.

In Kapitel I führen wir Beuerling-Algebren ein, die die Grundlage dieser Arbeit bilden, und ohne die eine möglichst geschlossene Darstellung unserer Ergebnisse nicht zu bewerkstelligen ist.

In Kapitel II setzen wir uns mit den diskreten Versionen der oben zitieren Resultate auseinander. Wir gewinnen letztere zurück, es gelingt uns aber auch, sie etwas zu verbessern.

In Kapitel III definieren wir stark-stetige Operatorhalbgruppen und beweisen einige ihrer Eigenschaften. Wir gehen dabei gerade so weit, wie es für den weiteren Verlauf notwendig ist. Außerdem untersuchen wir wichtige Beispiele, die im nächsten Kapitel von Bedeutung sein werden.

Kapitel IV beschäftigt sich schließlich mit den weiter oben angesprochen Sätzen von Arendt und Batty sowie Lyubich und Phong. Wir werden zeigen, wie diese vermittels Intertwining-Operatoren gewonnen werden können, und wie man die Ergebnisse sogar noch verbessern kann.

Eine ausführlichere Inhaltsangabe der einzelnen Kapitel findet man zu Beginn derselben.

Zum Abschluß dieser Einleitung möchte ich die Gelegenheit wahrnehmen und all denjenigen danken, die tatkräftig mein Studium unterstützt und zu einem glücklichen Ende geführt haben.

Als erstes möchte ich Herrn Prof. Dr. Jörg Eschmeier danken, der mich zu dieser Arbeit angeregt und während der Arbeit betreut hat. Herr Eschmeier stand mir stets mit Rat und Tat zur Seite, wann auch immer ich völlig unangemeldet in seinem Büro auftauchte.

Herr Priv.-Doz. Dr. Martin Mathieu und Herr Prof. Dr. Ernst Albrecht habe ich die sehr positive Erfahrung zu verdanken, im Rahmen des ERASMUS-Programmes ein Jahr in Paris studiert zu haben. Hierfür ein herzliches Dankeschön.

Ich möchte die seltene Gelegenheit wahrnehmen und an dieser Stelle meinen Eltern Anneliese und Georges Réolon danken, die mir das Studium der Mathematik erst ermöglicht haben, und ohne deren finanzielle Unterstützung das Studienjahr in Paris nicht möglich gewesen wäre. Mit dieser Arbeit hoffe ich ihnen einen Teil ihrer Investitionen zurückgeben zu können.

Meinem Freund und Komilitonen Torsten Becker danke ich für die Durchsicht von Teilen dieser Arbeit. vi

Inhaltsverzeichnis

Einleitung iii

Inhaltsverzeichnis vii

Kapitel I: Beurling-Algebren 1 §1 Einführung der Beurling-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2 Reguläre Banachalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §3 Gelfandtransformation für Beurling-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §4 Regularität gewisser Beurling-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 §5 Eigenschaften regulärer Beurling-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kapitel II: Asymptotisches Verhalten diskreter Operatorhalbgruppen 41 §6 Diskrete Intertwining-Operatoren, grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . 41 §7 Weiterführende Eigenschaften diskreter Intertwining-Operatoren . . . . . . . . 44 §8 Existenz diskreter Intertwining-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 §9 Asymptotisches Verhalten diskreter Operatorhalbgruppen . . . . . . . . . . . . 52

Kapitel III:Stark-stetige Operatorhalbgruppen 57 §10 Unbeschränkte Operatoren und vektorwertige Integration über ℝ . . . . . . . . 57 §11 Stark-stetige Operatorhalbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 §12 Beispiele stark-stetiger Operatorhalbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Kapitel IV:Asymptotisches Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen 71 §13 Kontinuierliche Intertwining-Operatoren, Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . 71 §14 Existenz kontinuierlicher Intertwining-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §15 Asymptotisches Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen . . . . . . . . . . 83

Anhang A: Das Lemma von Fatou und harmonische Analysis 87 Anhang B: Ein Satz von Paley und Wiener 91

Symbole 103

Literaturverzeichnis 105

Stichwortverzeichnis 107 viii Inhaltsverzeichnis

Kapitel I

Beurling-Algebren

Zum Inhalt dieses Kapitels

Wir stellen in diesem Kapitel ein für diese Arbeit entscheidendes Hilfsmittel zur Verfügung. Es handelt sich dabei um eine Klasse von Funktionenräumen, die auf A. Beurling und seine im Jahre 1939 erschienene Arbeit ”Sur les intégrales de Fourier absolument convergentes et leur application à une transformation fonctionelle“ zurückgeht. Im §1 wollen wir diese Klasse von Funktionenräumen einführen; sie werden als Beurling-Algebren bezeichnet.

In §4 wird sich herausstellen, daß gewisse Beurling-Algebren (im Sinne den Banachalgebren-Theorie) regulär sind. Wir geben deshalb in §2 einen kurzen Abriß der Theorie regulärer Banachalgebren, auf die wir uns dann beziehen können. Die Gelfand-Theorie spielt in diesem Zusammenhang eine wichtige Rolle. Im §3 berechnen wir deshalb die Gelfandtransformation für ausgewählte Beurling-Algebren. Die für den weiteren Verlauf diese Arbeit relevanten Aussagen formulieren und beweisen wir in §5.

§1 Einführung der Beurling-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§2 Reguläre Banachalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§3 Gelfandtransformation für Beurling-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§4 Regularität gewisser Beurling-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§5 Eigenschaften regulärer Beurling-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

§1

Einführung der Beurling-Algebren

A. Defintion

Ein Maßraum ist ein geordnetes Tripel (𝔛, �, μ), in dem 𝔛 für eine beliebige Menge, � für eine σ-Algebra auf 𝔛 und μ für ein positives Maß auf � steht. Die Elemente von � nennt man meßbare Mengen von 𝔛. Eine Funktion f : 𝔛 → ℂ heißt meßbar, wenn das Urbild jeder offenen Menge in ℂ meßbar in 𝔛 ist. Auf den in dieser Arbeit benutzen Mengen 𝔛 wird eine σ-Algebra � stets angegeben und dann fixiert sein; wir erlauben uns deshalb, einen Maßraum kürzer in der Form (𝔛, μ) zu schreiben.

Auf einem Maßraum (𝔛, μ) kann man Integrationstheorie betreiben. Eine meßbare Funktion f : 𝔛 → ℂ heißt μ-integriebar, wenn ∫_{𝔛} |f| dμ < +∞ ist. Versieht man den Vektorraum^{1} 𝔏^{1}(𝔛, μ) der komplexwertigen, μ-integrierbaren Funktionen auf 𝔛 mit der Halbnorm

p : 𝔏^{1}(𝔛, μ) → ℝ, f ↦ ∫_{𝔛} |f| dμ,

und geht man dann zum Quotienten 𝔏^{1}(𝔛, μ)/ ker p über, so gelangt man zum Vektorraum L^{1}(𝔛, μ), auf dem eine Norm ∥ · ∥_{1,μ} definiert ist durch ∥[f]∥_{1,μ} = p(f) ([f] bezeichnet die Restklasse von f ∈ 𝔏^{1}(𝔛, μ) in L^{1}(𝔛, μ)). Wie in der Literatur üblich, fassen wir die Elemente von L^{1}(𝔛, μ) als Funktionen auf und schreiben

L^{1}(𝔛, μ) = {f : 𝔛 → ℂ meßbar : ∫_{𝔛} |f| dμ < +∞} ,
∥f∥_{1,μ} = ∫_{𝔛} |f| dμ, f ∈ L^{1}(𝔛, μ),

wohlwissend, daß f = g für f, g ∈ L^{1}(𝔛, μ) genau dann gilt, wenn p(f − g) = 0 ist. Wir nennen eine Funktion f ∈ L^{1}(𝔛, μ) stetig, wenn es in der Restklasse von f eine (im üblich Sinne) stetige Funktion gibt^{2}.

Auf ähnliche Weise ist L^{∞}(𝔛, μ) definiert: Für meßbares f : 𝔛 → ℂ setzt man p_{∞}(f) := sup{K ∈ ℝ : μ(|f| ≥ K) > 0} und definiert

𝔏^{∞}(𝔛, μ) := {f : 𝔛 → ℂ meßbar : p_{∞}(f) < +∞} .

Man erhält L^{∞}(𝔛, μ) als Quotienten 𝔏^{∞}(𝔛, μ)/ ker p_{∞} und schreibt

L^{∞}(𝔛, μ) = {f : 𝔛 → ℂ meßbar : sup{K ∈ ℝ : μ(|f| ≥ K) > 0} < +∞} ,
∥f∥_{∞,μ} = sup{K ∈ ℝ : μ(|f| ≥ K) > 0}, f ∈ L^{∞}(𝔛, μ),

mit f = g genau dann, wenn p_{∞}(f − g) = 0 ist.

1.1 Ein wohlbekanntes Ergebnis der Integrationstheorie (Rudin[23], Theorem 3.11) garantiert, daß (L^{1}(𝔛, μ), ∥ · ∥_{1,μ}) bzw. (L^{∞}(𝔛, μ), ∥ · ∥_{∞,μ}) für jedes positive Maß μ (auf einer auf 𝔛 definierten σ-Algebra) ein Banachraum ist.

Im Hinblick auf unsere späteren Untersuchungen sind die Räume L^{1}(ℤ, ζ) und L^{1}(ℝ, λ) von besonderem Interesse. Die jeweiligen σ-Algebren auf ℤ und auf ℝ seien die Borel-σ-Algebren, die von den natürlichen Topologien auf ℤ und auf ℝ herrühren, �(ℤ) := 𝔅(ℤ), �(ℝ) := 𝔅(ℝ). Auf ℤ ist dies die diskrete Topologie und auf ℝ die euklidsche. Die Symbole ζ und λ stehen für das Zählmaß auf 𝔅(ℤ) und das Lebesgue-Maß auf 𝔅(ℝ). Für L^{1}(ℤ, ζ) und L^{1}(ℝ, λ) werden wir kürzer ℓ^{1}(ℤ) und L^{1}(ℝ) schreiben. Genauer gesagt sind uns die Räume ℓ^{1}(ℤ) und L^{1}(ℝ) in einem gewissen Sinne ”zu groß“. Unser Ziel ist es deshalb, zu geeigneten, linearen Teilräumen überzugehen, die unseren Bedürfnissen besser angepaßt sind. Dazu führen wir unsere Untersuchungen zunächst noch in einem möglichst allgemeinen Rahmen fort.

1Die Vektorräume und Algebren dieser Arbeit sind meist über dem Skalarkörper ℂ definiert; wir präzisieren den Skalarkörper deshalb nur dann, wenn eine Abweichung hiervon dies notwendig macht.

2Wenn diese existiert, ist sie eindeutig bestimmt.

§1. Einführung der Beurling-Algebren 3

Eine Möglichkeit, zu linearen Teilräumen von L^{1}(𝔛, μ) zu gelangen, besteht darin, sich eine meßbare Funktion w : 𝔛 → [1, +∞) vorzugeben, und dann die Menge

𝔏_{w}^{1}(𝔛, μ) := {f : 𝔛 → ℂ meßbar : ∫_{𝔛} |f|w dμ < +∞}

zu betrachten. Die Abbildung p_{w} : 𝔏_{w}^{1}(𝔛, μ) → ℝ, f ↦ ∫_{𝔛} |f|w dμ, definiert eine Halbnorm auf 𝔏_{w}^{1}(𝔛, μ). Durch Übergang zum Quotienten 𝔏_{w}^{1}(𝔛, μ)/ ker p_{w} erhält man den normierten Vektorraum L_{w}^{1}(𝔛, μ). Wieder fassen wir die Elemente von L_{w}^{1}(𝔛, μ) als Funktionen auf und schreiben

L_{w}^{1}(𝔛, μ) := {f : 𝔛 → ℂ meßbar : ∫_{𝔛} |f|w dμ < +∞} ,
∥f∥_{1,w} = ∫_{𝔛} |f|w dμ, f ∈ L_{w}^{1}(𝔛, μ),

mit f = g genau dann, wenn p_{w}(f −g) = 0 ist. Wir sprechen wieder von einer stetigen Funktion f ∈ L_{w}^{1}(ℝ), wenn in der Restklasse von f eine (im üblichen Sinne) stetige Funktion existiert.

Für Funktionen f ∈ 𝔏_{w}^{1}(𝔛, μ) ergibt sich wegen

∫_{𝔛} |f| dμ ≤ ∫_{𝔛} |f|w dμ < +∞

sofort 𝔏_{w}^{1}(𝔛, μ) ⊂ 𝔏^{1}(𝔛, μ). Diese Inklusion überträgt sich auch auf die Quotientenräume, denn für jedes f ∈ L_{w}^{1}(𝔛, μ) stimmen die Äquivalenzklassen von f in 𝔏_{w}^{1}(𝔛, μ) und 𝔏^{1}(𝔛, μ) überein. Wir haben also

L_{w}^{1}(𝔛, μ) ⊂ L^{1}(𝔛, μ).  (2)

Wir erinnern, daß eine meßbare Funktion h : 𝔛 → [0, +∞) auf einem Maßraum (𝔛, μ) ein (positives^{3}) Maß ν : �(𝔛) → [0, +∞) definiert vermöge

ν(E) := ∫_{𝔛} χ_{E}h dμ, E ∈ �(𝔛),

wobei χ_{E} : 𝔛 → ℝ die charakteristische Funktion von E ist (Bauer[2], Satz 17.1). Dieses Maß ν wird mit hμ bezeichnet. Es gilt dann die in [2] als Satz 17.3 zu findende Aussage:

1.2 Ist ν := hμ für meßbares h : 𝔛 → [0, +∞), und ist f : 𝔛 → ℝ eine meßbare Funktion, so ist f genau dann ν-integrierbar, wenn fh μ-integrierbar ist. Es gilt

∫_{𝔛} f dν = ∫_{𝔛} fh dμ.  (3)

In Anbetracht von 1.2 ist für ν = wμ also L_{w}^{1}(𝔛, μ) = L^{1}(𝔛, ν), und wir können mit Hilfe von 1.1 die nachfolgende Proposition aussprechen:

3Wir betrachten nur positive Maße. Insbesondere ist μ positiv.

1.3 Proposition: Ist (𝔛, μ) ein Maßraum und ist w : 𝔛 → [1, +∞) eine meßbare Funktion,

dann ist

L_{w}^{1}(𝔛, μ) = {f : 𝔛 → ℂ meßbar : ∫_{𝔛} |f|w dμ < +∞}

mit der Norm

∥f∥_{1,w} = ∫_{𝔛} |f|w dμ, f ∈ L_{w}^{1}(𝔛, μ),

und der Identifikation zweier Elemente f, g ∈ L_{w}^{1}(𝔛, μ) wenn ∥f − g∥_{1,w} = 0 ist, ein Banachraum.

Anmerkung: Proposition 1.3 bleibt richtig, wenn man statt w ≥ 1 einfach w ≥ 0 fordert. Da wir aber im weiteren Verlauf an der Beziehung (2) interessiert sind, wollen wir uns in der hier angegebenen Form auf die Proposition beziehen.

Da für ν = wμ mit meßbarem w : 𝔛 → [1, +∞) die μ-Nullmengen mit den ν-Nullmengen genau übereinstimmen, gilt

L^{∞}(𝔛, μ) = L^{∞}(𝔛, ν).  (4)

B. Dualräume

Es erweist sich oftmals als nützlich, die Dualräume gegebener Banachräume genauer zu kennen. Damit auch wir von diesem Vorteil profitieren können, wollen wir deshalb die Dualräume der in Proposition 1.3 definierten Banachräume explizit angeben. Hierzu bedienen wir uns des nachfolgenden Resultates.

1.4 Ist (𝔛, ν) ein Maßraum mit σ-endlichem Maß ν und ist Φ ein beschränktes lineares Funktional auf L^{1}(𝔛, ν), so existiert ein eindeutig bestimmtes g ∈ L^{∞}(𝔛, ν) mit

Φ(f) = ∫_{𝔛} fg dν

für alle f ∈ L^{1}(𝔛, ν); es gilt: ∥Φ∥ = ∥g∥_{∞,ν} (Rudin[23], Theorem 6.16).

Ist das Maß ν = wμ aus Proposition 1.3 also σ-endlich, so erhält man wegen L_{w}^{1}(𝔛, μ) = L^{1}(𝔛, ν) sofort

(L_{w}^{1}(𝔛, μ))′ = L^{∞}(𝔛, ν),

wobei das Gleichheitszeichen im Sinne einer isometrischen Isomorphie von Banachräumen zu verstehen ist. Unsere Bemühungen werden sich also an der σ-Endlichkeit von ν ausrichten.

Ein angemessener Rahmen, in dem wir dies erreichen können und dem auch unsere speziellen Situationen ℓ^{1}(ℤ) und L^{1}(ℝ) unterliegen, wird gegeben durch die Annahme, daß 𝔛 ein lokalkompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis und daß μ ein reguläres Borel-Maß auf 𝔛 ist. Nehmen wir für w : 𝔛 → [1, +∞) neben seiner Meßbarkeit auch noch lokale Endlichkeit an, d.h. ist w auf kompakten Teilmengen von 𝔛 beschränkt, so läßt sich der Dualraum eines L_{w}^{1}(𝔛, μ) genau angeben. Dies werden wir in Proposition 1.8 tun. Doch zuvor zitieren wir aus Cohn[4] die Propositionen 7.2.3 und 7.2.5.

1.5 Ist 𝔛 ein lokal-kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis und ist μ ein Borel-Maß auf 𝔛, welches endlich auf den kompakten Teilmengen von 𝔛 ist, so ist μ regulär.

1.6 Ist 𝔛 ein lokal-kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis, so ist jedes reguläre Borel-Maß auf 𝔛 bereits σ-endlich.

Diese beiden Aussagen bilden den Kern des nachfolgenden Lemmas.

1.7 Lemma: Sei 𝔛 ein lokal-kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis und sei μ ein reguläres Borel-Maß auf 𝔛. Sei ν := wμ mit meßbarem, lokal-endlichem w ≥ 1 auf 𝔛. Dann sind μ und ν σ-endlich und ν ist außerdem regulär.

⊳ Beweis : Aufgrund von 1.6 ist μ σ-endlich. Da außerdem w lokal-endlich ist, existiert zu jeder kompakten Menge K eine Konstante C_{K} mit |w| ≤ C_{K} auf K. Wir erhalten:

ν(K) = ∫_{𝔛} χ_{K}w dμ ≤ C_{K}μ(K) < +∞,

was die Endlichkeit von ν auf kompakten Teilmengen von 𝔛 bedeutet. Aussage 1.5 impliziert, daß ν regulär ist. Die Regularität von ν zusammen mit 1.6 liefert schließlich die σ-Endlichkeit von ν. ⊲

Unter den Voraussetzungen von Proposition 1.3 definieren wir nun den Raum L_{w}^{∞}(𝔛, μ). Es ist zunächst wieder

𝔏_{w}^{∞}(𝔛, μ) := \{f : 𝔛 → ℂ meßbar : \frac{f}{w} ∈ 𝔏^{∞}(𝔛, μ)\}

mit p_{∞,w}(f) = p_{∞}(\frac{f}{w}) für f ∈ 𝔏_{w}^{∞}(𝔛, μ) ein halbnormierter Vektorraum. L_{w}^{∞}(𝔛, μ) ist dann definiert als der Quotient 𝔏_{w}^{∞}(𝔛, μ)/ ker p_{∞,w}. Zwei Elemente f, g ∈ 𝔏_{w}^{∞}(𝔛, μ) gehören genau dann zur selben Äquivalenzklasse, wenn \frac{f}{w} = \frac{g}{w} im L^{∞}(𝔛, μ)-Sinne gilt. Die Elemente von 𝔏_{w}^{∞}(𝔛, μ) schreiben und behandeln wir wieder als Funktionen, und notieren deshalb – wenn auch nicht ganz korrekt –

L_{w}^{∞}(𝔛, μ) = \{f : 𝔛 → ℂ meßbar : \frac{f}{w} ∈ 𝔏^{∞}(𝔛, μ)\} .

Die Norm auf L_{w}^{∞}(𝔛, μ) ist gegeben durch

∥f∥_{∞,w} = ∥\frac{f}{w} ∥_{∞,μ}  (5)

für alle f ∈ L_{w}^{∞}(𝔛, μ), wobei f = g in L_{w}^{∞}(𝔛, μ) genau dann gilt, wenn p_{∞,w}(f − g) = 0 ist.

1.8 Proposition: Sei 𝔛 ein lokal-kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis und regulärem Borel-Maß μ. Sei w : 𝔛 → [1, +∞) eine meßbare, lokal-endliche Funktion. Dann existiert zu jeder stetigen Linearform Φ auf L_{w}^{1}(𝔛, μ) ein eindeutig bestimmtes g ∈ L_{w}^{∞}(𝔛, μ) mit

Φ(f) = ∫_{𝔛} fg dμ

für alle f ∈ L_{w}^{1}(𝔛, μ) und

∥Φ∥ = ∥g∥_{∞,w}.

Umgekehrt induziert jedes g ∈ L_{w}^{∞}(𝔛, μ) auf diese Weise eine stetige Linearform auf L_{w}^{1}(𝔛, μ).

In diesem Sinne sind (L_{w}^{1}(𝔛, μ))′ und L_{w}^{∞}(𝔛, μ) isometrisch isomorphe Banachräume.

⊳ Beweis : Es ist klar, daß (L_{w}^{∞}(𝔛, μ), ∥ · ∥_{∞,w}) ein normierter Vektorraum ist. Für eine Cauchy-Folge (f_{n})_{n∈ℕ} ⊂ L_{w}^{∞}(𝔛, μ) ist wegen (5) (\frac{f_{n}}{w} )_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in L^{∞}(𝔛, μ) und konvergiert deshalb gegen ein h ∈ L^{∞}(𝔛, μ) (Aussage 1.1). Offenbar konvergiert dann (f_{n})_{n∈ℕ} gegen hw in L_{w}^{∞}(𝔛, μ), und L_{w}^{∞}(𝔛, μ) ist vollständig.

Ist Φ eine stetige Linearform auf L_{w}^{1}(𝔛, μ), so ist, wenn wir ν := wμ setzen, Φ insbesondere eine Linearform auf L^{1}(𝔛, ν). Wir befinden uns in der Situation von Lemma 1.7; die beiden Maße μ und ν sind σ-endlich. Dies garantiert uns die Existenz eines eindeutig bestimmten h ∈ L^{∞}(𝔛, ν) mit

Φ(f) = ∫_{𝔛} fh dν

für alle f ∈ L^{1}(𝔛, ν) und ∥Φ∥ = ∥h∥_{∞,ν} (Aussage 1.4). Wegen (3) haben wir

∫_{𝔛} fh dν = ∫_{𝔛} fhw dμ.

Setzen wir also g := hw, so ist g ∈ L_{w}^{∞}(𝔛, μ) wegen L^{∞}(𝔛, μ) = L^{∞}(𝔛, ν) (siehe (4)), und wir haben

Φ(f) = ∫_{𝔛} fg dμ  (6)

für alle f ∈ L^{1}(𝔛, ν) = L_{w}^{1}(𝔛, μ).

Umgekehrt definiert jedes g ∈ L_{w}^{∞}(𝔛, μ) vermöge (6) eine stetige Linearform auf L_{w}^{1}(𝔛, μ). Für alle f ∈ L_{w}^{1}(𝔛, μ) gilt nämlich

|∫_{𝔛} fg dμ| = |∫_{𝔛} fw \frac{g}{w} dμ| ≤ ∥\frac{g}{w} ∥_{∞,μ} ∥f∥_{1,w}.

Wegen

∫_{𝔛} fg dμ = ∫_{𝔛} f \frac{g}{w} w dμ = ∫_{𝔛} f \frac{g}{w} dν,

und 1.4 ist \frac{g}{w} (in L^{∞}(𝔛, ν) = L^{∞}(𝔛, μ)) insbesondere eindeutig bestimmt. Man erhält

∥Φ∥ = ∥\frac{g}{w} ∥_{∞,μ} = ∥g∥_{∞,w}.

⊲

C. Approximation durch stetige Funktionen

Für einen lokal-kompakten Hausdorffraum 𝔛 mit abzählbarer Basis, auf dem ein reguläres Borel-Maß μ und eine meßbare, lokal-endliche Funktion w : 𝔛 → [1, +∞) gegeben sind, stellt sich die Frage, ob die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger dicht in L_{w}^{1}(𝔛, μ) liegen. Dem ist tatsächlich so, wie man in Rudin[23], Theorem 3.14, nachlesen kann:

1.9 Ist ν ein reguläres Borel-Maß auf dem lokal-kompakten Hausdorffraum 𝔛, so liegt C_{c}(𝔛), die Menge der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger in 𝔛, dicht in L^{1}(𝔛, ν).

Unter den obigen Voraussetzungen haben wir bereits gesehen, daß ν = wμ regulär ist (Lemma 1.7). Wir haben also

1.10 Proposition: Ist 𝔛 ein lokal-kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis, ist μ ein reguläres Borel-Maß auf 𝔛 und ist w : 𝔛 → [1, +∞) meßbar und lokal-endlich, so liegt C_{c}(𝔛) dicht in L_{w}^{1}(𝔛, μ).

Anmerkung: Fordert man die Stetigkeit von w, so kann man auf die Voraussetzung der Abzählbarkeit der Basis in Proposition 1.10 verzichten.

D. Faltung

Bekanntlich sind ℓ^{1}(ℤ) und L^{1}(ℝ) nicht nur Banachräume, sondern vermöge der Faltungen ∗_{ℤ} : ℓ^{1}(ℤ) × ℓ^{1}(ℤ) → ℓ^{1}(ℤ),

a ∗_{ℤ} b = ∑_{k∈ℤ}a_{·−k}b_{k}, a, b ∈ ℓ^{1}(ℤ),

und ∗_{ℝ} : L^{1}(ℝ) × L^{1}(ℝ) → L^{1}(ℝ),

f ∗_{ℝ} g = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(· − x)g(x) dλ(x), f, g ∈ L^{1}(ℝ),

sogar kommutative Banachalgebren. Die Gründe hierfür liegen neben den topologischen Eigenschaften von ℤ und ℝ in der Gruppenstruktur dieser Räume.

Sei 𝔊 eine lokal-kompakte, abelsche Gruppe mit Gruppenoperation (x, y) ↦ x + y. (Für abelsche Gruppen schreiben wir die Gruppenoperation immer additiv.) Dann existiert auf der Borel-σ-Algebra von 𝔊 ein von Null verschiedenes, positives, reguläres, bis auf Multiplikation mit einem konstanten Faktor eindeutig bestimmtes Maß m, das sogenannte Haar-Maß von 𝔊, welches die Eigenschaft hat, translations-invariant im Sinne von m(x + E) = m(E) für alle E ∈ 𝔅(𝔊) zu sein. (Man vergleiche hierzu die Ausführungen in Cohn[4], Chapter 9; x + E := {x + y : y ∈ E}). Mit Hilfe dieses Maßes kann man die Faltung zweier m-integrierbarer Funktionen f, g : 𝔊 → ℂ definieren:

∗_{𝔊} : L^{1}(𝔊, m)×L^{1}(𝔊, m) → L^{1}(𝔊, m),
(f, g) ↦ (f ∗_{𝔊} g : x ↦ ∫_{𝔊} f(x − y)g(y) dm(y)) .

Um die Bezeichnung ∗_{𝔊} der Faltung zu entlasten, wollen wir im folgenden den Index 𝔊 weglassen; Mehrdeutigkeiten werden nicht auftreten. Die Faltung definiert auf L^{1}(𝔊, m) eine kommutative Multiplikation, die darüberhinaus stetig ist mit ∥f ∗ g∥_{1,m} ≤ ∥f∥_{1,m}∥g∥_{1,m} (Rudin[22], Seite 4). Mit ihr wird L^{1}(𝔊, m) zur kommutativen Banachalgebra.

Wir haben weiter oben gesehen, daß wir für geeignetes w : 𝔊 → ℝ die Beziehung L_{w}^{1}(𝔊, m) ⊂ L^{1}(𝔊, m) haben. Damit besteht die Möglichkeit, die Faltung ∗ von L^{1}(𝔊, m) auf L_{w}^{1}(𝔊, m) einzuschränken. Die Frage, die wir uns stellen, lautet: Welche Eigenschaften muß w zusätzlich erfüllen, damit das Faltungsprodukt zweier Funktionen aus L_{w}^{1}(𝔊, m) wieder in L_{w}^{1}(𝔊, m) landet und außerdem stetig ist. Darüber gibt die nachfolgende Proposition Aufschluß.

1.11 Proposition: Sei 𝔊 eine lokal-kompakte, abelsche Gruppe und m das Haar-Maß auf 𝔊. Sei w : 𝔊 → [1, +∞) meßbar und w(x+y) ≤ w(x)w(y) für alle x, y ∈ 𝔊. Dann ist L_{w}^{1}(𝔊, m) mit der von L^{1}(𝔊, m) geerbten Faltung eine kommutative Banachalgebra.

⊳ Beweis : Wir haben bereits gesehen, daß L_{w}^{1}(𝔊, m) ein Banachraum ist mit L_{w}^{1}(𝔊, m) ⊂ L^{1}(𝔊, m) (Proposition 1.3). Wir müssen zeigen, daß f ∗ g ∈ L_{w}^{1}(𝔊, m) für alle f, g ∈ L_{w}^{1}(𝔊, m) und daß ∥f ∗ g∥_{1,w} ≤ ∥f∥_{1,w}∥g∥_{1,w} ist. Wir beginnen mit letzterem:

∫_{𝔊} |f ∗ g|w dm ≤ ∫_{𝔊} ∫_{𝔊} |f(x − y)g(y)|w(x) dm(y) dm(x)
≤ ∫_{𝔊} ∫_{𝔊} |f(x − y)g(y)|w(x − y)w(y) dm(y) dm(x)
≤ ∫_{𝔊} |g(y)|w(y) ∫_{𝔊} |f(x − y)|w(x − y) dm(x) dm(y)
= ∥g∥_{1,w}∥f∥_{1,w},

wobei für die letzten beiden Umformungen der Satz von Fubini^{4} und die Translationsinvarianz von m benutzt wurden. Damit haben wir tatsächlich ∥f ∗ g∥_{1,w} ≤ ∥f∥_{1,w}∥g∥_{1,w}, was insbesondere f ∗ g ∈ L_{w}^{1}(𝔊, m) bedeutet. L_{w}^{1}(𝔊, m) ist kommutativ, da die Faltung auf L^{1}(𝔊, m) bereits kommutativ ist. ⊲

Bevor wir uns zum Abschluß dieses Paragraphen den Spezialfällen ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) und L_{w}^{1}(ℝ) zuwenden, beweisen wir zwei Aussagen, die uns im §3 und §12 dienlich sein werden. Zuvor sei für alle y ∈ 𝔊 die Abbildung τ_{y} erklärt durch

τ_{y} : L_{w}^{1}(𝔊, m) → L_{w}^{1}(𝔊, m)
f ↦ (τ_{y}f : x ↦ f(x − y)) .

Die Wohldefiniertheit dieser Abbildung ist Teil der nachfolgenden Proposition.

1.12 Proposition: Sei 𝔊 eine lokal-kompakte, abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis und m das Haar-Maß auf 𝔊. Sei w : 𝔊 → [1, +∞) meßbar und w(x + y) ≤ w(x)w(y) für alle x, y ∈ 𝔊. Sei außerdem w lokal-endlich. Dann gilt:

(a) Für alle y ∈ 𝔊 ist die Abbildung τ_{y} linear und stetig mit ∥τ_{y}∥ ≤ w(y).

4in einer Version für lokal-kompakte Hausdorffräume (Cohn[4], Proposition 7.6.5)

(b) Für alle f ∈ L_{w}^{1}(𝔊, m) ist die Abbildung y ↦ τ_{y}f von 𝔊 nach L_{w}^{1}(𝔊, m) stetig.

⊳ Beweis : Wir beginnen mit (a): Sei y ∈ 𝔊. Für f ∈ L_{w}^{1}(𝔊, m) haben wir:

∫_{𝔊} |τ_{y}f|w dm = ∫_{𝔊} |f(x − y)|w(x) dm(x)
≤ ∫_{𝔊} |f(x − y)|w(x − y)w(y) dm(x)
= w(y) ∫_{𝔊} |f(x)|w(x) dm(x)  (Translationsinvarianz)
= w(y)∥f∥_{1,w}.

Damit ist ∥τ_{y}f∥_{1,w} ≤ w(y)∥f∥_{1,w} und τ_{y} wohldefiniert. Die Linearität von τ_{y} ist klar; es gilt ∥τ_{y}∥ ≤ w(y).

Wir kommen zu (b): Aufgrund von Proposition 1.10 liegt die Menge C_{c}(𝔊) dicht in L_{w}^{1}(𝔊, m). Wir beweisen die Aussage deshalb zunächst für Funktionen g ∈ C_{c}(𝔊) und nutzen dann die Dichtheit aus, um die Aussage auch für alle anderen f ∈ L_{w}^{1}(𝔊, m) zu haben.

Sei dazu y_{0} ∈ 𝔊, ε > 0 und g ∈ C_{c}(𝔊). Dann ist für alle y ∈ 𝔊

∥τ_{y}g − τ_{y_{0}}g∥_{1,w} = ∥τ_{y_{0}}(τ_{y−y_{0}}g − g)∥_{1,w} ≤ w(y_{0})∥τ_{y−y_{0}}g − g∥_{1,w}.

Wir wählen eine kompakte Nullumgebung V in 𝔊. Setzen wir supp(g) := \overline{\{x ∈ 𝔊 : g(x) ≠ 0\}} (Abschluß in 𝔊) und K := supp(g) + V := {x + y : x ∈ supp(g), y ∈ V }, so gilt für y ∈ V:

∥τ_{y}g − g∥_{1,w} = ∫_{𝔊} |τ_{y}g − g|w dm
= ∫_{𝔊} |g(x − y) − g(x)|w(x) dm(x)
= ∫_{K} |g(x − y) − g(x)|w(x) dm(x).

Da w nach Voraussetzung lokal-endlich ist, existiert in Abhängigkeit der kompakten Menge K ⊂ 𝔛 eine Konstante C > 0 mit w(x) ≤ C für alle x ∈ K. Dies führt auf

∥τ_{y}g − g∥_{1,w} ≤ Cm(K) sup_{x∈K} |g(x − y) − g(x)|.

Da g gleichmäßig stetig ist als stetige Funktion mit kompaktem Träger, kann man nun ein Umgebung U von 0 finden mit U ⊂ V und sup_{x∈K} |g(x − y) − g(x)| < \frac{ε}{Cw(y_{0})m(K)} für alle y ∈ U. Damit ist

∥τ_{y}g − g∥_{1,w} < \frac{ε}{w(y_{0})}

für alle y ∈ U. Für y ∈ y_{0} + U erhalten wir dann

∥τ_{y}g − τ_{y_{0}}g∥_{1,w} < ε.

Da y_{0} ∈ 𝔊 beliebig war, folgt die Stetigkeit von y ↦ τ_{y}g für g ∈ C_{c}(𝔊).

Für f ∈ L_{w}^{1}(𝔊, m) schreiben wir nun τ_{y}f − τ_{y_{0}}f = (τ_{y}f − τ_{y}g) + (τ_{y}g − τ_{y_{0}}g) + (τ_{y_{0}}g − τ_{y_{0}}f) mit g ∈ C_{c}(𝔊) und erhalten

∥τ_{y}f − τ_{y_{0}}f∥_{1,w} ≤ (w(y) + w(y_{0}))∥f − g∥_{1,w} + ∥τ_{y}g − τ_{y_{0}}g∥_{1,w}.

Für eine kompakte Umgebung V von y_{0} ist nun w wieder beschränkt, sagen wir durch C > 0. Wählen wir zuerst g ∈ C_{c}(𝔊) mit ∥f − g∥_{1,w} < \frac{ε}{2(C+w(y_{0}))} und dann eine Umgebung U ⊂ V von y_{0} mit ∥τ_{y}g − τ_{y_{0}}g∥_{1,w} < \frac{ε}{2} für y ∈ U, so ist

∥τ_{y}f − τ_{y_{0}}f∥_{1,w} < ε

für alle y ∈ U. Da diese Überlegungen unabhängig sind von y_{0} ∈ 𝔊, ist damit die Stetigkeit der Abbildung y ↦ τ_{y}f nachgewiesen. ⊲

Anmerkung: Proposition 1.12 enthält den Spezialfall w ≡ 1 auf 𝔊; für diesen kann man die Aussage in Rudin[22], Seite 3, finden. Der hier geführte Beweis entspricht wesentlich dem dort niedergeschriebenen.

E. Approximative Einsen

Bevor wir eine Proposition über approximative Einsen formulieren, definieren wir:

1.13 Definition: Ist 𝔊 eine lokal-kompakte Gruppe und w : 𝔊 → ℝ eine Abbildung mit

(i) w meßbar, (ii) w lokal-endlich, (iii) w(x) ≥ 1 für alle x ∈ 𝔊, (iv) w(x + y) ≤ w(x)w(y) für alle x, y ∈ 𝔊,

so nennen nennen wir w ein Gewicht auf 𝔊.

1.14 Definition: Sei 𝔊 eine lokal-kompakte Gruppe mit abzählbarer Basis, m das Haar-Maß auf 𝔊 und w : 𝔊 → ℝ ein Gewicht auf 𝔊. Dann nennen wir die Banachalgebra L_{w}^{1}(𝔊, m) eine Beurling-Algebra.

Man findet diese Definition der Beurling-Algebren – neben zusätzlichen Eigenschaften – z.B. in Reiter[21], Chapter 3, §7, allerdings unter Verzicht auf die Abzählbarkeit der Basis der Topologie der Gruppe 𝔊. Wir haben die Abzählbarkeit explizit gefordert, damit wir die σ-Endlichkeit des Haar-Maßes m erzwingen können (Aussage 1.6), und damit wir in der Lage sind, die Dualräume der L_{w}^{1}(𝔊, m) anzugeben.

1.15 Definition: Sei L_{w}^{1}(𝔊, m) eine Beurling-Algebra im Sinne der Definition 1.14. Eine Folge (u_{n})_{n∈ℕ} in L_{w}^{1}(𝔊, m) heißt eine approximative Eins für L_{w}^{1}(𝔊, m), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1) sup_{n∈ℕ}∫_{𝔊} |u_{n}| dm < +∞

2) lim_{n→∞} ∫_{𝔊} u_{n} dm = 1

3) für jede Umgebung V von 0 gilt: lim_{n→∞} ∫_{𝔊\V} |u_{n}|w dm = 0

1.16 Proposition: Sei L_{w}^{1}(𝔊, m) eine Beurling-Algebra im Sinne der Defintion 1.14, und sei (u_{n})_{n∈ℕ} eine approximative Eins für L_{w}^{1}(𝔊, m). Dann gilt für alle f ∈ L_{w}^{1}(𝔊, μ): f ∗ u_{n} → f für n → ∞ in L_{w}^{1}(𝔊, μ).

Wir werden an entsprechender Stelle sehen, daß approximative Einsen in den für uns wichtigen Fällen existieren.

⊳ Beweis von Proposition 1.16: Sei f ∈ L_{w}^{1}(𝔊, m) mit f ≢ 0 (ohne Einschränkung), und sei n ∈ ℕ. Dann gilt für m-fast alle x ∈ 𝔊:

|(f ∗ u_{n})(x) − f(x) ∫_{𝔊} u_{n} dm| = |∫_{𝔊} f(x − y)u_{n}(y) dm(y) − ∫_{𝔊} f(x)u_{n}(y) dm(y)|
≤ ∫_{𝔊} |f(x − y) − f(x)| |u_{n}(y)| dm(y).

Sei g ∈ L_{w}^{∞}(𝔊, m). Dann ist

∫_{𝔊} |g(x)| |(f ∗ u_{n})(x) − f(x) ∫_{𝔊} u_{n} dm| dm(x)

≤ ∫_{𝔊} |g(x)| (∫_{𝔊} |f(x − y) − f(x)| |u_{n}(y)| dm(y)) dm(x)

≤ ∫_{𝔊} |u_{n}(y)| (∫_{𝔊} |g(x)| |f(x − y) − f(x)| dm(x)) dm(y) (Fubini)

= ∫_{𝔊} |u_{n}(y)| (∫_{𝔊} \frac{|g(x)|}{w(x)}|f(x − y) − f(x)|w(x) dm(x)) dm(y)

≤ ∥g∥_{∞,w} ∫_{𝔊} |u_{n}(y)| ∥τ_{y}f − f∥_{1,w} dm(y).  (7)

Man beachte, daß die Endlichkeit des letzten Integrals aus Proposition 1.12(a) folgt. Die Abbildung

\begin{aligned}Φ : & L_{w}^{∞}(𝔊, m) & → & ℂ \\ & g & ↦ & ∫_{𝔊} g(x) ((f ∗ u_{n})(x) − f(x) ∫_{𝔊} u_{n} dm) dm(x), \end{aligned}

n fest, ist eine beschränkte, lineare Abbildung auf L_{w}^{∞}(𝔊, m). Aufgrund der isometrischen Einbettung L_{w}^{1}(𝔊, m) ↪ (L_{w}^{∞}(𝔊, m))′ (Werner[24], Satz III.3.1) haben wir

∥Φ∥ = ∥f ∗ u_{n} − f ∫_{𝔊} u_{n} dm∥_{1,w} ,

und wegen (7) damit

∥f ∗ u_{n} − f ∫_{𝔊} u_{n} dm∥_{1,w} ≤ ∫_{𝔊} |u_{n}(y)| ∥τ_{y}f − f∥_{1,w} dm(y).

Sei M := sup_{n∈ℕ}∫ 𝔊|u_{n}| dm < +∞ gemäß Eigenschaft 1) einer approximativen Eins, und sei V

eine kompakte Umgebung der 0. Dann gilt:

∫_{𝔊} |u_{n}(y)| ∥τ_{y}f − f∥_{1,w} dm(y) = (∫_{𝔊\V} + ∫_{V} ) |u_{n}(y)| ∥τ_{y}f − f∥_{1,w} dm(y)
≤ 2∥f∥_{1,w} ∫_{𝔊\V} |u_{n}(y)|w(y) dm(y) + M sup_{y∈V} ∥τ_{y}f − f∥_{1,w}.

Wählt man V so, daß der zweite Summand kleiner als \frac{ε}{4} wird (Proposition 1.12(b)) und dann gemäß Eigenschaft 3) einer approximativen Eins n_{0} ∈ ℕ so, daß für n ≥ n_{0} der erste Summand ebenfalls kleiner als \frac{ε}{4} wird, so erhält man für n ≥ n_{0}:

∥f ∗ u_{n} − f ∫_{𝔊} u_{n} dm∥_{1,w} < \frac{ε}{2}.

Schließlich kann man gemäß Eigenschaft 2) einer approximativen Eins ein n_{1} ≥ n_{0} angeben mit |∫_{𝔊} u_{n} dm − 1| < \frac{ε}{2∥f∥_{1,w}} für alle n ≥ n_{1}. Eine einfache Anwendung der Dreiecksungleichung liefert somit

∥f ∗ u_{n} − f∥_{1,w} < ε.
⊲

F. Spezialfälle

Bis zum Ende dieses Paragraphen wollen wir uns noch mit den für diese Arbeit relevanten Spezialfällen der Definition 1.14 beschäftigen. Dies geschieht in den Nummern 1.17 und 1.18.

1.17 Versieht man ℤ mit der diskreten Topologie, so ist ℤ bezüglich der gewöhnlichen Addition eine lokal-kompakte, abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis, auf der alle Abbildungen in einen weiteren meßbaren Raum meßbar sind. Das (normierte) Haar-Maß auf ℤ ist bekanntlich das Zählmaß ζ. Außerdem sind die kompakten Teilmengen von ℤ gerade die endlichen; sämtliche Abbildungen ℤ → ℂ sind von daher lokal-endlich. Wir befinden uns somit in einer denkbar einfachen Situation. Ist ϱ ein Gewicht auf ℤ, so garantieren Proposition 1.3 und Proposition 1.11, daß

ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) = {a ∈ ℂ^{ℤ} : ∑_{n∈ℤ}|a_{n}|ϱ_{n} < +∞} ⊂ ℓ^{1}(ℤ)

mit der Norm ∥a∥_{1,ϱ} = ∑_{n∈ℤ} |a_{n}|ϱ_{n}, a ∈ ℓ_{ϱ}^{1}, eine kommutative Banachalgebra ist. Aufgrund von Proposition 1.10 liegen die Folgen mit endlichem Träger dicht in ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ). Die stetigen Linearformen auf ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) lassen sich schreiben in der Form

a ⟼^{ϕ} ∑_{n∈ℤ}a_{n}b_{n}

mit eindeutig bestimmten b ∈ ℓ_{ϱ}^{∞}(ℤ),

ℓ_{ϱ}^{∞}(ℤ) = \{b ∈ ℂ^{ℤ} : sup\{\frac{b_{n}}{ϱ_{n}} : n ∈ ℤ\} < +∞\} .

§2. Reguläre Banachalgebren 13

Es gilt ∥ϕ∥ = ∥b∥_{∞,ϱ}. Im Sinne von Proposition 1.8 ist (ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ))′ = ℓ_{ϱ}^{∞}(ℤ).

1.18 Mit der üblichen Topologie und der gewöhnlichen Addition ist auch ℝ eine lokal-kompakte Gruppe mit abzählbarer Basis. Als Haar-Maß nehmen wir das mit dem Faktor \frac{1}{\sqrt{2π}} versehene Lebesgue-Maß λ auf ℝ. Sei w ein Gewicht auf ℝ. Die Propositionen 1.3 und 1.11 beinhalten die Aussage, daß

L_{w}^{1}(ℝ) = {f : ℝ → ℂ meßbar : ∫_{ℝ} |f|w dλ < +∞} ⊂ L^{1}(ℝ)

mit der Norm ∥f∥_{1,w} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} |f|w dλ und der Faltung als Produkt eine kommutative Banachalgebra ist. In ihr liegen – Proposition 1.10 – die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger dicht. Die stetigen Linearformen auf L_{w}^{1}(ℝ) lassen sich schreiben in der Form

f ⟼^{ϕ} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} fg dλ

mit eindeutig bestimmten g ∈ L_{w}^{∞}(ℝ), wobei

L_{w}^{∞}(ℝ) = \{g : ℝ → ℂ meßbar : \frac{g}{w} ∈ L^{∞}(ℝ)\} .

Man hat ∥ϕ∥ = ∥g∥_{∞,w}. Im Sinn von Proposition 1.8 ist (L_{w}^{1}(ℝ))′ = L_{w}^{∞}(ℝ).

Die Funktionenfolge (g_{n})_{n∈ℕ} ⊂ C_{c}(ℝ) mit

g_{n}(x) = \{ \begin{matrix}0 & falls |x| ≥ \frac{1}{n} \\ \frac{n}{C} exp (\frac{1}{n^{2}x^{2}−1}) & falls |x| < \frac{1}{n} \end{matrix}

und C := ∫_{ℝ} exp (\frac{1}{x^{2}−1}) dx liegt wegen Proposition 1.10 in L_{w}^{1}(ℝ). Man überprüft leicht, daß sie eine approximative Eins für L_{w}^{1}(ℝ) ist.

§2

Reguläre Banachalgebren

A. Allgemeines

Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, daß für eine lokal-kompakte Gruppe 𝔊 mit Haar-Maß m und Gewicht w der Raum L_{w}^{1}(𝔊, m) eine kommutative Banachalgebra ist. In diesem Abschnitt wollen wir allgemeine Ergebnisse der Theorie kommutativer Banachalgebren zusammenstellen und insbesondere auf die Theorie regulärer Banachalgebren eingehen. Dies wird sich als besonders nützlich erweisen, denn wie sich zeigen wird, sind ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) und L_{w}^{1}(ℝ) für gewisse Gewichte ϱ und w Beispiele solcher Algebren.

Bevor wir uns der Gelfandtransformation und regulären Banachalgebren zuwenden wollen, geben wir einen kurzen Abriß der Theorie kommutativer Banachalgebren. Wir beziehen uns dabei auf Katznelson[15], Chapter VIII.

In der Theorie kommutativer Banachalgebren spielen maximale Ideal eine wichtige Rolle. Die nachfolgende Aussage 2.1 gibt diesbezüglich das Wichtigste wieder.

2.1 In einer kommutativen Banachalgebra A mit 1 sind die maximalen Ideale abgeschlossen. Jedes echte Ideal I in A ist in einem maximalen Ideal enthalten.

Begründung: Da ein echtes Ideal I in A keine invertierbaren Elemente enthalten kann, gilt für alle x ∈ I: ∥1 − x∥ ≥ 1. Insbesondere ist der Abschluß \overline{I} von I wieder ein echtes Ideal in A (1 ∉ \overline{I}). Für maximale Ideale M ergibt sich somit M = \overline{M}. Daß jedes echte Ideal I in einem maximalen Ideal enthalten ist, ist eine einfache Folgerung aus dem Lemma von Zorn und der Tatsache, daß kein echtes, I enthaltendes Ideal in A die 1 enthält.

Auch die multiplikativen Lineraformen auf A spielen eine wichtige Rolle. Wir fassen sie zur Menge M_{A} zusammen^{5}.

2.2 Die multiplikativen Linearformen einer kommutativen Banachalgebra sind automatisch stetig und durch 1 nach oben beschränkt. Enthält die Algebra A eine 1, so besitzt sogar jede multiplikative Linearform Norm 1.

Begründung: Wegen 1 = ϕ(1) für eine kommutative Banachalgebra A mit 1 und ϕ ∈ M_{A} ergibt sich sofort ∥ϕ∥ ≥ 1. ∥ϕ∥ > 1 kann aber nicht sein, denn für x ∈ A mit |ϕ(x)| > ∥x∥ ist x_{0} = x − ϕ(x)1 wegen ∥1 + \frac{x_{0}}{ϕ(x)} ∥ = \frac{∥x∥}{|ϕ(x)|} < 1 invertierbar. Es ist aber auch ϕ(x_{0}) = 0, was wegen 1 = ϕ(1) = ϕ(x_{0}x_{0}^{−1}) = ϕ(x_{0})ϕ(x_{0}^{−1}) nicht möglich ist. Enthält die Algebra A keine 1, so geht man zur Algebra (A, 1) über, die aus A durch Adjungieren einer 1 hervorgeht, (A, 1) := A × ℂ, ∥(x, λ)∥ := ∥x∥_{A} + |λ| (x ∈ A, λ ∈ ℂ). Ist ϕ eine multiplikative Linearform auf A, so ist

π(ϕ) : (A, 1) → ℂ, (x, λ) ↦ π(ϕ)(x, λ) := ϕ(x) + λ  (8)

eine multiplikative Linearform auf (A, 1), die ϕ fortsetzt. Man hat dann

1 = ∥π(ϕ)∥ = sup{|ϕ(x) + λ| : ∥x∥_{A} + |λ| = 1} ≥ sup{|ϕ(x)| : ∥x∥_{A} = 1} = ∥ϕ∥.

Als günstig erweist sich auch der Zusammenhang zwischen den multiplikativen Linearformen und den maximalen Idealen einer kommutativen Banachalgebra mit 1.

2.3 Sei A eine kommutative Banachalgebra mit 1. Dann besteht vermöge ϕ ↦ ker ϕ für ϕ ∈ M_{A} ein bijektives Verhältnis zwischen den multiplikativen Linearformen auf A und der Menge der maximalen Ideal in A.

Begründung: Der Kern einer multiplikativen Linearform ist ein abgeschlossenes Ideal mit Codimension 1 in A, also maximal. Umgekehrt ist für ein maximales Ideal M der Quotient A/M ein Körper, und damit als Divisions-Banachalgebra isomorph zu ℂ (Gelfand-Mazur). Vermöge A → A/M ˜→ ℂ gewinnt man daraus eine eindeutig bestimmte, multiplikative Linearform auf A mit Kern M^{6}.

Aus der letzten Aussage läßt sich eine nützliche Folgerung ziehen:

5Multiplikative Linearformen sind für uns immer nicht-trivial.

6Die multiplikativen Linearformen sind durch ihre Kerne eindeutig bestimmt.

2.4 Sei A eine kommutative Banachalgebra mit 1. Ein Element x ∈ A ist genau dann invertierbar, wenn für alle ϕ ∈ M_{A} gilt: ϕ(x) ≠ 0.

Begründung: Wir haben bereits in der Begründung von 2.2 gesehen, daß die Bedingung notwendig ist. Sie ist aber auch hinreichend, denn ist x nicht invertierbar, so definiert xA ein Ideal in A, welches nach 2.1 und 2.4 in einem maximalen Ideal ker ϕ für ein ϕ ∈ M_{A} enthalten ist. Wegen 1 ∈ A ist x = x · 1 ∈ xA und damit ϕ(x) = 0.

Mit diesen Vorbereitungen wenden wir uns nun der Gelfandtransformation und den regulären Banachalgebren zu. Auch hierzu präsentieren wir nur einen kleinen Auszug aus der Theorie, eben jene Aussagen, die uns im Verlauf dieser Arbeit dienlich sein werden. Wir verweisen für eine detailiertere Darstellung wieder auf Katznelson[15] und außerdem auf Naimark[16], §15.

B. Gelfandtransformation und reguläre Banachalgebren

Im folgenden bezeichne A′ den topologischen Dualraum der Banachalgebra A.

Für die Gelfandtransformation einer kommutativen Banachalgebra A mit 1 spielen die multiplikativen Linearformen eine wesentliche Rolle. Dies liegt zum einen an der Tatsache, daß die duale Einheitskugel eines Banachraumes schwach^{∗}-kompakt ist (Banach-Alaoglu), und zum andern daran, daß die multiplikativen Linearformen einer kommutativen Banachalgebra mit 1 eine schwach^{∗}-abgeschlossene Teilmenge dieser dualen Einheitskugel bilden. Versieht man nämlich die Menge M_{A} der multiplikativen Linearformen auf A mit der schwach^{∗}-Relativtopologie von A′ und berücksichtigt man, daß A′ bezüglich der schwach^{∗}-Topologie Hausdorffsch ist (Hahn-Banach), so folgert man sofort, daß M_{A} ein kompakter Hausdorffraum ist. Für jedes x ∈ A definiert ϕ ↦ ϕ(x) eine stetige Abbildung x̂ : M_{A} → ℂ (Definition der schwach^{∗}-Topologie), und man erhält die Gelfandtransformation vermöge

: A → C(M_{A}), x ↦ x̂,

wobei C(M_{A}) für die Menge der stetigen Funktionen auf M_{A} steht und x̂ für ϕ ∈ M_{A} definiert ist durch x̂(ϕ) := ϕ(x).

Besitzt die kommutative Banachalgebra A keine 1, so bildet M_{A} zwar nach wie vor eine Teilmenge der dualen Einheitskugel A′_{1}, ist aber nicht mehr schwach^{∗}-abgeschlossen. Von der kommutativen Banachalgebra (A, 1) wissen wir aber nach dem bereits Gesagten, daß M_{(A,1)} schwach^{∗}-kompakt in (A, 1)′_{1} ist. Ein Vergleich der multiplikativen Linearformen von A mit denen von (A, 1) ergibt M_{(A,1)} = π(M_{A}) ∪ {φ_{1}}, wobei φ_{1} die multiplikative Linearform auf (A, 1) mit ker φ_{1} = A × {0} und π gemäß (8) definiert ist. Da also M_{A} ≅ M_{(A,1)}\{φ_{1}} und M_{(A,1)} schwach^{∗}-kompakt ist, ist M_{A} immerhin noch ein lokal-kompakter Hausdorffraum, und die Gelfandtransformation kann definiert werden durch

: A → C_{0}(M_{A}), x ↦ x̂,

wobei C_{0}(M_{A}) für die Menge der stetigen Funktionen auf M_{A} steht, die im Unendlichen verschwinden, und x̂ für ϕ ∈ M_{A} definiert ist durch x̂(ϕ) := ϕ(x).

Ausgehend von der Gelfandtransformation kann man reguläre Banachalgebren definieren. Dazu erinnern wir, daß eine Familie 𝔉 von Funktionen auf einem topologischen Raum 𝔛 mit Werten in ℂ regulär heißt, wenn zu jeder abgeschlossenen Teilmenge F ⊂ 𝔛 und jedem Punkt t_{0} ∈ X\F eine Funktionen f ∈ 𝔉 existiert mit f(t_{0}) = 1 und f(t) = 0 für alle t ∈ F. Eine kommutative Banachalgebra A mit 1 heißt regulär, wenn das Bild von A unter der Gelfandtransformation, die Funktionenfamilie Â ⊂ C(M_{A}), regulär ist. Entsprechend heißt eine kommutative Banachalgebra A ohne 1 regulär, wenn die Banachalgebra (A, 1) regulär ist. Eine Formulierung, die beiden Situationen gerecht wird, ist die folgende: Eine kommutative Banachalgebra A (mit oder ohne 1) heißt regulär, wenn zu jedem abgeschlossenen F ⊂ M_{A} und jedem Punkt ϕ_{0} ∈ M_{A}\F eine Abbildung x̂ ∈ Â existiert mit x̂(ϕ_{0}) = ϕ_{0}(x) = 1 und x̂(ϕ) = ϕ(x) = 0 für alle ϕ ∈ F.

Kann man in einer kommutativen Banachalgebra zu jedem ϕ_{0} ∈ M_{A} und jeder Umgebung V von ϕ_{0} ein x ∈ A angeben mit x̂(ϕ_{0}) = ϕ_{0}(x) ≠ 0 und x̂(ϕ) = ϕ(x) = 0 für alle ϕ ∈ M_{A}\V, so ist die Banachalgebra natürlich regulär, und umgekehrt.

Reguläre Banachalgebren haben einige bemerkenswerte Eigenschaften, die wir nun anführen wollen. Dazu definieren wir zuvor die Hülle h(I) eines abgeschlossenen Ideals I in A durch

h(I) := {ϕ ∈ M_{A} : I ⊂ ker ϕ} = ⋂_{x∈I} N(x̂),

wobei N(x̂) := {ϕ ∈ M_{A} : x̂(ϕ) = ϕ(x) = 0} ist. Der Kern k(F) einer abgeschlossen Teilmenge F von M_{A} ist erklärt durch

k(F) := ⋂_{ϕ∈F} ker ϕ.

Als Durchschnitt abgeschlossener Ideale (ϕ ∈ F stetig!), ist k(F) wieder ein abgeschlossenes Ideal. Die Quotientenalgebra A/k(F) ist dann mit der Quotientennorm wieder eine kommutative Banachalgebra.

Sei I ein abgeschlossenes Ideal in A und ϕ ∈ h(I). Dann definiert ϕ̃ : A/I → ℂ, [x] ↦ ϕ̃([x]) := ϕ(x) ([x] die Restklasse von x ∈ A in A/I) eine wohldefinierte, multiplikative Linearform auf A/I. Ist nämlich [x] = [y] für x, y ∈ A, so ist x − y ∈ I ⊂ ker ϕ und damit ϕ(x) = ϕ(y), d.h. ϕ̃([x]) = ϕ̃([y]). Daß ϕ̃ linear und multiplikativ ist (und damit stetig), ist klar. Die Abbildung

: h(I) → M_{A/I}
ϕ ⟼ ϕ̃

ist somit ebenfalls wohldefiniert. Darüberhinaus ist injektiv: ist nämlich ϕ̃ = ψ̃ für ϕ, ψ ∈ h(I), so ϕ̃([x]) = ϕ(x) = ψ(x) = ψ̃([x]) für alle x ∈ A. Dies aber bedeutet ϕ = ψ.

Es stellt sich nun die Frage, ob die Abbildung nicht auch schon surjektiv ist. Eine Antwort gibt die Proposition 2.5.

2.5 Proposition: Sei A eine Banachalgebra (mit oder ohne 1). Dann ist die Abbildung ein Homöomorphismus zwischen h(I) und M_{A/I}.

⊳ Beweis : Wir haben bereits gezeigt, daß wohldefiniert und injektiv ist. Zum Nachweis der Surjektivität sei φ : A/I → ℂ irgendeine multiplikative Linearform auf A/I. Dann definiert ϕ : A → ℂ, ϕ(x) := φ([x]), trivialerweise eine multiplikative Linearform auf A. Offenbar ist ϕ̃ = φ. Wegen |ϕ̃_{α}([x]) − ϕ̃([x])| = |ϕ_{α}(x) − ϕ(x)| für alle x ∈ A gilt: ϕ_{α} →^{α} ϕ schwach^{∗} in h(I) genau dann, wenn ϕ̃_{α} →^{α} ϕ̃ schwach^{∗} in M_{A/I}. Das ist die Bistetigkeit. ⊲

Ist F ⊂ M_{A} kompakt und I = k(F), so kann man im Falle regulärer Banachalgebren die folgende Aussage beweisen:

2.6 Proposition: Sei A eine reguläre Banachalgebra (mit oder ohne 1) und F eine abgeschlossene Teilmenge von M_{A}. Dann gilt

F = h(k(F))  (9)

und damit

F ≅ M_{A/k(F)}.

⊳ Beweis : Mit (9) und I = k(F) folgt die Aussage bezüglich der Homöomorphie aus Proposition 2.5. Es genügt also, (9) zu zeigen. Für ϕ ∈ F und x ∈ k(F) ist x̂(ϕ) = ϕ(x) = 0. Also ist ϕ ∈ ⋂_{x∈k(F)} N(x̂) = h(k(F)), was

F ⊂ h(k(F)) mit sich bringt. Für ϕ ∈ h(k(F)) = ⋂_{x∈k(F)} N(x̂) gilt x̂(ϕ) = ϕ(x) = 0 für alle x ∈ k(F). Wäre ϕ ∉ F, so

exsistierte wegen der Abgeschlossenheit von F und der Regularität von A ein y ∈ A mit ŷ(ϕ) = ϕ(y) = 1 und ŷ(ψ) = ψ(y) = 0 für alle ψ ∈ F. Letzteres bedeutete y ∈ k(F) und dies ŷ(ϕ) = ϕ(y) = 0, ein Widerspruch zu ŷ(ϕ) = 1. Die Annahme ϕ ∉ F muß also falsch sein; in Wirklichkeit ist ϕ ∈ F. Damit ist die Inklusion h(k(F)) ⊂ F gezeigt. ⊲

Proposition 2.6 verhilft nun zu einem weiteren nützlichen Resultat:

2.7 Proposition: Ist I ein abgeschlossenes Ideal in der regulären Banachalgebra A, und ist F ≠ ∅ eine kompakte Teilmenge von M_{A} mit der Eigenschaft, daß h(I) ∩ F = ∅ ist, so existiert x ∈ I mit x̂|_{F} ≡ 1.

⊳ Beweis : Wir starten den Beweis mit der Annahme, daß A eine 1 besitzt. Bezeichnen wir mit [·] die kanonische Quotientenabbildung von A auf A_{F} := A/k(F), so ist mit I Ideal in A auch [I] ein Ideal in A_{F}. Wir zeigen, daß [I] = A_{F} ist. Angenommen, dem wäre nicht so. Dann wäre [I] ein echtes Ideal in A_{F} und als solches enthalten in einem maximalen Ideal in A_{F} (Aussage 2.1). Die maximalen Ideale einer kommuativen Banachalgebra mit 1 sind aber gerade die Kerne der multiplikativen Linearformen dieser Algebren (Aussage 2.3). Es wäre also [I] ⊂ ker ϕ̃ für ein ϕ ∈ F nach Proposition 2.6. Dann wäre aber wegen 0 = ϕ̃([x]) = ϕ(x) für alle x ∈ I auch I ⊂ ker ϕ, d.h. ϕ ∈ h(I) im Widerspruch zu h(I) ∩ F = ∅ und ϕ ∈ F. Unsere Annahme [I] ⊊ A_{F} muß falsch sein, [I] = A_{F} damit richtig.

Da 1 ∈ A, können wir [1] ∈ A_{F} = [I] betrachten und feststellen, daß es ein x ∈ I mit [1] = [x] gibt. Diese Gleichheit bedeutet 1 − x ∈ k(F), d.h. für alle ϕ ∈ F ist 0 = ϕ(1 − x) = 1 − ϕ(x) = 1 − x̂(ϕ). Es ist somit tatsächlich x̂|_{F} ≡ 1. Besitzt A keine 1, so behelfen wir uns damit, daß wir I und F nach (A, 1) und M_{(A,1)} transportieren. Man muß nur wissen, daß für ein abgeschlossenes Ideal I in A auch I × {0} ein abgeschlossenes Ideal in (A, 1) ist, und daß mit π aus (8) und φ_{1} mit ker φ_{1} = A × {0} (vgl. Seite 15) π(F) eine kompakte Teilmenge von M_{(A,1)} mit φ_{1} ∉ π(F) ist (an dieser Stelle kommt die Voraussetzung ”F kompakt“ ins Spiel). Wir überzeugen uns, daß h(I) ∩ F = ∅ automatisch h(I × {0}) ∩ π(F) = ∅ mit sich bringt^{7}. Angenommen, es existierte ψ ∈ h(I × {0}) ∩ π(F). Dann wäre ψ = π(ϕ) für ein ϕ ∈ F und ψ ∈ h(I × {0}) implizierte I × {0} ⊂ ker ψ, d.h. für alle x ∈ I wäre 0 = ψ(x, 0) = π(ϕ)(x, 0) = ϕ(x) + 0, d.h. I ⊂ ker ϕ. Man hätte ϕ ∈ h(I) ∩ F im Widerspruch zu h(I) ∩ F = ∅. Nach dem bereits Gesagten wissen wir, daß ein x ∈ I existiert mit { \atop (x, 0)}|_{π(F)} ≡ 1. Wegen 1 = { \atop (x, 0)}(π(ϕ)) = π(ϕ)(x, 0) = ϕ(x) + 0 = x̂(ϕ) für alle ϕ ∈ F folgt dann x̂ ∈ C_{0}(M_{A}) mit x̂|_{F} ≡ 1. ⊲

§3

Gelfandtransformation für Beurling-Algebren

A. Allgemeines

Eine der schönsten Anwendungen der Gelfandtheorie ist das Wiedererkennen der Fouriertransformation als einen Spezialfall der Gelfandtransformation. Im Falle ℓ^{1}(ℤ) und L^{1}(ℝ) sind die Fouriertransformationen gegeben durch : ℓ^{1}(ℤ) → C(Γ), a ↦ â, wobei

â(ξ) = ∑_{m∈ℤ}a_{m}ξ^{m} (ξ ∈ Γ)

und : L^{1}(ℝ) → C_{0}(ℝ), f ↦ f̂, wobei

f̂(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(t)e^{−ixt} dt (x ∈ ℝ).

Es ist bekannt – und dies wird sich in Kürze nochmals ergeben –, daß die Mengen M_{ℓ^{1}(ℤ)} und Γ sowie M_{L^{1}(ℝ)} und ℝ zueinander homöomorph sind. Die Fouriertransformationen gehen somit in kanonischer Weise aus den entsprechenden Gelfandtransformationen hervor.

Für Gewichte ϱ auf ℤ und w auf ℝ stehen auf den Beurling-Algebren ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) und L_{w}^{1}(ℝ) zwei Abbildungen in eine Menge stetiger Funktionen zur Verfügung:

1. Wegen ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) ⊂ ℓ^{1}(ℤ) bzw. L_{w}^{1}(ℝ) ⊂ L^{1}(ℝ) (vgl. 1.17 bzw. 1.18) besteht die Möglichkeit, die jeweiligen Fouriertransformationen auf ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) bzw. L_{w}^{1}(ℝ) einzuschränken.

7Die Doppelbezeichnung von h als Hülle von abgeschlossenen Idealen in A und (A, 1) sollte keine Schwierigkeiten breiten; ebenso die Doppelbezeichnung der Gelfandtransformation für A und (A, 1).

§3. Gelfandtransformation für Beurling-Algebren 19

2. Andererseits kann man auf den kommutativen Banachalgebren ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) und L_{w}^{1}(ℝ) die Gelfandtransformation betrachten, d.h. die in §2, Abschnitt B erklärten Abbildungen

: ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) → C(M_{ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ)})  und  : L_{w}^{1}(ℝ) → C(M_{L_{w}^{1}(ℝ)}).

Es stellt sich in natürlicher Weise die Frage (und wird durch die gleiche Bezeichnung der Abbildungen auch suggeriert), ob die Einschränkungen der Fouriertransformationen in einem vernünftigen Sinn (d.h. modulo einer Homöomorphie zu M_{ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ)} bzw. M_{L_{w}^{1}(ℝ)}) bereits die Gelfandtransformationen der Beurling-Algebren sind. Diese Frage ist nicht durchgehend positiv zu beantworten und hängt mit der Regularität von { \atop ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ)} bzw. { \atop L_{w}^{1}(ℝ)} als Mengen stetiger Funktionen auf einem (lokal-)kompakten Hausdorffraum zusammen. Hier und im folgenden bezeichne stets die (eingeschränkte) Fouriertransformation.

Wir wollen an dieser Stelle vereinfachende Bezeichnungen einführen. Als erstes definieren wir die Mengen 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) durch

𝔉_{ϱ}(Γ) := { \atop ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ)} und

𝔉_{w}(ℝ) := { \atop L_{w}^{1}(ℝ)}.

Versehen wir dann 𝔉_{ϱ}(Γ) mit der Norm ∥â∥_{ϱ} := ∥a∥_{1,ϱ} für alle a ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) und 𝔉_{w}(ℝ) mit ∥f̂∥_{w} := ∥f∥_{1,w} für alle f ∈ L_{w}^{1}(ℝ), so ist klar, daß 𝔉_{ϱ}(Γ) und ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) sowie 𝔉_{w}(ℝ) und L_{w}^{1}(ℝ) isometrisch isomorphe Banachalgebren sind; 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) wollen wir in diesem Sinn wieder als Beurling-Algebren bezeichnen. Die Multiplikation in 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) ist punktweise definiert. Die Elemente von 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) werden wir stets in der Form â und f̂ schreiben, wobei a ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) und f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) nicht immer erwähnt, sondern von selbst verstanden werden soll.

In diesem Paragraphen beschäftigen wir uns mit der Frage, welchen notwendigen Bedingungen die Gewicht ϱ und w unterliegen, wenn die zugehörigen Räume 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebren regulär sind. Eine solche Bedingung wurde von A. Beurling in [3] angegeben und von dessen Schüler Y. Domar in [8] auf allgemeinere Situationen übertragen. Es wird sich zeigen, daß unter den Bedingungen von Beurling die Gelfandtransformationen von 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) gerade die Identitäten auf den jeweiligen Räumen sind; 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) sind somit auch als Banachalgebren im Sinn von §2 regulär.

3.1 Definition: Wir nennen ein Gewicht ϱ auf ℤ bzw. w auf ℝ ein Beurling-Domar-Gewicht oder kürzer vom Typ 𝔅𝔇, wenn gilt:

∑_{n∈ℤ} \frac{log ϱ_{n}}{1 + n^{2}} < +∞  bzw.  ∫_{ℝ} \frac{log w(t)}{1 + t^{2}} dt < +∞.

Die Bedingung von Beurling-Domar ist sogar in dem Sinne hinreichend, daß ihr Erfülltsein für Gewichte ϱ und w bereits die Regularität von 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebren herbeiführt. Dies werden wir im nächsten Paragraphen zeigen. Auf die Frage, ob die Regularität von 𝔉_{ϱ}(Γ) bzw. 𝔉_{w}(ℝ) als Banachalgebren bereits die Regularität als Funktionenalgebren nach sich zieht, geben wir im Rahmen dieser Arbeit keine Antwort.

Der Grund, warum wir diese bekannten Zusammenhänge hier nochmals darstellen, hängt mit der Relevanz zusammen, die den regulären Beurling-Algebren in dieser Arbeit zukommt.

B. Für reguläres 𝔉_{w}(ℝ) ist w vom Typ 𝔅𝔇

In diesem Abschnitt setzen wir 𝔉_{w}(ℝ) als regulär voraus und zeigen, daß dann w vom Typ 𝔅𝔇 sein muß. Ohne zusätzliche Hilfsmittel ist dies allerdings nicht möglich. Als entscheidend erweist sich ein Satz von Paley und Wiener, den der Leser vollständig formuliert und bewiesen im Anhang B finden kann.

Die Grundlage für den zu zitierenden Satz bilden der Hilbertraum

L^{2}(ℝ) := {f : ℝ → ℂ meßbar : ∫_{ℝ} |f(x)|^{2} dx < +∞} ,
∥f∥_{2} := \sqrt{∫_{ℝ} |f(x)|^{2} dx},  f ∈ L^{2}(ℝ),

mit der Identifikation zweier Elemente f, g, wenn ∥f − g∥_{2} = 0 ist (man vergleiche mit §1) und die Planchereltransformation

𝔉 : L^{2}(ℝ) → L^{2}(ℝ),

die sich folgendermaßen definieren läßt: Man betrachtet zu einer Funktion f ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) die Fouriertransformation f̂, stellt fest, daß diese ein Element in L^{2}(ℝ) ist und findet damit eine Abbildung 𝔉̃ : L^{1}(ℝ)∩L^{2}(ℝ) → L^{2}(ℝ), die überdies linear und stetig bzgl. den L^{2}-Normen ist. Da L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) bzgl. der L^{2}-Norm dicht in L^{2}(ℝ) liegt, kann man 𝔉 : L^{2}(ℝ) → L^{2}(ℝ) als die Fortsetzung von 𝔉̃ auf L^{2}(ℝ) definieren. 𝔉 ist ein isometrischer Isomorphismus auf L^{2}(ℝ) (Werner[24], Kapitel V.2). Wir wollen Funktionen f ∈ L^{2}(ℝ) stetig nennen, wenn es eine (im üblichen Sinne) stetige Funktion g ∈ L^{2}(ℝ) gibt mit ∥f − g∥_{2} = 0.

3.2 Wir zitieren an dieser Stelle die für uns relevante Teilaussage aus dem Satz von Paley und Wiener (Satz B.1). Ist f ∈ L^{2}(ℝ) mit ∥f∥_{2} ≠ 0 und existiert x_{0} ∈ ℝ mit f(x) = 0 für fast alle x ≥ x_{0}, so gilt:

∫_{ℝ} \frac{| log |𝔉f(t)||}{1 + t^{2}} dt < +∞.

3.3 In den Beweisen der nachfolgenden Sätze spielt die Inversionsformel eine wichtige Rolle. Man findet sie beispielsweise in Rudin[23] als Theorem 9.11.

Sind f, f̂ ∈ L^{1}(ℝ), und ist g : ℝ → ℂ definiert durch

g(x) := \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f̂(t)e^{ixt} dt,

so ist g ∈ C_{0}(ℝ) und ∥f − g∥_{1} = 0. Führen wir für eine Funktion f : ℝ → ℂ die Funktion f- : ℝ → ℂ, x ↦ f(−x) ein, so wird die Inversionsformel meistens in der Form Anwendung finden, daß für ein f̂ ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) gilt: 𝔉f̂ = ˆ f̂ = f-. Dabei sind die Gleichheiten in Sinne von L^{1}(ℝ)-Gleichheiten zu verstehen.

3.4 Satz: Ist w ein Gewicht auf ℝ und 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebra für dieses Gewicht regulär, so ist w vom Typ 𝔅𝔇.

⊳ Beweis : Aufgrund der Regularität von 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebra existiert ein f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) mit f ≢ 0 und supp f̂ ⊂ [−c, c] für ein c > 0. Da f̂ stetig ist mit kompaktem Träger, folgt f̂ ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) und damit 𝔉f̂ = ˆ f̂ = f- ∈ L^{2}(ℝ) stetig, also auch f ∈ L^{2}(ℝ) stetig. Insbesondere ist f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) ⊂ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ). Aufgrund der Stetigkeit von f existiert sicherlich eine stetige Funktion h : ℝ → ℂ mit kompaktem Träger, so daß ∫_{ℝ} f(−t)h(t) dt ≠ 0 ist. Wir definieren g : ℝ → ℂ als g := f ∗ h. Offensichtlich ist g ∈ L^{1}(ℝ) und ĝ = { \atop f ∗ h} = f̂ĥ stetig mit kompakten Träger. Daraus folgt ĝ ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) und 𝔉ĝ = ˆ ĝ = g- ∈ L^{2}(ℝ), also auch g ∈ L^{2}(ℝ). Es gilt:

|g(t)| ≤ \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} |f(t − s)h(s)|\frac{w(t)}{w(t)} ds ≤ \frac{1}{\sqrt{2π}w(t)} ∫_{ℝ} |f(t − s)h(s)|w(t − s)w(s) ds
≤ \frac{1}{\sqrt{2π}w(t)} sup\{|h(s)w(s)| : s ∈ supp h\} ∫_{ℝ} |f(t − s)|w(t − s) ds.

Beachtet man f ∈ L_{w}^{1}(ℝ), supp h kompakt und w beschränkt auf kompakten Teilmengen, so ist also

|g(t)| ≤ \frac{K}{w(t)} (t ∈ ℝ)

für eine Konstante K > 0. Wegen w ≥ 1 ist |g| nach oben beschränkt, und es macht Sinn, das nachfolgende Integral zu schreiben und abzuschätzen:

∫_{ℝ} \frac{log |g(s)|}{1 + s^{2}} ds ≤ ∫_{ℝ} \frac{log K − log w(s)}{1 + s^{2}} ds.

Wäre nun ∫_{ℝ} \frac{log w(s)}{1 + s^{2}} ds = +∞, so ergäbe sich

∫_{ℝ} \frac{log |g(s)|}{1 + s^{2}} ds = −∞.

Da g aber die Fourier- bzw. Planchereltransformierte von ĝ- ist und diese Abbildung kompakten Träger hat, folgte hieraus mit dem Satz von Paley und Wiener, genauer: Teilaussage 3.2, ĝ ≡ 0 und damit g ≡ 0. Dies stünde im Widerspruch zur Stetigkeit von g und

g(0) = ∫_{ℝ} f(−t)h(t) dt ≠ 0.

Also muß ∫_{ℝ} \frac{log w(s)}{1 + s^{2}} ds < +∞ sein, und der Satz ist bewiesen. ⊲

C. Für reguläres 𝔉_{ϱ}(Γ) ist ϱ vom Typ 𝔅𝔇

In diesem Abschnitt geht es um die zu Satz 3.4 analoge Aussage, daß ϱ vom Typ 𝔅𝔇 ist, falls 𝔉(Γ) eine reguläre Funktionenalgebra ist. Der Beweis ähnelt nur ansatzweise dem Beweis von Satz 3.4, da er mit dem Problem fertig werden muß, daß die Teilaussage 3.2 des Satzes von Paley und Wiener nicht direkt angewendet werden kann.

3.5 Satz: Ist ϱ ein Gewicht auf ℤ und 𝔉_{ϱ}(Γ) als Funktionenalgebra für dieses Gewicht regulär, so ist ϱ vom Typ 𝔅𝔇.

⊳ Beweis : Aus der Regularität von 𝔉_{ϱ}(Γ) folgt die Existenz einer Folge a ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) mit a ≢ 0 und supp â(e^{i·}) ⊂ [−c, c] für ein 0 < c < \frac{π}{2} . Wegen a ≢ 0 existiert l ∈ ℤ mit a_{−l} ≠ 0. Sei b ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) mit b_{l} = \frac{1}{a_{−l}} und b_{n} = 0 für n ≠ l. Definiere c ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) als c := a ∗ b. Dann ist

c_{n} = ∑_{m∈ℤ}a_{n−m}b_{m} = \frac{a_{n−l}}{a_{−l}} für alle n ∈ ℤ und c_{0} = 1. Es gilt:

|c_{n}| = |\frac{a_{n−l}}{a_{−l}} | \frac{ϱ_{n}}{ϱ_{n}} ≤ \frac{1}{ϱ_{n}} \frac{1}{|a_{−l}|}|a_{n−l}|ϱ_{n−l}ϱ_{l} ≤ \frac{1}{ϱ_{n}} \frac{1}{|a_{−l}|}ϱ_{l} ∑_{m∈ℤ}|a_{m−l}|ϱ_{m−l} = \frac{1}{ϱ_{n}} \frac{ϱ_{l}}{|a_{−l}|}∥a∥_{1,ϱ}.

Bedenkt man a ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ), so existiert also eine Konstante K > 0 mit

|c_{n}| ≤ \frac{K}{ϱ_{n}}  (n ∈ ℤ).  (10)

Sei h : ℝ → ℂ, t ↦ ĉ(e^{it})χ_{[−π,π]}(t). Wegen ĉ = âb̂ ist h stetig mit supp h ⊂ [−c, c], also h ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ). Die Fourier- bzw. Planchereltransformation von h berechnet sich zu

𝔉h(y) = ĥ(y) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} h(t)e^{−iyt} dt = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π}^{π} ĉ(e^{it})e^{−iyt} dt.

Natürlich ist 𝔉h ∈ L^{2}(ℝ).

Man berechnet mit −\frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2} , der Substitution t = s + θ und dem Weierstraßchen Konvergenzkriterium

𝔉h(−y) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π}^{π} ĉ(e^{it})e^{iyt} dt = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π+θ}^{π+θ} ĉ(e^{it})e^{iyt} dt
= \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π}^{π} ĉ(e^{i(s+θ)})e^{iy(s+θ)} ds = e^{iyθ} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π}^{π} ∑_{n∈ℤ}c_{n}e^{in(s+θ)}e^{iys} ds
= e^{iyθ} ∑_{n∈ℤ}c_{n}e^{inθ} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π}^{π} e^{iys}e^{ins} ds = e^{iyθ} ∑_{n∈ℤ}c_{n}e^{inθ} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π}^{π} e^{−iys}e^{−ins} ds.

Bezeichnen wir mit a_{n}(y) den n-ten Fourierkoeffizienten von s ↦ e^{−iys} über [−π, π] (periodisch auf ℝ fortgesetzt), so ist also

𝔉h(−y) = \sqrt{2π}e^{iyθ} ∑_{n∈ℤ}a_{n}(y)c_{n}e^{inθ}.

Wegen 𝔉h(0) = \sqrt{2π}c_{0} = \sqrt{2π} existiert ein 0 < δ < 1 mit |𝔉h(−y)| ≥ 2 für alle |y| < δ. Für solche y gilt

e^{−iyθ} = \frac{\sqrt{2π}}{𝔉h(−y)} ∑_{n∈ℤ}a_{n}(y)c_{n}e^{inθ}  (|θ| < \frac{π}{2} ) .  (11)

§3. Gelfandtransformation für Beurling-Algebren 23 Daher gilt für |y| < δ und n ∈ ℤ

|𝔉h(n + y)| = \frac{1}{\sqrt{2π}} |∫_{−π}^{π} ĉ(e^{it})e^{−i(n+y)t} dt| = \frac{1}{\sqrt{2π}} |∫_{−π}^{π} ∑_{m∈ℤ}c_{m}e^{imt}e^{−int}e^{−iyt} dt|
=^{(11)} |∫_{−π}^{π} ∑_{m∈ℤ}c_{m}e^{imt}e^{−int} \frac{1}{𝔉h(−y)} ∑_{k∈ℤ}a_{k}(y)c_{k}e^{ikt} dt|
= |∑_{m∈ℤ}c_{m} \frac{1}{𝔉h(−y)} ∑_{k∈ℤ}a_{k}(y)c_{k} \underbrace{∫_{−π}^{π} e^{i(m−n+k)t} dt}_{=2πδ_{k,n−m}}|
≤ π ∑_{m∈ℤ}|c_{m}||a_{n−m}(y)c_{n−m}|\frac{ϱ_{n}}{ϱ_{n}} ≤^{(10)} πK ∑_{m∈ℤ} \frac{1}{ϱ_{m}} |a_{n−m}(y)c_{n−m}|\frac{ϱ_{n−m}ϱ_{m}}{ϱ_{n}}
= \frac{πK}{ϱ_{n}} ∑_{l∈ℤ}|a_{l}(y)c_{l}|ϱ_{l}.

Wegen |a_{l}(y)| = \frac{1}{2π} |∫_{−π}^{π} e^{−iyt}e^{−ilt} dt| ≤ 1 ist ∑_{l∈ℤ}|a_{l}(y)c_{l}|ϱ_{l} ≤ ∥c∥_{1,ϱ} < +∞ und damit existiert

eine Konstante C > 0 mit

|𝔉h(n + y)| ≤ \frac{C}{ϱ_{n}}  (12)

für |y| < δ und n ∈ ℤ. Wir wollen nun ∑_{n≥0} \frac{log ϱ_{n}}{1 + n^{2}} = +∞ annehmen. Es existiert dann ein m ∈ ℕ mit ϱ_{n} > C für alle n ≥ m. Nach dem Satz von Paley und Wiener (Aussage 3.2) gilt

+∞ > ∫_{ℝ} \frac{| log |𝔉h(t)||}{1 + t^{2}} dt = ∑_{n∈ℤ}∫_{n}^{n+1} \frac{| log |𝔉h(t)||}{1 + t^{2}} dt ≥ ∑_{n≥m} ∫_{0}^{1} \frac{| log |𝔉h(n + y)||}{1 + (n + y)^{2}} dy
≥ \frac{1}{3} ∑_{n≥m} ∫_{0}^{1} \frac{| log |𝔉h(n + y)||}{1 + n^{2}} dy ≥ \frac{1}{3} ∑_{n≥m} ∫_{0}^{δ} \frac{| log |𝔉h(n + y)||}{1 + n^{2}} dy

Wegen log |𝔉h(n+y)| ≤^{(12)} log C−log ϱ_{n} < 0 für n ≥ m folgt | log |𝔉h(n+y)|| = − log |𝔉h(n+y)| ≥ log ϱ_{n} − log C, also

∫_{ℝ} \frac{| log |𝔉h(t)||}{1 + t^{2}} dt ≥ \frac{1}{3} ∑_{n≥m} ∫_{0}^{δ} \frac{log ϱ_{n} − log C}{1 + n^{2}} dy
= \frac{δ}{3} ( ∑_{n≥m} \frac{log ϱ_{n}}{1 + n^{2}} − ∑_{n≥m} \frac{log C}{1 + n^{2}} ) = +∞.

Dieser Widerspruch zeigt, daß ∑_{n≥0} \frac{log ϱ_{n}}{1 + n^{2}} < +∞ ist. Genauso folgt, daß ∑_{n<0} \frac{log ϱ_{n}}{1 + n^{2}} < +∞ ist. Damit ist der Satz bewiesen. ⊲ D. Gelfand- und eingeschränkter Fouriertransformation auf L_{w}^{1}(ℝ)

Wir haben in Abschnitt B gesehen, daß die Regularität von 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebra das Gewicht w der Bedingung von Beurling-Domar unterwirft. Wir zeigen in diesem Abschnitt, daß noch mehr gefolgert werden kann: es besteht eine Homöomorphie zwischen M_{L_{w}^{1}(ℝ)} und ℝ, und die Gelfandtransformation auf L_{w}^{1}(ℝ) stimmt mit der eingeschränkten Fouriertransformation überein.

3.6 Lemma: Ist w ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℝ und ist f : ℝ → ℂ eine stetige Funktion mit f(x + y) = f(x)f(y) für alle x, y ∈ ℝ und |f(x)| = O(w(x)) für |x| → +∞, so ist entweder f ≡ 0 oder es existiert ein t ∈ ℝ mit f(x) = e^{itx} für alle x ∈ ℝ.

⊳ Beweis : Verschwindet f(x) nicht für alle x ∈ ℝ, so muß f(0) = 1 wegen f(x) = f(0)f(x) sein. Da f stetig ist, existiert ein δ > 0 mit f(x) ≠ 0 für alle x ∈ [0, δ]. Wir setzen

c = ∫_{0}^{δ} f(y) dy ≠ 0.

Für alle x ∈ ℝ erhält man

cf(x) = ∫_{0}^{δ} f(x)f(y) dy = ∫_{0}^{δ} f(x + y) dy = ∫_{x}^{x+δ} f(y) dy.

Da f stetig ist, ist die rechts stehend Funktion als Funktion von x stetig-differenzierbar, also auch f. Wir leiten f(x + y) = f(x)f(y) nach y ab und erhalten f′(x + y) = f(x)f′(y). Setzen wir y = 0 und λ = f′(0), so ergibt dies f′(x) = λf(x). Mit der Anfangswertbedingung f(0) = 1 erhält man f eindeutig in der Form f(x) = e^{λx}. Wir müssen zeigen, daß λ rein imaginär ist. Dazu schreiben wir λ = r + it mit r ∈ ℝ und t ∈ ℝ und zeigen, daß r = 0 ist. Wegen |f(x)| = O(w(x)) für |x| → +∞ exsistiert ein C > 0 mit |f(x)| ≤ Cw(x) für x ∈ ℝ^{8}. Es ist |f(x)| = e^{rx}. Ist r ≥ 0, so ergibt sich

0 ≤ r ∫_{0}^{1} \frac{s}{1 + s^{2}} ds = ∫_{0}^{1} \frac{log e^{rs}}{1 + s^{2}} ds = ∫_{0}^{1} \frac{log |f(s)|}{1 + s^{2}} ds ≤ ∫_{0}^{1} \frac{log(Cw(s))}{1 + s^{2}} ds
≤ log C ∫_{ℝ} \frac{1}{1 + s^{2}} ds + ∫_{ℝ} \frac{log w(s)}{1 + s^{2}} ds < +∞.

Es folgt r = 0. Ebenso zeigt man, daß r ≤ 0 ebenfalls r = 0 zur Folge hat. Damit ist das Lemma bewiesen. ⊲

3.7 Proposition: Sei w ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℝ. Dann definiert für jedes t ∈ ℝ

die Abbildung

ϕ_{t} : L_{w}^{1}(ℝ) → ℂ

vermöge

ϕ_{t}(f) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s)e^{its} ds, f ∈ L_{w}^{1}(ℝ),

eine multiplikative Linearform auf L_{w}^{1}(ℝ). Außerdem läßt sich jede multiplikative Linearform ϕ auf L_{w}^{1}(ℝ) in dieser Weise schreiben mit eindeutig bestimmtem t ∈ ℝ.

8Dabei wird die lokale Endlichkeit von w ausgenutzt.

⊳ Beweis : Sei t ∈ ℝ und seien f, g ∈ L_{w}^{1}(ℝ). Der Satz von Fubini und die Translationsinvarianz des Lebesguemaßes liefern

ϕ_{t}(f ∗ g) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ}(f ∗ g)(s)e^{its} ds = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s − u)g(u) du) e^{its} ds
= \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s − u)e^{it(s−u)} ds) g(u)e^{itu} du = (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s)e^{its} ds) ϕ_{t}(g)
= ϕ_{t}(f)ϕ_{t}(g),

d.h. ϕ_{t} ist multiplikativ und damit insbesondere stetig. Wir zeigen nun, daß für jedes ϕ ∈ M_{L_{w}^{1}(ℝ)} ein eindeutig bestimmtes t ∈ ℝ existiert mit ϕ = ϕ_{t}. Wir haben in Proposition 1.8 gesehen, daß zu jeder stetigen Linearform ϕ auf L_{w}^{1}(ℝ) eine eindeutig bestimmte Funktion h ∈ L_{w}^{∞}(ℝ) existiert mit

ϕ(f) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s)h(s) ds, f ∈ L_{w}^{1}(ℝ).

Wieder liefert der Satz von Fubini für f, g ∈ L_{w}^{1}(ℝ):

ϕ(f ∗ g) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ}(f ∗ g)(s)h(s) ds = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s − u)g(u) du) h(s) ds
= \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s − u)h(s) ds) g(u) du = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} g(u)ϕ(τ_{u}f) du. (13)

Nun gilt aber auch

ϕ(f ∗ g) = ϕ(f)ϕ(g) = ϕ(f)\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} g(u)h(u) du = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} g(u)ϕ(f)h(u) du.  (14)

Wir schließen, daß wegen (13) und (14) ϕ(f)h(u) = ϕ(τ_{u}f) sein muß für alle f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) und alle u ∈ ℝ; dies folgt aus der Eindeutigkeitsaussage in Proposition 1.8. Sei nun f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) so gewählt, daß ϕ(f) ≠ 0 ist. Da die Abbildung u ↦ τ_{u}f stetig ℝ → L_{w}^{1}(ℝ) ist (Proposition 1.12), ist auch h wegen h(u) = \frac{ϕ(τ_{u}f)}{ϕ(f)} stetig. Wir ersetzen nun in der Gleichung ϕ(f)h(u) = ϕ(τ_{u}f) das u durch s + u und das f durch τ_{s}f (man beachte τ_{u}τ_{s}f = τ_{s+u}f). Dann erhalten wir ϕ(τ_{s}f)h(s + u) = ϕ(τ_{s+u}f) und wegen ϕ(τ_{s+u}f) = ϕ(τ_{s}f)h(u) = ϕ(f)h(s)h(u) ist

ϕ(f)h(s + u) = ϕ(f)h(s)h(u)

für alle s, u ∈ ℝ, was h(s + u) = h(s)h(u) bedeutet. Schließlich existiert C > 0 mit |h(s)| ≤ Cw(s) wegen h ∈ L_{w}^{∞}(ℝ). Wir befinden uns mit h in der Situation von Lemma 3.6 und können von daher auf die Existenz eines eindeutig bestimmten t ∈ ℝ schließen, für das h(s) = e^{its} gilt für alle s ∈ ℝ. Damit ist

ϕ(f) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s)e^{its} ds = ϕ_{t}(f), f ∈ L_{w}^{1}(ℝ),

und ϕ = ϕ_{t}. ⊲

3.8 Proposition: Sei w ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℝ. Dann definiert die Abbildung γ : ℝ → M_{L_{w}^{1}(ℝ)}, t ↦ ϕ_{−t} mit ϕ_{t} aus Proposition 3.7 einen Homöomorphismus zwischen ℝ und M_{L_{w}^{1}(ℝ)}. Die auf L_{w}^{1}(ℝ) eingeschränkte Fouriertransformation kann vermöge dieser Homöomorphie als die Gelfandtransformation auf L_{w}^{1}(ℝ) aufgefaßt werden.

⊳ Beweis : In Proposition 3.7 haben wir bereits die Bijektivität von γ gezeigt. Wir müssen uns nur noch davon überzeugen, daß γ bistetig ist.

Seien dazu t ∈ ℝ, f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) beliebig und (t_{k})_{k∈ℕ} eine Folge in ℝ mit t_{k} → t für k → +∞. Für k ∈ ℕ setzen wir f_{k} : ℝ → ℂ, f_{k}(x) = f(x)(e^{−it_{k}x} − e^{−itx}) für alle x ∈ ℝ. Wegen |f_{k}| ≤ 2|f| und |f| ∈ L^{1}(ℝ) gilt lim_{k→∞} ∫_{ℝ} f(s)e^{−it_{k}s} ds = ∫_{ℝ} f(s)e^{−its} ds (Lebesgue). Da f beliebig war und wir auf M_{L_{w}^{1}(ℝ)} die schwach^{∗}-Topologie haben, folgt hieraus die Stetigkeit der Abbildung.

Sei umgekehrt ϕ_{t} ∈ M_{L_{w}^{1}(ℝ)} beliebig, t ∈ ℝ, f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) mit f(x) := e^{itx}χ_{[0,1]}(x) und (t_{α})_{α∈I} ein Netz in ℝ mit ϕ_{t_{α}} → ϕ_{t} für α → ∞. Dann ist

0 = lim_{α→∞} ∫_{ℝ} e^{its}χ_{[0,1]}(s)(e^{−it_{α}s} − e^{−its}) ds
= lim_{α→∞} ∫_{0}^{1} e^{i(t−t_{α})s} ds − 1 = lim_{α→∞} h(t − t_{α}),

wobei h : ℝ → ℂ die durch h(s) = \frac{e^{is}−1}{is} − 1 für s ≠ 0, h(0) = 0 definierte, stetige Funktion sei. Da 0 die einzige Nullstelle von h ist, und da lim_{|s|→∞} |h(s)| = 1 ist, muß lim_{α→∞} t_{α} = t gelten. Das

ist die Stetigkeit der Umkehrabbildung. ⊲

Mit Proposition 3.8 ist die eingangs gestellte Frage für ein Gewicht w vom Typ 𝔅𝔇 geklärt: in diesem Fall stimmen Gelfand- und eingeschränkte Fouriertransformation überein. Insbesondere wenn 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebra regulär ist, stimmen diese beiden Abbildungen also überein.

E. Gelfand- und eingeschränkter Fouriertransformation auf ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ)

Dieser Abschnitt enthält die zu Abschnitt D analoge Aussage bzgl. ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ). Die Beweise der entsprechenden Aussagen sind aufgrund der ”einfacheren“ Struktur von ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) kürzer.

3.9 Lemma: Ist ϱ ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℤ und a = (a_{n})_{n∈ℤ} eine komplexwertige Folge auf ℤ mit a_{n+m} = a_{n}a_{m} für alle n, m ∈ ℤ und |a_{n}| = O(ϱ_{n}) für |n| → +∞, so ist entweder a ≡ 0 oder es existiert t ∈ [0, 2π) mit a_{n} = e^{itn} für alle n ∈ ℤ.

⊳ Beweis : Verschwindet a_{n} nicht für alle n ∈ ℤ, so muß a_{0} = 1 wegen a_{n} = a_{0}a_{n} sein. Wir setzen ζ := a_{1} und erhalten induktiv a_{n} = ζ^{n} für alle n ∈ ℕ, denn 1 = a_{0} = a_{−1}a_{1} = a_{−1}ζ induziert ζ ≠ 0 und a_{−1} = ζ^{−1}. Induktiv folgt a_{−n} = ζ^{−n} für alle n ∈ ℕ und damit a_{n} = ζ^{n} für alle n ∈ ℤ. Wir definieren r ∈ ℝ und t ∈ [0, 2π) durch e^{r+it} = ζ. Wir müssen zeigen, daß r = 0 ist.

Der Beweis hierfür ist im Wesentlichen mit dem entsprechenden Beweisabschnitt von Lemma 3.6 identisch; es sind nur Integrale durch entsprechende Summen zu ersetzen. ⊲

In derselben Art wie Proposition 3.7 beweist man die nachstehende Proposition 3.10. Man muß nur die Integrale durch Summen ersetzen, Funktionen durch Folgen und das Lebesguemaß durch das Zählmaß. Außerdem wird der Beweis dadurch vereinfacht, daß man keine Stetigkeitsprobleme hat. Natürlich benötigt man Lemma 3.9 anstelle von Lemma 3.6.

3.10 Proposition: Sei ϱ ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℤ. Dann definiert für jedes ξ ∈ Γ

die Abbildung

ϕ_{ξ} : ℓ_{ϱ}^{1}(Γ) → ℂ

vermöge

ϕ_{ξ}(a) = ∑_{n∈ℤ}a_{n}ξ^{n}, a ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(Γ),

eine multiplikative Linearform auf ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ). Außerdem läßt sich jede multiplikative Linearform ϕ auf ℓ_{ϱ}^{1}(Γ) in dieser Weise schreiben mit eindeutig bestimmtem ξ ∈ Γ.

3.11 Proposition: Sei ϱ ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℤ. Dann sind M_{ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ)} und Γ zueinander homöomorph und die Gelfandtransformation auf ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) kann als die Einschränkung der Fouriertransformation von ℓ^{1}(ℤ) auf ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) aufgefaßt werden.

⊳ Beweis : Wir haben in Proposition 3.10 vermöge ξ ↦ ϕ_{ξ} bereits eine bijektive Abbildung zwischen Γ und M_{ℓ_{ϱ}^{1}(Γ)} angegeben. Wir müssen nur noch zeigen, daß diese Abbildung stetig ist; der Rest folgt dann aus der Tatsache, daß eine stetige, bijektive Abbildung zwischen einem kompakten Raum und einem Hausdorffraum automatisch bistetig ist.

Seien ξ ∈ Γ, a ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) beliebig und (ξ_{k})_{k∈ℕ} eine Folge in Γ mit ξ_{k} → ξ für k → +∞. Definieren wir für k ∈ ℕ eine Folge a^{(k)} ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) durch a_{n}^{(k)} := a_{n}(ξ_{k}^{n} − ξ^{n}) für alle n ∈ ℤ, so haben

wir |a_{n}^{(k)}| ≤ 2|a_{n}| für alle n ∈ ℤ und k ∈ ℕ. Da |a| ∈ ℓ^{1}(ℤ), folgt lim_{k→+∞} ∑_{n∈ℤ}a_{n}ξ_{k}^{n} = ∑_{n∈ℤ}a_{n}ξ^{n}

(Lebesgue). Da a beliebig war und wir auf M_{ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ)} die schwach^{∗}-Topologie haben, folgt hieraus die Stetigkeit. ⊲

F. Beurling-Domar-Gewichte

Abschließend wollen wir die Struktur der Menge aller Gewichte von Typ 𝔅𝔇 untersuchen.

Man rechnet ohne Mühe nach, daß das punktweise Produkt zweier Gewichte von Typ 𝔅𝔇, sowie das punktweise skalare Produkt eines Gewichts vom Typ 𝔅𝔇 mit einer reellen Zahl > 1 wieder vom Typ 𝔅𝔇 ist. Außerdem bleibt die Spiegelung eines Gewichts w vom Typ 𝔅𝔇 – \overline{w} : x ↦ w(−x) – und die punktweise Maximumsbildung einer endlichen Anzahl w_{1}, ..., w_{n}, n ∈ ℕ, von Gewichten vom Typ 𝔅𝔇 – max(w_{1}, ..., w_{n}) : x ↦ max{w_{1}(x), ..., w_{n}(x)} – wieder ein Gewicht vom Typ 𝔅𝔇. Insbesondere gibt es zu jedem Gewicht w vom Typ 𝔅𝔇 symmetrische Gewichte w̃ vom Typ 𝔅𝔇 mit w ≤ w̃, z.B. w̃ = max(w, \overline{w}). Die Summe zweier Gewichte vom Typ 𝔅𝔇 ist vom Typ 𝔅𝔇; man beachte lediglich w_{1} + w_{2} ≤ 2 max(w_{1}, w_{2}).

Die beiden nachfolgenden Beispiele nicht-trivialer Gewichte vom Typ 𝔅𝔇 formulieren wir nur für Gewichte auf ℝ; entsprechende Beispiele für nicht-triviale Gewichte auf ℤ lassen sich leicht übertragen.

Für n ∈ ℕ sei w : ℝ → ℝ definiert durch x ↦ w(x) := (1 + |x|)^{n}. Man rechnet leicht nach, daß w ein Gewicht auf ℝ ist. Die Bedingung von Beurling-Domar ist in diesem Fall erfüllt:

∫_{ℝ} \frac{log(1 + |s|)^{n}}{1 + s^{2}} ds = ∫_{[−1,1]} \frac{n log(1 + |s|)}{1 + s^{2}} ds + ∫_{ℝ\[−1,1]} \frac{n log(2|s|)}{1 + s^{2}} ds < +∞.

Das angeführte Beispiel zeigt bereits, daß alle Gewichte, die höchstens polynomiell wachsen, vom Typ 𝔅𝔇 sind. Daß aber auch noch allgemeinere Gewichte vom Typ 𝔅𝔇 sind, zeigt das Beispiel des nachfolgenden Gewichts.

Sei w : ℝ → ℝ definiert durch x ↦ w(x) := e^{\sqrt{|x|}}. Dann erfüllt w die Voraussetzungen eines Gewichts und die Beurling-Domar-Bedingung schreibt sich in der Form

∫_{ℝ} \frac{log e^{\sqrt{|s|}}}{1 + s^{2}} ds ≤ ( ∫_{[−1,1]} + ∫_{ℝ\[−1,1]} ) \frac{\sqrt{|s|}}{1 + s^{2}} ds < +∞.

Wir haben zu Beginn dieses Paragraphen 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) regulär als Funktionenalgebren vorausgesetzt und daraus das Erfülltsein der Bedingung von Beurling-Domar für die Gewichte ϱ und w nachgewiesen. Natürlich ist hiermit noch nicht geklärt, ob es überhaupt nicht-konstante Gewichte ϱ und w gibt, für die 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) regulär sind; dies wird im nächsten Paragraphen nachgeholt. Dort wird gezeigt, daß Beurling-Algebren 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ), deren Gewichte vom Typ 𝔅𝔇 sind, bereits regulär als Funktionen- und Banachalgebren sind. Daß dies keine inhaltsleere Aussage ist, zeigen die obigen Beispiele nicht-trivialer Gewichte vom Typ 𝔅𝔇.

§4

Regularität gewisser Beurling-Algebren

Im §3 haben wir gezeigt, daß die Regularität der Beurling-Algebren 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebren den Gewichten ϱ und w die Bedingung von Beurling-Domar aufzwingt, d.h.

∑_{n∈ℤ} \frac{log ϱ_{n}}{1 + n^{2}} < +∞  bzw  ∫_{ℝ} \frac{log w(t)}{1 + t^{2}} dt.  (15)

In diesem Paragraphen werden wir beweisen, daß umgekehrt das Erfülltsein der Bedingungen (15) für Gewichte ϱ auf ℤ bzw. w auf ℝ die Regularität von 𝔉_{ϱ}(Γ) bzw. 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebren bewirkt. Auch beim Beweis dieser Aussage spielt der Satz von Paley und Wiener, den wir bereits in §3 benutzt haben, eine wichtige Rolle. Die für diesen Paragraphen relevante Teilaussage lautet:

4.1 Ist F eine L^{2}(ℝ)-Funktion mit

∫_{ℝ} \frac{| log |𝔉F (t)||}{1 + t^{2}} dt < +∞,

so existiert eine L^{2}(ℝ)-Funktion f mit f(x) = 0 für fast alle x ≥ 0 und |𝔉f| = |𝔉F |. Hierbei bedeutet 𝔉 wieder die Planchereltransformation, die zu Beginn von §3 angegeben wurde. (Einen Beweis von Aussage 4.1 findet man im Anhang B.)

§4. Regularität gewisser Beurling-Algebren 29

A. Regularität von 𝔉_{w}(ℝ) für w vom Typ 𝔅𝔇

Bevor wir in Satz 4.2 die Regularität von 𝔉_{w}(ℝ) für w vom Typ 𝔅𝔇 behaupten, muß eine Bemerkung vorausgeschickt werden.

Sind nämlich w_{1} und w_{2} vom Typ 𝔅𝔇 mit w_{1} ≤ w_{2}, so gilt

𝔉_{w_{2}}(ℝ) ⊂ 𝔉_{w_{1}}(ℝ).  (16)

Um dies einzusehen, stellt man zunächst für f ∈ 𝔏_{w_{2}}^{1}(ℝ)

∫_{ℝ} |f|w_{1} dλ ≤ ∫_{ℝ} |f|w_{2} dλ < +∞

fest und somit 𝔏_{w_{2}}^{1}(ℝ) ⊂ 𝔏_{w_{2}}^{1}(ℝ). Da die (w_{1}λ)-Nullmengen genau mit den (w_{2}λ)-Nullmengen übereinstimmen (sie stimmen mit den λ-Nullmengen überein), hat man sogar

L_{w_{2}}^{1}(ℝ) ⊂ L_{w_{1}}^{1}(ℝ),

also (16). Ist 𝔉_{w_{2}}(ℝ) als Funktionenalgebra regulär, so insbesondere auch 𝔉_{w_{1}}(ℝ).

4.2 Satz: Für alle Gewichte w vom Typ 𝔅𝔇 auf ℝ ist 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebra regulär.

⊳ Beweis : Es genügt zu zeigen, daß für alle t ∈ ℝ und jede Umgebung V ⊂ ℝ von t eine Funktion f ∈ 𝔉_{w}(ℝ) existiert mit f(t) ≠ 0 und suppf ⊂ V.

Definieren wir w̃ : ℝ → ℝ durch w̃ := max(w, \overline{w}, e^{\sqrt{|·|}}), so ist w̃ vom Typ 𝔅𝔇 (vgl. Abschnitt F in §3) und symmetrisch, und es genügt nach der Vorbemerkung offenbar zu zeigen, daß 𝔉w̃(ℝ) regulär ist. Wir wollen daher ohne Einschränkung von vorneherein w als symmetrisch mit w ≥ e^{\sqrt{|·|}} annehmen. Der Vorteil von w ≥ e^{\sqrt{|·|}} beruht auf

∫_{ℝ} \frac{1}{w(x)} dx ≤ ∫_{ℝ} e^{−\sqrt{|x|}} dx < +∞,

was nicht nur \frac{1}{w} ∈ L^{1}(ℝ) mit sich bringt, sondern wegen e^{\sqrt{|·|}} ≥ 1 auch noch \frac{1}{w}, \frac{1}{w^{2}} ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ). Es ist

∫_{ℝ} \frac{| log \frac{1}{w(t)^{2}} |}{1 + t^{2}} dt = 2 ∫_{ℝ} \frac{log w(t)}{1 + t^{2}} dt < +∞.

Es existiert von daher aufgrund des Satzes von Paley und Wiener, genauer: Teilaussage 4.1, eine Funktion f ∈ L^{2}(ℝ) mit f(x) = 0 für fast alle x ≥ 0 und |𝔉f| = \frac{1}{w^{2}} . Wir setzen h := 𝔉f.

Wegen |h| = \frac{1}{w^{2}} ist sowohl h ∈ L^{1}(ℝ)∩L^{2}(ℝ), was f- = 𝔉(𝔉f) = 𝔉̂f = ĥ und f stetig bedeutet, als auch hw ∈ L^{1}(ℝ), was h ∈ L_{w}^{1}(ℝ) zur Folge hat. Insbesondere ist damit f- ∈ 𝔉_{w}(ℝ). Da w symmetrisch ist, liegt mit h auch h- in L_{w}^{1}(ℝ). Eine leichte Rechnung zeigt f = ĥ- = ĥ- und damit f ∈ 𝔉_{w}(ℝ). Sei nun x̃ := sup\{x ∈ ℝ : f(x) ≠ 0\} ≤ 0. Sei δ := \frac{1}{2}d(t, V^{c}) > 0. Dann existiert x_{0} ∈ ℝ mit f(x_{0}) ≠ 0 und x̃ − δ < x_{0} < x̃. (Man beachte, daß f nicht identisch verschwinden kann.)

Mit h- liegt auch h-e^{i(t−x_{0})·} in L_{w}^{1}(ℝ) und es gilt für alle y ∈ ℝ

(h-e^{i(t−x_{0})·}) (y) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} 𝔉f(−x)e^{i(t−x_{0})x}e^{−iyx} dx = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} 𝔉f(x)e^{−i(t−x_{0}−y)x} dx
= f-(t − x_{0} − y) = f(y − t + x_{0}) = (τ_{t−x_{0}}f)(y)

bzw. τ_{t−x_{0}}f ∈ 𝔉_{w}(ℝ). Für alle y ≥ t + δ ist (τ_{t−x_{0}}f)(y) = 0. Entsprechend zeigt man, daß τ_{t+x_{0}}f- ∈ 𝔉_{w}(ℝ) ist, wobei (τ_{t+x_{0}}f-)(y) = 0 für alle y ≤ t − δ ist. Die gesuchte Funktion ĝ läßt sich somit definieren durch

ĝ:= \frac{(τ_{t−x_{0}}f) (τ_{t+x_{0}}f-)}{f(x_{0})^{2}}.

Offenbar ist ĝ(t) = 1 und supp ĝ ⊂ [t − δ, t + δ] ⊂ V. ⊲

B. Regularität von 𝔉_{ϱ}(Γ) für ϱ vom Typ 𝔅𝔇

Bezeichnen wir mit C_{2π}(ℝ) die Menge der 2π-periodischen, stetigen Funktionen auf ℝ, mit φ die Abbildung φ : 𝔉_{ϱ}(Γ) → C_{2π}(ℝ), â ↦ φ(â), wobei φ(â) : ℝ → ℂ, x ↦ â(e^{ix}), und mit 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ) die Menge φ(𝔉_{ϱ}(Γ)), so ist eine 2π-periodische, stetige Funktion f ∈ 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ) dadurch charakterisiert, daß mit

a_{n}^{f} := \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−inx} dx für alle n ∈ ℤ

(a_{n}^{f})_{n∈ℕ} in ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) liegt^{9}. Es ist nämlich für alle f = φ(â)

a_{n}^{f} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−inx} dx = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} φ(â)e^{−inx} dx = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} ∑_{m∈ℤ}a_{m}e^{i(m−n)x} dx = a_{n};

insbesondere ist φ damit als Abbildung 𝔉_{ϱ}(Γ) → 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ) bijektiv.

Versehen wir 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ) mit der Norm

∥φ(â)∥ := ∥â∥_{ϱ},  â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ),

so sind 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ) und 𝔉_{ϱ}(Γ) isometrisch isomorphe Banachalgebren (mit jeweils punktweiser Multiplikation).

4.3 Satz: Für alle ϱ vom Typ 𝔅𝔇 auf ℤ, t ∈ ℝ und 0 < δ < π existiert eine 2π-periodische, stetige Funktion g ∈ 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ) mit g(t) = 1 und g(x) = 0 für alle x ∈ [t−π, t−δ]∪[t+δ, t+π].

⊳ Beweis : Wie im Beweis von Satz 4.2 können wir ϱ symmetrisch mit ϱ ≥ e^{\sqrt{|·|}} annehmen. (Es ist 𝔉_{ϱ_{2}}^{2π}(ℝ) ⊂ 𝔉_{ϱ_{1}}^{2π}(ℝ) für ϱ_{2} ≥ ϱ_{1}). Wir definieren ϕ : ℝ → ℝ durch

ϕ(x) := \frac{1}{ϱ_{n}^{2}(1 + x^{2})} für x ∈ [n − \frac{1}{2}, n + \frac{1}{2}), n ∈ ℤ.

9a_{n}^{f} ist der n-te Fourierkoeffizient, wie man ihn für 2π-periodische, über ein Intervall der Länge 2π integrierbare Funktionen definiert.

Wegen ϱ_{n} ≥ 1 für alle n ∈ ℤ ist |ϕ(x)| ≤ \frac{1}{1+x^{2}} und ϕ ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) mit ϕ(x) > 0 für alle x ∈ ℝ. Außerdem ist

∫_{ℝ} \frac{| log ϕ(x)|}{1 + x^{2}} dx = ∑_{n∈ℤ} ∫_{n− \frac{1}{2}}^{n+ \frac{1}{2}} \frac{| log ϕ(x)|}{1 + x^{2}} dx = ∑_{n∈ℤ} ∫_{n− \frac{1}{2}}^{n+ \frac{1}{2}} \frac{2 log ϱ_{n}}{1 + x^{2}} dx + \underbrace{∫_{ℝ} \frac{log(1 + x^{2})}{1 + x^{2}} dx}_{<+∞} < +∞,

da

∑_{n∈ℤ} ∫_{n− \frac{1}{2}}^{n+ \frac{1}{2}} \frac{log ϱ_{n}}{1 + x^{2}} dx = ∑_{n∈ℤ} \frac{log ϱ_{n}}{1 + n^{2}} (1 + n^{2}) ∫_{n− \frac{1}{2}}^{n+ \frac{1}{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} dx

≤ max \{\frac{1 + n^{2}}{1 + n^{2} − |n| + \frac{1}{4}} : n ∈ ℤ\} ∑_{n∈ℤ} \frac{log ϱ_{n}}{1 + n^{2}} < +∞.

Aussage 4.1 impliziert somit die Existenz einer Funktion f ∈ L^{2}(ℝ) mit f(x) = 0 für fast alle x ≥ 0 und |𝔉f| = ϕ. Wir setzen h := 𝔉f. Wegen ϕ ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) sind f- = 𝔉(𝔉f) = 𝔉̂f = ĥ und f stetig.

Sei x̃ := sup{x ∈ ℝ : f(x) ≠ 0} ≤ 0 und x_{0} ∈ ℝ mit x̃ − δ < x_{0} < x̃ und f(x_{0}) ≠ 0 (vgl. mit dem Beweis von Satz 4.2). Mit f ∈ L^{2}(ℝ) sind auch τ_{t−x_{0}}f, τ_{t+x_{0}}f- ∈ L^{2}(ℝ) und es gilt

G := (τ_{t−x_{0}}f)(τ_{t+x_{0}}f-) ∈ L^{1}(ℝ)

mit supp G ⊂ [t − δ, t + δ] und G(t) = f(x_{0})^{2} ≠ 0. Sei g die 2π-periodische, stetige Funktion, die man als Fortsetzung von G|_{[t−π,t+π]} auf ℝ erhält (man beachte: G(t − π) = G(t + π) = 0). Offenbar ist g(t) = G(t) ≠ 0 und g(x) = 0 für alle x ∈ [t − π, t − δ] ∪ [t + δ, t + π]. Ohne Einschränkung können wir g(t) = 1 annehmen. Es muß dann nur noch gezeigt werden, daß g ∈ 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ) ist.

Im Beweis von Satz 4.2 hatten wir

τ_{t−x_{0}}f = (h-e^{i(t−x_{0})·}) und τ_{t+x_{0}}f- = (he^{i(t+x_{0})·})

hergeleitet. Es ergibt sich für alle n ∈ ℤ

a_{n}^{g} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g(x)e^{−inx} dx = \frac{1}{2π} ∫_{t−π}^{t+π} G(x)e^{−inx} dx = \frac{1}{2π} ∫_{ℝ} G(x)e^{−inx} dx
= \frac{1}{\sqrt{2π}} Ĝ(n) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ((h-e^{i(t−x_{0})·}) (he^{i(t+x_{0})·}) ) (n)
= \frac{1}{\sqrt{2π}} (h-e^{i(t−x_{0})·} ∗ he^{i(t+x_{0})·})^{}(n) = \frac{1}{\sqrt{2π}} (h-e^{i(t−x_{0})·} ∗ he^{i(t+x_{0})·}) (−n)

und damit

|a_{−n}^{g}| ≤ \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} |h-(n − t)h(t)| dt = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} |𝔉f(t − n)𝔉f(t)| dt

= \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} ϕ(t − n)ϕ(t) dt ≤ \frac{1}{\sqrt{2π}} ∑_{m∈ℤ} ∫_{m− \frac{1}{2}}^{m+ \frac{1}{2}} \frac{dt}{ϱ_{m}^{2}(1 + t^{2})ϱ_{m−n}^{2}(1 + (t − n)^{2})}

≤ \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{1}{ϱ_{n}^{2}} ∫_{ℝ} \frac{dt}{(1 + t^{2})(1 + (t − n)^{2})} ≤ \frac{K}{ϱ_{n}^{2}}

mit einer Konstanten K > 0. Aus Symmetriegründen ist somit

|a_{n}^{g}|ϱ_{n} ≤ \frac{K}{ϱ_{n}} ≤ Ke^{−\sqrt{|n|}}

für alle n ∈ ℤ. Dies bringt

∑_{n∈ℤ}|a_{n}^{g}|ϱ_{n} ≤ K ∑_{n∈ℤ}e^{−\sqrt{|n|}} < +∞

mit sich, also g ∈ 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ). ⊲

4.4 Korollar: Für ein Gewichte ϱ vom Typ 𝔅𝔇 auf ℤ ist 𝔉_{ϱ}(Γ) als Funktionenalgebra regulär.

⊳ Beweis : Es ist zu zeigen, daß für alle kompakten Teilmengen K von Γ und jedes ξ_{0} ∈ Γ\K eine Funktion â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) existiert mit â(ξ_{0}) = 1 und â(ξ) = 0 für alle ξ ∈ K.

Bildet man K̃ := supp χ_{K}(e^{i·}) ⊂ ℝ und betrachtet man t ∈ ℝ mit e^{it} = ξ_{0}, so ist K̃ abgeschlossen mit t ∉ K̃. Sei 0 < δ < π mit δ < \frac{1}{2}d(t, K̃). Nach Satz 4.3 existiert dann eine 2π-periodische, stetige Funktion g ∈ 𝔉_{ϱ}^{2π}(ℝ) mit g(t) = 1 und g(x) = 0 für alle x ∈ K̃ (genauer: supp g ⊂ ⋃_{n∈ℤ}[t − δ + 2πn, t + δ + 2πn]). Es leistet dann φ^{−1}(g) das Verlangte. ⊲

Die bis zu dieser Stelle dargebotenen Ausführungen erlauben es uns von den regulären Beurling-Algebren 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) als von denen zu reden, deren Gewichte der Bedingung von Beurling-Domar genügen, und umgekehrt. Vom Beginn von §3 an bis jetzt haben wir gerade

\begin{matrix}𝔉_{ϱ}(Γ), 𝔉_{w}(ℝ) regulär \\ als Funktionenalgebren \\ ⇕ \\ ϱ, w vom Typ 𝔅𝔇 \end{matrix} \}

⇒

𝔉_{ϱ}(Γ), 𝔉_{w}(ℝ) regulär als Banachalgebren

gezeigt.

C. Funktionen f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit kompaktem Träger

Wir haben in Proposition 1.10 gesehen, daß die stetigen Funktionen f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) mit kompaktem Träger bzgl. der L_{w}^{1}(ℝ)-Norm dicht in L_{w}^{1}(ℝ) liegen. In diesem Abschnitt wenden wir uns der Frage zu, ob für die Funktionen f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit kompaktem Träger bzgl. der 𝔉_{w}(ℝ)-Norm diesselbe Dichtheitsaussage gilt. In Proposition 4.9 wird diese Frage positiv beantwortet werden. Bis dahin müsse wir in Form einiger Lemmata Vorbereitungen treffen.

Mit L_{w}^{1}(ℝ)_{c} bezeichnen wir die Menge der stetigen Funktionen in L_{w}^{1}(ℝ), die kompakten Träger haben. Ebenso stehe 𝔉_{w}(ℝ)_{c} für die Menge der (stetigen) Funktionen f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ), die kompakten Träger haben.

4.5 Lemma: Sei w vom Typ 𝔅𝔇 auf ℝ und V eine Umgebung der 0 in ℝ. Dann existiert eine nicht-negative Funktion f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ), f̂ ≢ 0, mit supp f̂ ⊂ V.

⊳ Beweis : Ohne Einschränkung können wir w symmetrisch annehmen (vgl. mit dem Beginn des Beweises von Proposition 4.2).

Aufgrund der Regularität von 𝔉_{w}(ℝ) als Funktionenalgebra (Proposition 4.2) existiert eine Funktion ĝ ≢ 0 in 𝔉_{w}(ℝ) mit supp ĝ ⊂ V. Da w symmetrisch ist, liegt mit g auch \overline{g-} in L_{w}^{1}(ℝ). Ein leichte Rechnung zeigt ˆ \overline{g-} = \overline{ĝ}. Somit können wir f̂:= ĝ\overline{ĝ} ∈ 𝔉_{w}(ℝ) betrachten und feststellen, daß f̂ ≢ 0 und nicht-negative mit supp f̂ ⊂ V ist. ⊲

4.6 Sei K eine kompakte Teilmenge von ℝ\{0}, und sei für x ∈ ℝ die Funktion ϕ_{x} : ℝ → ℝ definiert durch ϕ(t) := |1 + e^{ixt}|^{2}. Dann ist ϕ_{x} für alle x ∈ ℝ stetig und damit O_{x} := ϕ_{x}^{−1}(−2, 2) offen mit 0 ∉ O_{x} für alle x ∈ ℝ. Für t ≠ 0 existiert x_{0} ∈ ℝ mit |1 + e^{ix_{0}t}|^{2} < 2 (z.B. x_{0} = \frac{π}{t}). Daher ist t ∈ O_{x_{0}} und \{O_{x}\}_{x∈ℝ} eine offene Überdeckung von ℝ\\{0\}. Wegen K ⊂ ℝ\{0} kompakt ist {O_{x}}_{x∈ℝ} eine offene Überdeckung von K; es existieren somit endlich viele x_{1}, ..., x_{n} ∈ ℝ, n ∈ ℕ, mit K ⊂ ⋃_{k=1}^{n} O_{x_{k}}. Wir definieren hiermit eine Funktion

g : ℝ → ℝ, t ↦ \frac{1}{2^{2n}} ∏_{k=1}^{n} |1 + e^{ix_{k}t}|^{2} .

Offenbar ist g stetig mit 0 ≤ g(t) ≤ 1 für alle t ∈ ℝ und g(0) = 1. Für t ∈ K existiert j ∈ {1, ..., n} mit t ∈ O_{x_{j}}, d.h. |1 + e^{ix_{j}t}|^{2} < 2. Da für k ∈ {1, ..., n}, k ≠ j, die Beziehung \frac{1}{2^{2}} |1 + e^{ix_{k}t}|^{2} < 1 besteht, gilt 0 ≤ g(t) ≤ \frac{1}{2} für alle t ∈ K. Wir werden diese Funktion g, die in Abhängigkeit der kompakten Menge K ⊂ ℝ\{0} konstruiert wurde, im Beweis des nachfolgenden Lemmas benötigen.

4.7 Lemma: Sei w von Typ 𝔅𝔇 auf ℝ und V eine Umgebung der 0 in ℝ. Dann existiert eine stetige Funktion f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) mit 0 ≤ f(t) ≤ 1 für alle t ∈ ℝ, f(0) = 1, 0 ≤ f(t) ≤ \frac{1}{2} für alle t ∈ ℝ\V sowie f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)_{c}.

⊳ Beweis : Ohne Einschränkung können wir w symmetrisch annehmen (vgl. mit dem Beginn des Beweises von Proposition 4.2).

Nach Lemma 4.5 existiert zu gegebener, relativ-kompakter Umgebung U ⊂ V der 0 eine nichtnegative Funktion ĥ ≢ 0 in 𝔉_{w}(ℝ), deren Träger in U liegt. Aus der Kompaktheit von supp ĥ folgern wir ĥ ∈ L^{1}(ℝ). Die Inversionsformel 3.3 liefert für alle t ∈ ℝ (bei passender Wahl von h in der entsprechenden Restklasse):

|h(t)| = |\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} ĥ(x)e^{ixt} dx| ≤ \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} ĥ(x) dx
= h(0).

Es ist dann h(0) ≠ 0 sowie h ∈ C_{0}(ℝ) ∩ L_{w}^{1}(ℝ). Da w symmetrisch ist, ist auch \overline{h} ∈ C_{0}(ℝ) ∩ L_{w}^{1}(ℝ), und wir können eine Abildung r : ℝ → ℝ definieren durch

r(t) := \frac{h(t)\overline{h(t)}}{h(0)^{2}}, t ∈ ℝ.

Offensichtlich ist r stetig mit 0 ≤ r(t) ≤ 1 für alle t ∈ ℝ und r(0) = 1. Wegen sup_{t∈ℝ} |\overline{h(t)}| < +∞ und h ∈ L_{w}^{1}(ℝ) gilt r ∈ L_{w}^{1}(ℝ). Wir zeigen, daß r̂ kompakten Träger hat. Wegen ĥ- = ĥ- und \overline{ĥ} = ˆ \overline{h} - haben ĥ-, ˆ \overline{h} - und ĥ- ∗ ˆ \overline{h} - kompakten Träger. Es ist

(ĥ- ∗ ˆ \overline{h-}) = h\overline{h}

und wegen r̂ = \frac{1}{h(0)^{2}} (ĥ- ∗ ˆ \overline{h-})- hat r̂ damit kompakten Träger.

Wegen r ∈ C_{0}(ℝ) existiert eine kompakte Menge F, so daß für alle t ∈ ℝ\F gilt: 0 ≤ r(t) ≤ \frac{1}{2}.

Sei K := F \V. Dann ist K kompakt und enthält nicht die 0. Sei g eine gemäß unseren Überlegungen in 4.6 konstruierte Funktion mit 0 ≤ g(t) ≤ 1 für alle t ∈ ℝ, g(0) = 1 und 0 ≤ g(t) ≤ \frac{1}{2} für alle t ∈ K. Wir definieren dann die gesuchte Funktion f : ℝ → ℂ durch f(t) := r(t)g(t). Da g stetig und beschränkt und r ∈ C_{0}(ℝ) ∩ L_{w}^{1}(ℝ) ist, ist f ∈ C_{0}(ℝ) ∩ L_{w}^{1}(ℝ). Außerdem sieht man leicht 0 ≤ f(t) ≤ 1 für alle t ∈ ℝ, f(0) = r(0)g(0) = 1 und 0 ≤ f(t) ≤ \frac{1}{2} für alle t ∈ ℝ\V (man unterscheide die beiden Fälle t ∈ ℝ\F und t ∈ K). Da g eine endliche Linearkombination von Ausdrücken der Form e^{ixt} mit x ∈ ℝ ist, ist f̂ eine endliche Linearkombination von Translationen von r̂; somit ist der Träger von f̂ kompakt. ⊲

4.8 Lemma: Sei w ein Gewicht vom Typ 𝔅𝔇 auf ℝ, sei V eine Umgebung der 0 in ℝ und sei ε > 0 beliebig. Dann existiert eine Funktion ĝ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)_{c}, die folgende Darstellung als Summer zweier Funktionen in 𝔉_{w}(ℝ) besitzt:

ĝ = ĝ_{1} + ĝ_{2},

wobei ∥ĝ_{1}∥_{w} < ε und g_{2} stetig, nicht-negativ mit supp g_{2} ⊂ V und ∫_{V} g_{2}(x) dx = 1.

⊳ Beweis : Wir nehmen ohne Einschränkung an, daß V relativ-kompakt ist.

Gemäß Lemma 4.7 wählen wir eine stetige Funktion f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) mit 0 ≤ f ≤ 1, f(0) = 1, 0 ≤ f(t) ≤ \frac{1}{2} für alle t ∈ ℝ\V und f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)_{c}. Sei K := \{t ∈ ℝ : f(t) ≥ \frac{2}{3}\} ⊂ V. Dann ist K kompakt und wir können eine Funktion k ∈ C_{0}(ℝ) mit 0 ≤ k ≤ 1, k|_{K} ≡ 1 und k|_{ℝ\V} ≡ 0 wählen. Offensichtlich ist 0 < ∫_{ℝ} k(t)f(t)^{n} dt ≤ 1 für alle n ∈ ℕ und wir können ein d_{n} ∈ ℝ bestimmen mit

d_{n} ∫_{V} k(t)f(t)^{n} dt = 1.

Es ist d_{n} ≥ 1 für alle n ∈ ℕ. Für 0 < δ < \frac{1}{2} beliebig und r = \frac{1}{1+δ} folgt \frac{2}{3} < r < 1 und

1 = d_{n} ∫_{V} k(t)f(t)^{n} dt ≥ d_{n} ∫_{{t:f(t)≥r}} f(t)^{n} dt ≥ d_{n}r^{n}λ(t : f(t) ≥ r),

d.h.

1 ≤ ^{n} \sqrt{d_{n}} ≤ \frac{1}{r ^{n} \sqrt{λ(t : f(t) ≥ r)}} → 1 + δ für n → ∞.

Da 0 < δ < \frac{1}{2} beliebig war, folgt lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{d_{n}} = 1.

Für n ∈ ℕ sei nun h_{n} : ℝ → ℝ, t ↦ d_{n}(1 − k(t))f(t)^{n}. Es gilt:

∥h_{n}∥_{1,w} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} d_{n}(1 − k(t))f(t)^{n}w(t) dt = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{V \K} d_{n}(1 − k(t))f(t)^{n}w(t) dt
≤ \frac{Cλ(V \K)}{\sqrt{2π}}d_{n} (\frac{2}{3})^{n} ,

wobei C > 0 eine obere Schranke für w auf \overline{V} \K ist. Man bestimme ein n_{0} ∈ ℕ so, daß ∥h_{n_{0}}∥_{1,w} < ε ist und setze g_{1} := h_{n_{0}} sowie g_{2} := d_{n_{0}}kf^{n_{0}}. Offensichtlich ist g_{2} nicht-negativ mit supp g_{2} ⊂ V und ∫_{V} g_{2}(t) dt = d_{n} ∫_{V} k(t)f(t)^{n} dt = 1. Die Kompaktheit des Trägers von ĝ mit g := g_{1} + g_{2} = d_{n}f^{n} beweisen wir so: Da f̂ kompakten Träger hat und da f̂- = f̂- ist, hat auch f̂- kompakten Träger (und liegt in L^{1}(ℝ)). Dasselbe gilt dann auch für f̂-^{∗n}. Als Folgerung ergibt sich (f̂-^{∗n}) = f^{n}. Wegen

f̂^{n} = (f̂-^{∗n})- = f̂^{n}

ist damit die Kompaktheit von supp ĝ nachgewiesen ^{10}. ⊲

4.9 Proposition: 𝔉_{w}(ℝ)_{c} liegt bzgl. der 𝔉_{w}(ℝ)-Norm dicht in 𝔉_{w}(ℝ).

⊳ Beweis : Wir zeigen, daß für alle f ∈ L_{w}^{1}(ℝ)_{c} und alle ε > 0 eine Funktion ĥ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)_{c} existiert, so daß ∥f̂− ĥ∥_{w} < ε gilt. Da L_{w}^{1}(ℝ)_{c} bzgl. ∥ · ∥_{1,w} dicht in L_{w}^{1}(ℝ) liegt, und damit {f̂: f ∈ L_{w}^{1}(ℝ)_{c}} dicht in 𝔉_{w}(ℝ), folgt hieraus die Behauptung.

Ohne Einschränkung sei ∥f̂∥_{w} ≠ 0. Aufgrund der Stetigkeit von φ : ℝ → ℝ, s ↦ ∥f − τ_{s}f∥_{1,w} (Proposition 1.12), ist die Menge V := φ^{−1} (−\frac{ε}{2}, \frac{ε}{2}) eine offene Umgebung der 0. Zu V und \frac{ε}{2∥f̂∥_{w}} wählen wir nun eine gemäß Lemma 4.8 existierende Funktion ĝ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)_{c} mit ĝ = ĝ_{1} +ĝ_{2}, ∥ĝ_{1}∥_{w} < \frac{ε}{2∥f̂∥_{w}}, g_{2} nicht-negativ, supp g_{2} ⊂ V und ∫_{V} g_{2}(x) dx = 1. Dann gilt:

∥f̂− f̂ĝ∥_{w} ≤ ∥f̂− f̂ĝ_{2}∥_{w} + ∥f̂ĝ_{1}∥_{w} < ∥f̂− f̂ĝ_{2}∥_{w} + \frac{ε}{2}.

Wir sind fertig, wenn wir noch ∥f̂− f̂ĝ_{2}∥_{w} < \frac{ε}{2} gezeigt haben und dann ĥ := f̂ĝ setzen. Für die Norm ∥f̂− f̂ĝ_{2}∥_{w} ergibt sich:

∥f̂− f̂ĝ_{2}∥_{w} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} |f − f ∗ g_{2}|w dλ
= \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} |∫_{V} f(t)g_{2}(s) ds − ∫_{V} f(t − s)g_{2}(s) ds| w(t) dt
≤ ∫_{V} g_{2}(s)\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} |f(t) − f(t − s)|w(t) dt ds  (Fubini)
= ∫_{V} g_{2}(s)∥f − τ_{s}f∥_{1,w} ds < \frac{ε}{2} ∫_{V} g_{2}(s) ds = \frac{ε}{2}.

10Bei der letzten Gleichheit wurde (f ∗ g)- = f- ∗ g- benutzt.

⊲

§5

Eigenschaften regulärer Beurling-Algebren

In §3 und §4 haben wir in aller Ausführlichkeit die Regularität derjenigen Beurling-Algebren nachgewiesen, deren Gewichte der Bedingung von Beurling-Domar genügen. Wir haben außerdem festgestellt, daß in diesem Fall die Gelfandtransformation mit der (eingeschränkten) Fouriertransformation übereinstimmt. Auf diese Art und Weise ist es uns nunmehr möglich, sämtliche Ergebnisse aus §2 auf die Situation der Beurling-Algebren zu übertragen. Diesem Unterfangen ist §5 gewidmet. Dabei orientieren wir uns an denjenigen Aussagen, die im weiteren Verlauf dieser Arbeit von Bedeutung sein werden.

Wir erinnern daran, daß durch die Definition von 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) die Gelfandtransformation als Identität

(𝔉_{ϱ}(Γ), ∥ · ∥_{ϱ}) → (𝔉_{ϱ}(Γ), ∥ · ∥_{∞}),
(𝔉_{w}(ℝ), ∥ · ∥_{w}) → (𝔉_{w}(ℝ), ∥ · ∥_{∞}),

augefaßt werden kann. Die Elemente von 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) werden als Bilder von Elementen aus ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) und L_{w}^{1}(ℝ) unter der jeweiligen Fouriertransformation geschrieben.

Im folgenden seien ϱ und w Gewichte vom Typ 𝔅𝔇 auf ℤ bzw. ℝ; die Beurling-Algebren 𝔉_{ϱ}(Γ) und 𝔉_{w}(ℝ) sind dann reguläre Banachalgebren. Wir übertragen die Begriffe Hülle und Kern aus §2. Die Bildung der Hülle ist eine Abbildung h, die jedem abgeschlossenen Ideal I in einer kommutativen Banachalgebra A eine Teilmenge von M_{A} zuordnet. Da wir M_{𝔉_{ϱ}(Γ)} mit Γ und M_{𝔉_{w}(ℝ)} mit ℝ identifiziert haben, wollen wir die Hülle eines abgeschlossenen Ideals I in 𝔉_{ϱ}(Γ) oder 𝔉_{w}(ℝ) als eine Teilmenge von Γ oder ℝ auffassen^{11}:

h(I) = {ξ ∈ Γ : I ⊂ ker ϕ_{ξ}} = {ξ ∈ Γ : â(ξ) = 0 für alle â ∈ I},  I ⊂ 𝔉_{ϱ}(Γ), (17)
h(I) = {t ∈ ℝ : I ⊂ ker ϕ_{t}} = {t ∈ ℝ : f̂(t) = 0 für alle f̂ ∈ I},  I ⊂ 𝔉_{w}(ℝ). (18)

Beim Kern wollen wir ganz ähnlich verfahren. Er soll als Abbildung auf Teilmengen von Γ und ℝ aufgefaßt werden, und nicht als Abbildung auf Teilmengen multiplikativer Linearformen:

k(F) = ⋂_{ξ∈F} ker ϕ_{ξ} = {â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) : â(ξ) = 0 für alle ξ ∈ F }, F ⊂ Γ,

k(F) = ⋂_{t∈F} ker ϕ_{t} = {f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) : f̂(t) = 0 für alle t ∈ F }, F ⊂ ℝ.

5.1 Proposition: Sei ϱ ein Gewicht vom Typ 𝔅𝔇 auf ℤ und I ein abgeschlossenes Ideal in 𝔉_{ϱ}(Γ). Es gilt:

a) Aus h(I) = ∅ folgt I = 𝔉_{ϱ}(Γ).

b) Aus h(I) = {λ} für ein λ ∈ Γ folgt M_{𝔉_{ϱ}(Γ)/I} = {λ̃} mit λ̃ : 𝔉_{ϱ}(Γ)/I → ℂ, λ̃([â]) = â(λ).

11Wir wollen in diesem Zusammenhang allerdings keine neuen Bezeichnungen einführen.

§5. Eigenschaften regulärer Beurling-Algebren 37

Sei w ein Gewicht vom Typ 𝔅𝔇 auf ℝ und I ein abgeschlossenes Ideal in 𝔉_{w}(ℝ). Es gilt:

c) Aus h(I) = ∅ folgt I = 𝔉_{w}(ℝ).

d) Aus h(I) = {t} für ein t ∈ ℝ folgt M_{𝔉_{w}(ℝ)/I} = {t̃} mit t̃: 𝔉_{w}(ℝ)/I → ℂ, t̃([f̂]) = f̂(t).

⊳ Beweis : Die Aussagen a) und b) folgen direkt aus Proposition 2.5. Zum Nachweis von c) und d) sei I ein abgeschlossenes Ideal in 𝔉_{w}(ℝ). Sei h(I) = ∅. Dann existiert zu jedem f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)_{c} nach Propostion 2.7 ein ĝ ∈ I mit ĝ|_{supp f̂} ≡ 1. Dann ist f̂ = ĝf̂ ∈ I, und wegen der Dichtheit von 𝔉_{w}(ℝ)_{c} in 𝔉_{w}(ℝ) (Proposition 4.9) folgt hieraus I = 𝔉_{w}(ℝ). Damit ist c) gezeigt. Sei nun h(I) = {t} für ein t ∈ ℝ. Für f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit t ∉ supp f̂ und eine gemäß 1.18 gewählte approximative Eins (u_{n})_{n∈ℕ} in L_{w}^{1}(ℝ) gilt f̂ = lim_{n→∞} f̂û_{n} in 𝔉_{w}(ℝ). Nach Proposition 4.9 gibt es Funktionen v̂_{n} ∈ 𝔉_{w}(ℝ)_{c} mit ∥û_{n} − v̂_{n}∥_{w} < \frac{1}{n} für alle n ∈ ℕ. Für alle n ∈ ℕ ist f̂_{n} := f̂v̂_{n} ∈ 𝔉_{w}(ℝ)_{c} mit t ∉ supp f̂_{n}. Wegen

∥f̂− f̂_{n}∥_{w} ≤ ∥f̂− f̂û_{n}∥_{w} + \frac{1}{n}∥f̂∥_{w}

folgt f̂ = lim_{n→∞} f̂_{n} in 𝔉_{w}(ℝ). Nach Proposition 2.7 existieren Funktionen ĥ_{n} ∈ I mit ĥ_{n}|_{supp f̂_{n}} ≡ 1 für alle n ∈ ℕ. Es ist dann f̂ = lim_{n→∞} f̂_{n} = lim_{n→∞} f̂_{n}ĥ_{n} ∈ I. Damit ist d) gezeigt. ⊲

Beim Beweis von d) in Proposition 5.1 haben wir die folgende Aussage gezeigt:

5.2 Korollar: Sei w ein Gewicht vom Typ 𝔅𝔇 auf ℝ und I ein abgeschlossenes Ideal in 𝔉_{w}(ℝ) mit h(I) = {t} für ein t ∈ ℝ. Für alle f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit t ∉ supp f̂ gilt dann f̂ ∈ I.

Korollar 5.2 wird an späterer Stelle noch von Nutzen sein.

5.3 Proposition: Seien ϱ und w Gewichte vom Typ 𝔅𝔇 auf ℤ und ℝ.

a) Sei F ⊂ Γ kompakt. Ist â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) mit â(ξ) ≠ 0 für alle ξ ∈ F, so existiert ein b̂ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ)

mit b̂(ξ) = \frac{1}{â(ξ)} für alle ξ ∈ F.

b) Sei F ⊂ ℝ kompakt. Dann existiert eine Funktion ê ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit ê|_{F} ≡ 1. Ist f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit f̂(t) ≠ 0 für alle t ∈ F, so existiert eine Funktion ĝ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit ĝ(t) = \frac{1}{f̂(t)} für

alle t ∈ F.

⊳ Beweis :

a) Mit 𝔉_{ϱ}(Γ) enthält auch die Banachalgebra 𝔉_{ϱ}(Γ)/k(F) eine Eins. Da M_{𝔉_{ϱ}(Γ)/k(F)} ≅ F im Sinne von Proposition 2.6 ist, folgt aus ϕ̃_{ξ}([â]) = ϕ_{ξ}(â) = â(ξ) ≠ 0 für alle ξ ∈ F, daß [â] in 𝔉_{ϱ}(Γ)/k(F) invertierbar ist. Setzen wir [b̂] := [â]^{−1}, so gilt b̂(ξ)â(ξ) = 1 für alle ξ ∈ F.

b) Wegen der Kompaktheit von F gibt es nach Proposition 2.7 mit I = A = 𝔉_{w}(ℝ) ein ê ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit ê|_{F} ≡ 1. Dann ist [ê] Einselement in 𝔉_{w}(ℝ)/k(F), und man kann wie in a) argumentieren. ⊲

Wir führen für eine abgeschlossene Menge F ⊂ Γ bzw. F ⊂ ℝ die Mengen 𝔉_{ϱ}(F) bzw. 𝔉_{w}(F) ein:

𝔉_{ϱ}(F) := \{â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) : supp â ⊂ F \}, F = \overline{F} ⊂ Γ
𝔉_{w}(F) := \{f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) : supp f̂ ⊂ F \}, F = \overline{F} ⊂ ℝ

5.4 Lemma:

a) 𝔉_{ϱ}(F) ist ein abgeschlossener Unterraum von 𝔉_{ϱ}(Γ).

b) 𝔉_{w}(F) ist ein abgeschlossener Unterraum von 𝔉_{w}(ℝ).

⊳ Beweis : a) Für eine Folge (a^{(n)})_{n∈ℕ} ⊂ 𝔉_{ϱ}(F) mit a^{(n)} → â für n → ∞, â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ), gilt aufgrund der Stetigkeit der Gelfandtransformation

|(a^{(n)} − â)(ξ)| ≤ ∥a^{(n)} − â∥_{∞} ≤ ∥a^{(n)} − â∥_{ϱ}.

Für ξ ∉ F ist â(ξ) = 0 wegen |â(ξ)| ≤ ∥a^{(n)} − â∥_{ϱ} → 0 für n → ∞.

b) analog ⊲

Zum Abschluß geben wir noch eine Klasse von Abbildungen auf 𝔉_{ϱ}(Γ) an. Es handelt sich hierbei um Multiplikationsoperatoren. Sei für â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) die Abbildung Mâ definiert durch

Mâ : 𝔉_{ϱ}(Γ) → 𝔉_{ϱ}(Γ),  b̂ ↦ âb̂.

Dann ist Mâ offensichtlich wohldefiniert und stetig linear mit ∥Mâ∥ = ∥â∥_{ϱ}.

Ist e insbesondere die Folge mit e_{n} = 1 für n = 1, e_{n} = 0 für n ≠ 1, so ist Mêb̂(ξ) = ξb̂(ξ) für alle ξ ∈ Γ. Da die Abbildung Mê in Kapitel II oft benötigt werden wird, wollen wir sie einfach nur mit M bezeichnen. Es gilt ∥M∥ = 1.

Für alle â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) und jede abgeschlossene Menge F ⊂ Γ ist 𝔉_{ϱ}(F) invariant unter Mâ, d.h. daß Mâ𝔉_{ϱ}(F) ⊂ 𝔉_{ϱ}(F) ist. Vor allem macht es Sinn, die Abbildung

Mâ|𝔉_{ϱ}(F) : 𝔉_{ϱ}(F) → 𝔉_{ϱ}(F),  b̂ ↦ Mâb̂

zu definieren.

5.5 Proposition: Für Gewichte ϱ vom Typ 𝔅𝔇 auf ℤ und F ⊂ Γ abgeschlossen gilt:

σ(M|𝔉_{ϱ}(F)) ⊂ F.

⊳ Beweis : Für λ ∉ F existiert nach Proposition 5.3 eine Funktion b̂ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) mit b̂(ξ) = \frac{1}{λ−ξ} für alle ξ ∈ F. Dann ist Mb̂|𝔉_{ϱ}(F) die inverse, lineare Abbildung zu λ − M|𝔉_{ϱ}(F) und damit λ ∉ σ(M|𝔉_{ϱ}(F)). Das ist die Behauptung. ⊲

Im Fall 𝔉_{w}(ℝ) können wir ganz ähnlich vorgehen. Für jedes f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) definiert

Mf̂: 𝔉_{w}(ℝ) → 𝔉_{w}(ℝ),  ĝ ↦ f̂ĝ

einen stetigen linearen Operator auf 𝔉_{w}(ℝ) mit ∥Mf̂∥ = ∥f̂∥_{w}. Analog zu oben sind für F = \overline{F} ⊂ ℝ die Unterräume 𝔉_{w}(F) invariant unter diesen Multiplikationsoperatoren.

Ein Problem ergibt sich bei dem Versuch, einen Operator M so zu definieren, daß (Mf̂)(t) = −itf̂(t) gilt für alle t ∈ ℝ, denn i.a. liegt (t ↦ −itf̂(t)) nicht mehr in 𝔉_{w}(ℝ). Der Operator M ist allerdings immerhin noch abgeschlossen und hat dichtes Bild; wir werden dies in Kapitel III zeigen. Trotzdem sei an dieser Stelle schon erwähnt, daß für den eingeschränkten Operator M|𝔉_{w}(F) : 𝔉_{w}(F) → 𝔉_{w}(F) eine zu Proposition 5.5 analoge Aussage gilt: für alle kompakten F ⊂ ℝ ist σ(M|𝔉_{w}(F)) ⊂ −iF, wo σ(M|𝔉_{w}(F)) für das Spektrum des unbeschränkten Operators M|𝔉_{w}(F) steht (§10, Abschnitt A).

40 Kapitel I. Beurling-Algebren

Kapitel II

Asymptotisches Verhalten diskreter Operatorhalbgruppen

Zum Inhalt dieses Kapitels

Auf das asymptotische Verhalten einer diskreten Operatorhalbgruppe läßt sich aus dem Erfülltsein geeigneter Bedingungen für den die Halbgruppe erzeugenden Operator schließen. Wir wollen in diesem Kapitel eine solche Bedingung herleiten. Von zentraler Bedeutung ist dabei der Begriff des Intertwining-Operator für diskrete Operatorhalbgruppen. In §6 und §7 wollen wir solche Operatoren einführen und ihre Eigenschaften diskutieren. Die in Kapitel I behandelten Beurling-Algebren 𝔉_{ϱ}(Γ) spielen hierbei ein wichtige Rolle.

Als entscheidend wird sich die Existenz eines solchen (nicht-trivialen) Intertwining-Oper-ators erweisen. Das in diesem Zusammenhang wichtige Ergebnis formulieren wir in §8.

Sätze über das asymptotische Verhalten diskreter Operatorhalbgruppe sind in ähnlicher Form bereits an anderer Stelle bewiesen worden. In §9 werden wir – neben unserem eigenen Ergebnis – diesen Resultaten Rechnung tragen und auf Unterschiede eingehen.

§6 Diskrete Intertwining-Operatoren, grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . 41 §7 Weiterführende Eigenschaften diskreter Intertwining-Operatoren . . . . . . . . . . 44 §8 Existenz diskreter Intertwining-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 §9 Asymptotisches Verhalten diskreter Operatorhalbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Für die Dauer dieses Kapitels stehe X für einen beliebigen Banachraum und X′ für dessen topologischen Dualraum. Zu T ∈ L(X) ist der adjungierte Operator T′ : X′ → X′ erklärt durch

T′α = α ∘ T für alle α ∈ X′.

Es gilt σ(T′) = σ(T) und ∥T′∥ = ∥T ∥.

§6

Diskrete Intertwining-Operatoren, grundlegende Eigenschaften

In diesem Paragraphen führen wir Intertwining-Operatoren für diskrete Operatorhalbgruppen ein, die wir der Kürze wegen als diskrete Intertwining-Operatoren bezeichnen werden.

6.1 Definitionen:

1) Eine Abbildung T : ℕ → L(X), für die es einen beschränkten linearen Operator T auf X gibt mit T (n) = T^{n} für alle n ∈ ℕ, nennen wir eine diskrete Operatorhalbgruppe. Der Operator T heißt Erzeuger der Halbgruppe.

2) Sei ϱ ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℤ, j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ eine beschränkte lineare Abbildung und T eine diskrete Operatorhalbgruppe mit Erzeuger T. Falls für alle â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ)

j(Mâ) = T′j(â)  (19)

gilt^{1}, nennen wir j einen diskreten Intertwining-Operator für die Operatorhalbgruppe T .

Die obige Definition einer diskreten Operatorhalbgruppe hat weniger den Sinn, einen fundamental neuen Begriff einzuführen, als vielmehr die Parallelität zu den später noch zu definierenden, stark-stetigen Operatorhalbgruppen aufzuzeigen (siehe §11). Wir werden in der Folge vereinfachend von diskreten Intertwining-Operatoren 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ sprechen, ohne das hierzu notwendige Beurling-Domar-Gewicht ϱ auf ℤ und die zugehörige, diskrete Operatorhalbgruppe jedesmal zu präzisieren; diese beiden Objekte sollen in diesem Fall automatisch gegeben sein und mit ϱ bzw. T bezeichnet werden. Den Erzeuger von T nennen wir stets T.

Um Eigenschaften diskreter Intertwining-Operatoren besprechen zu können, führen wir zwei Hilfsmittel ein. Das eine Hilfsmittel ist ein Ideal I = I(j), welches wir jedem diskreten Intertwining-Operator j zuordnen können, das andere ist der sogenannte Träger von j.

6.2 Lemma: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator. Dann existert ein größtes, abgeschlossenes Ideal I(j) in 𝔉_{ϱ}(Γ), welches noch vollständig in ker j enthalten ist.

⊳ Beweis : Wir betrachten das System Λ, welches aus allen Idealen I in 𝔉_{ϱ}(Γ) besteht, für die I ⊂ ker j gilt. Da mit I und J auch I + J und \overline{I} zu Λ gehören, ist I(j) = ⋃_{I∈Λ} I das größte abgeschlossene Ideal in 𝔉_{ϱ}(Γ), welches ganz in ker j enthalten ist. ⊲

Das zweite Hilfsmittel ist der Träger von j. Er ist erklärt durch

supp(j) := h(I(j)) = ⋂_{â∈I(j)} N(â),

wobei h die Hüllenabbildung aus §5 und N(â) die Nullstellenmenge von â in Γ ist.

6.3 Proposition: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator. Dann gilt:

supp(j) = ∅ ⇔ j ≡ 0

1Die Abbildung M : 𝔉_{ϱ}(Γ) → 𝔉_{ϱ}(Γ) wurde in §5 auf Seite 38 definiert.

§6. Diskrete Intertwining-Operatoren, grundlegende Eigenschaften 43

⊳ Beweis : Ist j ≡ 0, so folgt ker j = 𝔉_{ϱ}(Γ) und damit I(j) = 𝔉_{ϱ}(Γ) trivialerweise. Da 𝔉_{ϱ}(Γ) kommutativ und unital ist, schließen wir supp(j) = h(I(j)) = ∅. Umgekehrt folgt aus supp(j) = h(I(j)) = ∅ mit Proposition 5.1, daß I(j) = 𝔉_{ϱ}(Γ) und damit j ≡ 0 ist. ⊲

Ist j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator, so erhält man durch Komposition mit Multiplikationsoperatoren weitere Operatoren dieser Art.

6.4 Proposition: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator. Dann ist für alle â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) auch j ∘ Mâ : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator^{2}.

⊳ Beweis : Die Stetigkeit von j ∘ Mâ ist klar. Es muß nur die definierende Eigenschaft (19) nachgeprüft werden. Es ist

j ∘ Mâ(Mb̂) = j(â(Mb̂)) = j(M(âb̂)) = T′j(âb̂) = T′j ∘ Mâ(b̂)

für alle b̂ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ). ⊲

Daß vermöge Proposition 6.4 aus nicht-trivialen tatsächlich auch nicht-triviale Intertwining-Operatoren konstruiert werden können, ist Gegenstand von Proposition 6.6. Wir bereiten die Beweise der nachfolgenden Aussagen durch folgende einfache Überlegung vor.

6.5 Für jede Funktion â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) ist â𝔉_{ϱ}(Γ) = {âb̂ : b̂ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ)} ein Ideal in 𝔉_{ϱ}(Γ). Aufgrund der Stetigkeit der Multiplikation auf 𝔉_{ϱ}(Γ) ist \overline{â𝔉_{ϱ}(Γ)} ein abgeschlossenes Ideal in 𝔉_{ϱ}(Γ). Gilt insbesondere â𝔉_{ϱ}(Γ) ⊂ ker j, so muß wegen der Abgeschlossenheit von ker j und der Definition von I(j) auch â𝔉_{ϱ}(Γ) ⊂ I(j) sein. Wegen 1 ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) folgt hieraus â ∈ I(j).

6.6 Proposition: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator. Seien λ ∈ supp(j) und â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) mit â(λ) ≠ 0. Dann ist j ∘ Mâ ≢ 0.

⊳ Beweis : Wäre j ∘ Mâ ≡ 0, so würde â𝔉_{ϱ}(Γ) ⊂ ker j und damit â ∈ I(j) folgen (Aussage 6.5). Wegen λ ∈ supp(j) erhielte man â(λ) = 0, ein Widerspruch. ⊲

Die nachfolgende Proposition macht wegen Proposition 6.4 Sinn.

6.7 Proposition: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator. Für alle â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) ist I(j) ⊂ I(j ∘ Mâ) und supp(j ∘ Mâ) ⊂ supp(â) ∩ supp(j).

⊳ Beweis : Seien b̂ ∈ I(j) und ĉ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) beliebig. Es gilt: j ∘ Mâ(b̂ĉ) = j(âb̂ĉ) = 0, da wegen b̂ ∈ I(j) auch âb̂ĉ ∈ I(j) und I(j) ⊂ ker j ist. Infolgedessen haben wir b̂𝔉_{ϱ}(Γ) ⊂ ker(j ∘ Mâ) und Aussage 6.5 liefert b̂ ∈ I(j ∘ Mâ). Damit ist I(j) ⊂ I(j ∘ Mâ). Die Beziehung supp(j ∘ Mâ) ⊂ supp(j) folgt direkt aus dem soeben gezeigten Teil der Proposition; es muß nur noch supp(j ∘ Mâ) ⊂ supp(â) nachgewiesen werden. Der Fall supp(â) = Γ ist trivial; wir wollen deshalb annehmen, daß es ein λ ∈ Γ\supp(â) gibt. Da 𝔉_{ϱ}(Γ) regulär ist, existiert b̂ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) mit b̂(λ) ≠ 0 und supp(b̂) ⊂ U für eine offene Umgebung U von λ mit U ∩ supp(â) = ∅. Wegen supp(â) ∩ supp(b̂) = ∅ ist âb̂ ≡ 0, und für alle ĉ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) gilt daher j ∘ Mâ(b̂ĉ) = j(âb̂ĉ) = 0. Folglich ist b̂𝔉_{ϱ}(Γ) ⊂ ker(j ∘ Mâ) und also (Aussage 6.5) b̂ ∈ I(j ∘ Mâ). Wegen b̂(λ) ≠ 0 ist λ ∈ Γ\supp(j ∘ Mâ). Daher ist Γ\supp(â) ⊂ Γ\supp(j ∘ Mâ) oder supp(j ∘ Mâ) ⊂ supp(â). ⊲

2j und j ∘ Mâ beziehen sich natürlich auf dieselbe Operatorhalbgruppe.

6.8 Korollar: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator, dessen Träger supp(j) einen isolierten Punkt λ ∈ Γ enthält^{3}. Dann gibt es einen diskreten Intertwining-Operator j̃: 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ mit supp(j̃) = {λ}.

⊳ Beweis : Aufgrund der Regularität von 𝔉_{ϱ}(Γ) und λ isoliert in supp(j) existiert ein â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) mit â(λ) ≠ 0 und supp(â) ∩ supp(j) = {λ}. Offensichtlich leistet j̃:= j ∘ Mâ wegen Proposition 6.3, Proposition 6.6 und Proposition 6.7 das Verlangte. ⊲

Bei den in diesem Paragraphen nachgewiesenen Eigenschaften diskreter Intertwining-Op-eratoren hat die Operatorhalbgruppe T , bzgl. der der Operator definiert ist, keine allzu große Rolle gespielt. Im nächsten Paragraphen werden wir sehen, daß eine nützliche Beziehung besteht zwischen dem Träger von j und dem Spektrum von T, dem Erzeuger der Halbgruppe T .

§7

Weiterführende Eigenschaften diskreter Intertwining-Operatoren

Bevor wir auf weitere Eigenschaften diskreter Intertwining-Operatoren eingehen, führen wir ein Hilfsmittel ein.

Für eine abgeschlossene Teilmenge F von ℂ und einen beschränkten linearen Operator T auf X definieren wir den Spektralraum von T zu F als

X_{T} (F)

:= {x ∈ X : es existiert eine analytische Funktion f : ℂ\F → X mit (z − T)f(z) = x für alle z ∈ ℂ\F }.

7.1 Proposition: Sei T ein beschränkter linearer Operator auf X und λ ∈ ℂ beliebig. Dann

gilt:

X_{T} (\{λ\}) = \{x ∈ X : lim sup_{n→∞} ∥(λ − T)^{n}x∥^{\frac{1}{n}} = 0\}

⊳ Beweis : Wir können uns auf den Fall λ = 0 beschränken, denn die allgemeine Aussage folgt hieraus durch Verschiebung um λ.

”⊃“: Sei x ∈ X mit lim sup_{n→∞} ∥T^{n}x∥^{\frac{1}{n}} = 0 und betrachte f : ℂ\\{0\} → X, f(z) := ∑_{n=0}^{∞}(T^{n}x)z^{−n−1}.

Wegen lim sup_{n→∞} ∥T^{n}x∥^{\frac{1}{n}} = 0 ist f auf ℂ\\{0\} wohldefiniert und analytisch. Es ist

(z − T)f(z) = ∑_{n=0}^{∞}(T^{n}x)z^{−n} − ∑_{n=0}^{∞}(T^{n+1}x)z^{−n−1} = T^{0}x = x,

d.h. x ∈ X_{T} ({0}).

3D.h. es existiert eine Umgebung U von λ in Γ, die keine weiteren Punkte des Trägers enthält.

§7. Weiterführende Eigenschaften diskreter Intertwining-Operatoren 45

”⊂“: Sei x ∈ X_{T} ({0}) und f : ℂ\{0} → X analytisch mit (z − T)f(z) = x. Da für hinreichend große z die Abbildung z − T bijektiv ist, ist f(z) = R(z, T)x = ∑_{n=0}^{∞}(T^{n}x)z^{−n−1} für solche z,

wobei R(z, T)(z−T) = (z−T)R(z, T) = id_{X}. Da f aber analytisch auf ℂ\{0} ist, muß sich f für alle z ∈ ℂ\\{0\} in der Form ∑_{n=0}^{∞}(T^{n}x)z^{−n−1} darstellen lassen. Dies erzwingt lim sup_{n→∞} ∥T^{n}x∥^{\frac{1}{n}} = 0.

⊲

7.2 Korollar: Sei T ein beschränkter linearer Operator auf dem Banachraum X. Es gilt:

ker(λ − T)^{n} ⊂ X_{T} ({λ})

für alle n ∈ ℕ.

⊳ Beweis : Aus x ∈ ker(λ − T)^{n} folgt lim sup_{k→∞} ∥(λ − T)^{k}x∥^{\frac{1}{k}} = 0 und damit x ∈ X_{T} (\{λ\}). ⊲

Wir wenden uns nun weiteren Eigenschaften diskreter Intertwining-Operatoren zu.

Es sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator für die diskrete Operatorhalbgruppe T mit Erzeuger T. Es bezeichne Lat_{ϱ}(M) die Menge der abgeschlossenen Unterräume von 𝔉_{ϱ}(Γ), die invariant sind unter M. Weiter bezeichne M|Y für Y ∈ Lat_{ϱ}(M) den wohldefinierten Operator M|Y : Y → Y, â ↦ Mâ. Wie zuvor stehe R(·, T) : ρ(T) → L(X) für die Resolvente von T. Wir erinnern, daß für einen beschränkten linearen Operator T und seinen adjungierten Operator die Beziehung σ(T) = σ(T′) besteht.

7.3 Lemma: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator. Für alle Y ∈ Lat_{ϱ}(M)

gilt:

σ(M|Y) ∩ σ(T) = ∅  ⇒  Y ⊂ ker j

⊳ Beweis : Sei â ∈ Y beliebig und F : ℂ → X definiert durch

F (z) = \{ \begin{matrix}j(R(z, M|Y)â) & falls z ∉ σ(M|Y) \\ R(z, T′)j(â) & falls z ∉ σ(T′) = σ(T). \end{matrix}

Dann ist F eine wohldefinierte Funktion: Wegen σ(M|Y) ∩ σ(T) = ∅ ist ρ(M|Y) ∪ ρ(T) = ℂ und F auf ganz ℂ definiert; für z ∈ ρ(M|Y) ∩ ρ(T) gilt

(z − T′)j(R(z, M|Y)â) = j((z − M)R(z, M|Y)â) = j(â),

d.h. j(R(z, M|Y)â) = R(z, T′)j(â). Da sowohl R(·, M|Y) auf ρ(M|Y) als auch R(·, T′) auf ρ(T′) = ρ(T) analytisch sind, folgt die Analytizität von F auf ℂ. Da aber ∥F (z)∥ → 0 für |z| → ∞ (etwa wegen ∥R(z, T′)∥ → 0 für |z| → ∞), folgt F ≡ 0 (Liouville). Da für große z die Resolvente R(z, T′) existiert und bijektiv ist, folgt insbesondere j(â) = 0. Da â ∈ Y beliebig war, folgt Y ⊂ ker j. ⊲

7.4 Satz: Sei T eine diskrete Operatorhalbgruppe auf X mit Erzeuger T und sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator für T . Dann gilt:

supp(j) ⊂ σ(T).

⊳ Beweis : Im Falle supp(j) = ∅ ist nichts zu beweisen. Sei also t ∈ supp(j). Wir wollen annehmen, daß t ∉ σ(T) ist. Da Γ\σ(T) offen ist, würde ein Umgebung U von t existieren mit U ⊂ \overline{U} ⊂ Γ\σ(T) = ρ(T). Mit Proposition 5.4 sieht man leicht, daß 𝔉_{ϱ}(\overline{U}) ∈ Lat_{ϱ}(M) ist, und Proposition 5.5 liefert σ(M|𝔉_{ϱ}(\overline{U})) ⊂ \overline{U}. Nach Wahl von U wäre σ(M|𝔉_{ϱ}(\overline{U})) ∩ σ(T) ⊂ \overline{U} ∩ σ(T) = ∅. Nach Lemma 7.3 ergäbe sich 𝔉_{ϱ}(\overline{U}) ⊂ ker j. Da 𝔉_{ϱ}(\overline{U}) ein abgeschlossenes Ideal ist, erhielte man 𝔉_{ϱ}(\overline{U}) ⊂ I(j). Dies aber wäre ein Widerspruch, denn wegen t ∈ supp(j) müßte â(t) = 0 für alle â ∈ 𝔉_{ϱ}(\overline{U}) gelten, was wegen der Regularität von 𝔉_{ϱ}(Γ) sicherlich nicht der Fall ist. Da die Annahme also falsch ist, kann nur supp(j) ⊂ σ(T) sein. ⊲

Sei M der Multiplikationsoperator aus §5. Da I(j) als Ideal trivialerweise unter jedem Multiplikationsoperator invariant ist, bereitet es keine Probleme, die Abbildung M̃: 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) → 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) durch

M̃[â] := [Mâ]

zu definieren.

7.5 Proposition: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator mit supp(j) = {λ} für ein λ ∈ Γ. Auf 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) existiert dann einzig die multiplikative Linearform ϕ : [â] ↦

â(λ). Es ist σ \binom{}{M} = \{λ\}.

⊳ Beweis : Der erste Teil der Aussage ist b) in Proposition 5.1. Bezeichnen wir mit ê die Funktion ξ ↦ ξ, so ist M̃[â] = [êâ]. Nach Aussage 2.4 ist für ein μ ∈ ℂ das Element μ − [ê] ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) genau dann invertierbar, wenn ϕ(μ − [ê]) = μ − ê(λ) = μ − λ ≠ 0 ist. Das ist die Aussage bzgl. des Spektrums. ⊲

7.6 Korollar: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator mit supp(j) = {λ} für

ein λ ∈ Γ. Dann ist

(𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j))M̃ ({λ}) = 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j)

⊳ Beweis : ”⊂“: Diese Inklusion ist in der Definiton von (𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j))M̃ ({λ}) enthalten (vgl. mit dem Anfang dieses Paragraphen). ”⊃“: R(·, M̃) ist auf ρ(M̃) = ℂ\σ(M̃) = ℂ\{λ} analytisch. Für [â] ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) definiere man f : ℂ\{λ} → 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) durch f(z) := R(z, M̃)[â]. Dann ist f analytisch mit (z−M̃)f(z) = [â].

⊲

7.7 Proposition: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator mit supp(j) = {λ} für ein λ ∈ Γ. Dann ist die Abbildung

\begin{aligned}j̃: & 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) & → & X′ \\ & [â] & ↦ & j̃([â]) := j(â) \end{aligned}

wohldefiniert mit j̃(M̃[â]) = T′j̃([â]) für alle â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) und Bild j̃⊂ X′_{T′}({λ}).

§8. Existenz diskreter Intertwining-Operatoren 47

⊳ Beweis : Der erste Teil der Proposition ist wegen I(j) ⊂ ker j klar, und die Aussage bezüglich der ”Vertauschung“ von M̃ und T′ rechnet man leicht nach. Sei [â] ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) beliebig. Nach Korollar 7.6 existiert eine analytische Funktion f : ℂ\{λ} → 𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j) mit (z − M̃)f(z) = [â]. Anwenden von j̃ ergibt:

j̃((z − M̃)f(z)) = (z − T′)j̃(f(z)).

Für g : ℂ\{λ} → X′, g(z) := j̃(f(z)), ist g analytisch mit (z − T′)g(z) = j̃([â]). Es folgt: j̃([â]) ∈ X′_{T′}({λ}). Das ist die Behauptung. ⊲

7.8 Korollar: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator. Ist λ ∈ Γ mit X′_{T′}({λ}) = {0}, so ist supp(j) ≠ {λ}.

⊳ Beweis : Wäre supp(j) = {λ}, so würde nach Proposition 7.7 die dort definierten Abbildung j̃ wegen Bild j̃⊂ X′_{T′}({λ}) = {0} identisch verschwinden. Dann verschwindet aber auch j, was aufgrund von Proposition 6.3 nicht sein kann. ⊲

Der entscheidende Satz läßt sich nun folgendermaßen formulieren:

7.9 Satz: Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein diskreter Intertwining-Operator für die diskrete Operatorhalbgruppe T . Für den Erzeuger T dieser Halbgruppe sei σ(T)∩Γ abzählbar und X′_{T′}({λ}) = {0} für alle λ ∈ σ(T) ∩ Γ. Dann ist j ≡ 0.

⊳ Beweis : Wäre j ≢ 0, so ergäbe sich nach Proposition 6.3 supp(j) ≠ ∅. Da σ(T)∩Γ abzählbar und abgeschlossen ist, und da supp(j) nach Satz 7.4 eine Teilmenge hiervon ist, enthielte supp(j) einen isolierten Punkt μ ∈ Γ. Sei U ein offene Umgebung dieses μ mit U ∩ supp(j) = {μ} und â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) eine Funktion mit â(μ) ≠ 0 und supp â ⊂ U (wir erinnern: 𝔉_{ϱ}(Γ) ist regulär). Wir könnten nach Proposition 6.4 und Proposition 6.6 einen nicht-verschwindenden, diskreten Intertwining-Operator j̃: 𝔉_{ϱ}(Γ) → 𝔉_{ϱ}(Γ) definieren durch j̃:= j ∘ Mâ mit – Proposition 6.7 – supp(j̃) ⊂ supp(â) ∩ supp(j) = {μ}. Wegen j̃ ≢ 0 wäre supp(j̃) = {μ}. Mit Korollar 7.8 kann dies aber aufgrund von X′_{T′}({μ}) = {0} nicht sein. Unsere Annahme muß von daher falsch sein, und j tatsächlich identisch verschwinden. ⊲

Im nächsten Paragraphen wenden wir uns der Frage zu, unter welchen Voraussetzungen man die Existenz eines nicht-trivialen, diskreten Intertwining-Operators für eine diskrete Operatorhalbgruppe garantieren kann.

§8

Existenz diskreter Intertwining-Operatoren

A. Vorbereitung

Wir geben in diesem Paragraphen eine Bedingung an, unter der man die Existenz eines diskreten Intertwining-Operators zeigen kann. Bevor wir dies jedoch in Angriff nehmen können, müssen wir uns mit der nicht-trivialen Konstruktion dieses Intertwining-Operators auseinandersetzen.

Wir erinnern, daß X ein beliebiger Banachraum ist, X′ dessen topologischer Dual, und daß wir mit T′ den zu T ∈ L(X) gehörenden adjungierten Operator bezeichnen.

Es sei η eine beliebige, reellwertige Folge über ℕ mit η_{n} ≥ 1 für alle n ∈ ℕ. Wir betrachten den linearen Raum

ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′) := \{α = (α_{n})_{n∈ℕ} ⊂ X′ : (\frac{∥α_{n}∥}{η_{n}})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{∞}(ℕ, ℂ)\}

und versehen ihn mit der Norm ∥α∥_{∞,η} = sup_{n∈ℕ} \frac{∥α_{n}∥}{η_{n}}, α ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′).

Sei

c_{η}(ℕ, X′) := \{α ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′) : lim_{n→∞} \frac{α_{n}(x)}{η_{n}} existiert für alle x ∈ X\} .

Offensichtlich ist c_{η}(ℕ, X′) ein linearer Teilraum von ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′). Die Abbildung

lim : c_{η}(ℕ, X′) → X′, lim(α)x = lim_{n→∞} \frac{α_{n}(x)}{η_{n}},

ist wohldefiniert, denn die Linearität von lim(α) ist klar, und die Stetigkeit folgt aus

∥ lim(α)∥ = sup_{∥x∥=1} | lim_{n→∞} \frac{α_{n}(x)}{η_{n}} | ≤ ∥α∥_{∞,η}.

Als Abbildung ist lim selber stetig linear mit ∥ lim ∥ ≤ 1.

Wir werden nun zeigen, daß es eine Fortsetzung Lim von lim auf ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′) gibt, die die folgende Eigenschaft hat: Lim hat höchstens Norm 1 und für alle α ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′) und alle x ∈ X,

für die lim_{n→∞} \frac{α_{n}(x)}{η_{n}} existiert, ist Lim (α)x = lim_{n→∞} \frac{α_{n}(x)}{η_{n}}. Es ist klar, daß ein solches Lim die Linearform lim fortsetzt. Es genügt jedoch nicht, Lim vermöge Hahn-Banach zu konstruieren.

Zum Zwecke der Definition von Lim betrachten wir die Räume

ℓ_{η}^{∞}(ℕ) = \{z = (z_{n})_{n∈ℕ} ⊂ ℂ : (\frac{z_{n}}{η_{n}} )_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{∞}(ℕ, ℂ)\} ,
c_{η}(ℕ) = \{z ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ) : lim_{n→∞} \frac{z_{n}}{η_{n}} existiert\}

und versehen sie mit der Norm ∥z∥_{∞,η} = sup_{n∈ℕ} \frac{|z_{n}|}{η_{n}}, z ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ).

Es ist klar, daß c_{η}(ℕ) ein linearer Teilraum von ℓ_{η}^{∞}(ℕ) ist. Die Abbildung

ℓ : c_{η}(ℕ) → ℂ, z ↦ lim_{n→∞} \frac{z_{n}}{η_{n}}

ist offenbar linear und stetig mit ∥ℓ∥ ≤ 1. Aufgrund des Satzes von Hahn-Banach läßt sich ℓ normerhaltend auf ℓ_{η}^{∞}(ℕ) fortsetzen. Man erhält eine Linearform L : ℓ_{η}^{∞}(ℕ) → ℂ mit ∥L ∥ ≤ 1 und L |_{c_{η}(ℕ)} = ℓ.

Die gesuchte Abbildung Lim : ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′) → ℂ definieren wir so: für α ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′) und x ∈ X ist

Lim (α)x := L (α_{n}(x))_{n∈ℕ}.  (20)

Wegen \frac{|α_{n}(x)|}{η_{n}} ≤ ∥x∥\frac{∥α_{n}∥}{η_{n}} für alle n ∈ ℕ und damit (α_{n}(x))_{n∈ℕ} ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ), ist L (α_{n}(x))_{n∈ℕ}

ein wohlbestimmter Ausdruck. Die Linearität von Lim (α) folgt aus der Linearität von L. Man rechnet leicht ∥Lim (α)∥ ≤ ∥α∥_{∞,η} nach. Schließlich ist Lim selber stetig linear mit ∥Lim ∥ ≤ 1, wie gewünscht. Mit diesen Ausführungen ist dargelegt, daß die nachfolgend definierte Menge nicht leer ist.

�_{η}

:= {Lim : ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′) → X′ stetig linear mit Lim ist gemäß (20) definiert mit einer (normerhaltenden) Fortsetzung L : ℓ_{η}^{∞}(ℕ) → ℂ von ℓ.}

Für einen beliebigen Operator T ∈ L(X), Lim ∈ �_{η}, α ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′) und x ∈ X gilt

Lim (T′α)(x) = L((T′α_{n})x)_{n∈ℕ} = Lim (α)(T x) = (T′Lim (α))(x),

also Lim (T′α) = T′Lim (α).

B. Konstruktion eines diskreten Intertwining-Operators

Wir haben bereits angedeutet, daß nicht für jede diskrete Operatorhalbgruppe ein nichttrivialer, diskreter Intertwining-Operator existieren muß, schon gar nicht für jedes beliebige Beurling-Domar-Gewicht ϱ auf ℤ. Tatsächlich werden wir die Existenz eines Intertwining-Operators in irgendeiner Form mit diesem Gewicht ϱ in Verbindung bringen müssen. Dies geschieht unter der Annahme, daß für den Erzeuger T einer diskreten Operatorhalbgruppe T die Beziehung

∥T^{n}∥ = O(ϱ_{n}) für n → ∞

gelte^{4}. Wir werden im folgenden zeigen, daß unter einer solchen Bedingung ein Intertwining-Operator konstruiert werden kann, von dem man dann unter weiteren Voraussetzungen beweisen kann, daß er nicht identisch verschwindet.

Bei den nun folgenden Ausführungen denken wir uns ein Beurling-Domar-Gewicht ϱ auf ℤ sowie eine Operatorhalbgruppe T mit Erzeuger T ∈ L(X) und ∥T^{n}∥ = O(ϱ_{n}) für n → ∞ gegeben.

Die Abbildung

Φ : 𝔉_{ϱ}(Γ) → L(X′),  â ↦ ∑_{i∈ℕ_{0}} a_{i}T′^{i}

ist unter den gemachten Voraussetzungen wohldefiniert, denn es ist ∥T′^{i}∥ = ∥T^{i}∥; deshalb haben wir

∑_{i∈ℕ_{0}} ∥a_{i}T′^{i}∥ ≤ ∑_{i∈ℕ_{0}} |a_{i}|Kϱ_{i} < +∞.

Die Linearität von Φ ist klar, und die Stetigkeit ist eine Folge von

∥Φ(â)∥ ≤ K∥â∥_{ϱ}.

Für k ∈ ℤ führen wir eine weitere Abbildung ein. Es handelt sich um

\begin{aligned}P_{k} = M^{k} : & 𝔉_{ϱ}(Γ) & → & 𝔉_{ϱ}(Γ) \\ & â & ↦ & â_{·−k}. \end{aligned}

4D.h. es existiert eine Konstante K > 0 und ein n_{0} ∈ ℕ, so daß ∥T^{n}∥ ≤ Kϱ_{n} gilt für alle n ≥ n_{0}. Wegen ϱ_{n} ≥ 1 für alle n ∈ ℕ können wir ohne Einschränkung ein K > 0 annehmen mit ∥T^{n}∥ ≤ Kϱ_{n} für alle n ∈ ℕ.

P_{k} ist eine beschränkte lineare Abbildung mit ∥P_{k}∥ ≤ ϱ_{k}. Letzteres zeigt die einfache Rechnung

∥P_{k}(â)∥ = ∑_{i∈ℤ}|a_{i−k}|ϱ_{i} ≤ ∑_{i∈ℤ}|a_{i−k}|ϱ_{i−k}ϱ_{k} ≤ ϱ_{k}∥â∥_{ϱ}.

Wir stellen einen Zusammenhang zwischen M und T′ vermöge der Abbildungen Φ und P_{k} her (k ∈ ℤ). Sei hierzu â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) beliebig. Es ist

(ΦP_{k})(Mâ) = Φ(P_{k}(â_{·−1})) = Φ({ \atop a_{·−k−1}}) = ∑_{i∈ℕ_{0}} a_{i−k−1}T′^{i} und

T′(ΦP_{k})(â) = T′Φ(â_{·−k}) = T′ ∑_{i∈ℕ_{0}} a_{i−k}T′^{i} = ∑_{i∈ℕ_{0}} a_{i−k}T′^{i+1} = ∑_{i∈ℕ}a_{i−k−1}T′^{i}.

Diese beiden Formel zusammen ergeben

(ΦP_{k})(Mâ) = T′(ΦP_{k})(â) + a_{−k−1},  (21)

was unseren gewünschten Zusammenhang darstellt.

Als technische Hilfsmittel definieren wir die nachfolgenden Mengen:

⟨ℕ⟩ := {(n_{k})_{k∈ℕ} ∈ ℕ^{ℕ} : n_{k+1} > n_{k} für alle k ∈ ℕ}, Menge der streng monoton wachsenden Folgen natürlicher Zahlen,

⟨x⟩ := {α ∈ X^{′ℕ} : α_{k}(T^{k}x) = ∥T^{k}x∥ mit ∥α_{k}∥ = 1 falls T^{k}x ≠ 0, α_{k} = 0 falls

T^{k}x = 0}, x ∈ X,

Λ := {(x, (n_{k})_{k∈ℕ}, α, l) ∈ X × ⟨ℕ⟩ × X^{′ℕ} × ℂ^{(X^{′ℕ})} : α ∈ ⟨x⟩, l ∈ �_{η}, wobei

η ∈ ℝ^{ℕ} durch die Folge (n_{k})_{k∈ℕ} vermöge η_{k} := ϱ_{n_{k}}, k ∈ ℕ, festgelegt
ist.}

Da X, T und ϱ teil unserer Voraussetzungen sind, sollen diese Bezeichner nicht in die Notationen mit aufgenommen werden. Aufgrund des Satzes von Hahn-Banach ist die Menge ⟨x⟩ nicht leer.

Bevor wir fortfahren, wollen wir die Elemente von Λ, die 4-Tupel (x, (n_{k})_{k∈ℕ}, α, l), interpretieren. Frei ist man zunächst in der Wahl von x ∈ X und (n_{k})_{k∈ℕ} als Folge streng monoton wachsender, natürlicher Zahlen. α ∈ X^{′ℕ} wird durch x und T gemäß der Definition von ⟨x⟩ eingeschränkt; α ist nicht eindeutig bestimmt. Schließlich hängt l von (n_{k})_{k∈ℕ} und ϱ ab und ist von der Form l = Lim im Sinne der Ausführen im Abschnitt A.

Mit diesen Vorbereitungen können wir formal einen Intertwining-Operatoren konstruieren, der zwar noch trivial sein mag, aus dem heraus wir aber schon bald auch einen nicht-trivialen herleiten können. Wir betrachten hierzu ein â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) und ein 4-Tupel (x, (n_{k})_{k∈ℕ}, α, Lim ) ∈ Λ und setzen η = (η_{k})_{k∈ℕ} mit η_{k} = ϱ_{n_{k}}, k ∈ ℕ. Es gilt mit den Komponenten dieses Tupels für alle k ∈ ℕ

∥(ΦP_{n_{k}}(â))α_{n_{k}}∥ ≤ ∥ΦP_{n_{k}}(â)∥ ∥α_{n_{k}}∥ ≤ ∥Φ∥ ∥P_{n_{k}}(â)∥ ∥α_{n_{k}}∥
≤ ∥Φ∥ϱ_{n_{k}}∥â∥_{ϱ}∥α_{n_{k}}∥

und damit

\frac{∥(ΦP_{n_{k}}(â))α_{n_{k}}∥}{ϱ_{n_{k}}} ≤ ∥Φ∥ \underbrace{∥α_{n_{k}}∥}_{=0 oder =1} ∥â∥_{ϱ} ≤ ∥Φ∥ ∥â∥_{ϱ}.  (22)

Da also

((ΦP_{n_{k}}(â))α_{n_{k}})_{k∈ℕ} ∈ ℓ_{η}^{∞}(ℕ, X′)

ist, ist die nachfolgende Abbildung für (x, (n_{k})_{k∈ℕ}, α, Lim ) ∈ Λ wohldefiniert:

j(x, (n_{k})_{k∈ℕ}, α, Lim ) : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′,  â ↦ Lim (((ΦP_{n_{k}}(â))α_{n_{k}})_{k∈ℕ}).  (23)

Wir schicken dem Nachweis, daß j(λ) für λ ∈ Λ ein diskreter Intertwining-Operator ist, die Bemerkung voraus, daß selbst die Mächtigkeit der Menge Λ nicht garantiert, daß einer der j(λ) nicht verschwindet. Tatsächlich besteht die entscheidende Aufgabe darin, unter geeigneten Voraussetzungen ein passendes x_{0} ∈ X und (n_{k})_{k∈ℕ} ∈ ⟨ℕ⟩ zu finden, auf daß für ein (x_{0}, (n_{k})_{k∈ℕ}, ...) ∈ Λ der Operator j(x_{0}, (n_{k})_{k∈ℕ}, ...) von 0 verschieden ist.

8.1 Satz: Sei T eine diskrete Operatorhalbgruppe mit Erzeuger T und sei ϱ ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℤ. Für T gelte ∥T^{n}∥ = O(ϱ_{n}) für n → ∞. Dann ist für jedes (x, (n_{k})_{k∈ℕ}, α, Lim ) ∈ Λ der gemäß (23) definierte Operator j = j(x, (n_{k})_{k∈ℕ}, α, Lim ) : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ eine beschränkte lineare Abbildung mit

j ∘ M = T′ ∘ j.  (24)

⊳ Beweis : Die Linearität von j ist klar. Aus (22) und der Definition von j folgt, daß j stetig ist mit ∥j∥ ≤ ∥Φ∥. Es bleibt nur noch (24) nachzuweisen. Wir bemerken zuerst, daß wegen

∑_{i∈ℤ}|a_{i}|ϱ_{i} < +∞ gilt: a_{−k−1} → 0 für k → ∞, und daß damit auch \frac{|a_{−n_{k}−1}|}{ϱ_{n_{k}}}∥α_{n_{k}}∥ → 0 für

k → ∞ (ϱ_{n_{k}} ≥ 1, ∥α_{n_{k}}∥ ≤ 1). Da Lim als Fortsetzung von lim : c_{η}(ℕ, X′) → ℂ definiert ist, ergibt sich also

Lim ((a_{−n_{k}−1}α_{n_{k}})_{k∈ℕ}) = 0.

Hiermit erhält man den gewünschten Zusammenhang (24):

j(Mâ) = Lim (((ΦP_{n_{k}}(Mâ))α_{n_{k}})_{k∈ℕ})
=^{(21)} Lim ((T′(ΦP_{n_{k}}(â))α_{n_{k}})_{k∈ℕ} + (a_{−n_{k}−1}α_{n_{k}})_{k∈ℕ})
= T′Lim (((ΦP_{n_{k}}(â))α_{n_{k}})_{k∈ℕ})
= T′j(â)
⊲

C. Ein Existenzsatz für diskrete Intertwining-Operatoren

8.2 Satz: Sei T eine diskrete Operatorhalbgruppe mit Erzeuger T ∈ L(X) und sei ϱ ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℤ. Für T gelte ∥T^{n}∥ = O(ϱ_{n}) für n → ∞ und (\frac{T^{n}}{ϱ_{n}} )_{n∈ℕ} konvergiere in der starken Operatortopologie \underline{nicht} gegen 0. Dann existiert ein nicht-trivialer Intertwining-Operator j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ für T und ϱ.

⊳ Beweis : Wenn (\frac{T^{n}}{ϱ_{n}} )_{n∈ℕ} in der starken Operatortopologie nicht gegen 0 konvergiert, existieren x_{0} ∈ X, ε > 0 und eine monoton wachsende Folge (m_{k})_{k∈ℕ} natürlicher Zahlen mit

\frac{∥T^{m_{k}}x_{0}∥}{ϱ_{m_{k}}} ≥ ε.

Da \frac{∥T^{m_{k}}x_{0}∥}{ϱ_{m_{k}}} ≤ \frac{∥T^{m_{k}}∥ ∥x_{0}∥}{ϱ_{m_{k}}} ≤ \frac{Kϱ_{m_{k}}∥x_{0}∥}{ϱ_{m_{k}}} ≤ K∥x_{0}∥ für alle k mit einer geeigneten Konstante

K > 0 gilt, existiert wegen

ε ≤ \frac{∥T^{m_{k}}x_{0}∥}{ϱ_{m_{k}}} ≤ K∥x_{0}∥

eine Teilfolge (n_{i})_{i∈ℕ} von (m_{k})_{k∈ℕ}, für die \frac{∥T^{n_{i}}x_{0}∥}{ϱ_{n_{i}}} für i → ∞ konvergiert mit

lim_{i→∞} \frac{∥T^{n_{i}}x_{0}∥}{ϱ_{n_{i}}} ≥ ε.

Einen Intertwining-Operator j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ können wir nun gemäß Abschnitt B erklären durch j = j(x_{0}, (n_{i})_{i∈ℕ}, α, Lim ) (Proposition 8.1). Wir müssen nur noch zeigen, daß j nicht verschwindet. Dies folgt aus

j(1)x_{0} = Lim (((ΦP_{n_{k}}(1))α_{n_{k}})_{k∈ℕ})x_{0} = Lim ((T′^{n_{k}}α_{n_{k}})_{k∈ℕ})x_{0} = lim_{k→∞} \frac{∥T^{n_{k}}x_{0}∥}{ϱ_{n_{k}}}
≥ ε.
⊲

§9

Asymptotisches Verhalten diskreter Operatorhalbgruppen

9.1 Satz: Sei T eine diskrete Operatorhalbgruppe mit Erzeuger T ∈ L(X) und sei ϱ ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℤ. Für T gelte ∥T^{n}∥ = O(ϱ_{n}) für n → ∞. Sei σ(T) ∩ Γ

abzählbar und für alle λ ∈ σ(T) ∩ Γ gelte X′_{T′}(\{λ\}) = \{0\}. Dann konvergiert (\frac{T^{n}}{ϱ_{n}} )_{n∈ℕ} in

der starken Operatortopologie gegen 0.

⊳ Beweis : Würde (\frac{T^{n}}{ϱ_{n}} )_{n∈ℕ} nicht in der starken Operatortopologie gegen 0 konvergieren,

so existierte nach Satz 8.2 ein nicht-trivialer Intertwining-Operator j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′, was mit den gemachten Voraussetzungen nach Satz 7.9 nicht möglich ist. ⊲

Wir führen die Anwendung von Satz 9.1 an einem einfachen Beispiel vor.

9.2 Beispiel: Sei X = X′ = ℂ und T = T′ : ℂ → ℂ, T x = ax für ein a ∈ ℂ und alle x ∈ ℂ. T erzeugt eine diskrete Operatorhalbgruppe T mit T (n)x = a^{n}x für alle n ∈ ℕ und x ∈ ℂ. Da wir uns in endlicher Dimension befinden, ist σ(T) ∩ Γ endlich, insbesondere also abzählbar. Damit ∥T^{n}∥ = O(ϱ_{n}) für n → ∞ für ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℤ gewährleistet ist, muß |a| ≤ 1 gefordert werden; in diesem Fall kann ϱ ≡ 1 genommen werden.

§9. Asymptotisches Verhalten diskreter Operatorhalbgruppen 53

Ist |a| < 1 und λ ∈ Γ beliebig, so ist

ℂ_{T′}({λ}) = {x ∈ ℂ : es existiert f : ℂ\{λ} → ℂ : (z − a)f(z) = x für alle z ∈ ℂ\{λ}}.

Für z = a ≠ λ ergibt sich 0 = (z − z)f(z) = x für alle x ∈ ℂ_{T′}({λ}), d.h. ℂ_{T′}({λ}) = {0}. Wie erwartet konvergiert (T^{n})_{n∈ℕ} nach Satz 9.1 in der starken Operatortopologie gegen 0.

Für |a| = 1 und λ = a ∈ Γ ergibt sich ℂ_{T′}({a}) = ℂ und Satz 9.1 macht keine Aussage über das Konvergenzverhalten von (T^{n})_{n∈ℕ} in der starken Operatortopologie. Man sieht allerdings leicht, daß (T^{n})_{n∈ℕ} in der starken Operatortopologie nicht gegen 0 konvergiert.

Unseres Wissens nach ist Satz 9.1 über das asymptotische Verhalten diskreter Operatorhalbgruppen neu, die Idee jedoch, dieses Verhalten aus Eigenschaften des Spektrums abzuleiten, nicht. Arendt und Batty sowie Lyubich und Phong haben unabhängig voneinander einen ähnlichen Satz formuliert:

9.3 Satz: (Arendt, Batty [1], Lyubich, Phong [20])

Sei T ein potenzbeschränkter linearer Operator auf dem Banachraum X, und sei σ(T) ∩ Γ abzählbar sowie σ_{p}(T′) ∩ Γ leer. Dann konvergiert (T^{n})_{n∈ℕ} in der starken Operatortopologie für n → ∞ gegen 0.

Die Potenzbeschränktheit des Operators T, ∥T^{n}∥ ≤ C für alle n ∈ ℕ und eine Konstante C > 0, wird dabei von den Voraussetzungen unseres Satzes 9.1 erfaßt (ϱ ≡ C). Der Unterschied liegt in der Voraussetzung σ_{p}(T′) ∩ Γ = ∅, die wir ersetzt haben durch X′_{T′}({λ}) = {0} für λ ∈ σ(T)∩Γ. Letztere Bedingung ist etwas stärker, erlaubt aber mehr als nur potenzbeschränkte Opertoren zuzulassen.

Eine Verallgemeinerung von Satz 9.3 wurde von Phong formuliert:

9.4 Satz: (Phong [19])

Sei T ein beschränkter linearer Operator auf dem Banachraum X. Für ein k ∈ ℕ gelte ∥T^{n}∥ ≤ ϱ_{n} für eine Gewichtsfunktion ϱ auf ℕ mit ϱ̃_{n} := lim sup_{m→∞} \frac{ϱ_{n+m}}{ϱ_{m}} = O(n^{k}) für n →

∞. Ist dann σ(T) ∩ Γ abzählbar und σ_{p}(T′) ∩ Γ leer, dann konvergiert \frac{T^{n}}{ϱ_{n}} in der starken Operatortopologie für n → ∞ gegen 0.

Der Unterschied zu unserem Ergebnis liegt im zugelassenen Gewicht. Satz 9.4 enthält den Spezialfall eines höchstens polynomiell wachsenden Gewichts: Ist ϱ_{n} = O(n^{k}) für n → ∞, k ≥ 0, so ist ϱ̃_{n} = O(1) für n → ∞, und es läßt sich folgendes Korollar formulieren:

9.5 Korollar: Ist T ein beschränkter linearer Operator auf dem Banachraum X mit ∥T^{n}∥ ≤ ϱ_{n} für alle n ∈ ℕ, ϱ ein Gewicht auf ℕ mit ϱ_{n} = O(n^{k}), k ≥ 0, σ(T)∩Γ abzählbar und σ_{p}(T′)∩Γ leer, so konvergiert \frac{T^{n}}{ϱ_{n}} in der starken Operatortopologie für n → ∞ gegen 0.

In dieser Form wird die Ähnlichkeit zu Satz 9.1 deutlich: wir lassen ein allgemeineres Gewicht zu, müssen dafür aber ”mehr“ als σ_{p}(T′) ∩ Γ = ∅ fordern, um dasselbe Ergebnis zu erlangen.

Ein weiterer Unterschied zwischen Satz 9.1 und Satz 9.4 besteht in der Beweismethode dieser beiden Aussagen. Während wir die Operatorhalbgruppe vermöge Intertwining-Operatoren mit Beurling-Algebren in Verbindung bringen, hängt der Beweis von Phong an einem Lemma, in dem ein Banachraum E, ein stetiger Homomorphismus π : X → E mit dichtem Bild und eine neue Operatorhalbgruppe V : [0, +∞) → L(E) konstruiert werden, die gewissen Bedingungen genügen. Details findet man in der bereits zitierten Arbeit von Phong.

Die oben benutzte Idee, Intertwining-Operatoren mit Hilfe von verallgemeinerten Limiten zu definieren, wurde in einer Arbeit von Eschmeier[10] benutzt, um invariante Teilräume für geeignete Systeme vertauschender Operatoren auf Hilberträumen zu konstruieren.

Zum Abschluß dieses Paragraphen zeigen wir noch, wie man Korollar 9.5 aus dem Resultat von Phong auch mit unserer Beweismethode gewinnen kann. Hierzu definieren wir die Abbildung

Φ : 𝔉_{ϱ}(Γ) → L(𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j)),  â ↦ ∑_{n∈ℤ}a_{n}M̃^{n},

wobei M̃ die in §7 auf Seite 46 definierte Abbildung ist^{5}. Wegen ∥M̃^{n}∥ ≤ ∥M^{n}∥ ≤ ϱ_{n} für alle n ∈ ℤ zeigt man wie in §8, Abschnitt B, daß Φ wohldefiniert und stetig linear ist mit Φ(1_{Γ}) = id_{𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j)} und Φ(ê) = M̃, falls 1_{Γ} die konstante Funktion mit dem Wert 1 und ê: Γ → ℂ die Identität auf Γ bezeichnen. Φ ist sogar ein Algebrenhomomorphismus: Für alle â, b̂ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) gilt

Φ(âb̂) = Φ(â ∗ b) = ∑_{n∈ℤ} ∑_{k∈ℤ}a_{n−k}b_{k}M̃^{n}
= ∑_{k∈ℤ}b_{k}M̃^{k} ∑_{n∈ℤ}a_{n−k}M̃^{n−k} = Φ(â)Φ(b̂).

9.6 Ist k ∈ ℕ und ϱ ein Gewicht vom Typ 𝔅𝔇 auf ℤ mit ϱ_{n} = O(|n|^{k}) für |n| → ∞, so ist C^{∞}(Γ) ⊂ 𝔉_{ϱ}(Γ), wie wir nun zeigen werden.

Sei hierzu f ∈ C^{∞}(Γ), d.h. f(e^{i·}) ∈ C^{∞}(ℝ) eine 2π-periodische Funktion, und seien g : ℝ → ℂ, g(t) := f(e^{it}) und a_{n} := \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g(t)e^{−int} dt für alle n ∈ ℤ. Dann lassen sich die a_{n} für n ∈ ℤ\{0} wie folgt abschätzen:

|a_{n}| = |\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g(t)e^{−int} dt| = |\frac{1}{2πn} ∫_{−π}^{π} g′(t)e^{−int} dt|
= ... = |\frac{1}{2πn^{k+2}} ∫_{−π}^{π} g^{(k+2)}(t)e^{−int} dt| ≤ \frac{1}{2π} \frac{1}{|n|^{k+2}} max_{t∈[−π,π]} |g^{(k+2)}(t)| .

Daraus ergibt sich mit einer geeigneten Konstanten K > 0 die Ungleichungskette

∑_{n∈ℤ}|a_{n}|ϱ_{n} ≤ \frac{1}{2π} max_{t∈[−π,π]} |g^{(k+2)}(t)| K ∑_{n∈ℤ\\{0\}} \frac{1}{|n|^{k+2}} |n|^{k} + |a_{0}|ϱ_{0} < +∞.  (25)

Da also a ∈ ℓ_{ϱ}^{1}(ℤ) und f(e^{it}) = ∑_{n∈ℤ} a_{n}e^{int} ist, folgt f ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ).

5Ist M der Multiplikationsoperator mit der Identität auf 𝔉_{ϱ}(Γ), so ist M^{−1} der Multiplikationsoperator mit der konjugierten Identität auf 𝔉_{ϱ}(Γ). Für alle â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) ist dann M̃^{−1}[â] = [M^{−1}â].

Versehen wir C^{∞}(ℂ) und C^{∞}(Γ) mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenfolgen und ihrer Ableitungen auf Kompakta in ℂ bzw. Γ, so sind die Abbildungen r : C^{∞}(ℂ) → C^{∞}(Γ), f ↦ f|_{Γ} und i : C^{∞}(Γ) → 𝔉_{ϱ}(Γ), â ↦ â stetig linear. Für die erste der beiden Abbildungen ist das klar, und für die zweitgenannte folgt dies für â ∈ C^{∞}(Γ) mit â ≢ 0, ein geeignetes n_{0} ∈ ℕ mit ∑_{n∈ℤ}|a_{n}|ϱ_{n} ≤ ∑_{|n|≤n_{0}} |a_{n}|ϱ_{n} + 1 und geeigneten Konstanten K, K′ > 0 aus

∑_{n∈ℤ}|a_{n}|ϱ_{n} ≤ \frac{K}{2π} ( ∑_{0<|n|≤n_{0}} \frac{1}{|n|^{2}} ) max_{t∈[−π,π]} |φ(â)^{(k+2)}(t)| + |a_{0}|ϱ_{0} + 1
≤ K′ max_{t∈[−π,π]} |φ(â)^{(n)}(t)| ,

wobei K′ ≥ \frac{K}{2π} ( ∑_{0<|n|≤n_{0}} \frac{1}{|n|^{2}} ) + d ist mit d · max_{t∈[−π,π]} |φ(â)^{(k+2)}(t)| ≥ 1 + |a_{0}|ϱ_{0}. (Man vergleiche

mit (25).)

Aus diesen Überlegungen folgt, daß die Abbildung

Ψ : C^{∞}(ℂ) → L(𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j)), Ψ = Φ ∘ i ∘ r

ein stetiger Algebrenhomomorphismus ist mit Ψ(1_{ℂ}) = id_{𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j)} und Ψ(id_{ℂ}) = M̃, wobei 1_{ℂ} die Konstante Funktion mit dem Wert 1 und id_{ℂ} die Identität auf ℂ ist.

Für λ ∈ Γ betrachten wir die Abbildung

Ψ_{λ} : C^{∞}(ℂ) → L(𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j)), f ↦ Ψ(f ∘ (1_{ℂ} − id_{ℂ})).

Offensichtlich ist Ψ_{λ} ein stetiger Algebrenhomomorphismus mit Ψ_{λ}(1_{ℂ}) = id_{𝔉_{ϱ}(Γ)/I(j)} und Ψ_{λ}(id_{ℂ}) = λ − M̃. Wir haben es bei dem Operator λ − M̃ (λ ∈ Γ) also vermöge Ψ_{λ} mit einem verallgemeinerten skalaren Operator im Sinne von Colojoara-Foias[5] zu tun. Wir zitieren:

9.7 Ist Q ein quasinilpotenter^{6} Operator, der zudem noch verallgemeinert skalar ist, so ist Q nilpotent. (Colojoara-Foias[5], Lemma 4.3.5).

9.8 Satz: Sei k ∈ ℕ und ϱ ein Gewicht vom Typ 𝔅𝔇 auf ℤ mit ϱ_{n} = O(|n|^{k}) für |n| → ∞. Sei j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′ ein nicht-trivialer, diskreter Intertwining-Operator für die diskrete Operatorhalbgruppe T . Für den Erzeuger T dieser Halbgruppe sei σ(T) ∩ Γ abzählbar. Dann ist σ_{p}(T) ∩ Γ ≠ ∅.

⊳ Beweis : Wir haben im Beweis von Satz 7.9 aus j einen nicht-trivialen Intertwining-Operator j̃ konstruiert mit supp j̃ = {λ}, wobei λ ∈ σ(T) ∩ Γ ein isolierter Punkt in σ(T) ∩ Γ ist. Nach Proposition 7.5 ist für M̃ das Spektrum gegeben durch σ \binom{}{M} = \{λ\}. Dann ist aber λ−M̃ quasinilpotent. Da λ−M̃ nach unseren Vorüberlegungen verallgemeinert skalar ist, folgt aus Aussage 9.7, daß λ − M̃ nilpotent ist; es existiert also ein m ∈ ℕ mit (λ − M̃)^{m} ≡ 0. Für die in Proposition 7.7 definierte Abbildung j̃ ergibt sich somit

0 = j̃((λ − M̃)^{m}[â]) = (λ − T′)^{m}j̃([â]) = (λ − T′)^{m}j(â)

für alle â ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ). Da j ≢ 0 ist, muß daher λ ∈ σ_{p}(T′) ∩ Γ sein. ⊲ ⊳ Beweis von Korollar 9.5: Würde (\frac{T^{n}}{ϱ_{n}} )_{n∈ℕ} nicht in der starken Operatortopologie gegen

6Ein Operator Q heißt quasinilpotent, falls σ(Q) = {0} ist, und nilpotent, falls ein n ∈ ℕ existiert mit Q^{n} ≡ 0.

0 konvergieren, so existierte nach Satz 8.2 ein nicht-trivialer Intertwining-Operator j : 𝔉_{ϱ}(Γ) → X′, was mit den gemachten Voraussetzungen nach Satz 9.8 nicht möglich ist. ⊲

Anmerkung: Man beachte, daß der Beweis von Korollar 9.5 bis auf das Zitat von Satz 9.8 anstelle von Satz 7.9 mit dem Beweis von Satz 9.1 übereinstimmt.

Kapitel III

Stark-stetige Operatorhalbgruppen

Zum Inhalt dieses Kapitels

Wir wollen in Kaptel IV das asymptotische Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen untersuchen. Um eine möglichst vollständige Darstellung der Ergebnisse zu erhalten, beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit den grundlegenden Eigenschaften solcher Halbgruppen; wir führen sie in §11 ein. Da man ohne unbeschränkte Operatoren und vektorwertige Integration die Theorie stark-stetiger Operatorhalbgruppen nicht zufriedenstellend darstellen kann, haben wir in §10 diesbezüglich die wichtigsten Ergebnisse zusammengetragen. In §12 schließlich besprechen wir Beispiele, die im nächsten Kapitel von Bedeutung sein werden. Insbesondere findet man ein wichtiges Beispiel einer stark-stetigen Operatorgruppe.

§10 Unbeschränkte Operatoren und vektorwertige Integration über ℝ . . . . . . . . . 57

§11 Stark-stetige Operatorhalbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§12 Beispiele stark-stetiger Operator(halb)gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

§10

Unbeschränkte Operatoren und vektorwertige Integration über ℝ

A. Unbeschränkte Operatoren

Bei der Untersuchnung stark-stetiger Operatorhalbgruppen treten unbeschränkte Operatoren auf. Sind X und Y Banachräume, so nennt man bekanntlich eine Abbildung A : 𝔇(A) → Y, die auf dem linearen Teilraum 𝔇(A) von X definiert und dort linear ist, einen unbeschränkten Operator. 𝔇(A) heißt der Definitionsbereich von A. Der Kern eines unbeschränkten Operators A wird erklärt durch

ker A := {x ∈ 𝔇(A) : Ax = 0}.

Unter den unbeschränkten Operatoren spielen diejenigen, deren Graph, d.h. die Menge {(x, Ax) : x ∈ 𝔇(A)}, abgeschlossen bzgl. der Produkttopologie auf X × Y ist, eine wichtige Rolle. Man nennt sie abgeschlossene Operatoren und faßt sie gewöhnlich zur Menge C(X, Y) oder, falls Y = X, C(X) zusammen. Die abgeschlossenen Operatoren zeichnen sich dadurch aus, daß viele der Aussagen, die man für beschränkte Operatoren kennt, zum Teil auch noch für diese Klasse gültig sind.

Gibt es für ein λ ∈ ℂ und einen abgeschlossenen Operator A : 𝔇(A) ⊂ X → X eine Abbildung R(λ, A) ∈ L(X) mit

R(λ, A)(λ − A) = id_{𝔇(A)} und (λ − A)R(λ, A) = id_{X},

so sagt man, λ−A besitze eine beschränkte Inverse. Dabei ist λ−A abgeschlossen mit 𝔇(λ−A) = 𝔇(A) und R(λ, A)(λ − A) unbeschränkt mit 𝔇(R(λ, A)(λ − A)) = 𝔇(λ − A). Die Menge

ρ(A) = {λ ∈ ℂ : λ − A besitzt eine beschränkte Inverse}

heißt die Resolventenmenge von A. Die Abbildung R(·, A) : ρ(A) → L(X) wird die Resolvente genannt. Das Spektrum von A ist die Menge

σ(A) = ℂ\ρ(A).

Im Gegensatz zu beschränkten Operatoren muß das Spektrum σ(A) eines Operators A ∈ C(X) nicht kompakt sein. Für abgeschlossene Operatoren A : 𝔇(A) ⊂ X → X läßt sich jedoch zeigen, daß das Spektrum σ(A) abgeschlossen ist. In diesem Fall ist ρ(A) offen und R(·, A) analytisch auf ρ(A) (Yosida[25], Chapter VIII.2, Theorem 1).

Besitzt ein A ∈ C(X) dichten Definitionsbereich, \overline{𝔇(A)} = X, so läßt sich ein adjungierter Operator A′ erklären. Man definiert 𝔇(A′) als Teilmenge von X′ durch

α ∈ 𝔇(A′)

:⇔

das lineare Funktional α ∘ A : 𝔇(A) → ℂ, x ↦ α(Ax) läßt sich zu einem beschränkten, linearen Funktional \overline{α ∘ A} auf X fortsetzen.

Man beachte, daß diese Fortsetzung eindeutig bestimmt ist. Offensichtlich ist 𝔇(A′) ein linearer Teilraum von X′. Man definiert A′ : 𝔇(A′) → X′ durch

A′α := \overline{α ∘ A}.

Der Operator A′ ist seinerseits wieder abgeschlossen; für sein Spektrum σ(A′) gilt:

σ(A′) = σ(A)

(Goldberg[11], Corollary II.5.3). Man rechnet leicht R(λ, A′) = R(λ, A)′ für λ ∈ ρ(A) nach.

Anmerkung: Wir haben in unseren Ausführungen lediglich die Spektraltheorie abgeschlossener Operatoren angesprochen. Für die Spektraltheorie beliebiger unbeschränkter Operatoren verweisen wir auf Yosida[25], Chapter VIII.

B. Vektorwertige Integration über ℝ

Für die Analyse von Operatorhalbgruppen ist die vektorwertige Integration über ℝ ein wichtiges Hilfsmittel. In diesem Paragraphen geben wir deshalb einen kurzen Abriß dieser Theorie. Wir §10. Unbeschränkte Operatoren und vektorwertige Integration über ℝ 59

orientieren uns dabei an Hille-Phillips[9] und Dunford-Schwartz[13], die man für die Beweise der hier zitierten Ergebnisse und gegebenenfalls für weiterreichende Ergebnisse zu Rate ziehe.

Im folgenden sei X ein beliebiger Banachraum und λ das Lebesgue-Maß auf ℝ.

Man nennt eine Funktion f : ℝ → X eine (X-wertige) Elementarfunktion, wenn f nur endlich viele Werte x_{1}, ..., x_{n} ∈ X, n ∈ ℕ, annimmt, und wenn für jeden dieser Werte f^{−1}({x_{i}}) λ-meßbar ist. Eine solche Elementarfunktion f wird einfach genannt, wenn für die endlich vielen Funktionswerte x_{1}, ..., x_{n} ∈ X mit Ausnahme der 0 gilt: λ(f^{−1}({x_{i}})) < +∞. Zu einer einfachen Elementarfunktion f erklärt man ein Element S(f) in X durch

S(f) := ∑_{x∈f(ℝ)}xλ(f^{−1}({x}))

(die Summe ist endlich). Hierbei sei 0 · ∞ = 0. Offensichtlich gilt

∥S(f)∥ ≤ ∑_{x∈f(ℝ)}∥x∥λ(f^{−1}({x})),

und da ∥f(·)∥ eine ℝ-wertige Elementarfunktion im Sinne der klassischen Theorie ist, folgt

∥S(f)∥ ≤ ∫_{ℝ} ∥f(·)∥ dλ,

wobei rechts das Lebesgue-Integral der (offenbar λ-meßbaren und integrierbaren) Funktion ∥f(·)∥ steht.

Die X-wertigen Elementarfunktionen und X-wertigen einfachen Elementarfunktionen bilden die Grundbausteine dessen, was man X-wertige λ-meßbare und X-wertige integrierbare Funktionen nennt.

10.1 Eine Funktion f : ℝ → X nennt man λ-meßbar, wenn es eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} von X-wertiger Elementarfunktionen gibt, die fast überall gegen f konvergiert^{1}.

Eine unmittelbare Folgerung aus 10.1 ist, daß eine λ-meßbare X-wertige Funktion f wesentlich separables Bild in X hat, d.h. daß es eine Nullmenge N in ℝ gibt, so daß f(ℝ\N) separabel^{2} ist. Genauer kann man folgende Aussage machen:

10.2 Für eine Funktion f : ℝ → X sind äquivalent:

a) f λ-meßbar

b) i) es existiert eine Nullmenge N in ℝ mit f(ℝ\N) separabel (d.h. f ist wesentlich

separabel) ii) zu jeder offenen Menge G in X existiert eine λ-meßbare Menge M_{G} in ℝ mit f^{−1}(G)\N = M_{G}\N (d.h. f^{−1}(G) ist bis auf eine Nullmenge λ-meßbar für offenes G ⊂ X)

1”Fast überall“ heißt wie üblich, daß es eine λ-Nullmenge N in ℝ gibt, so daß für alle s ∈ ℝ\N gilt: f_{n}(s) → f(s) für n → ∞.

2separabel = besitzt abzählbare, dichte Teilmenge

10.3 Für eine λ-meßbare Funktion f : ℝ → X gilt weiter, daß auch ∥f(·)∥ (im Sinne einer Funktion ℝ → ℝ) λ-meßbar ist. Man muß nur feststellen, daß ∥f_{n}(·)∥ für eine Elementarfunktion f_{n} : ℝ → X λ-meßbar ist, und daß im Falle f_{n} → f fast überall für n → ∞ auch ∥f_{n}(·)∥ → ∥f(·)∥ fast überall für n → ∞ gilt.

Integrierbare Funktionen f : ℝ → X definiert man folgendermaßen:

10.4 Eine Funktion f : ℝ → X nennt man integrierbar, wenn es eine Folge (f_{n})_{n∈ℕ} einfacher X-wertiger Elementarfunktionen gibt, die punktweise fast überall gegen f konvergiert und für die

lim_{n→∞} ∫_{ℝ} ∥f − f_{n}∥ dλ = 0  (26)

gilt. Das Integral einer integrierbaren Funktion f ist erklärt durch

∫_{ℝ} f dλ := lim_{n→∞} S(f_{n}).  (27)

Mit 10.3 zeigt man, daß (26) ein wohldefinierter Ausdruck ist; (S(f_{n}))_{n∈ℕ} ist eine Cauchy-Folge in X, (27) macht deshalb Sinn.

Offensichtlich sind die Elementarfunktionen im Sinne von 10.1 λ-meßbar und die einfachen Elementarfunktionen im Sinne von 10.4 integrierbar. Es gilt für eine einfache Elementarfunktion f:

S(f) = ∫_{ℝ} f dλ.

Damit schreibt sich (27) auch in der Form

∫_{ℝ} f dλ = lim_{n→∞} ∫_{ℝ} f_{n} dλ.

Ein nützliches Kriterium für die Integrierbarkeit einer Funktion f : ℝ → X wird gegeben durch

10.5 Eine Funktion f : ℝ → X ist genau dann integrierbar, wenn f λ-meßbar und ∫_{ℝ} ∥f∥ dλ < +∞ ist.

Eine Abschätzung für die Norm des Integrals einer integrierbaren Funktion f : ℝ → X wird gegeben durch

∥∫_{ℝ} f dλ∥ ≤ ∫_{ℝ} ∥f∥ dλ.

Erwartungsgemäß bilden die integrierbaren X-wertigen Funktionen einen Vektorraum, auf dem das Integral eine lineare Abbildung ist.

10.6 Sind g : ℝ → ℂ und f : ℝ → X zwei λ-meßbare Funktionen, so ist auch das punktweise Produkt gf λ-meßbar. Ist eine der beiden Funktionen g oder f integrierbar, während die andere immerhin noch beschränkt und λ-meßbar ist, so ist auch gf integrierbar.

§11. Stark-stetige Operatorhalbgruppen 61

Insbesondere für eine λ-meßbare Menge E ⊂ ℝ mit λ(E) < +∞ und eine auf E beschränkte, λ-meßbare Funktion f macht der Ausdruck

∫_{E} f dλ := ∫_{ℝ} χ_{E}f dλ

Sinn, wo χ_{E} : ℝ → ℂ die charakteristische Funktion von E ist.

Als Beispiel λ-meßbarer Funktionen f : ℝ → X kann man die stetigen nennen. Für offenes G ⊂ X ist f^{−1}(G) offen und damit λ-meßbar, und da ℝ separabel ist und f stetig, ist f(ℝ) separabel. Das Kriterium 10.2 impliziert dann die λ-Meßbarkeit. Da stetige Funktionen auf kompakten Intervallen [a, b] ⊂ ℝ (a, b ∈ ℝ, a < b) beschränkt sind und λ([a, b]) = b − a < +∞ ist, steht

∫_{a}^{b} f dλ

wegen Aussage 10.5 für ein wohlbestimmtes Element in X.

Ist A ∈ C(X, Y) und f : ℝ → X integrierbar mit f(ℝ) ⊂ 𝔇(A), so läßt sich über A ∘ f : ℝ → Y folgende Aussage machen:

10.7 Sei A ∈ C(X, Y) mit Definitionsbereich 𝔇(A) und sei f : ℝ → X eine Funktion mit f(ℝ) ⊂ 𝔇(A). Sind f : ℝ → X und A ∘ f : ℝ → Y integrierbar, so gilt

∫_{ℝ} f dλ ∈ 𝔇(A) und ∫_{ℝ} A ∘ f dλ = A ∫_{ℝ} f dλ.

Insbesondere für Y = ℂ und A ∈ X′ wird uns 10.7 im nächsten Paragraphen begegnen.

Abschließend halten wir fest:

10.8 Ist f : ℝ → X integrierbar, so gilt für fast alle t ∈ ℝ:

f(t) = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{t}^{t+h} f dλ = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{t−h}^{t} f dλ.  (28)

Ist f stetig in t ∈ ℝ, so gilt (28) für dieses t auf jeden Fall.

§11

Stark-stetige Operatorhalbgruppen

In diesem Paragraphen definieren wir und zeigen wir Eigenschaften stark-stetiger Operatorhalbgruppen. Wie vorher stehe X für einen beliebigen Banachraum. Wir folgen Dunford-Schwartz[9].

11.1 Definition: Eine Abbildung T : [0, +∞) → L(X) heißt stark-stetige Operatorhalbgruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(i) T (0) = id_{X}, (ii) T (s + t) = T (s)T (t) (s, t ≥ 0), (iii) für alle x ∈ X ist T (·)x : [0, +∞) → X stetig.

Die Bedingungen (i)-(iii) erinnern an die Funktionalgleichung f(x + y) = f(x)f(y) der Exponentialfunktion. Fordert man f(0) = 1 und die Stetigkeit von f, so wird sie bekanntlich für jedes λ ∈ ℂ gelößt durch f(x) = e^{λx} für alle x ∈ ℝ (vgl. Lemma 3.6). Es stellt sich die Frage, ob in Analogie hierzu ein beschränkter linearer Operator A existiert, vermöge dem T sich darstellen läßt in der Form

T (t) = e^{tA},  (29)

wenn wir e^{tA} für ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}A^{k}}{k!} schreiben (die Reihe konvergiert absolut). Leider ist die Stetigkeits-

bedingung (iii) zu schwach, um dies zu erreichen. Man kann allerdings zeigen ([9], Theorem VIII.1.2), daß im Falle der Stetigkeit von T : [0, +∞) → L(X) tatsächlich ein solcher Operator A ∈ L(X) existiert.

Da wir nun aber mit Bedingung (iii) weniger vorausgesetzt haben, können wir auch nur weniger erwarten. Dieser Paragraph ist aus diesem Grund der Aufgabe gewidmet, zu zeigen, daß immerhin noch ein abgeschlossener Operator A auf X mit dichtem Definitionsbereich 𝔇(A) existiert, so daß T eine im Vergleich zu (29) zumindest ähnlich Darstellung besitzt.

Wir wollen mit einer Aussage über das asymptotische Verhalten von ∥T (t)∥ für t → ∞ beginnen. Nachfolgendes Lemma bereitet diese vor.

11.2 Lemma: Ist ω eine auf [0, +∞) reellwertige, subadditive Funktion, die auf jedem kompakten Intervall beschränkt ist, und definiert man

ω_{0} := inf_{t>0} \frac{ω(t)}{t} ∈ [−∞, +∞),

so ist

ω_{0} = lim_{t→∞} \frac{ω(t)}{t}.

⊳ Beweis : Es ist klar, daß ω_{0} in [−∞, +∞) liegt und daß zu δ > ω_{0} ein t_{0} in (0, +∞) existiert mit \frac{ω(t_{0})}{t_{0}} < δ. Jedes beliebige t ∈ [t_{0}, +∞) schreibt sich in der Form t = n(t)t_{0} + r mit n(t) ∈ ℕ und r ∈ [0, t_{0}) eindeutig. Es gilt dann

\frac{ω(t)}{t} ≤ \frac{ω(n(t)t_{0})}{t} + \frac{ω(r)}{t} ≤ \frac{n(t)ω(t_{0})}{t} + \frac{ω(r)}{t} = \frac{ω(t_{0})}{t_{0} + \frac{r}{n(t)}} + \frac{ω(r)}{t}.

Daraus ergibt sich

lim sup_{t→∞} \frac{ω(t)}{t} ≤ \frac{ω(t_{0})}{t_{0}} < δ,

wobei die Beschränktheit von ω auf kompakten Intervallen, hier [0, t_{0}], ausgenutzt wurde.

Da δ > ω_{0} beliebig war, folgt daraus lim sup_{t→∞} \frac{ω(t)}{t} ≤ ω_{0}. Wegen ω_{0} = inf_{t>0} \frac{ω(t)}{t} ist aber auch

ω_{0} ≤ lim inf_{t→∞} \frac{ω(t)}{t} und deshalb existiert lim_{t→∞} \frac{ω(t)}{t} mit lim_{t→∞} \frac{ω(t)}{t} = ω_{0}. ⊲ 11.3 Proposition: Für eine stark-stetige Operatorhalbgruppe T gilt:

a) ω_{0} := lim_{t→∞} \frac{log ∥T (t)∥}{t} existiert
b) für alle δ > ω_{0} existiert eine Konstante M_{δ} mit ∥T (t)∥ ≤ M_{δ}e^{δt} für alle t ≥ 0.

⊳ Beweis : Wir dürfen annehmen, daß T (t) ≠ 0 für alle t ≥ 0 ist. Da ω(t) = log ∥T (t)∥ reellwertig und subadditiv ist, folgt a) aus Lemma 11.2. Wegen δ > ω_{0} existiert t_{0} ∈ ℝ mit \frac{log ∥T (t)∥}{t} ≤ δ für alle t ≥ t_{0}. Wir bemühen den Satz über die gleichmäßigen Beschränktheit. Für alle x ∈ X ist nämlich ∥T (·)x∥ : [0, t_{0}] → ℝ als stetige Funktion auf dem Kompaktum [0, t_{0}] beschränkt, und damit auch ∥T (·)∥. Hieraus folgt b). ⊲

Für jedes h > 0 bezeichnen wir mit A_{h} den beschränkten linearen Operator

A_{h} : X → X, A_{h}x := \frac{T (h)x − x}{h},

und mit A den unbeschränkten linearen Operator 𝔇(A) → X mit

𝔇(A) := {x ∈ X : lim_{h→0^{+}} A_{h}x existiert} und

Ax := lim_{h→0^{+}} A_{h}x.

𝔇(A) ist offenbar ein linearer Teilraum von X, auf dem A linear ist.

11.4 Definition: Ist T eine stark-stetige Operatorhalbgruppe, so nennen wir den zu T gehörenden und soeben definierten (i.a. unbeschränkten) Operator A den infinitesimalen Erzeuger der Halbgruppe.

Es wird in der Folge darum gehen, nachzuweisen, daß A abgeschlossen ist mit dichtem Definitionsbereich 𝔇(A). Hierzu ist das nachfolgende Lemma nützlich.

11.5 Lemma: Seien T , A und 𝔇(A) wie oben eingeführt.

a) Für alle x ∈ 𝔇(A) und t ≥ 0 ist T (t)x ∈ 𝔇(A) und

\frac{d}{dt}T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax.

b) Für alle x ∈ 𝔇(A) und 0 ≤ s < t < +∞ ist T (t)x − T (s)x = ∫_{s}^{t} T (u)Ax du.

⊳ Beweis : Wir beginnen mit a). Für h > 0, t ≥ 0 und x ∈ X ist

A_{h}T (t)x = \frac{T (h)T (t)x − T (t)x}{h} = \frac{T (h + t)x − T (t)x}{h} = \frac{T (t)(T (h)x − x)}{h}
= T (t)A_{h}x.

Es folgt für x ∈ 𝔇(A) und t ≥ 0:

lim_{h→0^{+}} A_{h}T (t)x = lim_{h→0^{+}} T (t)A_{h}x = T (t)Ax,

d.h. T (t)x ∈ 𝔇(A) und AT (t)x = T (t)Ax. Also haben wir

lim_{h→0^{+}} \frac{T (t + h)x − T (t)x}{h} = T (t)Ax (rechtsseitige Differenzierbarkeit).

Für t > 0, 0 < h < t und x ∈ 𝔇(A) berechnet man

\frac{T (t)x − T (t − h)x}{h} = T (t − h)\frac{T (h)x − x}{h} = T (t − h)A_{h}x − T (t − h)Ax + T (t − h)Ax
= T (t − h)(A_{h}x − Ax) + T (t − h)Ax.

Damit ist

lim_{h→0^{+}} \frac{T (t − h)x − T (t)x}{h} = lim_{h→0^{+}} T (t − h)(Ax − A_{h}x) − T (t)Ax = −T (t)Ax,

da T (t − h) für 0 < h < t, wie bereits gesagt, beschränkt ist und A_{h}x → Ax für h → 0^{+}. Es folgt

lim_{h→0^{−}} \frac{T (t + h)x − T (t)x}{h} = T (t)Ax.

Insgesamt erhält man also

\frac{d}{dt}T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x.

Wir wenden uns b) zu. Für 0 ≤ s < t < +∞ und ϕ ∈ X′ sind \frac{d}{du}T (·)x = T (·)Ax und ϕ(\frac{d}{du}T (·)x) = \frac{d}{du}ϕ(T (·)x) als stetige Funktionen auf dem Kompaktum [s, t] integriebar (vgl. 10.5) und damit

ϕ (∫_{s}^{t} T (u)Ax du) = ∫_{s}^{t} \frac{d}{du}ϕ((T (u)x) du = ϕ(T (t)x) − ϕ(T (s)x) = ϕ(T (t)x − T (s)x)

(Aussage 10.7). Da letzteres für alle ϕ ∈ X′ richtig ist, folgt b). ⊲

11.6 Satz: Seien T , A und 𝔇(A) wie bisher. Dann liegt 𝔇(A) dicht in X und A ist abgeschlossen.

⊳ Beweis : Sei x ein beliebiges Element in X und seien t, h > 0. Es macht Sinn, den Ausdruck

∫_{0}^{t} T (s)x ds zu betrachten (vgl. 10.6). Es gilt

A_{h} ∫_{0}^{t} T (s)x ds = \frac{T (h) ∫_{0}^{t} T (s)x ds − ∫_{0}^{t} T (s)x ds}{h} = ∫_{0}^{t} \frac{T (s + h)x − T (s)x}{h} ds
= \frac{1}{h} ∫_{h}^{t+h} T (s)x ds − \frac{1}{h} ∫_{0}^{t} T (s)x ds = \frac{1}{h} ∫_{t}^{t+h} T (s)x ds − \frac{1}{h} ∫_{0}^{h} T (s)x ds
→ T (t)x − x für h → 0^{+}  (Aussage 10.8).

Da also A_{h} ∫_{0}^{t} T (s)x ds für h → 0^{+} konvergiert, ist ∫_{0}^{t} T (s)x ds ∈ 𝔇(A) für alle t ≥ 0. Damit ist auch \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} T (s)x ds ∈ 𝔇(A) und wegen 10.8 ergibt sich lim_{t→0^{+}} \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} T (s)x ds = T (0)x = x, d.h. 𝔇(A) liegt dicht in X. Wir kommen zur Abgeschlossenheit des unbeschränkten Operators A.

Sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in 𝔇(A) mit lim_{n→∞} x_{n} = x und lim_{n→∞} Ax_{n} = y. Es ist x ∈ 𝔇(A) mit y = Ax zu zeigen. Lemma 11.5.b) liefert für h > 0:

T (h)x − x = lim_{n→∞}(T (h)x_{n} − x_{n}) = lim_{n→∞} ∫_{0}^{h} T (s)Ax_{n} ds = ∫_{0}^{h} T (s)y ds,

da lim_{n→∞} T (s)Ax_{n} = T (s)y auf [0, h] und T (·)Ax_{n} also Folge stetiger Funktionen auf dem Kompaktum [0, h] gleichmäßig gegen T (·)y konvergiert. Es ist also

lim_{h→0^{+}} A_{h}x = lim_{h→0^{+}} \frac{T (h)x − x}{h} = lim_{h→0^{+}} \frac{1}{h} ∫_{0}^{h} T (s)y ds = y,

somit x ∈ 𝔇(A) und Ax = y. ⊲

Wir beschließen diesen Paragraphen mit der Darstellung einer stark-stetigen Operatorhalbgruppe T durch die Operatoren A_{h} und einer Aussage über das Spektrum von A.

11.7 Satz: Seien T , A_{h} und A wie oben. Dann gilt:

T (t)x = lim_{h→0^{+}} e^{tA_{h}}x für x ∈ X,

wobei die Konvergenz auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig ist.

⊳ Beweis : Wir haben zu Beginn dieses Paragraphen gesehen (Proposition 11.3 ), daß für jedes δ > ω_{0} mit

ω_{0} = lim_{t→∞} \frac{log ∥T (t)∥}{t}

eine Konstante M_{δ} existiert mit ∥T (t)∥ ≤ M_{δ}e^{tδ} für alle t ≥ 0. Da ∑_{n=0}^{∞} \frac{t^{n}e^{nhδ}}{n!h^{n}} = exp (t\frac{e^{hδ}}{h} ) <

+∞ ist, ist ∑_{n=0}^{∞} \frac{t^{n}T (nh)}{n!h^{n}} absolut konvergent und ∑_{n=0}^{∞} \frac{t^{n}T (nh)}{n!h^{n}} ∈ L(X). Beachtet man, daß

e^{tA_{h}} = e^{− \frac{t}{h}} e^{\frac{t}{h} T (h)} = e^{− \frac{t}{h}} ∑_{n=0}^{∞} \frac{t^{n}T (nh)}{n!h^{n}} ist, ergibt sich

∥e^{tA_{h}} ∥ ≤ M_{δ} exp (t (\frac{e^{δh} − 1}{h})) .

Es existiert somit für jedes t > 0 eine Konstante K_{t} > 0, so daß für alle 0 ≤ s ≤ t und 0 < h ≤ 1 gilt: ∥e^{sA_{h}}∥ ≤ K_{t}. Sei nun x ∈ 𝔇(A), 0 ≤ t ≤ t_{0} und 0 < h ≤ 1. Dann ist

∥T (t)x − e^{tA_{h}}x∥ = ∥∫_{0}^{t} \frac{d}{ds} (e^{(t−s)A_{h}}T (s)x) ds∥ = ∥∫_{0}^{t} e^{(t−s)A_{h}}T (s)(Ax − A_{h}x) ds∥
≤ t_{0}K_{t_{0}}M_{δ}e^{δt_{0}}∥Ax − A_{h}x∥.

Da lim_{h→0^{+}}(Ax − A_{h}x) = 0 auf der dichten Teilmenge 𝔇(A), und da ∥T (t) − e^{tA_{h}}∥ für (t, h) ∈ [0, t_{0}] × [0, 1] beschränkt ist, konvergiert T (·)x − e^{·A_{h}}x für jedes x ∈ X gleichmäßig auf [0, t_{0}] gegen 0 für h → 0^{+}. ⊲ 11.8 Satz: Seien T und A wie oben und seien

ω_{0} = lim_{t→∞} \frac{log ∥T (t)∥}{t}

und λ ∈ ℂ mit Re (λ) > ω_{0}. Dann ist λ ∈ ρ(A), und für jedes x ∈ X gilt

R(λ, A)x = ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt.  (30)

⊳ Beweis : Proposition 11.3 liefert die Wohldefiniertheit des Integrals in (30): Für jedes δ mit ω_{0} < δ < Re λ existiert nämlich eine Konstante M_{δ} mit ∥T (t)∥ ≤ M_{δ}e^{δt} für alle t ≥ 0. Insbesondere ist

∥e^{−λt}T (t)x∥ ≤ M_{δ}∥x∥e^{(δ−Re λ)t} (t ≥ 0, x ∈ X)

mit δ − Re λ < 0 und damit ∫_{0}^{∞}∥e^{−λt}T (t)x∥ dt < +∞. Nach Aussage 10.5 existiert somit

∫_{0}^{∞}e^{−λt}T (t)x dt und

R : X → X, Rx := ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt

definiert eine beschränkte lineare Abbildung mit

∥Rx∥ = ∥∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt∥ ≤ M_{δ}∥x∥ ∫_{0}^{∞} e^{(δ−Re λ)t} dt,

d.h.

∥R∥ ≤ \frac{M_{δ}}{Re λ − δ} .

Man berechnet:

A_{h}Rx = A_{h} ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt = \frac{1}{h} (∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t + h)x dt − ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt)
= \frac{1}{h} (∫_{h}^{∞} e^{−λ(t−h)}T (t)x dt − ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt)
= \frac{e^{λh} − 1}{h} ∫_{h}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt − \frac{1}{h} ∫_{0}^{h} e^{−λt}T (t)x dt
= \frac{e^{λh} − 1}{h} ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T (t)x dt − \frac{e^{λh}}{h} ∫_{0}^{h} e^{−λt}T (t)x dt
→ λRx − x  (Aussage 10.8).

Also gilt Rx ∈ 𝔇(A) und ARx = λRx − x für alle x ∈ X, d.h. (λ − A)Rx = x.

Wegen ARx = ∫_{0}^{∞}e^{−λt}AT (t)x dt = ∫_{0}^{∞}e^{−λt}T (t)Ax dt = RAx für x ∈ 𝔇(A) folgt also

R · (λ − A) = id_{𝔇(A)} und (λ − A)R = id_{X}.

Also ist λ ∈ ρ(A) und R(λ, A) = R. ⊲

§12. Beispiele stark-stetiger Operatorhalbgruppen 67

§12

Beispiele stark-stetiger Operatorhalbgruppen

Wir wollen in diesem Paragraphen zwei für diese Arbeit relevante Beispiele besprechen. Hierzu erinnern wir an zwei klassische Ergebnisse von Lebesgue. Das erste ist in Aussage 10.8 enthalten.

12.1 Für eine Funktion f ∈ L^{1}(ℝ) gilt für fast alle x ∈ ℝ:

f(x) = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x}^{x+h} f(t) dt = lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x−h}^{x} f(t) dt.

Darüberhinaus ist

F (x) := ∫_{−∞}^{x} f(t) dt, x ∈ ℝ,

absolut stetig mit F′(x) = f(x) fast überall. Man vergleiche dies Aussage beispielsweise mit Rudin[23], Theorem 7.10 und Theorem 7.11.

12.2 Im Zusammenhang mit absoluter Stetigkeit wird sich die folgende Produktregel als nützlich erweisen (Hewitt-Stromberg[12], Corollary 18.20).

Sind f und g absolut stetige Funktionen auf dem Intervall [a, b], so gilt:

∫_{a}^{b} f(t)g′(t) dt + ∫_{a}^{b} f′(t)g(t) dt = f(b)g(b) − f(a)g(a)

Sei X = L_{w}^{1}(ℝ) für ein Beurling-Domar-Gewicht w auf ℝ, und sei T : [0, +∞) → L(L_{w}^{1}(ℝ)) definiert durch

T (t)f := τ_{t}f,

wobei τ_{t} in §1 auf Seite 8 definiert wurde. Wir wollen zeigen, daß T eine stark-stetige Operatorhalbgruppe ist und außerdem den infinitesimalen Erzeuger von T berechnen, insbesondere dessen Definitionsbereich. Da offensichtlich T (0) = id_{L_{w}^{1}(ℝ)}, T (s+t) = T (s)T (t) für s, t ≥ 0 und wegen Proposition 1.12 die Abbildung T auch stark-stetig ist, ist T tatsächlich eine stark-stetige Operatorhalbgruppe, und wir können gleich mit der Berechnung des infinitesimalen Erzeugers beginnen, den wir mit A bezeichnen wollen. Wir werden sehen, daß A bis aufs Vorzeichen gegeben wird durch den Differentialoperator D im Sinne von Lebesgue. Ist f : ℝ → ℂ eine absolut stetige Funktion, so ist f fast überall differenziebar, und D ordnet diesem f die Abbildung f′ zu, die fast überall durch den Differenzenquotient von f definiert ist. Der Operator D ist in diesem Sinn auch auf allen f ∈ L^{1}(ℝ) erklärt, die einen absolut stetigen Repräsentanten besitzen. Der Definitionsbereich von A ist gegeben durch

𝔇(A) = {f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) : f absolut stetig mit Df ∈ L_{w}^{1}(ℝ)},

wie wir nun zeigen werden.

Wir beginnen mit der Inklusion ”⊂“:

Ist f ∈ 𝔇(A), so konvergiert nach Definition A_{h}f für h → 0 gegen eine Funktion g ∈ L_{w}^{1}(ℝ). Wir zeigen, daß hieraus die absolute Stetigkeit von f folgt und daß g = Df ist. Es gilt:

∫_{−∞}^{x}(A_{h}f)(t) dt = ∫_{−∞}^{x} \frac{f(t − h) − f(t)}{h} dt = \frac{1}{h} (∫_{−∞}^{x} f(t − h) dt − ∫_{−∞}^{x} f(t) dt)
= \frac{1}{h} (∫_{−∞}^{x−h} f(t) dt − ∫_{−∞}^{x} f(t)dt) = −\frac{1}{h} ∫_{x−h}^{x} f(t) dt.

Aufgrund von 12.1 gilt fast überall

lim_{h→0} ∫_{−∞}^{x}(A_{h}f)(t) dt = lim_{h→0} −\frac{1}{h} ∫_{x−h}^{x} f(t) dt = −f(x)

Da ∫_{ℝ} |A_{h}f − g|w dλ → 0 für h → 0 und deshalb ∫_{ℝ} |A_{h}f − g| dλ → 0 für h → 0, gilt also

lim_{h→0} ∫_{−∞}^{x}(A_{h}f − g) dλ = 0, x ∈ ℝ,

d.h. f(x) = − ∫_{−∞}^{x} g(t) dt für fast alle x ∈ ℝ. Nach 12.1 ist f somit absolut stetig mit Df = −g. Wir kommen zu ”⊃“: Für hinreichend großes n ∈ ℕ gilt n ∈ ρ(A) (Proposition 11.8). Wir fixieren ein solches n

und setzen R := nR(n, A). Es ist dann AR = n(R − I) und R ∈ L(L_{w}^{1}(ℝ)) mit Bild R = 𝔇(A). Sei f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) absolut stetig mit f′ ∈ L_{w}^{1}(ℝ). Dann ist g := \frac{1}{n}(f′ + nf) ∈ L_{w}^{1}(ℝ) und f̃:= Rg ∈ 𝔇(A). Aus dem ersten Teil des Beweises folgt

f̃′ = −Af̃ = −ARg = n(I − R)g = ng − nf̃.

Nach Definition von g gilt f′ = ng − nf, und deshalb ist u := f − f̃ ∈ L_{w}^{1}(ℝ) absolut stetig mit u′ = −nu. Bezeichnen wir mit exp_{n} die Abbildung t ↦ e^{nt} für t ∈ ℝ, so gilt auf allen kompakten Intervallen [a, b] ⊂ ℝ nach Aussage 12.2 die Beziehung (u exp_{n})′ = 0. Dann ist auf jedem kompakten Intervall [a, b] ⊂ ℝ die Funktion u exp_{n} konstant (vgl. Rudin[23], Theorem 7.18). Es folgt, daß u exp_{n} auf ganz ℝ konstant sein muß. Es existiert also eine Konstante C > 0 mit u = C exp_{n}. Da aber u ∈ L^{1}(ℝ), muß C = 0 sein. Daher ist f = f̃ ∈ 𝔇(A).

Anmerkung: Den Beweis von ”⊃“ findet man in Yosida[25], Seite 242/243.

Das obige Beispiel kann man zu einem Beispiel für eine stark-stetige Operatorgruppe ausbauen.

12.3 Definition: Eine Abbildung T : ℝ → L(X) heißt stark-stetige Operatorgruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(i) T (0) = id_{X}, (ii) T (s + t) = T (s)T (t) (s, t ∈ ℝ), (iii) für alle x ∈ X ist T (·)x : ℝ → X stetig.

Die Sätze 11.3, 11.5 und 11.6 lassen sich mit nur geringfügigen Modifikationen auf Operatorgruppen übertragen. Insbesondere existiert ein abgeschlossener Operator A mit dichtem Definitonsbereich 𝔇(A), der die Operatorgruppe im Sinne von Satz 11.7 darstellt.

Man sieht sofort, daß für ein Gewicht w auf ℝ durch X = L_{w}^{1}(ℝ) und T : ℝ → L(L_{w}^{1}(ℝ)), h ↦ τ_{h}, eine stark-stetige Operatorgruppe gegeben wird, deren infinitesimaler Erzeuger der Differentaloperator −D ist. Die Menge 𝔇(D) = {f ∈ L_{w}^{1}(ℝ) : f absolut stetig mit Df ∈ L_{w}^{1}(ℝ)} liegt dicht in L_{w}^{1}(ℝ), ein Ergebnis, das auch für sich von Interesse ist.

Ist w vom Typ 𝔅𝔇 auf ℝ, so ist lim_{t→∞} \frac{log w(t)}{t} = 0, denn andernfalls existierte ϵ > 0 mit log w(t) ≥ ϵt für t ≥ t_{0} und t_{0} hinreichend groß. Damit wäre

∞ = ∫_{t_{0}}^{∞} \frac{ϵt}{1 + t^{2}} dt ≤ ∫_{t_{0}}^{∞} \frac{log w(t)}{1 + t^{2}} dt ≤ ∫_{ℝ} \frac{log w(t)}{1 + t^{2}} dt,

im Widerspruch zu der Annahme, daß w vom Typ 𝔅𝔇 auf ℝ ist. Damit ergibt sich für die stark-stetige Operatorhalbgruppe T_{+} : [0, +∞) → L(L_{w}^{1}(ℝ)), T_{+}(t) := T (t), t ≥ 0:

0 ≤ ω_{0} = lim_{t→∞} \frac{log ∥T_{+}(t)∥}{t} ≤ lim_{t→∞} \frac{log w(t)}{t} = 0,

d.h. ω_{0} = 0 und σ(−D) ⊂ {z ∈ ℂ : Re z ≤ 0} (Proposition 11.8), wobei −D natürlich auch der infinitesimale Erzeuger der Halbgruppe T_{+} ist.

Mit denselben Überlegungen wie oben sieht man lim_{t→∞} \frac{log w(−t)}{t} = 0 ein. Für die starkstetige Operatorhalbgruppe T_{−} : [0, +∞) → L(L_{w}^{1}(ℝ)), T_{−}(t) := T (−t), t ≥ 0, erhält man

0 ≤ ω_{1} := lim_{t→∞} \frac{log ∥T_{−}(t)∥}{t} ≤ lim_{t→∞} \frac{log w(−t)}{t} = 0,

d.h. ω_{1} = 0 und σ(D) ⊂ {z ∈ ℂ : Re z ≤ 0}, wobei D der infinitesimale Erzeuger von T_{−} ist. Zusammen ergibt sich für das Spektrum von D:

σ(D) ⊂ iℝ.

Wir werden in kürze zeigen, daß σ(D) = iℝ ist. Zuerst diskutieren wir ein weiteres Beispiel.

Wir betrachten die Abbildung

S : ℝ → L(𝔉_{w}(ℝ)), S(t)f̂:= { \atop T (t)f}.

Vermöge des isometrischen Isomorphismus

ψ : L_{w}^{1}(ℝ) → 𝔉_{w}(ℝ), f ↦ f̂

ist S ähnlich zu T , d.h. ψ ∘ T = S ∘ ψ. Also ist auch S eine stark-stetige Operatorhalbgruppe, und für ihren Erzeuger M : 𝔇(M) → 𝔉_{w}(ℝ) gilt dieselbe Ähnlichkeitsrelation, d.h. 𝔇(M) = ψ(𝔇(D)) und ψ ∘ (−D) = M ∘ ψ auf 𝔇(D).

Konkretes Ausrechnen von D̂f für f ∈ 𝔇(D) liefert:

D̂f(ξ) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ}(Df)(x)e^{−ixξ} dx = lim_{R→∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−R}^{R} f′(x)e^{−ixξ} dx
{12.2 \atop =} \frac{1}{\sqrt{2π}} ( lim_{R→∞} f(R)e^{−iRξ} − lim_{R→∞} f(−R)e^{iRξ} − lim_{R→∞} ∫_{−R}^{R} f(x)(−iξ)e^{−ixξ} dx)
= iξf̂(ξ) = −(Mf̂)(ξ),

wobei M für die Abbildung

M : { \atop 𝔇(D)} → 𝔉_{w}(ℝ), (Mf̂)(x) := −ixf̂(x)

steht.

Gemäß der Konstruktion dieses Beispiels ist σ(M) = σ(−D). Ein einfaches Argument zeigt σ(−D) = σ(M) = iℝ: Angenommen, es existierte λ ∈ ℝ mit iλ ∉ σ(M). Es sei f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) eine Abbildung mit f̂ ≡ 1 auf einer kompakten Umgebung F ⊂ ℝ von −λ (𝔉_{w}(ℝ) ist regulär). Dann ist R(iλ, M)f̂ ∈ 𝔇(M) und (iλ − M)R(iλ, M)f̂ = f̂. Für t ∈ F ergäbe sich insbesondere (iλ + it)(R(iλ, M)f̂)(t) = 1. Für t = −λ ∈ F erhielte man einen Widerspruch.

Wir greifen an dieser Stelle das Ende von §5 wieder auf und beweisen die dort offen gelassene Frage bzgl. des Spektrums von M|𝔉_{w}(F).

12.4 Proposition: Für w vom Typ 𝔅𝔇 auf ℝ und kompaktes F ⊂ ℝ gilt:

σ(M|𝔉_{w}(F)) ⊂ −iF

⊳ Beweis : Wir konstruieren zunächst zu μ ∈ ℂ eine Funktion f̂_{μ} ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit f̂_{μ}(t) = μ + it für alle t ∈ F. Sei hierzu λ ∈ ℂ\(iℝ). Dann existiert R(λ, M) ∈ L(𝔉_{w}(ℝ)) mit (λ − M)R(λ, M) = id_{𝔉_{w}(ℝ)}. Sei ĝ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit ĝ ≡ 1 auf F (Proposition 5.3). Für t ∈ F gilt dann (λ + it)(R(λ, M)ĝ)(t) = 1 mit (R(λ, M)ĝ)(t) ≠ 0 für alle t ∈ F. Nach Proposition 5.3 existiert ein ĥ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit ĥ = \frac{1}{R(λ,M)ĝ} auf F, d.h. ĥ(t) = λ + it für alle t ∈ F. Wir definieren f̂_{μ} := ĥ + (μ − λ)ĝ. Für t ∈ F gilt dann f̂_{μ}(t) = μ + it, wie gewünscht. Wir haben bereits in Lemma 5.4 gezeigt, daß 𝔉_{w}(F) für F ⊂ ℝ ein abgeschlossener Teilraum von 𝔉_{w}(ℝ) ist. Daß 𝔉_{w}(F) invariant ist unter M, M(𝔇(M) ∩ 𝔉_{w}(F)) ⊂ 𝔉_{w}(F), ist klar. Außerdem ist M|𝔉_{w}(F) wieder abgeschlossen. Wir können von daher eine Aussage über das Spektrum von M|𝔉_{w}(F) im Sinne von §10 machen. Sei λ ∉ −iF und f̂_{λ} wie soeben konstruiert mit f̂_{λ}(t) = λ + it für alle t ∈ F. Da f̂_{λ} auf F nicht verschwindet, garantiert Proposition 5.3 die Existenz eines ĥ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit ĥ(t) = \frac{1}{λ+it} für t ∈ F. Die Abbildung Mĥ|𝔉_{w}(F) : 𝔉_{w}(F) → 𝔉_{w}(F) ist stetig und hat die Eigenschaften

(λ − M|𝔉_{w}(F))Mĥ|𝔉_{w}(F) = id_{𝔉_{w}(F)} und Mĥ|𝔉_{w}(F)(λ − M|𝔉_{w}(F)) = id_{𝔇(M|𝔉_{w}(F))}.

Für λ ∉ −iF ist somit λ ∈ ϱ(M|𝔉_{w}(F), d.h.

σ(M|𝔉_{w}(F)) ⊂ −iF.
⊲

Kapitel IV

Asymptotisches Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen

Zum Inhalt dieses Kapitels

Wir haben in Kapitel II gezeigt, wie man auf das asymptotische Verhalten einer diskreten Operatorhalbgruppe schließen kann, wenn für den Erzeuger gewisse Voraussetzungen erfüllt sind. Wir wollen die dort gefundenen Ergebnisse in diesem Kapitel auf stark-stetige Operatorhalbgruppen übertragen. In §13 erklären wir, was wir unter kontinuierlichen Intertwining-Operatoren verstehen wollen, und beweisen einige Eigenschaften derselben. Im §14 setzen wir uns mit der Existenz kontinuierlicher Intertwining-Operatoren auseinander. Ähnlich wie in Kapitel II spielen in diesem Zusammenhang die Beurling-Algebren 𝔉_{w}(ℝ) mit Beurling-Domar-Gewicht w auf ℝ eine wichtige Rolle. Den Satz über das asymptotische Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen formulieren wir im §15. Dort vergleichen wir auch unser Ergebnis mit denen aus der Literatur.

§13 Kontinuierliche Intertwining-Operatoren, Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 §14 Existenz kontinuierlicher Intertwining-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 §15 Asymptotisches Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen . . . . . . . . . . . 83

§13

Kontinuierliche Intertwining-Operatoren, Eigenschaften

In diesem Paragraphen führen wir Intertwining-Operatoren für stark-stetige Operatorhalbgruppen ein, die wir der Kürze wegen als kontinuierliche Intertwining-Operatoren bezeichnen wollen. Viele der Konzepte und Aussagen, die wir im diskreten Fall vorgestellt haben, lassen sich ohne größere Schwierigkeiten auf die neue Situation übertragen. Definiert wurden stark-stetige Operatorhalbgruppen in Kapitel III. Dort wurde auch die Abbildung

M : 𝔇(M) → 𝔉_{w}(ℝ)  f̂ ↦ (x ↦ −ixf̂(x))

mit 𝔇(M) = { \atop 𝔇(D)} eingeführt (§12). Daraus ergibt sich sofort 𝔇(M) ⊂ \{f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)(ℝ) : id_{ℝ}f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)(ℝ)}. Bevor wir im Text fortfahren, wollen wir uns davon überzeugen, daß die letzte Inklusion in Wirklichkeit eine Gleichheit ist.

”⊃“: Da M der Erzeuger einer stark-stetigen Operatorgruppe ist, könne wir ein α > 0 wählen mit α ∈ ρ(M) (Proposition 11.8). Dann ist R := αR(α, M) ∈ L(𝔉_{w}(ℝ)) ein Operator mit Abbildung4.1 R = 𝔇(M) und MR = α(R − I). Sei f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit −iid_{ℝ}f̂ = û für ein û ∈ 𝔉_{w}(ℝ). Dann ist ĝ := \frac{1}{α}(−û + αf̂) ∈ 𝔉_{w}(ℝ) und daher ĥ := Rĝ ∈ 𝔇(M). Aus −iid_{ℝ}ĥ = Mĥ = MRĝ = αĥ−αĝ und −id_{ℝ}f̂ = û = αf̂−αĝ schließlich folgt, daß −iid_{ℝ}(f̂−ĥ) = α(f̂−ĥ) ist. Daher ist f̂ = ĥ ∈ 𝔇(M).

Die Darstellung 𝔇(M) = {f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) : id_{ℝ}f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)} zeigt insbesondere, daß 𝔇(M) ⊂ 𝔉_{w}(ℝ) ein Ideal ist.

Im folgenden stehe wie üblich X für einen beliebigen Banachraum, X′ für dessen topologischen Dual.

13.1 Definition: Sei w ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℝ, j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ eine beschränkte lineare Abbildung und T eine stark-stetige Operatorhalbgruppe mit infinitesimalen Erzeuger A. Falls j(𝔇(M)) ⊂ 𝔇(A′) und

j ∘ M = A′ ∘ j auf 𝔇(M)

gilt, nennen wir j einen kontinuierlichen Intertwining-Operator für die Halbgruppe T .

Wir werden in der Folge vereinfachend von kontinuierlichen Intertwining-Operatoren 𝔉_{w}(ℝ) → X′ sprechen, ohne das hierzu notwendige Beurling-Domar-Gewicht w auf ℝ und die zugehörige stark-stetige Operatorhalbgruppe jedesmal zu präzisieren; diese beiden Objekte sollen immer gegeben sein und mit w bzw. T bezeichnet werden.

Die Hilfsmittel, die wir bereits im diskreten Fall eingeführt haben, finden auch hier Verwendung.

13.2 Lemma: Sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator. Dann existiert ein größtes abgeschlossenes Ideal I(j) in 𝔉_{w}(ℝ), welches noch vollständig in ker j enthalten ist.

⊳ Beweis : Der Beweis dieses Lemmas ergbibt sich wie im Beweis von Lemma 6.2. ⊲

Der Träger von j ist definiert durch

supp(j) := h(I(j)) = ⋂_{f̂∈I(j)} N(f̂),

wobei N(f̂) für die Nullstellenmenge von f̂ in ℝ steht und h die Hüllenabbildung aus §5 ist.

13.3 In Analogie zu Aussage 6.5 definiert jede Funktion f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) vermöge f̂𝔉_{w}(ℝ) = {f̂ĝ : ĝ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)} ein Ideal in 𝔉_{w}(ℝ). Die Stetigkeit der Multiplikation in 𝔉_{w}(ℝ) sorgt dafür, daß \overline{f̂𝔉_{w}(ℝ)} ein abgeschlossenes Ideal in 𝔉_{w}(ℝ) ist. Gilt insbesondere f̂𝔉_{w}(ℝ) ⊂ ker j, so muß wegen der Abgeschlossenheit von ker j und der Definition von I(j) f̂𝔉_{w}(ℝ) ⊂ I(j) sein. Da L_{w}^{1}(ℝ) nach 1.18 eine approximative Eins enthält, sagen wir (f_{n})_{n∈ℕ}, gilt f̂f̂_{n} → f̂ für n → ∞ in 𝔉_{w}(ℝ), und wegen f̂f̂_{n} ∈ f̂𝔉_{w}(ℝ) somit f̂ ∈ \overline{f̂𝔉_{w}(ℝ)} ⊂ I(j).

§13. Kontinuierliche Intertwining-Operatoren, Eigenschaften 73

In Proposition 13.4 sammeln wir die grundlegenden Eigenschaften kontinuierlicher Intertwining-Operatoren. Abgesehen von geringfügigen Abweichungen können viele der Beweise aus dem diskreten Fall übernommen werden.

13.4 Proposition: Für einen kontinuierlichen Intertwining-Operator j gilt:

a) supp(j) = ∅ genau dann, wenn j ≡ 0.

b) Für f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) gilt: j ∘ Mf̂ ist ein Intertwining-Operator^{1}.

c) Für f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit f̂(λ) ≠ 0 für ein λ ∈ supp(j) gilt: j ∘ Mf̂ ≢ 0.

d) Für f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) gilt: I(j) ⊂ I(j ∘ Mf̂).

e) Für f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) gilt: supp(j ∘ Mf̂) ⊂ supp(f̂) ∩ supp(j).

f) Ist λ ∈ supp(j) isoliert, so existiert ein Intertwining-Operator j̃ mit supp(j̃) = {λ}.

⊳ Beweis : a) beweist man entsprechend dem Beweis von Proposition 6.3. Zum Beweis von b) vergleiche man mit Proposition 6.4; statt b̂ ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) ist ĝ ∈ 𝔇(M) zu nehmen, unter Berücksichtigung, daß 𝔇(M) ein Ideal in 𝔉_{w}(ℝ) ist. Der Beweis von Proposition 6.6 überträgt sich leicht auf c); statt Aussage 6.5 ist Aussage 13.3 heranzuziehen. d) und e) entspricht Proposition 6.7; natürlich ist auch hier Aussage 13.3 anstelle von Aussage 6.5 zu nehmen. An entsprechender Stelle muß sinngemäß Γ durch ℝ und die offene Menge U ⊂ Γ durch eine relativ-kompakte, offene Menge U ⊂ ℝ ersetzt werden. f) schließlich ist Korollar 6.8. ⊲

Mit Lat_{w}(M) wollen wir die Menge der abgeschlossen Unterräume von 𝔉_{w}(ℝ) bezeichnen, die invariant sind unter M. Für Y ∈ Lat_{w}(M) bezeichne M|Y den abgeschlossenen Operator M|Y : 𝔇(M) ∩ Y → Y, f̂ ↦ Mf̂. R(·, A) : ϱ(A) → L(X) stehe für die Resolvente von A. Im §10 haben wir σ(A) = σ(A′) zitiert.

13.5 Lemma: Sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator. Für alle Y ∈ Lat_{w}(M) gilt:

σ(M|Y) ∩ σ(A) = ∅ ⇒ Y ⊂ ker j

⊳ Beweis : (vgl. mit dem Beweis von Lemma 7.3)

Sei f̂ ∈ Y beliebig und F : C → X′ definiert durch

F (z) = \{ \begin{matrix}j(R(z, M|Y)f̂) & falls z ∉ σ(M|Y) \\ R(z, A′)j(f̂) & falls z ∉ σ(A′) = σ(A). \end{matrix}

Dann ist F eine wohldefinierte Funktion: Wegen σ(M|Y) ∩ σ(A) = ∅ ist ρ(M|Y) ∪ ρ(A) = ℂ und F auf ganz ℂ definiert; für z ∈ ρ(M|Y) ∩ ρ(A) gilt:

(z − A′)j(R(z, M|Y)f̂) = j((z − M)R(z, M|Y)f̂) = j(f̂),

1für dasselbe Gewicht und dieselbe Operatorhalbgruppe wie j

d.h. j(R(z, M|Y)f̂) = R(z, A′)j(f̂). Da sowohl R(·, M|Y) auf ρ(M|Y) als auch R(·, A′) auf ρ(A′) = ρ(A) analytisch sind, folgt die Analytizität von F auf ℂ. Da aber ∥F (t)∥ → 0 für t → ∞ (Satz 11.8), folgt F ≡ 0 (Liouville). Da R(z, A′) für große Re z existiert und injektiv ist, folgt insbesondere j(f̂) = 0. Da f̂ ∈ Y beliebig war, folgt Y ⊂ ker j. ⊲

13.6 Satz: Sei T : [0, +∞) → L(X) eine stark-stetige Operatorhalbgruppe mit infinitesimalen Erzeuger A, und sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator für T . Dann gilt:

supp(j) ⊂ iσ(A)

⊳ Beweis : (vgl. mit dem Beweis von Satz 7.4)

Im Falle supp(j) = ∅ ist nichts zu beweisen. Sei also t ∈ supp(j). Wir wollen annehmen, daß t ∉ iσ(A) ist. Da ℝ\σ(iA) offen ist, würde eine kompakte Umgebung F von t existieren mit F ⊂ ℝ\σ(iA) = ρ(iA). Mit Lemma 5.4 sieht man leicht, daß 𝔉_{w}(F) ∈ Lat_{w}(M) ist, und Proposition 12.4 liefert σ(M|𝔉_{w}(F)) ⊂ −iF. Nach Wahl von F wäre σ(M|𝔉_{w}(F)) ∩ σ(A) ⊂ −iF ∩ σ(A) = ∅. Nach Lemma 13.5 ergäbe sich 𝔉_{w}(F) ⊂ ker j. Da 𝔉_{w}(F) ein abgeschlossenes Ideal ist, erhielte man 𝔉_{w}(F) ⊂ I(j). Dies aber wäre ein Widerspruch, denn wegen t ∈ supp(j) müßte für alle f̂ ∈ 𝔉_{w}(F) f̂(t) = 0 gelten, was wegen der Regularität von 𝔉_{w}(ℝ) sicherlich nicht der Fall ist. Da die Annahme also falsch ist, kann nur supp(j) ⊂ σ(iA) sein. ⊲

Bevor wir mit weiteren Eigenschaften fortfahren können, müssen wir vorbereitend die Proposition 7.1 und das Korollar 7.2 auf die Situation abgeschlossener Operatoren übertragen.

Für ein A ∈ C(X) sind Potenzen induktiv definiert durch

• 𝔇(A^{0}) = X mit A^{0} = id_{X}

• 𝔇(A^{1}) = 𝔇(A) mit A^{1} = A

• 𝔇(A^{n}) = {x ∈ X : x ∈ 𝔇(A^{n−1}) und A^{n−1}x ∈ 𝔇(A)} mit A^{n} := A ∘ A^{n−1} für alle n ≥ 1.

Offenbar ist 𝔇(A^{n}) ⊂ 𝔇(A^{n−1}) für alle n ≥ 1.

Für eine kompakte Teilmenge F von ℂ und einen abgeschlossen Operator A : 𝔇(A) ⊂ X → X definieren wir den Spektralraum von A zu F durch

X_{A}(F)

= {x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} 𝔇(A^{n}): es existiert eine im Unendlichen verschwindende, analy-

tische Funktion f : ℂ\F → X mit f(ℂ\F) ⊂ 𝔇(A) und (z − A)f(z) = x für alle z ∈ ℂ\F }.

13.7 Proposition: Sei A ein abgeschlossener Operator auf X und λ ∈ ℂ beliebig. Dann gilt^{2}

X_{A}(\{λ\}) = \{x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} 𝔇(A^{n}) : lim sup_{n→∞} ∥(λ − A)^{n}x∥^{\frac{1}{n}} = 0\}

2Man zeigt induktiv, daß 𝔇((λ − A)^{n}) = 𝔇(A^{n}) für alle n ∈ ℕ gilt.

⊳ Beweis : Wir können uns auf den Fall λ = 0 zurückziehen, denn die allgemeine Aussage folgt hieraus durch Verschiebung um λ.

”⊃“: Sei x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} 𝔇(A^{n}) mit lim sup_{n→∞} ∥A^{n}x∥^{\frac{1}{n}} = 0, und betrachte f : ℂ\\{0\} → X mit f(z) =

∑_{n=0}^{∞}(A^{n}x)z^{−n−1}. Wegen lim sup_{n→∞} ∥A^{n}x∥^{\frac{1}{n}} = 0 ist f auf ℂ\\{0\} analytisch und verschwindet im Unendlichen. Wir müssen zeigen, daß f(z) ∈ 𝔇(A) und daß (z − A)f(z) = x für alle z ∈ ℂ\{0} ist.

Sei f_{k} : ℂ\{0} → X definiert durch f_{k}(z) = ∑_{n=0}^{k}(A^{n}x)z^{−n−1}, k ∈ ℕ. Aus x ∈ 𝔇(A^{n+1}) folgt x ∈ 𝔇(A^{n}) und A^{n}x ∈ 𝔇(A) für alle n ∈ ℕ. Es folgt f_{k}(z) ∈ 𝔇(A) für alle z ∈ ℂ\{0}. Wegen f_{k}(z) → f(z), Af_{k}(z) = A ∑_{n=0}^{k}(A^{n}x)z^{−n−1} = z ∑_{n=0}^{k+1}(A^{n}x)z^{−n−1} − x → zf(z) − x und A abgeschlossen, ergibt sich f(z) ∈ 𝔇(A) und Af_{k}(z) → Af(z) = zf(z)−x, d.h. (z −A)f(z) = x. Das ist x ∈ X_{A}({0}).

”⊂“: Zu x ∈ X_{A}({0}) existiert f : ℂ\{0} → X analytisch und im Unendlichen verschwindend mit f(ℂ\{0}) ⊂ 𝔇(A) und (z−A)f(z) = x für alle z ∈ ℂ\{0}. Da f im Unendlichen verschwin-

det, ist lim_{|z|→∞} ∥f(z)∥ = 0. Damit definiert g(z) := \{ \begin{matrix}f(\frac{1}{z}) & : z ∈ ℂ\\{0\} \\ 0 & : z = 0 \end{matrix} eine holomorphe

Funktion g : ℂ → X. Diese läßt sich in eine Potenzreihe g(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}z^{n} entwickeln. f besitzt

demzufolge die Darstellung f(z) = ∑_{k=1}^{∞} a_{k}z^{−k}. Aus x = (z − A)f(z) folgt Af(z) = zf(z) − x für

alle z ∈ ℂ\{0}. Wegen 𝔇(A) ∋ f(t) → 0 und tf(t) → a_{1} für t → ∞ sowie der Abgeschlossenhait von A, folgt

Af(t) = tf(t) − x → a_{1} − x =^{!} 0 (t → ∞),

d.h. a_{1} = x. Hat man für ein n > 0 bereits a_{1}, ..., a_{n−1} ∈ 𝔇(A) mit a_{k+1} = Aa_{k} für k =

1, ..., n − 1 nachgewiesen, so gilt 𝔇(A) ∋ t^{n}f(t) − ∑_{k=1}^{n−1} a_{k}t^{n−k} = ∑_{k=n}^{∞} a_{k}t^{n−k} → a_{n} für t → ∞ und

t^{n+1}f(t) − ∑_{k=1}^{n−1} a_{k+1}t^{n−k} = a_{1}t^{n} + ∑_{k=n}^{∞} a_{k+1}t^{n−k}. Es ist

A (t^{n}f(t) − ∑_{k=1}^{n−1} a_{k}t^{n−k}) = t^{n}Af(t) − ∑_{k=1}^{n−1} Aa_{k}t^{n−k}

= t^{n+1}f(t) − t^{n}x − ∑_{k=1}^{n−1} a_{k+1}t^{n−k} = ∑_{k=n}^{∞} a_{k+1}t^{n−k},

und wegen ∑_{k=n}^{∞} a_{k+1}t^{n−k} → a_{n+1} für t → ∞ und der Abgeschlossenheit von A folgt a_{n} ∈ 𝔇(A)

mit Aa_{n} = a_{n+1}. Hieraus ergibt sich induktiv a_{n+1} = A^{n}x für n ≥ 0.

Wir folgern f(z) = ∑_{n=0}^{∞}(A^{n}x)z^{−n−1}. Da der Konvergenzbereich von f ganz ℂ\{0} ist, ergibt sich

lim sup_{n→∞} ∥A^{n}x∥^{\frac{1}{n}} = 0

und es folgt die Behauptung. ⊲ 13.8 Korollar: Sei A ein abgeschlossener Operator auf X. Dann gilt:

ker(λ − A)^{n} ⊂ X_{A}({λ})

für alle n ∈ ℕ.

Sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator wie zuvor. Da I = M(𝔇(M)∩ I(j)) ⊂ 𝔉_{w}(ℝ) ein Ideal ist mit j|_{I} ≡ 0, gilt I ⊂ I(j). Wir definieren einen unbeschränkten Operator M̃: 𝔇(M̃) ⊂ 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) → 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) durch 𝔇(M̃) = {f̂+ I(j) : f̂ ∈ 𝔇(M)} und

M̃(f̂+ I(j)) = (Mf̂) + I(j) für f̂ ∈ 𝔇(M).

Wir wenden uns weiteren Eigenschaften kontinuierlicher Intertwining-Operatoren zu.

13.9 Proposition: Sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator, für dessen Träger supp(j) = {λ} für ein λ ∈ ℝ gelte. Dann ist M̃ überall definiert und stetig linear

mit σ \binom{}{M} = \{−iλ\}.

⊳ Beweis : Nach Proposition 2.7 existiert eine Funktion ê ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit kompaktem Träger und λ ∉ supp(1 − ê). Dann gilt für alle f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)

λ ∉ supp(f̂− êf̂.

Nach Korollar 5.2 ist dann f̂− êf̂ ∈ I(j) für alle f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ). Also ist 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) eine unitale Banachalgebra mit Einselement [ê]. Nach dem ersten Teil des Beweises von Proposition 12.4 gibt es ein h ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit ĥ = −it für alle t ∈ supp ê. Dann ist wieder nach Korollar 5.2

M(êf̂) − ĥêf̂ ∈ I(j)

für alle f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ). Da jedes Element f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) einen Repräsentanten mit kompakten Träger hat, ist M̃ überall definiert, und es gilt

M̃([f̂]) = M̃([êf̂]) = [M(êf̂)] = [ĥêf̂] = [ĥf̂]

für alle f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ). Damit haben wir gezeigt, daß M̃ der Multiplikationsoperator mit [ĥ] in der kommutativen unitalen Banachalgebra 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) ist. Also ist M̃ stetig linear mit

σ \binom{}{M} = σ_{𝔉_{w}(ℝ)/I(j)}([ĥ]) = \{ĥ(λ).

Das ist die Behauptung. ⊲

13.10 Korollar: Sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator mit supp(j) = {λ} für ein λ ∈ ℝ. Dann ist

(𝔉_{w}(ℝ)/I(j))M̃ ({λ}) = 𝔉_{w}(ℝ)/I(j).

§14. Existenz kontinuierlicher Intertwining-Operatoren 77

13.11 Proposition: Sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator, für dessen Träger supp(j) = {λ} für ein λ ∈ ℝ gelte. Dann ist die Abbildung

\begin{aligned}j̃: & 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) & → & X′ \\ & [f̂] & ↦ & j̃([f̂]) := j(f̂) \end{aligned}

wohldefiniert mit j̃(M̃[f̂]) = A′j̃([f̂]) für alle f̂ ∈ 𝔇(M) und Bild j̃⊂ X′_{A′}({λ}).

⊳ Beweis : Der erste Teil der Proposition ist wegen I(j) ⊂ ker j klar, und die Aussage bezüglich der ”Vertauschung“ von M̃ und A′ rechnet man leicht nach. Sei [ĝ] ∈ 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) beliebig. Nach Korollar 13.10 existiert eine analytische Funktion f : ℂ\{λ} → 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) mit (z − M̃)f(z) = [ĝ]. Anwenden von j̃ ergibt:

j̃((z − M̃)f(z)) = (z − A′)j̃(f(z)).

Für h : ℂ\{λ} → X′, h(z) := j̃(f(z)), ist h analytisch mit (z − A′)h(z) = j̃([ĝ]). Es folgt: j̃([ĝ]) ∈ X′_{A′}({λ}). Das ist die Behauptung. ⊲

13.12 Korollar: Sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator. Gilt für ein λ ∈ ℝ X′_{A′}({λ}) = {0}, so ist supp(j) ≠ {λ}.

⊳ Beweis : Wäre supp(j) = {λ}, so würde nach Proposition 13.11 die dort definierten Abbildung j̃ wegen Bild j̃ ⊂ X′_{A′}({λ}) = {0} identisch verschwinden. Dann verschwindet aber auch j, was aufgrund von Proposition 13.4.a) nicht sein kann. ⊲

Das entscheidende Ergebnis lautet:

13.13 Satz: Sei j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ ein kontinuierlicher Intertwining-Operator für die starkstetige Operatorhalbgruppe T . Für den infinitesimalen Erzeuger A dieser Halbgruppe sei σ(A) ∩ iℝ abzählbar und X′_{A′}({λ}) = {0} für alle λ ∈ ℝ. Dann ist j ≡ 0.

⊳ Beweis : Wäre j ≢ 0, so ergäbe sich nach Proposition 13.4.a) supp(j) ≠ ∅. Da σ(A) ∩ iℝ abzählbar und abgeschlossen ist, und da supp(j) nach Satz 13.6 eine Teilmenge hiervon ist, enthielte supp(j) einen isolierten Punkt μ ∈ ℝ. Sei U ein relativ-kompakte, offene Umgebung dieses μ mit U ∩supp(j) = {μ} und f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) eine Funktion mit f̂(μ) ≠ 0 und supp f̂ ⊂ U (wir erinnern: 𝔉_{w}(ℝ) ist regulär). Wir könnten nach Proposition 13.4.b) und Proposition 13.4.c) einen nicht-verschwindenden, kontinuierlichen Intertwining-Operator j̃: 𝔉_{w}(ℝ) → 𝔉_{w}(ℝ) definieren durch j̃:= j ∘ Mf̂ mit – Proposition 13.4.e) – supp(j̃) ⊂ supp(f̂) ∩ supp(j) = {μ}. Wegen j̃≢ 0 wäre supp(j̃) = {μ}. Mit Korollar 13.12 kann dies aber aufgrund von X′_{A′}({μ}) = {0} nicht sein. Unsere Annahme muß von daher falsch sein und j muß tatsächlich identisch verschwinden.

⊲

Im nächsten Paragraphen wenden wir uns der Frage zu, unter welchen Voraussetzungen man die Existenz eines nicht-trivialen, kontinuierlichen Intertwining-Operators für eine stark-stetige Operatorhalbgruppe gararantieren kann.

§14

Existenz kontinuierlicher Intertwining-Operatoren

Beim Existenznachweis kontinuierlicher Intertwining-Operatoren stößt man prinzipiell auf dieselben Schwierigkeiten wie im Fall diskreter Intertwining-Operatoren. Wir wollen deshalb für die nachfolgenden Ausführungen eine stark-stetige Operatorhalbgruppe T : [0, +∞) → L(X′) gegeben wissen, deren infinitesimaler Erzeuger mit A bezeichnet wird und für die

∥T (t)∥ = O(w(t)) für t → +∞

gilt, wobei w ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℝ ist. Wie gewöhnlich stehe X für einen Banachraum und X′ für dessen topologischen Dualraum.

A. Konstruktion eines kontinuierlichen Intertwining-Operators

Wir definieren als erstes die Abbildung

S : 𝔉_{w}(ℝ) × X′ × X → ℂ, (f̂, α, x) ↦ ∫_{0}^{∞}f(t)α(T (t)x) dt,

die von unserer vorgegebenen, stark-stetigen Operatorhalbgruppe T abhängt, die wir jedoch nicht in die Notation von S aufnehmen wollen. Wir müssen klären, ob S wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung sind T (·)x und damit α(T (·)x) stetig für alle x ∈ X; fα(T (·)x) ist somit meßbar. Es ist |f(t)α(T (t)x)| ≤ |f(t)| ∥α∥ ∥T (t)∥ ∥x∥. Da für eine geeignete Konstante C > 0 die Beziehung ∥T (t)∥ ≤ Cw(t) für alle t ∈ ℝ gilt^{3}, folgt

∫_{0}^{∞} |f(t)α(T (t)x)| dt ≤ C∥α∥ ∥x∥ ∥f̂∥_{w}.  (31)

Man sieht leicht, daß für f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) und α ∈ X′

S(f̂, α, ·) : X → ℂ, x ↦ S(f̂, α, x)

eine beschränkte lineare Abbildung ist mit

∥S(f̂, α, ·)∥ ≤ ( sup_{t∈[0,t_{0}]} ∥T (t)∥ + C) ∥α∥ ∥f̂∥_{w}.

Hiermit definieren wir

Φ : 𝔉_{w}(ℝ) → L(X′)

mit

Φ(f̂) : X′ → X′, Φ(f̂)α := S(f̂, α, ·)

3Hierbei wird ausgenutzt, daß sup_{t∈[0,t_{0}]} ∥T (t)∥ < +∞ für alle t_{0} > 0 (Proposition 11.3).

Offenbar ist Φ(f̂) für f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) linear und stetig mit

∥Φ(f̂)∥ ≤ C∥f̂∥_{w},

und Φ somit wohldefiniert. Schließlich ist Φ selber linear und stetig mit

∥Φ∥ ≤ C.

Wir wollen uns davon überzeugen, daß für alle f̂ ∈ 𝔇(M) und alle α ∈ X′ gilt: Φ(f̂)α ∈ 𝔇(A′).

Dazu müssen wir zeigen, daß sich die lineare Abbildung

𝔇(A) → ℂ, x ↦ (Φ(f̂)α)(Ax)

zu einem beschränkten linearen Funktional auf X fortsetzen läßt (§10, Abschnitt A). Hierzu ist die Produktregel 12.2 nützlich. Da nämlich für f̂ ∈ 𝔇(M) die Funktion f absolut stetig ist und ebenso α(T (·)x) = ∫_{0}^{·} \frac{d}{ds}α(T (s)x) ds + α(x), ergibt sich

∫_{0}^{s} f(t)\frac{d}{dt}α(T (t)x) dt = f(s)α(T (s)x) − f(0)α(x) − ∫_{0}^{s}(Df)(t)α(T (t)x) dt.  (32)

Für x ∈ 𝔇(A) ist nach Lemma 11.5 und (31)

∫_{0}^{∞} f(t)α(T (t)Ax) dt = ∫_{0}^{∞} f(t)\frac{d}{dt}α(T (t)x) dt.

Da wieder nach (31) das Integral ∫_{0}^{∞}(Df)(t)α(T (t)x) dt existiert (Df ∈ 𝔉_{w}(ℝ)!), folgt mit (32) die Konvergenz von (s ↦ f(s)α(T (s)x)) für s → ∞. Der Grenzwert muß Null sein, denn andernfalls existierte ϵ > 0 mit

ϵ ≤ |f(s)α(T (s)x)| ≤ ∥α∥ ∥x∥ |f(s)|w(s)

für hinreichend großes s, im Widerspruch zu f ∈ L_{w}^{1}(ℝ). Wir erhalten damit

∫_{0}^{∞} f(t)\frac{d}{dt}α(T (t)x) dt = − ∫_{0}^{∞}(Df)(t)α(T (t)x) dt − f(0)α(x)  (33)

Für alle f̂ ∈ 𝔇(M), α ∈ X′ und x ∈ 𝔇(A) ergibt sich somit

(Φ(f̂)α)(Ax) = ∫_{0}^{∞} f(t)α(T (t)Ax) dt = ∫_{0}^{∞} f(t)\frac{d}{dt}α(T (t)x) dt (Lemma 11.5)
=^{(33)} − ∫_{0}^{∞}(Df)(t)α(T (t)x) dt − f(0)α(x)  (34)

und

∥(Φ(f̂)α)(Ax)∥ ≤ (C∥Df∥_{w} + |f(0)|) ∥x∥ ∥α∥.

Damit läßt sich Φ(f̂)α ∘ A : 𝔇(A) → ℂ stetig auf ganz X fortsetzen. Für alle f̂ ∈ 𝔇(M) und α ∈ X′ ist also Φ(f̂)α ∈ 𝔇(A′), und für die Abbildung A′Φ(f̂) : X′ → X′ gilt 𝔇(A′Φ(f̂)) = X′.

Eine weitere Familie von Abbildungen ist von Nöten. Für t ∈ ℝ definieren wir

P_{t} : 𝔉_{w}(ℝ) → 𝔉_{w}(ℝ),  f̂ ↦ τ̂_{t}f

Wir haben bereits in Proposition 1.12 gesehen, daß ∥P_{t}∥ ≤ w(t) für alle t ∈ ℝ ist.

Wir stellen einen Zusammenhang zwischen M und A′ her. Für f̂ ∈ 𝔇(M) ist

ΦP_{t}(Mf̂) = −ΦP_{t}(D̂f) = −Φ({ \atop τ_{t}Df}).

Für α ∈ X′ und x ∈ X ergibt sich

((ΦP_{t}(Mf̂))α)x = −S({ \atop τ_{t}Df}, α, x) = − ∫_{0}^{∞}(τ_{t}Df)(s)α(T (s)x) ds.  (35)

Führt man dieselbe Rechnung mit f̂ anstelle von Mf̂ aus, erhält man

((ΦP_{t}(f̂))α)x = ∫_{0}^{∞}(τ_{t}f)(s)α(T (s)x) ds.

Mit (34) folgt für f̂ ∈ 𝔇(M), α ∈ X′ und x ∈ 𝔇(A)

(ΦP_{t}(f̂)α)(Ax) = − ∫_{0}^{∞} D(τ_{t}f)(s)α(T (s)x) − (τ_{t}f)(0)α(x)
= − ∫_{0}^{∞}(τ_{t}Df)(s)α(T (s)x) ds − f(−t)α(x),

wobei es natürlich Sinn macht, von f(−t) zu sprechen, da f stetig ist.

Zusammen mit (35) erhält man für f̂ ∈ 𝔇(M), α ∈ X′ und x ∈ 𝔇(A)

((ΦP_{t}(Mf̂))α)x = (ΦP_{t}(f̂)α)(Ax) + f(−t)α(x)

d.h.

ΦP_{t}(Mf̂) = A′ΦP_{t}(f̂) + f(−t).  (36)

Als Hilfsmittel erklären wir

⟨ℝ⟩ := {r_{·} ∈ ℝ^{ℕ} : r_{1} ≥ 0, r_{k+1} > r_{k} für alle k ∈ ℕ, r_{k} → +∞}, Menge der

unbeschränkt monoton wachsenden Folgen positiver, reeller Zahlen,

⟨x⟩ := {α_{·} : ℝ → X′ : α_{t}(T (t)x) = ∥T (t)x∥ mit ∥α_{t}∥ = 1 falls T (t)x ≠ 0,

α_{t} ≡ 0 falls T (t)x = 0}, x ∈ X,

Λ := {(x, r_{·}, η_{·}, α_{·}, l_{·}) ∈ X × ⟨ℝ⟩ × ℝ^{ℕ} × X^{′ℝ} × ℂ^{(X^{′ℕ})} : η_{k} = w(r_{k}) für alle

k ∈ ℕ, α_{·} ∈ ⟨x⟩, l_{·} ∈ Li_{η_{·}}}.

Da X, T und w Teil unserer Voraussetzungen sind, sollen diese Bezeichner nicht in die Notation mit aufgenommen werden. Aufgrund des Satzes von Hahn-Banach ist die Menge ⟨x⟩ nicht leer. Die Menge Li_{η_{·}} wurde bereits in Kapitel §8, Abschnitt A eingeführt.

Mit diesen Vorbereitungen können wir formal einen Intertwining-Operatoren konstruieren, der zwar noch trivial sein mag, aus dem heraus wir aber schon bald einen nicht-trivialen herleiten können. Wir betrachten hierzu ein f̂ ∈ 𝔇(M) und ein 5-Tupel (x, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})}) ∈ Λ. Es gilt mit den Komponenten dieses Tupels

∥(ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}}∥ ≤ ∥ΦP_{r_{k}}(f̂)∥ ∥α_{r_{k}}∥ ≤ ∥Φ∥ ∥P_{r_{k}}(f̂)∥ ∥α_{r_{k}}∥
≤ ∥Φ∥w(r_{k})∥f̂∥_{w}∥α_{r_{k}}∥

und damit

\frac{∥(ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}}∥}{w(r_{k})} ≤ ∥Φ∥ \underbrace{∥α_{r_{k}}∥}_{=0 oder =1} ∥f̂∥_{w} ≤ ∥Φ∥ ∥f̂∥_{w}.  (37)

Da also

((ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}})_{k∈ℕ} ∈ ℓ_{w(r_{·})}^{∞}(ℕ, X′),

ist die nachfolgende Abbildung für (x, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})}) ∈ Λ wohldefiniert.

\begin{aligned}j(x, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})}) : & 𝔉_{w}(ℝ) & → & X′ \\ & f̂ & ↦ & li_{w(r_{·})}(((ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}})_{k∈ℕ}). \end{aligned}  (38)

14.1 Satz: Sei T eine stark-stetige Operatorhalbgruppe mit infinitesimalen Erzeuger A uns sei w ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℝ. T erfülle ∥T (t)∥ = O(w(t)) für t → +∞. Dann definiert für jedes (x, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})}) ∈ Λ der gemäß (38) definierte Operator j(x, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})}) : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ eine beschränkte, lineare Abbildung mit

j(x, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})})(Mf̂) = −A′j(x, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})})(f̂)  (39)

für alle f̂ ∈ 𝔇(M).

⊳ Beweis : Sei j = j(x, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})}). Die Linearität von j ist klar.

∥j(f̂)∥ = ∥li_{w(r_{·})}(((ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}})_{k∈ℕ})∥
≤ ∥((ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}})_{k∈ℕ}∥_{∞,w(r_{·})} = ∥(\frac{∥(ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}}∥}{w(r_{k})})_{k∈ℕ}∥_{∞}
≤^{(37)} ∥Φ∥ ∥f̂∥_{w},

also ist j stetig. Um die Intertwining-Eigenschaft (39) für f̂ ∈ 𝔇(M) nachzuweisen, bemerken wir, daß wegen f stetig und f(t) → 0 für |t| → +∞ auch f(−r_{k}) → 0 für k → +∞. Wegen w ≥ 1 konvergiert dann aber auch \frac{f(−r_{k})}{w(r_{k})} für k → +∞ gegen 0. Da li_{w(r_{·})} eine Fortsetzung von lim_{w(r_{·})} : c_{w(r_{·})}(ℕ, ℂ) → ℂ ist, ergibt sich also

li_{w(r_{·})}((f(−r_{k})α_{r_{k}})_{k∈ℕ}) = 0.

Hiermit erhält man den gewünschten Zusammenhang (39):

j(Mf̂) = li_{w(r_{·})}(((ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}})_{k∈ℕ})
=^{(36)} li_{w(r_{·})}((−A′((ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}})_{k∈ℕ} − (f(−r_{k})α_{r_{k}})_{k∈ℕ})
= −A′li_{w(r_{·})}(((ΦP_{r_{k}}(f̂))α_{r_{k}})_{k∈ℕ})
= −A′j(f̂)

für f̂ ∈ 𝔇(M). ⊲

B. Ein Existenzsatz für kontinuierliche Intertwining-Operatoren

14.2 Satz: Sei T ein stark-stetige Operatorhalbgruppe mit infinitesimalen Erzeuger A ∈ C(X) und sei w ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℝ. T erfülle ∥T (t)∥ = O(w(t)) für t → ∞, und (\frac{T (t)}{w(t)})_{t∈[0,∞)} konvergiere in der starken Operatornorm für t → ∞ \underline{nicht} gegen 0. Dann existiert ein nicht-trivialer Intertwining-Operator j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ für T und w.

⊳ Beweis : Wenn (\frac{T (t)}{w(t)})_{t∈[0,∞)} in der starken Operatortopologie für t → ∞ nicht gegen 0 konvergiert, existieren x_{0} ∈ X, ϵ > 0 und eine monoton wachsende Folge (p_{k})_{k∈ℕ} positiver, reeler Zahlen mit p_{k} → ∞ für k → ∞ und

\frac{∥T (p_{k})x_{0}∥}{w(p_{k})} ≥ ϵ  (40)

für alle k ∈ ℕ. Aufgrund der Stetigkeit von T (·)x_{0} existiert ein 0 < δ < 1, so daß für alle 0 ≤ r < δ gilt:

∥T (r)x_{0} − T (0)x_{0}∥ = ∥T (r)x_{0} − x_{0}∥ ≤ \frac{ϵ}{2C} ,

wobei C eine Konstante mit ∥T (t)∥ ≤ Cw(t) für hinreichend großes t ist. In der Folge (p_{k})_{k∈ℕ} können wir ohne Einschränkung p_{1} so groß wählen, daß für alle k ∈ ℕ ∥T (p_{k})∥ ≤ Cw(p_{k}) gilt. Für s ∈ [p_{k}, p_{k} + δ] erhält man dann (s = p_{k} + r, 0 ≤ r < δ):

∥T (s)x_{0} − T (p_{k})x_{0}∥ ≤ ∥T (p_{k})∥ ∥T (r)x_{0} − x_{0}∥ ≤ Cw(p_{k})\frac{ϵ}{2C} = \frac{ϵ}{2}w(p_{k}).  (41)

Mit f = χ_{[0,δ]} und α_{·} ∈ ⟨x_{0}⟩ ist nun:

|∫_{0}^{∞}(τ_{p_{k}}f)(s)α_{p_{k}}(T (s)x_{0}) ds| = |∫_{p_{k}}^{p_{k}+δ} α_{p_{k}}(T (s)x_{0}) ds|
≤ ∫_{p_{k}}^{p_{k}+δ} ∥T (s)x_{0}∥ ds ≤ C∥x_{0}∥ ∫_{p_{k}}^{p_{k}+δ} w(s) ds
≤ C∥x_{0}∥w(p_{k}) ∫_{0}^{δ} w(s) ds ≤ Kw(p_{k})

mit einer Konstanten K ≥ C∥x_{0}∥ ∫_{0}^{δ} w(s) ds (w ist auf [0, δ] beschränkt; siehe 1.18). Insbesondere ist für

a_{k} := ∫_{p_{k}}^{p_{k}+δ} α_{p_{k}}(T (s)x_{0}) ds

\frac{a_{·}}{w(p_{·})} ∈ ℓ^{∞}(ℕ, ℂ).

Wegen letzterem existiert eine streng monoton wachsende Folge (k_{i})_{i∈ℕ} natürlicher Zahlen mit

lim_{i→∞} \frac{a_{k_{i}}}{w(p_{k_{i}})} existiert.

§15. Asymptotisches Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen 83

Einen Intertwining-Operator j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ können wir nun, wenn wir zwei Folge r_{·} und r_{·} definieren durch r_{i} := p_{k_{i}} und q_{i} := a_{k_{i}}, i ∈ ℕ, gemäß Abschnitt A erklären durch j = j(x_{0}, r_{·}, w(r_{·}), α_{·}, li_{w(r_{·})}) (Proposition 14.1). Wir müssen nur noch zeigen, daß j nicht verschwindet.

Sei f = χ_{[0,δ]} wie oben.

j(f̂)x_{0} = li_{w(r_{·})}(((ΦP_{r_{i}}(f̂))α_{r_{i}})_{i∈ℕ})x_{0}
= li_{w(r_{·})} ((∫_{r_{i}}^{r_{i}+δ} α_{r_{i}}(T (s)x_{0}))_{i∈ℕ}) = li_{w(r_{·})}(q_{·}) = lim_{i→∞} \frac{q_{i}}{w(r_{i})}

Es muß also nur noch lim_{i→∞} \frac{q_{i}}{w(r_{i})} ≠ 0 nachgewiesen werden.

Es ist

|∫_{r_{i}}^{r_{i}+δ} α_{r_{i}}(T (s)x_{0} − T (r_{i})x_{0}) ds| ≤ ∫_{r_{i}}^{r_{i}+δ} ∥T (s)x_{0} − T (r_{i})x_{0}∥ ds ≤^{(41)} \frac{δϵ}{2}w(r_{i})  (42)

und

∫_{r_{i}}^{r_{i}+δ} α_{r_{i}}(T (r_{i})x_{0}) ds ≤ δ∥T (r_{i})x_{0}∥ ≤^{(40)} δϵw(r_{i}).

Daraus ergibt sich

δϵw(r_{i}) ≤ ∫_{r_{i}}^{r_{i}+δ} α_{r_{i}}(T (r_{i})x_{0}) ds
≤ |∫_{r_{i}}^{r_{i}+δ} α_{r_{i}}(T (r_{i})x_{0} − T (s)x_{0}) ds| + |∫_{r_{i}}^{r_{i}+δ} α_{r_{i}}(T (s)x_{0}) ds|
≤^{(42)} \frac{δϵ}{2}w(r_{i}) + |q_{i}|.

Folglich ist |q_{i}| ≥ \frac{δϵ}{2}w(r_{i}) für alle i ∈ ℕ.

| lim_{i→∞} \frac{q_{i}}{w(r_{i})}| = lim_{i→∞} \frac{|q_{i}|}{w(r_{i})} ≥ \frac{δϵ}{2},

insbesondere ist j(f̂) ≢ 0 und damit j ≢ 0. ⊲

§15

Asymptotisches Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen

15.1 Satz: Sei T eine stark-stetige Operatorhalbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger A ∈ C(X) und sei w ein Beurling-Domar-Gewicht auf ℝ. T erfülle ∥T (t)∥ = O(w(t)) für t → ∞. Sei σ(A) ∩ iℝ abzählbar und für alle λ ∈ σ(A) ∩ iℝ gelte X′_{−A′}({λ}) = {0}. Dann konvergiert

(\frac{T (t)}{w(t)})_{t∈[0,+∞)} in der starken Operatortopologie gegen 0.

⊳ Beweis : Würde (\frac{T (t)}{w(t)})_{t∈[0,+∞)} in der starke Operatortopologie nicht gegen 0 konvergie-

ren, so existierte nach Satz 14.2 ein nicht-trivialer Intertwining-Operator j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′, was mit den gemachten Voraussetzungen nach Satz 13.13 nicht möglich ist. ⊲

Wir führen die Anwendung von Satz 15.1 an einem einfachen Beispiel vor.

15.2 Beispiel: Sei X = X′ = ℂ und T : [0, +∞) → ℂ = L(ℂ), T (t) = e^{at}, a ∈ ℂ fest. Dann ist offensichtlich T (0) = 1, T (s + t) = T (s)T (t) für s, t ≥ 0 und T (·)x stetig für alle x ∈ ℂ. Der infinitesimaler Erzeuger von T berechnet sich zu A : ℂ → ℂ, x ↦ ax, mit 𝔇(A) = ℂ. Es gilt ∥T (t)∥ = |e^{at}| = e^{tRe a}. Um ∥T (t)∥ = O(w(t)) für t → ∞ zu haben, etwa mit w ≡ 1, muß Re a ≤ 0 sein. σ(A) ∩ iℝ ist höchstens einpunktig und damit abzählbar. Da A′ = A ist, schreibt sich ℂ_{−A′}({λ}) folgendermaßen:

ℂ_{−A′}({λ})

= {x ∈ ℂ : es existiert f : ℂ\{λ} → ℂ analytisch mit (z + a)f(z) = x, f verschwindet im Unendlichen}

Ist Re a < 0, λ ∈ iℝ und x ∈ ℂ_{−A′}({λ}), so ist mit −a ≠ λ: 0 = (−a + a)f(−a) = x, d.h. ℂ_{−A′}({λ}) = {0}. Satz 15.1 impliziert somit die Konvergenz von (T (t))_{t∈[0,+∞)} in der starken Operatortopologie (wie erwartet).

Ist Re a = 0 und λ = −a, so ergibt sich ℂ_{−A′}({−a}) = ℂ und Satz 15.1 macht keine Aussage. Wir wissen natürlich, daß in diesem Fall (T (t))_{t∈[0,+∞)} in der starken Operatortopologie nicht gegen 0 konvergiert.

Unseres Wissens nach ist Satz 15.1 über das asymptotische Verhalten stark-stetiger Operatorhalbgruppen neu, wie aber schon im diskreten Fall sind es die Ideen einer solchen Formulierung nicht. Auch hier sind als Vorreiter Arendt und Batty sowie Lyubich und Phong zu nennen. Ihre kontinuierlische Version von Satz 9.3 lautet:

15.3 Satz: (Arendt, Batty [1], Lyubich, Phong [20])

Sei T : [0, +∞) → L(X), X Banachraum, eine stark-stetige Operatorhalbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger A. Es gelte ∥T (t)∥ ≤ C für alle t ≥ 0 und eine Konstante C > 0. Ist dann σ(A) ∩ iℝ abzählbar und σ_{p}(A) ∩ iℝ leer, dann konvergiert T (t) in der starken Operatortopologie für t → ∞ gegen 0.

Wir wollen uns nicht wiederholen und verweisen deshalb auf die Bemerkung, die wir bereits im Anschluß zu Satz 9.3 gemacht haben.

Phong liefert wieder die Verallgemeinerung.

15.4 Satz: (Phong [19])

Sei T : [0, +∞) → L(X), X Banachraum, eine stark-stetige Operatorhalbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger A. Es gelte

∥T (t)∥ ≤ w(t)

für eine Gewichtsfunktion w auf ℝ und w̃(t) := lim sup_{s→∞} \frac{w(t+s)}{w(s)} = O(t^{k}), k ≥ 0. Ist dann σ(A) ∩ iℝ abzählbar und σ_{p}(A′) ∩ iℝ leer, dann konvergiert \frac{T (t)}{w(t)} in der starken Operatortopologie für t → ∞ gegen 0.

Wie im diskreten Fall leitet man hieraus leicht das nachfolgende Korollar ab.

15.5 Korollar: Sei T : [0, +∞) → C(X), X Banachraum, eine stark-stetige Operatorhalbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger A. Für ein Gewicht w auf ℝ mit w(t) = O(t^{k}), k ≥ 0, gelte ∥T (t)∥ ≤ w(t), σ(A) ∩ iℝ abzählbar und σ(A′) ∩ iℝ leer. Dann konvergiert \frac{T (t)}{w(t)} in der starken Operatortopologie für t → ∞ gegen 0.

In dieser Form wird die Ähnlichkeit zu Satz 15.1 am deutlichsten: ein allgemeineres Gewicht für eine stärkere Voraussetzung als σ_{p}(A′) ∩ iℝ = ∅.

Abschließend zeigen wir, wie man Korollar 15.5 aus dem Resultat von Phong mit unserer Beweismethode zeigen kann. Für den Rest dieses Paragraphen nehmen wir deshalb an, daß k eine fest vorgegebene natürliche Zahl und daß w ein Beuerling-Domar-Gewicht auf ℝ mit w(t) = O(|t|^{k}) für |t| → ∞ ist; es existiert dann eine Konstante K > 0 mit w(t) ≤ K|t|^{k} für alle t ∈ ℝ. Die Abbildung j : 𝔉_{w}(ℝ) → X′ bezeichne wie bisher einen kontinuierlichen Intertwining-Operator, für dessen Träger wie supp j = {λ} annehmen mit einem λ ∈ ℝ. Mit M̃ bezeichnen wir die in §13 auf Seite 76 definierten Operator.

Die Aussage 9.7 angewandt auf den Operator λ−M̃ wird wie im diskreten Fall eine wichtige Rolle spielen. Wir müssen deshalb zunächst zeigen, daß λ − M̃ ein verallgemeinert skalarer Operator ist.

Wir beginnen mit dem Nachweis, daß sich (unter den Voraussetzungen für das Gewicht w) der Schwartzraum S(ℝ) der schnell fallenden C^{∞}-Funktionen auf ℝ topologisch in L_{w}^{1}(ℝ) einbetten läßt. Hierbei bezeichnen wir mit q_{n,m} für n, m ∈ ℕ_{0} die die Topologie von S(ℝ) erzeugende Halbnormenfamilie; es ist

q_{n,m}(f) = sup_{x∈ℝ} (1 + |x|^{m}) |f^{(n)}(x)|

für alle f ∈ S(ℝ).

Ist nun f ∈ S(ℝ), so existiert für m = k + 2 und n = 0 eine Konstante C > 0 mit

(1 + |x|^{k+2}) |f(x)| ≤ C

für alle x ∈ ℝ. Eine direkte Rechnung zeigt

∫_{ℝ} |f(x)|w(x) dx ≤ C ∫_{ℝ} \frac{w(x)}{1 + |x|^{k+2}} dx ≤ CK ∫_{ℝ} \frac{|x|^{k}}{1 + |x|^{k+2}} dx < +∞.  (43)

Also ist S(ℝ) ⊂ L_{w}^{1}(ℝ).

Ist (f_{l})_{l∈ℕ} eine Folge in S(ℝ) mit f_{l} → 0 für l → ∞ in S(ℝ), so existiert zu beliebigem ϵ > 0 ein l_{0} ∈ ℕ mit q_{0,k+2}(f_{l}) < ϵ für alle l ≥ l_{0}. Wie in (43) ergibt sich mit ϵ anstelle von C die Beziehung

∫_{ℝ} |f_{l}(x)|w(x) dx ≤ ϵK ∫_{ℝ} \frac{|x|^{k}}{1 + |x|^{k+2}} dx

für alle l ≥ l_{0}. Da ϵ beliebig gewählt werden kann und die rechte Seite unabhängig von l ist, folgt f_{l} → 0 für l → ∞ in L_{w}^{1}(ℝ). Die Einbettung S(ℝ) ↪ L_{w}^{1}(ℝ) ist damit stetig.

Da die Fouriertransformation bzgl. der Topologie auf S(ℝ) ein Homöomorphismus S(ℝ) → S(ℝ) ist und da die Fouriertransformation auch ein Homöomorphismus L_{w}^{1}(ℝ) → 𝔉_{w}(ℝ) ist (Definiton!), läßt sich S(ℝ) auch in 𝔉_{w}(ℝ)(ℝ) topologisch einbetten. Diese Einbettung bezeichnen wir mit i.

Wegen C_{c}^{∞}(ℝ) ⊂ S(ℝ) ⊂ 𝔉_{w}(ℝ) können wir eine C^{∞}-Funktionen ê ∈ 𝔉_{w}(ℝ) mit kompaktem Träger und λ ∉ supp(1ê) wählen. [ê] ist dann ein Einselement in 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) (vgl. ??). Man überprüft leicht, daß die Abbildung κ : C^{∞}(ℂ) → S(ℝ), f ↦ f(λ + i·)|_{ℝ}ê stetig ist mit κ(C^{∞}(ℂ)) ⊂ C_{c}^{∞}(ℝ). Jede Banachalgebra A läßt sich vermöge a ↦^{θ} M_{a} (a ∈ A) mit M_{a} : A → A, b ↦ ab, isometrisch in L(A) einbetten. Wenden wir dies auf A = 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) an und beachten wir noch die Stetigkeit der Quotientenabbildung π : 𝔉_{w}(ℝ)(ℝ) → 𝔉_{w}(ℝ)/I(j), so können wir eine stetige Abbildung

C^{∞}(ℂ) → L(𝔉_{w}(ℝ)/I(j))

definieren durch

Φ := θ ∘ π ∘ i ∘ κ.

Konkreter ist also für alle f ∈ C^{∞}(ℂ) und alle [ĝ] ∈ 𝔉_{w}(ℝ)/I(j)

Φ(f)[ĝ] = [f(λ + i·)|_{ℝ}êĝ].

Für f = 1_{ℂ} und f = id_{ℂ} sowie [ĝ] ∈ 𝔉_{w}(ℝ)/I(j) ergibt sich

Φ(1_{ℂ})[ĝ] = [êĝ] = [ĝ], d.h. Φ(1_{ℂ}) = id_{𝔉_{w}(ℝ)/I(j)}, und
Φ(id_{ℂ})[ĝ] = [ĥêĝ] = (λ − M̃)[ĝ], d.h. Φ(id_{ℂ}) = λ − M̃,

wobei ĥ?? ist.

Anhang A

Das Lemma von Fatou und harmonische Analysis

Beim Beweis der Regularität von Beurling-Algebren spielt das Lemma von Fatou neben einem Satz von Paley und Wiener, den wir im Anhang B angeben und beweisen werden, eine wichtige Rolle. Das Lemma läßt sich in zwei Versionen formulieren: zum einen für die Einheitskreisscheibe in ℂ, und zum anderen für die obere Halbebene von ℂ. In der ersten Version findet man das Lemma von Fatou in zahlreichen Büchern formuliert und bewiesen – etwa in [14], Seite 34ff, und [7], Seite 108ff –, so daß wir uns an dieser Stelle darauf beschränken wollen, letzteres in einer für uns relevanten Form anzugeben. Eigentlich wichtig für uns ist das Lemma allerdings in der zweiten Version. Da wir davon ausgehen, daß diese weniger geläufig ist, wollen wir sie, auch wegen ihrer Wichtigkeit für diese Arbeit, beweisen.

Hier und indirekt auch im Anhang B werden das Vokabular und einige grundlegende Aussagen aus der harmonischen Analysis benötigt. Die harmonische Analysis ist ein in vielen Büchern in ihren Grundzügen gut und ausführlich dargestellte Theorie, so daß wir es an dieser Stelle darauf bewenden lassen wollen, für die im folgenden anzutreffenden Begriffe und Aussagen auf die bereits weiter oben genannte Literatur zu verweisen.

Im folgenden sei Γ = {z ∈ ℂ : |z| = 1} und 𝔻 = {z ∈ ℂ : |z| < 1}. Wir schreiben die Elemente von Γ bzw. 𝔻 frei in der Form z = e^{iθ} bzw. z = re^{iθ} mit r ∈ [0, 1) und θ ∈ [−π, π) eindeutig bestimmt.

Ist f ∈ L^{1}(Γ), so definiert

\begin{aligned}u : & 𝔻 & → & ℂ \\ & re^{iθ} & ↦ & \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (\frac{e^{iτ} + re^{iθ}}{e^{iτ} − re^{iθ}} ) f(e^{iτ}) dτ \end{aligned}  (44)

eine auf 𝔻 harmonische Funktion. Die Abbildung

\begin{matrix}𝔻 & → & ℝ \\ re^{iθ} & ↦ & |u(re^{iθ})|^{2} \end{matrix}

ist subharmonisch und

\begin{matrix}[0, 1) & → & ℝ \\ r & ↦ & \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |u(re^{iτ})|^{2} dτ \end{matrix}

monoton wachsend. Ist für f ∈ L^{2}(Γ) ⊂ L^{1}(Γ) die gemäß (44) definierte Funktion u nicht nur harmonisch, sondern sogar analytisch – man kann zeigen, daß dies genau dann der Fall ist, wenn die negativen Fourierkoeffizienten von f verschwinden; f̂(n) = 0 für alle n < 0 –, so gilt sogar

sup_{0≤r<1} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |u(re^{iτ})|^{2} dτ = lim_{r→1^{−}} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |u(re^{iτ})|^{2} dτ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f(e^{iτ})|^{2} dτ.  (45)

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{α}^{e^{iθ_{∗}}} Abb. 1

Von einer Folge r_{·}e^{iθ_{·}} ⊂ 𝔻 sagt man, sie konvergiere nicht-tangential gegen ein e^{iθ_{∗}} ∈ Γ, θ_{∗} ∈ [−π, π), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(i) r_{n} → 1 für n → +∞;

(ii) e^{iθ_{n}} → e^{iθ_{∗}} für n → +∞;

(iii) es existiert m ∈ ℕ mit \{\frac{|θ_{n}−θ_{∗}|}{1−r_{n}}\}_{n≥m} ist beschränkt.

Die geometrische Interpretation des nicht-tangentialen Limes wird in Abb. A.1 verdeutlicht: eine Folge, die nicht-tangential gegen e^{iθ_{∗}} konvergiert, muß mit einem Folgenrest ganz in der schattierten Fläche liegen; der Öffnungswinkel α dieser Fläche hängt von Bedingung (iii) ab.

Das Lemma von Fatou lautet:

A.1 Lemma von Fatou: Für eine Funktion f ∈ L^{1}(Γ) gilt für die gemäß (44) definierte harmonische Funktion u : 𝔻 → ℂ und für fast alle θ_{∗} ∈ [−π, π) die folgende Konvergenzaussage: Ist r_{·}e^{iθ_{·}} ⊂ 𝔻 eine Folge, die nicht-tangential gegen e^{iθ_{∗}} konvergiert, so ist

lim_{n→+∞} u(r_{n}e^{iθ_{n}}) = 2πf(e^{iθ_{∗}}).

Wir haben bereits erwähnt, daß sich das Lemma von Fatou noch etwas allgemeiner formuliert läßt, wir wollen hierauf aber nicht weiter eingehen und verweisen auf die Literatur.

Bezeichnen wir mit ℍ^{o} die obere Halbebene von ℂ, ℍ^{o} = {z ∈ ℂ : Im z > 0}, und schreiben wir die Elemente von ℍ^{o} frei in der Form z = x + iy mit x ∈ ℝ, y > 0, so lautet das Lemma von Fatou für die obere Halbebene in einer etwas abgeschwächten Form:

A.2 Lemma von Fatou: Für eine meßbare Funktion F : ℝ → ℝ mit (t ↦ \frac{F (t)}{1+t^{2}} ) ∈ L^{1}(ℝ)

und

\begin{aligned}g : & ℍ^{o} & → & ℂ \\ & x + iy & ↦ & \frac{1}{π} ∫_{ℝ} \frac{F (s)y}{(x − s)^{2} + y^{2}} ds \end{aligned}

gilt: g ist auf ℍ^{o} harmonisch und für fast alle x ∈ ℝ hat man

lim_{y→0^{+}} g(x + iy) = F (x).

(Allgemeiner genügt es im letzten Grenzübergang, x̃ + iỹ nicht-tangential gegen x zu haben; vgl. [14], Seite 123.)

Bevor wir den Beweis von Lemma A.2 führen, erinnern wir an die Cayleytransformation φ : 𝔻 → ℍ^{o}, die einen Homöomorphismus zwischen 𝔻 und ℍ^{o} darstellt:

\begin{aligned}φ : & 𝔻 & → & ℍ^{o} \\ & z & ↦ & i\frac{1 + z}{1 − z} \end{aligned} mit \begin{aligned}φ^{−1} : & ℍ^{o} & → & 𝔻 \\ & w & ↦ & \frac{iw + 1}{iw − 1}. \end{aligned}

Die Abbildung

\begin{aligned}ψ : & Γ\\{1\} & → & ℝ \\ & z & ↦ & i\frac{1 + z}{1 − z} \end{aligned} mit \begin{aligned}ψ^{−1} : & ℝ & → & Γ\\{1\} \\ & w & ↦ & \frac{iw + 1}{iw − 1} \end{aligned}

stellt einen Homöomorphismus zwischen Γ\{1} und ℝ dar.

⊳ Beweis von Lemma A.2: Für s = ψ(e^{iτ}), τ ∈ [−π, π)\{0}, und w = φ(re^{iθ}) = x + iy, r ∈ [0, 1), θ ∈ [−π, π), x ∈ ℝ, y > 0, ergibt sich:

Re (\frac{e^{iτ} + re^{iθ}}{e^{iτ} − re^{iθ}} ) = Re (\frac{ψ^{−1}(s) + φ^{−1}(w)}{ψ^{−1}(s) − φ^{−1}(w)}) = Re (i\frac{sw + 1}{w − s}) = \frac{y(1 + s^{2})}{(x − s)^{2} + y^{2}} .

Es ist e^{iτ} = \frac{is + 1}{is − 1} und man erhält

\frac{1}{2π} \frac{dτ}{ds} = \frac{1}{π} \frac{1}{1 + s^{2}} .

Definiert man

f : Γ → ℂ
e^{iτ} ↦ \{ \begin{matrix}F (ψ(e^{iτ})) & falls & τ ≠ 0 \\ 0 & falls & τ = 0 \end{matrix} ,

so ist

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f(e^{iτ})| dτ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |F (ψ(e^{iτ}))| dτ = \frac{1}{π} ∫_{ℝ} \frac{|F (s)|}{1 + s^{2}} ds < +∞  (46)

(Variablentransformation s = ψ(e^{iτ})), d.h. f ∈ L^{1}(Γ). Wir haben weiter oben bereits angemerkt, daß

re^{iθ} ↦ u(re^{iθ}) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (\frac{e^{iτ} + re^{iθ}}{e^{iτ} − re^{iθ}} ) f(e^{iτ}) dτ

eine harmonische Funktion ist. Ist wieder s = ψ(e^{iτ}) und w = φ(re^{iθ}) = x + iy, so berechnet man (s = s(τ))

u(re^{iθ}) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (\frac{e^{iτ} + re^{iθ}}{e^{iτ} − re^{iθ}} ) f(e^{iτ}) dτ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (i\frac{sw + 1}{w − s}) F (ψ(e^{iτ})) dτ (47)
= \frac{1}{π} ∫_{ℝ} \frac{F (s)y(1 + s^{2})}{(x − s)^{2} + y^{2}} \frac{ds}{1 + s^{2}} = \frac{1}{π} ∫_{ℝ} \frac{F (s)y}{(x − s)^{2} + y^{2}} ds = g(w).

Also ist g(w) = u(φ^{−1}(w)) und g als Zusammensetzung einer analytischen und einer harmonischen Funktion harmonisch. Die Aussage bezüglich des Grenzwertes,

lim_{y→0^{+}} g(x + iy) = F (x) für fast alle x ∈ ℝ,

kommt wegen F (x) = f(ψ^{−1}(x)) und g(x + iy) = u(φ^{−1}(x + iy)) der Aussage

lim_{y→0^{+}} u(φ^{−1}(x + iy)) = f(ψ^{−1}(x)) für fast alle x ∈ ℝ

gleich. Man ist fertig, wenn für r_{y}e^{iθ_{y}} := φ^{−1}(x + iy), y > 0, gezeigt werden kann, daß {r_{y}e^{iθ_{y}}}_{y>0} nicht-tangential gegen ψ^{−1}(x) für y → 0^{+} konvergiert (Lemma A.1).

Offensichtlich konvergiert r_{y} = |φ^{−1}(x + iy)| = \frac{x^{2} + (y − 1)^{2}}{x^{2} + (y + 1)^{2}} für y → 0^{+} gegen 1 und

e^{iθ_{y}} = \frac{φ^{−1}(x + iy)}{r_{y}} gegen \frac{ix+1}{ix−1} = e^{iθ_{∗}} = ψ^{−1}(x) (θ_{∗} ∈ [−π, π)). Man berechnet leicht θ_{y} =

arctan \frac{−2x}{x^{2}+(y+1)^{2}} und θ_{∗} = arctan \frac{−2x}{x^{2}+1}. Es bleibt also nur

\{\frac{|θ_{y} − θ_{∗}|}{1 − r_{y}}\}_{0<y<δ} beschränkt  (48)

für hinreichend kleines δ > 0 zu zeigen. Dabei können wir uns ohne Beschränkung mit θ_{∗} ∈ (−π, π) begnügen, denn auf einen Punkt kommt es bei unserer Konvergenzaussage nicht an. Der Mittelwertsatz und 0 < y < 1 liefern die Abschätzung

|arctan \frac{−2x}{x^{2} + (y + 1)^{2}} − arctan \frac{−2x}{x^{2} + 1}| ≤ \frac{1}{1 + (\frac{−2x}{x^{2}+4})^{2}} |\frac{−2x}{x^{2} + (y + 1)^{2}} − \frac{−2x}{x^{2} + 1}| (49)

≤ \frac{4|x|(x^{2} + 4)}{(x^{2} + 1)(5x^{2} + 4)},  (50)

wobei die rechte Seite gleichmäßig beschränkt in x ist. Mit der oben angegebenen Darstellung von r_{y} läßt sich das gesuchte δ im Sinne von (48) leicht finden. ⊲

Anhang B

Ein Satz von Paley und Wiener

Paley und Wiener haben in ihrem im Jahre 1934 erschienen Buch ”Fourier-Transform of the complex domain“[18] einen Satz bewiesen, der sich zwischenzeitlich als äußerst wichtig herausgestellt hat. Eine seiner Anwendungen ist der Regularitätsnachweis gewisser Beurling-Algebren (siehe §1). Da den regulären Beurling-Algebren in dieser Arbeit eine Schlüsselrolle zukommt, und da der Regularitätsbeweis für bestimmte Beurling-Algebren so entscheidend ist, haben wir uns dazu entschieden, einen Beweis dieses Sates im Anhang B zu geben. Wir richten uns dabei nach der bereits zitierte Originalarbeit [18] der beiden Autoren, erlauben uns aber, eine etwas modernere Sprechweise zu verwenden.

Im folgenden bezeichne 𝔉 die Plancherel-Transformation L^{2}(ℝ) → L^{2}(ℝ) (vgl. Abschnitt B in §3).

B.1 Satz von Paley und Wiener: Zwischen den beiden Mengen

L_{⋆}^{2}(ℝ) = {f ∈ L^{2}(ℝ) : es existiert x_{0} ∈ ℝ mit f(x) = 0 für fast alle x ≥ x_{0}} und

L_{†}^{2}(ℝ) = \{F ∈ L^{2}(ℝ) : ∫_{ℝ} \frac{| log |𝔉F (s)||}{1 + s^{2}} ds < +∞\}

besteht der folgende Zusammenhang:

a) L_{⋆}^{2}(ℝ) ⊆ L_{†}^{2}(ℝ)

b) für alle F ∈ L_{†}^{2}(ℝ) existiert ein f ∈ L_{⋆}^{2}(ℝ) mit |𝔉f| = |𝔉F |.

Hilfreich für den Beweis der Teilaussage a) (Behauptung B.3) wird der Satz von Jensen sein, den wir sogleich zitieren wollen ([6], chapter XI, Theorem 1.2). Außerdem werden die im Anhang A angegebenen Ergebnisse aus der harmonischen Analysis benutzt werden. 𝔻 bezeichnet im folgenden die Einheitskreisscheibe in ℂ und Γ den Einheitskreisrand.

B.2 Jensen:Für eine auf 𝔻 analytische Funktion f mit f(0) ≠ 0 und den gemäß ihrer Vielfachheit gezählten Nullstellen a_{1}, ..., a_{n} ∈ 𝔻_{r} = {z ∈ ℂ : |z| < r} von f, n ∈ ℕ, 0 < r < 1, ist

log |f(0)| = − ∑_{k=1}^{n} log (\frac{r}{|a_{k}|}) + \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |f(re^{iτ})| dτ

bzw.

log |f(0)| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |f(re^{iτ})| dτ.  (51)

B.3 Behauptung: Mit den Bezeichnungen aus Satz B.1 gilt:

L_{⋆}^{2}(ℝ) ⊆ L_{†}^{2}(ℝ)

⊳ Beweis : Sei F ∈ L_{⋆}^{2}(ℝ) und sei x_{0} ∈ ℝ beliebig mit F (x) = 0 für fast alle x ≥ x_{0}. Seien φ und ψ die bereits im Anhang A angegeben Homöomorphismen zwischen 𝔻 und ℍ^{o}, ℍ^{o} die obere Halbebene von ℂ, bzw. Γ\{1} und ℝ. Sei f definiert durch

f : Γ → ℂ
e^{iτ} ↦ \{ \begin{matrix}𝔉F (ψ(e^{iτ})) & falls e^{iτ} ≠ 1 \\ 0 & falls e^{iτ} = 1 \end{matrix}

Die bereits in (46) benutzte Variablentransformation s = ψ(e^{iτ}) bringt

∫_{−π}^{π} |f(e^{iτ})|^{2} dτ = 2 ∫_{ℝ} \frac{|𝔉F (s)|^{2}}{1 + s^{2}} ds ≤ 2 ∫_{ℝ} |𝔉F (s)|^{2} ds = 2∥F ∥_{2}^{2} < +∞.

Damit ist f ∈ L^{2}(Γ) ⊂ L^{1}(Γ) und wegen (44)

\begin{aligned}u : & 𝔻 & → & ℂ \\ & re^{iθ} & ↦ & \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (\frac{e^{iτ} + re^{iθ}}{e^{iτ} − re^{iθ}} ) f(e^{iτ}) dτ \end{aligned}

harmonisch. Wir werden zeigen, daß u sogar analytisch ist. An dieser Stelle kommt die Bedingung F (x) = 0 für fast alle x ≥ x_{0} ins Spiel. Im folgenden bezeichne χ_{x_{0}} die charakteristische Funktion des Intervalls (−∞, x_{0}]. Zunächst ist anzumerken, daß für w ∈ ℍ^{o} wegen F ∈ L^{2}(ℝ) und χ_{x_{0}}e^{−iw·} ∈ L^{2}(ℝ) aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung F e^{−iw·} ∈ L^{1}(ℝ) folgt. Da darüberhinaus auch noch χ_{x_{0}}e^{−iw·} beschränkt ist, ist F e^{−iw·} ∈ L^{2}(ℝ) und somit

\begin{aligned}g : & ℍ^{o} & → & ℂ \\ & \begin{matrix}w = x + iy \\ (x ∈ ℝ, y > 0) \end{matrix} & ↦ & 𝔉(F e^{y·})(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} F (t)e^{−i(x+iy)t} dt = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} F (t)e^{−iwt} dt \end{aligned}

eine wohldefinierte Abbildung (F e^{−iw·} ∈ L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ)). Man sieht leicht, daß g eine analytische Funktion auf ℍ^{o} ist. (Vertauschen von Integration und Differentiation bereitet keine Schwierigkeiten; alle hierfür notwendigen Voraussetzungen sind erfüllt.) Wir zeigen jetzt, daß sich u schreiben läßt in der Form u = g ∘ φ, so daß also u als Zusammensetzung zweier analytischer Funktionen selbst analytisch sein muß.

Wegen (s ↦ \frac{y}{(x − s)^{2} + y^{2}} ) ∈ L^{2}(ℝ) für x ∈ ℝ, y > 0 fest, der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und der Definition der Planchereltransformation ist

|∫_{ℝ} \frac{y}{(x − s)^{2} + y^{2}} (𝔉F (s) − \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−n}^{x_{0}} F (t)e^{−ist} dt) ds|^{2}

≤ \underbrace{∫_{ℝ} \frac{y^{2}}{((x − s)^{2} + y^{2})^{2}} ds}_{= const} \underbrace{∫_{ℝ} |𝔉F (s) − \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−n}^{x_{0}} F (t)e^{−ist} dt|^{2} ds}_{→0 für n→∞ in L^{2}(ℝ)}.

Damit ist für w = x + iy ∈ ℍ^{o}

∫_{ℝ} \frac{𝔉F (s)y}{(x − s)^{2} + y^{2}} ds = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} ∫_{−n}^{x_{0}} \frac{yF (t)e^{−ist}}{(x − s)^{2} + y^{2}} dt ds (L^{2} − Grenzwert).

Fubini liefert

\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} ∫_{−n}^{x_{0}} \frac{yF (t)e^{−ist}}{(x − s)^{2} + y^{2}} dt ds = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−n}^{x_{0}} F (t) (∫_{ℝ} \frac{ye^{−ist}}{(x − s)^{2} + y^{2}} ds) dt
= \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−n}^{x_{0}} F (t)e^{−i(x+iy)t} dt = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−n}^{x_{0}} F (t)e^{−iwt} dt.

Beachtet man noch

|\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−n}^{x_{0}} F (t)e^{−iwt} dt − g(w)| ≤ \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{−n} |F (t)|e^{yt} dt ≤ \frac{∥F ∥_{2}}{\sqrt{2πy}} e^{−fracyn2},

d.h. lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−n}^{x_{0}} F (t)e^{−iwt} dt = g(w), so folgt mit s = ψ(e^{iτ}) und w = φ(re^{iτ}) = x + iy (vgl. (47)):

u(re^{iθ}) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (\frac{e^{iτ} + re^{iθ}}{e^{iτ} − re^{iθ}} ) f(e^{iτ}) dτ = ∫_{ℝ} \frac{𝔉F (s)y}{(x − s)^{2} + y^{2}} ds = g(w) = g(φ(re^{iτ})).

u ist also analytisch auf 𝔻.

Bezeichnen wir mit log^{+} : ℝ^{+} → ℝ die Abbildung t ↦ \{ \begin{matrix}0 & für 0 ≤ t < 1 \\ log t & für t ≥ 1 \end{matrix} und mit log^{−} :

ℝ_{\\{0\}}^{+} → ℝ die Abbildung t ↦ \{ \begin{matrix}log t & für 0 < t < 1 \\ 0 & für t ≥ 1 \end{matrix} , so gilt

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{+} |u(re^{iτ})| dτ ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |u(re^{iτ})|^{2} dτ ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f(e^{iτ})|^{2} dτ,  (52)

wobei die letzte Ungleichung eine Folge von (45) ist. Es macht also Sinn,

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |u(re^{iτ})| dτ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{+} |u(re^{iτ})| dτ + \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{−} |u(re^{iτ})| dτ  (53)

zu schreiben, wobei eventuell \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{−} |u(re^{iτ})| dτ = −∞ sein kann. Daß dem letztlich nicht so ist, ergibt sich aus dem Satz von Jensen (Aussage B.2). Zwei Fälle müssen unterschieden werden: Im Falle u(0) ≠ 0 besagt (51), daß das in (53) links stehende Integral durch log |u(0)| nach unten beschränkt ist. Man erhält folglich mit (52) und (53):

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} | log |u(re^{iτ})|| dτ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{+} |u(re^{iτ})| dτ − \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{−} |u(re^{iτ})| dτ
≤ \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} |f(e^{iτ})|^{2} dτ − log |u(0)|.  (54)

Im Falle u(0) = 0 sei m ∈ ℕ die Vielfachheit der Nullstelle 0 von u. Setzen wir ũ : 𝔻 → ℂ,

ũ(re^{iθ}) = \frac{u(re^{iθ})}{r^{m}e^{imθ}} in die 0 holomorph fort, so ist ũ harmonisch mit ũ(0) ≠ 0. Der Satz von Jensen liefert wieder

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |ũ(re^{iτ})| dτ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |\frac{u(re^{iτ})}{r^{m}e^{imτ}} | dτ ≥ log |ũ(0)|  (55)

Man berechnet leicht

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{+} |\frac{u(re^{iτ})}{r^{m}e^{imτ}} | dτ ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log^{+} |u(re^{iτ})| dτ − m log r
≤^{(52)} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f(e^{iτ})|^{2} dτ − m log r.  (56)

Wie in (54) ergibt sich für \frac{1}{2} < r < 1 mit (56) anstelle von (52):

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |log |\frac{u(re^{iτ})}{r^{m}e^{imτ}} || dτ ≤ \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} |f(e^{iτ})|^{2} dτ + 2m log 2 − log |ũ(0)|.  (57)

Für \frac{1}{2} < r < 1 ist somit

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} | log |u(re^{iτ})|| dτ ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |log |\frac{u(re^{iτ})}{r^{m}e^{imτ}} || dτ − m log r (Dreiecksungleichung)
≤^{(57)} \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} |f(e^{iτ})|^{2} dτ + 3m log 2 − log |ũ(0)|.  (58)

(54) und (58) zusammen zeigen, daß gleichmäßig für \frac{1}{2} < r < 1 gilt:

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} | log |u(re^{iτ})|| dτ ≤ C

für eine Konstante C > 0. Daraus gewinnt man wegen log |u(re^{iθ})| → log |f(e^{iθ})| für r → 1 für fast alle θ ∈ [−π, π) (Lemma A.1 von Fatou für u und f) aufgrund eines anderen Lemmas von Fatou^{1}

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} | log |f(e^{iτ})| dτ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} lim inf_{r→1} | log |u(re^{iτ})|| dτ
≤ lim inf_{r→1} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} | log |u(re^{iτ})|| dτ ≤ C.

Rücktransformation auf die Ebene ergibt schließlich (vgl. (46))

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} | log |f(e^{iτ})|| dτ = ∫_{ℝ} \frac{| log |𝔉F (s)||}{1 + s^{2}} ds < +∞.

⊲

∫_{X} (lim inf_{n→∞} f_{n}) dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ

1Ist f_{n} : X → [0, +∞] für jedes n ∈ ℕ eine auf dem Maßraum (X, μ) meßbare Funktion, so gilt:

(vgl. [23], Seite 23)

Bevor wir Teilaussage b) des Satzes B.1 von Paley und Wiener beweisen, müssen wir ein paar Vorbereitungen in Form zweier Hilfssätze treffen.

B.4 Im Hilfssatz B.5 spielt der Cauchysche Integralsatz eine gewisse Rolle: Für eine auf einer offenen Menge U analytische Funktion f und einen einfach geschlossenen Integrationsweg γ in U, der keinen Punkt des Komplementes von U umläuft, gilt

∫_{γ} f(z) dz = 0.

B.5 Hilfssatz: Ist F : ℍ^{r} → ℂ eine auf der rechten Halbebene ℍ^{r} = {z ∈ ℂ : Re z > 0} analytische Funktion, die für alle x > 0 der Bedingung

∫_{ℝ} |F (x + it)| dt ≤ C

für eine Konstante C > 0 genügt, so ist für w ∈ ℍ^{r} und 0 < μ < Re w:

F (w) = −\frac{1}{2π} ∫_{ℝ} \frac{F (μ + it)}{μ + it − w} dt.

⊳ Beweis : Wir beginnen mit dem Cauchyschen Integralsatz für den Integrationsweg

Γ(A) := Γ_{1}(A) + Γ_{2}(A) + Γ_{3}(A) + Γ_{4}(A),

wobei A > 0 und Γ_{1}(A), ..., Γ_{4}(A) in Abb. B.1 auf Seite 98 dargestellt sind. Für 0 < μ < ν und w ∈ ℂ mit μ < Re w < ν und −A < Im w < A ist dann

F (w) = \frac{1}{2πi} (∫_{Γ_{1}(A)} + ⋯ + ∫_{Γ_{4}(A)}) \frac{F (z)}{z − w} dz.

Die Abbildung ℝ_{\{0}}^{+} → ℂ,

A ↦ ∫_{Γ_{1}(A)} \frac{F (z)}{z − w} dz = ∫_{μ}^{ν} \frac{F (t − iA)}{t − iA − w} dt

ist als Folgerung aus dem Konvergenzsatz von Lebesgue (der Integrand ist stetig in t und A) stetig und damit insbesondere integrierbar über jedem Intervall [n, n + 1], n ∈ ℕ.

In einem ersten Schritt zeigen wir, daß

lim_{n→∞} \frac{1}{2πi} ∫_{n}^{n+1} (∫_{Γ_{1}(A)} \frac{F (z)}{z − w} dz) dA = 0 ist.  (59)

Ebenso ergibt sich dann

lim_{n→∞} \frac{1}{2πi} ∫_{n}^{n+1} (∫_{Γ_{3}(A)} \frac{F (z)}{z − w} dz) dA = 0.  (60)

Nach dem Satz von Fubini und der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ist

|\frac{1}{2πi} ∫_{n}^{n+1} (∫_{Γ_{1}(A)} \frac{F (z)}{z − w} dz) dA| = \frac{1}{2π} |∫_{μ}^{ν} (∫_{n}^{n+1} \frac{F (t − iA)}{t − iA − w} dA) dt|

≤ \frac{1}{2π} ∫_{μ}^{ν} (∫_{n}^{n+1} |F (t − iA)|^{2} dA ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{|t − iA − w|^{2}} dA)^{\frac{1}{2}} dt

≤ ∫_{μ}^{ν} (∫_{n}^{n+1} |F (t − iA)|^{2} dA)^{\frac{1}{2}} dt,

wenn in der letzten Ungleichung n so groß angenommen wird, daß für μ ≤ t ≤ ν und n ≤ A ≤ n + 1 gilt: |t − iA − w|^{2} ≥ |n − Im w| ≥ \frac{1}{4π^{2}} (vgl. Abb. B.2 auf Seite 98); damit ist nämlich

\frac{1}{2π} (∫_{n}^{n+1} \frac{1}{|t − iA − w|^{2}} dA)^{\frac{1}{2}} ≤ 1.

Wegen ∫_{ℝ} |F (x + iA)|^{2} dA ≤ C, x > 0, ist

lim_{n→∞} (∫_{n}^{n+1} |F (x + iA)|^{2} dA)^{\frac{1}{2}} = 0,  (61)

und deshalb (Konvergenzsatz von Lebesgue)

lim_{n→∞} ∫_{μ}^{ν} (∫_{n}^{n+1} |F (t − iA)|^{2} dA)^{\frac{1}{2}} dt = 0.

Hiermit ist (59) gezeigt; analog ergibt sich (60). Im nächsten Schritt überzeugen wir uns von

lim_{n→∞} \frac{1}{2πi} ∫_{n}^{n+1} (∫_{Γ_{2}(A)} \frac{F (z)}{z − w} dz) dA = \frac{1}{2π} ∫_{ℝ} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt.  (62)

Auf dieselbe Art und Weise ergibt sich dann auch

lim_{n→∞} \frac{1}{2πi} ∫_{n}^{n+1} (∫_{Γ_{4}(A)} \frac{F (z)}{z − w} dz) dA = −\frac{1}{2π} ∫_{ℝ} \frac{F (μ + it)}{μ + it − w} dt.  (63)

Zunächst ist anzumerken, daß die Abbildung A ↦ ∫_{−A}^{A} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt eine stetige Funktion ist, und daß deshalb

∫_{n}^{n+1} (∫_{−A}^{A} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt) dA,  n > |Im w|,  (64)

gebildet werden kann. Abb. B.3 auf Seite 98 zeigt das Integrationsgebiet des letzten Integrals. Der Integrand selber ist auf jeder horizontalen Strecke innerhalb dieses Gebiets konstant. Man kann das Integral (64) in 3 Teile zerlegen:

∫_{n}^{n+1} (∫_{−A}^{A} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt) dA = I_{1}^{(n)} + I_{2}^{(n)} + I_{3}^{(n)},  (65)

wobei

I_{1}^{(n)} = ∫_{n}^{n+1} (∫_{−n}^{n} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt) dA = ∫_{−n}^{n} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt,
I_{2}^{(n)} = ∫_{n}^{n+1} (∫_{n}^{A} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt) dA = ∫_{n}^{n+1} (∫_{t}^{n+1} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dA) dt  (Fubini)
= ∫_{n}^{n+1}(n + 1 − t)\frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt,
I_{3}^{(n)} = ∫_{−n−1}^{−n} (∫_{−A}^{−n} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt) dA = ∫_{−n−1}^{−n}(n + 1 + t)\frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt.

Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ist

|I_{2}^{(n)}| = |∫_{n}^{n+1}(n + 1 − t)\frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt| ≤ (∫_{n}^{n+1} |\frac{n + 1 − t}{ν + it − w} |^{2} dt ∫_{n}^{n+1} |F (ν + it)|^{2} dt)^{\frac{1}{2}} ,

wobei wegen |n + 1 − t| ≤ 1 für alle t ∈ [n, n + 1] und |ν + it − w| ≥ |n − Im w| ≥ 1 für n hinreichend groß (ähnlich wie in Abb. B.2)

(∫_{n}^{n+1} |\frac{n + 1 − t}{ν + it − w} |^{2} dt)^{\frac{1}{2}} ≤ 1

ist. Also ist für hinreichend großes n

|I_{2}^{(n)}| ≤ (∫_{n}^{n+1} |F (ν + it)|^{2} dt)^{\frac{1}{2}}

und damit

lim_{n→∞} I_{2}^{(n)} = 0

(vgl. (61)). Ebenso erhält man

lim_{n→∞} I_{3}^{(n)} = 0.

Wenden wir auf beiden Seiten von (65) den Grenzwertoperator für n → ∞ an, so ergibt sich (62). Analog verhält es sich mit (63). Als Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse ergibt sich

F (w) = lim_{n→∞} ∫_{n}^{n+1} F (w) dA
= \frac{1}{2πi} lim_{n→∞} ∫_{n}^{n+1} (∫_{Γ_{1}(A)} + ⋯ + ∫_{Γ_{4}(A)}) \frac{F (z)}{z − w} dz
= \frac{1}{2π} ∫_{ℝ} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt − \frac{1}{2π} ∫_{ℝ} \frac{F (μ + it)}{μ + it − w} dt.

Im letzten Schritt brauchen wir nur noch ν → ∞ zu betrachten, und erhalten, wiederum wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung,

|∫_{ℝ} \frac{F (ν + it)}{ν + it − w} dt| ≤ (∫_{ℝ} |F (ν + it)|^{2} dt ∫_{ℝ} \frac{1}{|ν + it − w|^{2}} dt)^{\frac{1}{2}}
≤ \sqrt{C} \frac{π}{ν + Re w} → 0  für ν → +∞.

98 Anhang B. Ein Satz von Paley und Wiener

[figure: {A \atop −A}; _{μ  ν}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Γ_{1}(A); Γ_{3}(A); Γ_{2}(A); Γ_{4}(A); w; Abb. 1; _{−n Imw −(n+1)}; _{μ  ν}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; w; ↑ ; | ; A ; | ; ↓; ⟵ t ⟶; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Abb. 2; (n+1) ; n ; −n ; -(n+1) _{n  n+1}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} I_{2}^{(n)} I_{3}^{(n)} I_{1}^{(n)} →^{A}  ↑t Abb. 3]

⊲

B.6 Hilfssatz: Ist F : ℍ^{r} → ℂ eine auf der rechten Halbebene analytische Funktion, die für

alle x > 0 der Bedingung

∫_{ℝ} |F (x + it)|^{2} dt ≤ C

für eine Konstante C > 0 genügt, so existiert eine Funktion f ∈ L^{2}(ℝ), die für fast alle x ≥ 0 verschwindet und für die für w ∈ ℍ^{r}

F (w) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s)e^{ws} ds

gilt.

⊳ Beweis : Für ein beliebiges x > 0 sei

g(x, ·) := 𝔉(F (x + i·)) ∈ L^{2}(ℝ).

Nach Voraussetzung ist ∥g(x, ·)∥_{2} ≤ C für alle x > 0. Der Satz von Plancherel impliziert

𝔉^{−1}g(x, ·) = F (x + i·).  (66)

Wir definieren

\begin{aligned}f : & ℝ & → & ℂ \\ & s & ↦ & g(1, s)e^{−s}, \end{aligned}

und zeigen, daß f die gesuchte Funktion darstellt. Dazu betrachten wir zunächst für α < 0 und y ∈ ℝ die Abbildung

ϕ_{α,y} : ℝ → ℂ
s ↦ \{ \begin{matrix}e^{−αs−iys} & falls s < 0 \\ 0 & falls s ≥ 0. \end{matrix}

Man sieht leicht, daß ϕ_{α,y}, \overline{ϕ_{α,y}} und |\overline{ϕ_{α,y}}| in L^{1}(ℝ) ∩ L^{2}(ℝ) liegen. Deshalb ist

(𝔉^{−1}ϕ_{α,y})(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} ϕ_{α,y}(τ)e^{itτ} dτ = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{0} e^{−ατ−iyτ+itτ} dτ = \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{1}{−α − iy + it}

und

ϕ_{α,y} = 𝔉 (\frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{1}{−α − iy + i·}) .

Der Satz von Parseval impliziert für μ > 0:

∫_{ℝ} g(μ, s)\overline{ϕ_{α,y}(s)} ds = ∫_{ℝ} 𝔉(F (μ + i·))(s)\overline{𝔉 (\frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{1}{−α − iy + i·}) (s)} ds
= \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} \frac{F (μ + iτ)}{−α + iy − iτ} dτ.

Speziell für 0 < μ < x und α = μ − x ergibt sich mit Hilfssatz B.5

∫_{ℝ} g(μ, s)\overline{ϕ_{μ−x,y}(s)} ds = −\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} \frac{F (μ + iτ)}{μ + iτ − x − iy} dτ
= \sqrt{2π}F (x + iy) =^{(66)} \sqrt{2π}𝔉^{−1}g(x, ·)(y).  (67)

Nun ist aber auch noch

∫_{ℝ} g(μ, s)\overline{ϕ_{μ−x,y}(s)} ds = ∫_{−∞}^{0} g(μ, s)e^{(x−μ)s}e^{iys} ds = \sqrt{2π}𝔉^{−1} (g(μ, ·)χ_{ℝ_{−}}e^{(x−μ)·}) (y). (68)

Wegen der Injektivität von 𝔉^{−1} folgt von daher

g(x, ·) = g(μ, ·)χ_{ℝ_{−}}e^{(x−μ)·}  (69)

bzw.

g(x, s)e^{−xs} = g(μ, s)e^{−μs}  für alle s < 0  (70)

und

g(x, s) = 0 für alle s ≥ 0.

Auch für f hat man dann f(s) = 0 für fast alle s ≥ 0, und f genügt somit einer der Anforderungen des Satzes. (67), (68) und (70) lehren für 0 < μ < 1 darüberhinaus

F (x + iy) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{0} g(μ, s)e^{(x−μ)s}e^{iys} ds = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(s)e^{(x+iy)s} ds,

womit eine weitere Anforderung an f nachgewiesen ist. Bleibt noch f ∈ L^{2}(ℝ) zu zeigen. Wegen (70) ist

g(x, s) = f(s)e^{xs} (s ∈ ℝ).

Wäre ∫_{ℝ} |f(s)|^{2} ds = +∞, so existierte ein n > 0 mit ∫_{−n}^{0} |f(s)|^{2} ds > 3C. Für μ := \frac{log \frac{3}{2}}{n} erhielte man wegen e^{−μs} ≤ \frac{3}{2} für alle s ∈ [−n, 0]:

3C < ∫_{−n}^{0} |f(s)|^{2} ds = ∫_{−n}^{0} |g(μ, s)e^{−μs}|^{2} ds ≤ \frac{9}{4} ∫_{ℝ} |g(μ, s)|^{2} ds ≤ \frac{9}{4}C,

was wegen C > 0 nicht möglich ist. ⊲ B.7 Behauptung: Mit den Bezeichnungen aus Satz B.1 gilt:

Für alle F ∈ L_{†}^{2}(ℝ) existiert ein f ∈ L_{⋆}^{2}(ℝ) mit |𝔉f| = |𝔉F |.

⊳ Beweis : Die Abbildung ℝ → ℝ, s ↦ log |𝔉F (s)| erfüllt wegen ∫_{ℝ} \frac{| log |𝔉F (s)||}{1 + s^{2}} ds < +∞ die Anforderung des Lemmas von Fatou (Lemma A.2).

\begin{aligned}g : & ℍ^{o} & → & ℝ \\ & x + iy & ↦ & \frac{1}{π} ∫_{ℝ} \frac{log |𝔉F (s)| y}{(x − s)^{2} + y^{2}} ds \end{aligned}

ist somit eine harmonische Funktion (die Elemente von ℍ^{o} schreiben wir frei in der Form x+iy mit x ∈ ℝ und y > 0). Es bezeichne g̃ die zu g konjugierte harmonische Funktion. Wir definieren h̃ : ℍ^{o} → ℂ durch

h̃ := exp ∘(g + ig̃).

h̃ ist dann eine in der oberen Halbebene harmonische Funktion. Nach dem Lemma von Fatou gilt für fast alle x ∈ ℝ:

lim_{y→0^{+}} |h̃(x + iy)| = lim_{y→0^{+}} exp(g(x + iy)) = |𝔉F (x)|.

Wir ”drehen“ nun die harmonische Funktion h̃ in die rechte Halbebene ℍ^{r} = {x + iy ∈ ℂ : x > 0, y ∈ ℝ}. Sei

\begin{aligned}h : & ℍ^{r} & → & ℂ \\ & x + iy & ↦ & h̃(i(x + iy)) = h̃(−y + ix). \end{aligned}

Dann ist h harmonisch auf der rechten Halbebene und

lim_{x→0^{+}} |h(x + iy)| = lim_{x→0^{+}} |h̃(−y + ix)| = |𝔉F (−y)|.  (71)

Wir zeigen jetzt, daß h den Voraussetzungen von Hilfssatz B.6 genügt, daß also eine Konstante C > 0 existiert mit

∫_{ℝ} |h(x + iy)|^{2} dy ≤ C.

Es wird sich herausstellen, daß C = ∥𝔉F ∥_{2}^{2} genommen werden kann. Es ist

|h(x + iy)| = |h̃(−y + ix)| = exp(g(−y + ix)) ≤ \frac{1}{π} ∫_{ℝ} \frac{|𝔉F (s)|x}{(−y − s)^{2} + x^{2}} ds (x > 0),

wobei die letzte Ungleichung eine Folge der Jensenschen Ungleichung ^{2} ist, und somit unter Zuhilfenahme der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

∫_{ℝ} |h(x + iy)|^{2} dy ≤ \frac{1}{π^{2}} ∫_{ℝ} (∫_{ℝ} \frac{|𝔉F (s)|^{2}x}{(−y − s)^{2} + x^{2}} ds ∫_{ℝ} \frac{x}{(−y − s)^{2} + x^{2}} ds) dy

für alle x ∈ ℝ (a, b ∈ \overline{ℝ}) und ist φ in (a, b) konvex, so gilt:

2Jensensche Ungleichung: Ist (X, μ) ein Maßraum mit μ(X) = 1, ist f ∈ L^{1}(X, μ) reellwertig mit a < f(x) < b

φ (∫_{X} f dμ) ≤ ∫_{X} φ ∘ f dμ.

(vgl. Rudin [23], Theorem 3.3) Hier ist X = ℝ und μ = \frac{1}{π} \frac{y}{(x−·)^{2}+y^{2}} λ.

= \frac{1}{π} ∫_{ℝ} (∫_{ℝ} \frac{|𝔉F (s)|^{2}x}{(−y − s)^{2} + x^{2}} ds) dy
= \frac{1}{π} ∫_{ℝ} (∫_{ℝ} \frac{|𝔉F (s)|^{2}x}{(−y − s)^{2} + x^{2}} dy) ds
= ∫_{ℝ} |𝔉F (s)|^{2} ds = ∥𝔉F ∥_{2}^{2}.

Hilfssatz B.6 impliziert nun die Existenz einer Fuktion f ∈ L^{2}(ℝ) mit

h(x + iy) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} f(t)e^{(x+iy)t} dt

und f(x) = 0 für fast alle x ≥ 0. Mit (71) folgt somit |(𝔉F)(−y)| = |(𝔉f)(−y)| bzw. |𝔉F | = |𝔉f|, und die Behauptung ist bewiesen. ⊲

Die Behauptungen B.3 und B.7 zusammen ergeben den Satz B.1 von Paley und Wiener.

102 Anhang B. Ein Satz von Paley und Wiener

Symbole

ℕ, ℤ, ℝ, ℂ natürliche, ganze, reelle und komplexe Zahlen ℝ^{+} = {t ∈ ℝ : t ≥ 0} ℍ^{o} = {z ∈ ℂ : Im z > 0} ℍ^{r} = {z ∈ ℂ : Re z > 0} Γ = {z ∈ ℂ : |z| = 1} 𝔻 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} 𝔻_{r} = {z ∈ ℂ : |z| < r} X, A Banachraum, Banachalgebra L(X) beschränkte, lineare Abbildung auf X C(X) abgeschlossene, lineare Abbildungen auf X 𝔇(A) Definitionsbereich des unbeschränkten Operators A X′,A′ beschränkten Linearformen auf X bzw. A M_{A} multiplikativen Linearformen auf A h Hüllenabbildung k Kern A_{F} = A/k(F) ϱ Gewicht bzw. Beuerling-Domar-Gewicht auf ℤ w Gewicht bzw. Beuerling-Domar-Gewicht-Gewicht auf ℝ ℓ^{1}(Γ), L^{1}(ℝ) Lebesgue-Räume der integrierbaren Funktionen über Γ bzw. ℝ.

ℓ_{ϱ}^{1}(Γ) = {a_{·} ∈ ℓ^{1}(Γ) : ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|ϱ_{n} < +∞}

L_{w}^{1}(ℝ) = {f ∈ L^{1}(ℝ) : ∫_{ℝ} |f|w dλ < +∞} Fourier- bzw. Gelfandtransformation 𝔉_{ϱ}(Γ) = { \atop ℓ_{ϱ}^{1}(Γ)} (versehen mit kontexabhängiger Norm) 𝔉_{w}(ℝ) = { \atop L_{w}^{1}(ℝ)} (versehen mit kontextabhängiger Norm) â_{·}, b̂_{·},... Elemente aus 𝔉_{ϱ}(Γ) mit a_{·}, b_{·},...∈ ℓ_{ϱ}^{1}(Γ) f̂, ĝ,... Elemente aus 𝔉_{w}(ℝ) mit f, g,...∈ L_{w}^{1}(ℝ) N(â_{·}) = {ξ ∈ Γ : â_{·}(ξ) = 0} N(f̂) = {t ∈ ℝ : f̂(t) = 0} supp â_{·}) = \overline{\{ξ ∈ Γ : â_{·}(ξ) ≠ 0\}} supp f̂ = \overline{\{t ∈ ℝ : widehatf(t) ≠ 0\}} M entweder der Multiplikationsoperator mit der Identität auf 𝔉_{ϱ}(Γ)

oder der abgeschlossene Operator mit Mf̂(t) = itf̂(t) für alle t ∈ ℝ, f̂ ∈ 𝔇(M)

Lat_{ϱ}(M) M-invarianten, abgeschlossenen Unterräume von 𝔉_{ϱ}(Γ)

Lat_{w}(M) M-invarianten, abgeschlossenen Unterräume von 𝔉_{w}(ℝ) 𝔉_{ϱ}(\overline{U}) = \{â_{·} ∈ 𝔉_{ϱ}(Γ) : supp â_{·} ⊆ \overline{U}\}, U ⊆ Γ 𝔉_{w}(\overline{U}) = \{f̂ ∈ 𝔉_{w}(ℝ) : supp f̂ ⊆ \overline{U}\}, U ⊆ ℝ M|𝔉_{ϱ}(\overline{U}) Einschränkung von M ∈ L(𝔉_{ϱ}(Γ)) auf 𝔉_{ϱ}(\overline{U}) M|𝔉_{w}(\overline{U}) Einschränkung von M ∈ C(𝔉_{w}(ℝ)) auf 𝔉_{w}(\overline{U}) j, j̃ Intertwining-Operatoren, diskret oder kontinuierlisch I(j) größtes, abgeschlossenes Ideal in ker j supp j = h(I(j)) ℓ_{η_{·}}^{∞}(ℕ, ℂ) = \{z_{·} ∈ ℂ^{ℕ} : \frac{|z_{·}|}{η_{·}} ∈ ℓ^{∞}(ℕ, ℂ)\}

c_{η_{·}}(ℕ, ℂ) = \{z_{·} ∈ ℓ_{η_{·}}^{∞}(ℕ, ℂ) : lim_{n→∞} \frac{z_{n}}{η_{n}} existiert\}

ℓ_{η_{·}}^{∞}(ℕ, X′) = \{α_{·} ∈ X′^{ℕ} : \frac{∥α_{·}∥}{η_{·}} ∈ ℓ^{∞}(ℕ, ℂ)\}

c_{η_{·}}(ℕ, X′) = \{α_{·} ∈ ℓ_{η_{·}}^{∞}(ℕ, X′) : lim_{n→∞} \frac{α_{n}(x)}{η_{n}} existiert für alle x ∈ X\}

Li_{η_{·}} = \{l : ℓ_{η_{·}}^{∞}(ℕ, X′) → X′ stetig, linear mit ∥l∥ ≤ 1 und l(α_{·})(x) = lim_{n→∞} \frac{α_{n}(x)}{η_{n}} für alle

x ∈ X, für die der Grenzwert existiert}

X_{T} (F) = {x ∈ X : es existiert eine analytische Funktionf : ℂ\F → X mit (z − T)f(z) = x

für alle z ∈ ℂ\F }, F ⊆ Γ

X_{A}(F) = {x ∈ ⋂_{n=1}^{∞} 𝔇(A^{n}) : es existiert eine im Unendlichen verschwindende,

analytische Funktion f : ℂ\F → 𝔇(A) mit (z − A)f(z) = x für alle z ∈ ℂ\F }, F ⊆ ℝ

⟨ℕ⟩ Menge der streng monoton wachsenden Folgen natürlicher Zahlen ⟨ℝ⟩ Menge der positiven, streng monoton wachsenden Folgen reeller Zahlen ⟨x⟩ entweder = {α_{·} ∈ X^{′ℕ} : α_{k}(T^{k}x) = ∥T^{k}x∥ mit ∥α_{k}∥ = 1 falls T^{k}x ≠ 0, α_{k} ≡ 0

falls T^{k}x = 0}, x ∈ X,

oder = {α_{·} : ℝ → X′ : α_{t}(T (t)x) = ∥T (t)x∥ mit ∥α_{t}∥ = 1 falls T (t)x ≠ 0, α_{t} ≡ 0
falls T (t)x = 0}, x ∈ X,

Λ entweder = {(x, n_{·}, η_{·}, α_{·}, l_{·}) ∈ X × ⟨ℕ⟩ × ℝ^{ℕ} × X^{′ℕ} × ℂ^{(X^{′ℕ})} : η_{k} = ϱ_{n_{k}} für alle k ∈ ℕ, α_{·} ∈ ⟨x⟩, l_{·} ∈ Li_{η_{·}}} oder = {(x, r_{·}, η_{·}, α_{·}, l_{·}) ∈ X × ⟨ℝ⟩ × ℝ^{ℕ} × X^{′ℝ} × ℂ^{(X^{′ℕ})} : η_{k} = w(r_{k}) für alle k ∈ ℕ,

α_{·} ∈ ⟨x⟩, l_{·} ∈ Li_{η_{·}}}

Literaturverzeichnis

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Stichwortverzeichnis

Banachalgebra

reguläre, 15 Beurling-Algebra, 10

reguläre, 32

Cayleytransformation, 85

Definitionsbereich

eines unbeschränkten Operators, 55 Differentialoperator

im Sine von Lebesgue, 65

Eins

approximative, 10 Elementarfunktion

X-wertige, 57 einfache, 57

Erzeuger einer diskreten Operatorhalbgruppe, 40 infinitesimaler, 61

Fouriertransformation, 18

Gelfandtransformation, 15 Gewicht, 10

Beurling-Domar, 19 vom Typ 𝔅𝔇, 19

Grenzwert nicht-tangentialer, 84

Hülle, 16, 36

Integral

vektorweriges, 58 integrierbar, 58 Intertwining-Operator

diskreter, 40

kontinuierlischer, 70

Kern, 16, 36 Lemma von Fatou

für die Einheitskreisscheibe, 84 für die obere Halbebene, 84

meßsbar, 57

Operator abgeschlossener, 56 adjungierter, 39, 56 nilpotenter, 53 quasinilpotenter, 53 unbeschränkter, 55 verallgemeinert skalarer, 53

Operatorgruppe

stark-stetige, 66 Operatorhalbgruppe diskrete, 40 stark-stetige, 59

Planchereltransformation, 20

Resolvente

eines abgeschlossenen Operators, 56 Resolventenmenge

eines abgeschlossenen Operators, 56

Satz von

Paley und Wiener, 87 Spektralraum

für beschränkte Operatoren, 42 Spektrum

eines abgeschlossenen Operators, 56

Träger eines Intertwining-Operators, 40, 70