Über sphärische Isometrien und exakte

Sequenzen von Toeplitzalgebren

Diplomarbeit zur Erlangung des Grades eines

Diplom-Mathematikers

der Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät I der Universität des Saarlandes

vorgelegt von

Kevin Claude Everard

nach einem Thema von

Prof. Dr. Jörg Eschmeier

Saarbrücken, April 2008

Hiermit erkläre ich an Eides Statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die ausdrücklich angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.

Saarbrücken, den 15. April 2008

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

1 Vorbemerkungen 5 1.1 Vollständig positive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Familien von Familien von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Lineare Abbildungen zwischen dualen Banachräumen . . . . . . . 13

2 Sphärische Kontraktionen 17 2.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Vollständig positive kontraktive Projektionen . . . . . . . . . . . 23 2.3 Kommutative Familien sphärischer Kontraktionen . . . . . . . . . 37

3 Anwendungen auf uniforme Algebren 51 3.1 Der verallgemeinerte Hardy-Raum H^{2}(m) . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Sphärische Multifunktionen und zugehörige Toeplitzoperatoren . 53 3.3 Charakterisierungen von Toeplitzoperatoren . . . . . . . . . . . . 56 3.4 Exakte Sequenzen von Toeplitzalgebren . . . . . . . . . . . . . . 60

Literaturverzeichnis 69

Einleitung

Das Studium der Eigenschaften des unilateralen Shifts veranlasste Paul Halmos im Jahre 1950 dazu, das Konzept subnormaler Operatoren einzuführen. Dabei heißt ein Operator S auf einem Hilbertraum H subnormal, wenn eine normale Erweiterung T von S auf einem Hilbertraum K ⊃ H existiert. Eine besondere Klasse solcher Operatoren bilden bekanntlich die Isometrien, deren Subnormalität zum Beispiel mit Hilfe der von Neumann-Wold-Zerlegung (vgl. [9, Theorem I.3.6, Theorem I.3.11]) bewiesen werden kann. In den darauf folgenden Jahren versuchte man nun, diese Theorie auf endliche Tupel von vertauschenden Operatoren zu verallgemeinern. Hierbei ist zu bemerken, dass der Begriff der Isometrie von Tupeln auf mindestens zwei verschiedene Arten erklärt werden kann. So heißt ein vertauschendes Tupel (T_{1}, …, T_{n}) von Operatoren auf einem Hilbertraum H torische Isometrie, falls T_{i}^{∗}T_{i} = 1 für alle i ∈ {1, …, n} ist. Es heißt sphärische Isometrie, falls die Identität ∑_{i=1}^{n} T_{i}^{∗}T_{i} = 1 erfüllt ist. Die Subnormalität von torischen Isometrien, also von vertauschenden Tupeln von Isometrien, wurde im Jahre 1958 von Takasi Itô in [15] gezeigt, während die Frage nach der Subnormalität endlicher sphärischer Isometrien im Jahre 1990 von Ameer Athavale in [3] positiv beantwortet wurde. Basierend auf neueren Entwicklungen im Bereich der Dilatationstheorie gelang es William Arveson in [2] mit Hilfe eines Modellsatzes für sphärische Kontraktionen, d.h. endliche kommutative Tupel (T_{1}, …, T_{n}) mit ∑_{i=1}^{n} T_{i}^{∗}T_{i} ≤ 1, einen alternativen Beweis der Subnormalität sphärischer Isometrien zu liefern. Ein Anliegen der vorliegenden Arbeit ist es, diese Ergebnisse etwas weiter zu abstrahieren. Dabei wollen wir versuchen, eine simultane Verallgemeinerung sowohl der torischen als auch der endlichen sphärischen Isometrie für beliebige Familien zu erreichen. Dies gelingt uns, indem wir vertauschende Familien F = (S_{α})_{α∈Γ} sphärischer Isometrien S_{α} = (T_{j,α})_{j∈J_{α}} betrachten. Dabei nennen wir eine kommutative Familie (S_{j})_{j∈J} von Operatoren auf einem Hilbertraum H sphärische Isometrie, falls ∑_{j∈J} T_{j}^{∗}T_{j} = 1 in der schwachen Operatortopologie gilt. Bevor wir uns dem Beweis der Subnormalität von kommutativen Familien sphärischer Isometrien zuwenden, erinnern wir im ersten Kapitel an grundlegende Resultate über vollstandig positive Abbildungen, Familien von Familien von Operatoren und lineare Abbildungen zwischen dualen Banachräumen. In Kapitel 2 zeigen wir dann etwas allgemeiner, dass zu einer kommutativen Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} sphärischer Kontraktionen S_{α} = (T_{j,α})_{j∈J_{α}} auf einem Hilbertraum H (das heißt für alle α ∈ Γ ist WOT- ∑_{j∈J_{α}} T_{j,α}^{∗}T_{j,α} ≤ 1) ein bis auf unitäre Äquivalenz eindeutig bestimmtes Tripel (Ĥ, V, F̂) aus einem Hilbertraum Ĥ, einer stetig linearen Abbildung V : H → Ĥ und einer vertauschenden Familie F̂ = ((T̂_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} normaler sphärischer Isometrien auf Ĥ derart existiert, dass für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} die Vertauschungsrelation

T̂_{j,α}V = V T_{j,α}

erfüllt ist. Im Spezialfall einer kommutativen Familie F sphärischer Isometrien kann die Abbildung V : H → Ĥ als Isometrie gewählt werden, was einen Beweis der Subnormalität von F liefert. In den Beweisen sämtlicher Sätze und Lemmata orientieren wir uns indes stark an zwei Arbeiten von Bebe Prunaru aus den Jahren 2007 ([21]) und 2008 ([22]). Hervorzuheben sind besonders die Methoden der Beweisführung Prunarus, denen intensive Untersuchungen des Raumes

T (F) = {X ∈ B(H) | WOT- ∑_{j∈J_{α}} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α} = X für alle α ∈ Γ}

aller F-Toeplitzoperatoren zugrunde liegen. So zeigen wir unter anderem die Existenz einer vollständig positiven kontraktiven Projektion Φ : B(H) → B(H) deren Bild gerade mit der Menge T (F) übereinstimmt und betrachten die minimale Stinespring-Dilatation der Einschränkung Φ_{0} von Φ auf die von T (F) erzeugte unitale C*-Teilalgebra von B(H). Die Bezeichnung von Operatoren X ∈ T (F) als Toeplitzoperatoren deutet dabei auf eine Analogie zu Arbeiten von Brown und Halmos (vgl. [4]) sowie von Davie und Jewell (vgl. [10]) hin, in denen mit Hilfe ähnlicher Gleichungen Charakterisierungen für klassische Toeplitzoperatoren auf den Hardyräumen H^{2}(𝕋) bzw. H^{2}(S_{n}) gegeben werden. Diesen Zusammenhang versuchen wir in Kapitel 3 weiter zu ergründen. Dort beschäftigen wir uns mit dem verallgemeinerten Hardy-Raum H^{2}(m), den wir als Abschluss einer uniformen Algebra A ⊂ C(K) in L^{2}(m) definieren. Hierbei bezeichne m ∈ M(K) ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß, und M(K) sei der Raum aller komplexwertigen, regulären Borelmaße auf dem kompakten Hausdorffraum K. In Anlehnung an die bereits erwähnten Arbeiten [4] und [10] betrachten wir Toeplitzoperatoren T_{φ} mit Symbol φ ∈ L^{∞}(m) auf H^{2}(m) und charakterisieren diese mit Hilfe der in Kapitel 2 erhaltenen Ergebnisse durch die Gleichung

WOT- ∑_{j∈J_{α}} T_{φ_{j,α}}^{∗}XT_{φ_{j,α}} = X,

wobei ((T_{φ_{j,α}})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine geeignete Familie sphärischer Isometrien ist. Schließlich nutzen wir die Sätze aus Kapitel 2, um exakte Sequenzen für die von den Toeplitzoperatoren auf H^{2}(m) mit Symbol in C(K) bzw. in L^{∞}(m) erzeugten Toeplitzalgebren T (C(K)) bzw. T (L^{∞}(m)) zu konstruieren. Auch hier gelingt uns eine Verallgemeinerung klassischer Resultate. So werden zum Beispiel in [13] exakte Sequenzen für die Toeplitzalgebren T (C(𝕋)) und T (L^{∞}(𝕋)) konstruiert, während Jewell und Krantz in ihrer 1979 erschienenen Arbeit [17] eine exakte Sequenz der von den Toeplitzoperatoren auf H^{2}(∂D) (D bezeichne ein streng pseudokonvexes Gebiet mit C^{2}-Rand) mit Symbol in L^{∞}(∂D) erzeugten Toeplitzalgebra erhalten. Auch Lewis A. Coburn befasste sich in [5] mit solchen exakten Sequenzen. Er konstruierte eine exakte Sequenz für die Toeplitzalgebra T (C(S_{n})). In den letzten Zeilen dieser Einleitung möchte ich die Gelegenheit wahrnehmen, mich bei all denen zu bedanken, die mich auf meinem bisherigen Weg begleitet haben. An erster Stelle bedanke ich mich bei Herrn Prof. Dr. Jörg Eschmeier für die geduldige und anregende Betreuung während der Entstehung dieser Arbeit und für den ansprechenden Themenvorschlag, der meine mathematischen Interessen genau getroffen hat. Mein Dank gilt außerdem Herrn Dr. Christoph Barbian und Herrn Dipl.-Math. Dominik Faas für die zahlreichen belebenden Diskussionen, sowie Nadine Backes und Michel Ludwig, die mir stets motivierend zur Seite standen. Ë besonnege Merci gëlt mengen Elteren fir hir bedingungslos Ënnerstëtzung am Laf vu mengem Studium. Si hu mir ëmmer all erdenklech Fräiheete gelooss an hu groussen Interessi u menger Aarbecht gewisen, och wa si net alles verstan hun.

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1 Vorbemerkungen

In diesem Kapitel wollen wir zunächst einige elementare Begriffe einführen, die es ermöglichen sollen, grundlegende Sätze und Lemmata zu formulieren. Es sei stets H ein komplexer Hilbertraum. Wir bezeichnen mit B(H) die Menge aller stetig linearen Abbildungen auf H und für eine Teilmenge M ⊂ B(H) sei C^{∗}(M) die von M erzeugte unitale C*-Teilalgebra von B(H). Ist F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine Familie von Familien stetig linearer Abbildungen auf H, so definieren wir C^{∗}(F) = C^{∗} ({T_{j,α} | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}}).

1.1 Vollständig positive Abbildungen

Eine lineare Abbildung zwischen unitalen C*-Algebren A und B heißt positiv, falls sie positive Elemente in A auf positive Elemente in B abbildet. Sind A und B C*-Algebren und φ : A → B linear, so definieren wir für n ∈ ℕ die lineare Abbildung φ_{n} : M_{n}(A) → M_{n}(B) durch φ_{n}((a_{ij})_{i,j}) = (φ(a_{ij}))_{i,j} und nennen φ n-positiv, falls φ_{n} positiv ist. Ist φ_{n} positiv für alle n ∈ ℕ, so heißt φ vollständig positiv. Für alle n ∈ ℕ können wir außerdem die Normen der Abbildungen φ_{n} betrachten. Ist das Supremum sup_{n∈ℕ} ∥φ_{n}∥ endlich, so heißt φ vollständig beschränkt, und wir setzen ∥φ∥_{cb} = sup_{n∈ℕ} ∥φ_{n}∥. Ferner nennen wir φ vollständig kontraktiv, falls ∥φ∥_{cb} ≤ 1 ist und vollständig isometrisch, falls alle φ_{n}, n ∈ ℕ, isometrisch sind. Beginnen wollen wir mit einer Charakterisierung der Positivität von Matrizen

der Form ( \begin{matrix}P & A \\ A^{∗} & Q \end{matrix} ) ∈ M_{2}(B(H)), wobei P, Q ∈ B(H) positiv und A ∈ B(H)

beliebig seien.

Lemma 1.1. Seien P, Q, A ∈ B(H), P und Q positiv. Dann sind äquivalent:

(i) ( \begin{matrix}P & A \\ A^{∗} & Q \end{matrix} ) ≥ 0.

(ii) Für alle x, y in H gilt: |⟨Ax, y⟩|^{2} ≤ ⟨P y, y⟩⟨Qx, x⟩.

Beweis. Sei zunächst (ii) erfüllt und seien x, y ∈ H beliebig. Dann folgt:

⟨( \begin{matrix}P & A \\ A^{∗} & Q \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )⟩ = ⟨P x, x⟩ + ⟨Ay, x⟩ + ⟨x, Ay⟩ + ⟨Qy, y⟩
≥ ⟨P x, x⟩ − 2|⟨Ay, x⟩| + ⟨Qy, y⟩
≥ ⟨P x, x⟩ − 2\sqrt{⟨P x, x⟩⟨Qy, y⟩} + ⟨Qy, y⟩
≥ 0.

Ist nun (i) erfüllt und sind x, y ∈ H beliebig, so erhält man ⟨P y, y⟩ + ⟨Ax, y⟩ + ⟨y, Ax⟩ + ⟨Qx, x⟩ ≥ 0 und damit −2Re(⟨Ax, y⟩) ≤ ⟨P y, y⟩ + ⟨Qx, x⟩. Ersetzt man jetzt y durch λy mit |λ| = 1 passend, so ergibt dies

|⟨Ax, y⟩| ≤ \frac{⟨P y, y⟩ + ⟨Qx, x⟩}{2}.  (1.1)

Verschwindet einer der beiden Summanden der rechten Seite (ohne Einschränkung gelte ⟨P y, y⟩ = 0), so folgt leicht 2|⟨Aλx, y⟩| ≤ λ^{2}⟨Qx, x⟩ und damit auch 2|⟨Ax, y⟩| ≤ λ⟨Qx, x⟩ für alle λ > 0. Für λ → 0 ergibt dies schließlich |⟨Ax, y⟩| = 0. Gilt nun ⟨P y, y⟩ ≠ 0 ≠ ⟨Qx, x⟩, so folgt aus (1.1) unmittelbar

|⟨A\frac{x}{\sqrt{⟨Qx, x⟩}}, \frac{y}{\sqrt{⟨P y, y⟩}}⟩| ≤ 1

und damit |⟨Ax, y⟩|^{2} ≤ ⟨Qx, x⟩⟨P y, y⟩.

Mit Hilfe einer isometrischen Darstellung einer unitalen C*-Algebra A können wir nun ein ähnliches Resultat für den Fall einer Matrix mit Einträgen in A folgern.

Korollar 1.2. Ist A eine unitale C*-Algebra und sind a, p, q ∈ A mit p, q positiv

und ( \begin{matrix}p & a \\ a^{∗} & q \end{matrix} ) ≥ 0, so folgt a^{∗}a ≤ ∥p∥q.

Beweis. Sei π : A → B(K) eine isometrische Darstellung. Dann ist sicherlich

( \begin{matrix}π(p) & π(a) \\ π(a)^{∗} & π(q) \end{matrix} ) ≥ 0

und mit Lemma 1.1 folgt ⟨π(a)^{∗}π(a)x, x⟩^{2} ≤ ⟨π(p)π(a)x, π(a)x⟩⟨π(q)x, x⟩ für alle x ∈ H. Dies liefert unmittelbar, dass ⟨π(a)^{∗}π(a)x, x⟩ ≤ ∥π(p)∥⟨π(q)x, x⟩ gilt. Also ist π(a^{∗}a) ≤ ∥p∥π(q), und die Behauptung ist gezeigt.

Wir können nun die Schwarzsche Ungleichung für 2-positive Abbildungen beweisen.

Korollar 1.3. Seien A, B unitale C*-Algebren und sei φ : A → B 2-positiv. Dann gilt φ(a)^{∗}φ(a) ≤ ∥φ(1)∥φ(a^{∗}a) für alle a ∈ A.

Beweis. Man sieht leicht, dass die Matrix

( \begin{matrix}1 & a \\ a^{∗} & a^{∗}a \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 0 \end{matrix} )^{∗} ( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 0 \end{matrix} )

positiv ist. Folglich ist nach Voraussetzung auch ( \begin{matrix}φ(1) & φ(a) \\ φ(a)^{∗} & φ(a^{∗}a) \end{matrix} ) positiv

und mit Korollar 1.2 folgt die Behauptung.

Insbesondere gilt natürlich im Speziallfall einer kontraktiven, vollständig positiven Abbildung φ : A → B zwischen zwei unitalen C*-Algebren A und B die Ungleichung φ(a)^{∗}φ(a) ≤ φ(a^{∗}a) für alle a ∈ A. Eine nützliche Charakterisierung der Gleichheit in der Schwarzschen Ungleichung soll als nächstes angeführt werden.

Lemma 1.4. Seien A, B unitale C*-Algebren und φ : A → B eine vollständig positive, kontraktive Abbildung. Dann sind für a ∈ A äquivalent:

(i) φ(a)^{∗}φ(a) = φ(a^{∗}a).

(ii) φ(ba) = φ(b)φ(a) für alle b ∈ A.

Beweis. Sei a ∈ A beliebig. Die Implikation von (ii) nach (i) ist offensichtlich, denn ist φ(ba) = φ(b)φ(a) für alle b ∈ A, so ist insbesondere φ(a^{∗}a) = φ(a^{∗})φ(a) = φ(a)^{∗}φ(a). Zum Beweis der umgekehrten Implikation betrachten

wir für ein beliebiges b ∈ A die Matrix ( \begin{matrix}b^{∗} & a \\ a^{∗} & 0 \end{matrix} ). Die Schwarzsche Unglei-

chung, angewendet auf φ_{2}, liefert

φ_{2} (( \begin{matrix}b^{∗} & a \\ a^{∗} & 0 \end{matrix} ))^{∗} φ_{2} (( \begin{matrix}b^{∗} & a \\ a^{∗} & 0 \end{matrix} )) ≤ φ_{2} (( \begin{matrix}b & a \\ a^{∗} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}b^{∗} & a \\ a^{∗} & 0 \end{matrix} )) ,

also ist

( \begin{matrix}φ(b)^{∗} & φ(a) \\ φ(a)^{∗} & 0 \end{matrix} )^{∗} ( \begin{matrix}φ(b)^{∗} & φ(a) \\ φ(a)^{∗} & 0 \end{matrix} ) ≤ ( \begin{matrix}φ(bb^{∗}) + φ(aa^{∗}) & φ(ba) \\ φ((ba)^{∗}) & φ(a^{∗}a) \end{matrix} )

und damit

( \begin{matrix}φ(bb^{∗}) − φ(b)φ(b)^{∗} + φ(aa^{∗}) − φ(a)φ(a)^{∗} & φ(ba) − φ(b)φ(a) \\ (φ(ba) − φ(b)φ(a))^{∗} & φ(a^{∗}a) − φ(a)^{∗}φ(a) \end{matrix} ) ≥ 0.

Nach Voraussetzung ist jedoch φ(a^{∗}a) − φ(a)^{∗}φ(a) = 0, und da das Element φ(bb^{∗}) − φ(b)φ(b)^{∗} + φ(aa^{∗}) − φ(a)φ(a)^{∗} nach der Schwarzschen Ungleichung positiv ist (man beachte, dass φ kontraktiv ist), folgt φ(ba) − φ(b)φ(a) = 0 mit Korollar 1.2. Dies war zu zeigen.

Mit Hilfe dieses Resultates können wir nun ein wohlbekanntes Ergebnis von Richard V. Kadison (siehe [18, Theorem 7]) über vollständig isometrische, surjektive und unitale lineare Abbildungen beweisen.

Korollar 1.5. Sei φ : A → B eine vollständig isometrische surjektive lineare Abbildung zwischen unitalen C*-Algebren A und B mit φ(1) = 1. Dann ist φ ein Isomorphismus von C*-Algebren.

Beweis. Die Abbildungen φ und φ^{−1} sind vollständig kontraktiv und unital, also nach [20, Proposition 3.6] vollständig positiv und insbesondere verträglich mit den Involutionen. Wir müssen nur die Multiplikativität der Abbildung φ nachrechnen. Für a ∈ A gilt φ(a)^{∗}φ(a) ≤ φ(a^{∗}a) nach der Schwarzschen Ungleichung (Korollar 1.3), angewendet auf die Abbildung φ. Genauso erhält man

a^{∗}a = φ^{−1}(φ(a))^{∗}φ^{−1}(φ(a)) ≤ φ^{−1}(φ(a)^{∗}φ(a)) ≤ φ^{−1}(φ(a^{∗}a)) = a^{∗}a

für a ∈ A mit der Schwarzschen Ungleichung, angewendet auf φ^{−1}. Also folgt φ^{−1}(φ(a)^{∗}φ(a)) = φ^{−1}(φ(a^{∗}a)) und damit φ(a)^{∗}φ(a) = φ(a^{∗}a) für alle a ∈ A. Eine Anwendung von Lemma 1.4 liefert nun, dass für alle a, b ∈ A die Gleichung φ(ba) = φ(b)φ(a) erfüllt ist. Die Abbildung φ ist also multiplikativ.

Ist A eine unitale C*-Algebra und Φ : A → B(H) eine vollständig positive Abbildung, so existiert nach dem Dilatationssatz von Stinespring ein Hilbertraum K, ein unitaler *-Homomorphismus π : A → B(K), und ein beschränkter Operator V : H → K mit ∥Φ(1)∥ = ∥V ∥^{2}, so dass Φ(X) = V^{∗}π(X)V für alle X ∈ A gilt. Wir nennen das so erhaltene Tripel (π, V, K) eine Stinespring-Dilatation für Φ. Gilt zusätzlich

K = ⋁ π(A)V H,

so heißt die Stinespring-Dilatation (π, V, K) minimal. In [20, Proposition 4.2.] wird gezeigt, dass zu je zwei minimalen Stinespring-Dilatationen (π_{i}, V_{i}, K_{i}), i = 1, 2, für Φ eine unitäre Abbildung U : K_{1} → K_{2} existiert mit UV_{1} = V_{2} sowie Uπ_{1}U^{∗} = π_{2}.

Lemma 1.6. Sei A eine unitale C*-Algebra und sei φ : A → B(H) eine vollständig positive Abbildung. Sei ferner (π, V, K) die minimale Stinespring-Dilatation für φ. Genügen a ∈ A und A ∈ B(H) der Vertauschungsrelation

φ(xa) = φ(x)A

für alle x ∈ A, so folgt π(a)V = V A.

Beweis. Erfüllen a ∈ A und A ∈ B(H) die Gleichung φ(xa) = φ(x)A für alle x ∈ A, so sieht man zunächst leicht, dass

⟨π(a)V h, π(x)V k⟩ = ⟨V^{∗}π(x^{∗}a)V h, k⟩
= ⟨φ(x^{∗}a)h, k⟩
= ⟨φ(x^{∗})Ah, k⟩
= ⟨V^{∗}π(x^{∗})V Ah, k⟩
= ⟨V Ah, π(x)V k⟩

für h, k ∈ H gilt. Aufgrund der Minimalität der Stinespring-Dilatation (π, V, K) von φ ist aber K = ⋁ π(A)V H, woraus die Behauptung unmittelbar folgt.

Eine besonders nützliche Aussage erhält man in der Situation des vorigen Lemmas für den Fall, dass φ(a^{∗}a) = φ(a)^{∗}φ(a) für ein gegebenes Element a ∈ A gilt. Nach Lemma 1.4 ist nämlich dann φ(xa) = φ(x)φ(a) für alle x ∈ A, und als Anwendung von Lemma 1.6 erhält man das folgende Korollar.

Korollar 1.7. Sei φ : A → B(H) eine vollständig positive Abbildung auf einer unitalen C*-Algebra A und sei (π, V, K) die minimale Stinespring-Darstellung für φ. Für a ∈ A mit φ(a^{∗}a) = φ(a)^{∗}φ(a) ist dann π(a)V = V φ(a) und damit \overline{V H} invariant unter π(a).

Seien S ∈ B(H), T ∈ B(K) mit Hilberträumen H ⊂ K. Gilt die Identität S = P_{H}T |_{H}, so heißt S die Kompression von T. Hierbei bezeichne P_{H} die Orthogonalprojektion von K auf H.

Proposition 1.8. Seien H, K Hilberträume mit H ⊂ K und seien S ∈ B(H), T ∈ B(K) mit S = P_{H}T |_{H}. Dann ist S^{∗}S die Kompression von T^{∗}T genau dann, wenn T H ⊂ H gilt.

Beweis. Nach Voraussetzung ist S = P_{H}T |_{H}. Folglich besitzt T bezüglich der Zerlegung K = H ⊕ H^{⊥} eine Matrixdarstellung der Form

T = ( \begin{matrix}S & a \\ b & c \end{matrix} )

mit a ∈ B(H^{⊥}, H), b ∈ B(H, H^{⊥}) und c ∈ B(H^{⊥}). Offensichtlich ist T H ⊂ H genau dann, wenn b = 0 erfüllt ist. Eine kurze Rechnung liefert

T^{∗}T = ( \begin{matrix}S^{∗}S + b^{∗}b & S^{∗}a + b^{∗}c \\ a^{∗}S + c^{∗}b & a^{∗}a + c^{∗}c \end{matrix} ) ,

und es ist S^{∗}S = P_{H}T^{∗}T |_{H} genau dann, wenn b = 0 gilt.

1.2 Familien von Familien von Operatoren

Da sich die vorliegende Arbeit intensiv mit Familien von Familien stetig linearer Operatoren auf H beschäftigt, sollen in diesem Abschnitt einige grundlegende Begriffe eingeführt werden, die den Umgang mit solchen Familien erleichtern. Abkürzend wollen wir im Verlaufe der Arbeit von 2-F amilien von Operatoren sprechen, wenn Familien von Familien von Operatoren, also Familien der Form F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} mit T_{j,α} ∈ B(H) für alle j ∈ J_{α}, α ∈ Γ gemeint sind. Zunächst wollen wir die Kommutanten einer Familie und einer 2-Familie von Operatoren definieren.

Definition 1.9. (i) Für eine Teilmenge M ⊂ B(H) heißt die Menge M′ = {Y ∈ B(H) | T Y = Y T für alle T ∈ M} der Kommutant von M.

(ii) Der Kommutant einer Familie S = (T_{j})_{j∈J} von Operatoren in B(H) sei definiert durch S′ = {T_{j} | j ∈ J}′. Eine Familie S = (T_{j})_{j∈J} von Operatoren in B(H) heißt kommutativ oder vertauschend, falls T_{j} ∈ S′ für alle j ∈ J ist.

(iii) Genauso definieren wir den Kommutanten F′ einer Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} von Familien von Operatoren in B(H) durch F′ = ⋂_{α∈Γ} S′_{α}, und nennen eine 2-Familie F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} von Operatoren in B(H) kommutativ oder vertauschend, falls T_{j,α} ∈ F′ für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} gilt.

Für eine kommutative 2-Familie von Operatoren können wir nun die Begriffe der Subnormalität und der minimalen normalen Erweiterung einführen. Die hier aufgeführten Definitionen verallgemeinern erwartungsgemäß die für den Fall eines einzelnen Operators T ∈ B(H) bekannten Begrifflichkeiten (siehe [9]).

Definition 1.10. (a) Eine kommutative 2-Familie F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} von Operatoren in B(H) wollen wir subnormal nennen, falls ein Hilbertraum K ⊇ H und eine kommutative 2-Familie F̂ = ((N_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} normaler Operatoren in B(K) existieren so, dass für alle j ∈ J_{α}, α ∈ Γ gilt:

(i) N_{j,α}H ⊂ H. (ii) T_{j,α} = N_{j,α}|_{H}.

In diesem Fall heißt das Paar (F̂, K) normale Erweiterung von F.

(b) Ist F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine subnormale 2-Familie von Operatoren in B(H), so heißt eine normale Erweiterung (F̂, K) von F mit einem Hilbertraum K ⊃ H und einer 2-Familie F̂ = ((N_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} minimal, falls kein echter Teilraum K_{0} ⊊ K mit H ⊂ K_{0} existiert, der reduzierend für alle N_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ ist.

Ein erstes Ergebnis über eine kommutative 2-Familie F normaler Operatoren in B(H) resultiert aus einer einfachen Anwendung des Satzes von Fuglede-Putnam (siehe [7, Theorem IX.6.7]).

Proposition 1.11. Sei F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine vertauschende 2-Familie normaler Operatoren in B(H). Dann folgt T_{j,α}^{∗} ∈ F′ für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α}.

Beweis. Seien α ∈ Γ und j ∈ J_{α} beliebig. Da die Familie F kommutativ ist, gilt T_{j,α}T_{k,β} = T_{k,β}T_{j,α} für alle β ∈ Γ und alle k ∈ J_{β}. Also ist auch T_{j,α}^{∗}T_{k,β} = T_{k,β}T_{j,α}^{∗} nach dem Satz von Fuglede-Putnam.

Im folgenden Lemma wollen wir eine nützliche Charakterisierung einer minimalen normalen Erweiterung (F̂, K) einer subnormalen 2-Familie F von Operatoren in B(H) angeben. Das entsprechende 1-dimensionale Resultat findet man in [9, Proposition II.2.4]. Bemerkung 1.12. Für eine 2-Familie F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} von Operatoren in B(H) bezeichne S(F) die Halbgruppe aller endlichen Produkte von Elementen aus {T_{j,α} | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}} und S^{∗}(F) die Halbgruppe aller endlichen Produkte von Elementen aus {T_{j,α} | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}} ∪ {T_{j,α}^{∗} | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}}.

Lemma 1.13. Seien F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine subnormale 2-Familie von Operatoren in B(H) und (F̂, K) mit F̂ = ((N_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine normale Erweiterung von F. Dann ist (F̂, K) genau dann minimal, wenn

K = ⋁ {N^{∗}h | h ∈ H, N ∈ S(F̂)}

gilt.

Beweis. Wir zeigen, dass der Raum K_{0} = ⋁ {N^{∗}h | h ∈ H, N ∈ S(F̂)} der kleinste reduzierende Teilraum für alle N_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ ist, der H enthält. Seien α ∈ Γ und j ∈ J_{α} beliebig. Wir überprüfen zuerst, dass K_{0} reduzierend für N_{j,α} ist, indem wir nachrechnen, dass die Elemente N_{j,α}N^{∗}h und N_{j,α}^{∗}N^{∗}h für beliebige N ∈ S(F̂) und h ∈ H wieder in K_{0} liegen. In der Tat erhält man mit Proposition 1.11 leicht, dass

N_{j,α}N^{∗}h = N^{∗}N_{j,α}h

für alle N ∈ S(F̂) und h ∈ H ist. Die Invarianz von H unter N_{j,α} liefert N_{j,α}h ∈ H, also ist N_{j,α}N^{∗}h ∈ K_{0}. Dass außerdem N_{j,α}^{∗}N^{∗}h ∈ K_{0} für alle N ∈ S(F̂) und h ∈ H gilt, folgt indes unmittelbar aus der Definition von S(F̂). Also ist K_{0} reduzierend für N_{j,α}. Ist nun K_{1} ein Hilbertraum mit H ⊂ K_{1}, der reduzierend für alle N_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ ist, so gilt sicherlich N^{∗}h ∈ K_{1} für alle N ∈ S(F̂) und alle h ∈ H, also folgt schon K_{0} ⊂ K_{1}. Als unmittelbare Konsequenz erhält man die Behauptung.

Wir können nun diese Charakterisierung nutzen, um zu zeigen, dass zwei minimale normale Erweiterungen einer subnormalen 2-Familie von Operatoren in einem gewissen Sinne unitär äquivalent sind. Dies erlaubt es uns, im weiteren Verlauf der Arbeit nur noch von der minimalen normalen Erweiterung einer subnormalen 2-Familie zu sprechen.

Lemma 1.14. Sei F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine subnormale 2-Familie von Operatoren in B(H). Seien (F̂_{1}, K_{1}) und (F̂_{2}, K_{2}) mit F̂_{1} = ((N_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} und F̂_{2} = ((L_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} zwei minimale normale Erweiterungen von F. Dann existiert eine unitäre Abbildung U : K_{1} → K_{2} mit

UN_{j,α} = L_{j,α}U

für alle j ∈ J_{α}, α ∈ Γ.

Beweis. Sei (F̃, K) mit F̃ = ((M_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine beliebige normale Erweiterung von F und sei n ∈ ℕ. Dann gilt sicherlich XY^{∗} = Y^{∗}X für X, Y ∈ S(F̃) nach Proposition 1.11. Sind nun für i ∈ {1, …, n} die Elemente M_{i} ∈ S(F̃) und h_{i} ∈ H beliebig, so folgt mit T_{i} = M_{i}|_{H} für i ∈ {1, …, n} die Identität

∥ ∑_{i=1}^{n} M_{i}^{∗}h_{i}∥^{2} = ∑_{i,k=1}^{n} ⟨M_{i}^{∗}h_{i}, M_{k}^{∗}h_{k}⟩
= ∑_{i,k=1}^{n} ⟨M_{k}h_{i}, M_{i}h_{k}⟩
= ∑_{i,k=1}^{n} ⟨T_{k}h_{i}, T_{i}h_{k}⟩.

Da (F̂_{1}, K_{1}) und (F̂_{2}, K_{2}) normale Erweiterungen von F sind, sieht man damit leicht, dass die Abbildung

U_{0} : LH {N^{∗}h | h ∈ H, N ∈ S(F̂_{1})} → LH {L^{∗}h | h ∈ H, L ∈ S(F̂_{2})} ,
∑_{i=1}^{n} N_{i}^{∗}h_{i} ↦ ∑_{i=1}^{n} L_{i}^{∗}h_{i}

eine wohldefinierte lineare Isometrie ist. Anhand der Definition von von U_{0} erkennt man ferner, dass U_{0} auch surjektiv ist. Aus der Minimalität von (F̂_{1}, K_{1}) und (F̂_{2}, K_{2}) folgt mit Lemma 1.13, dass K_{1} = ⋁ {N^{∗}h | h ∈ H, N ∈ S(F̂_{1})} sowie K_{2} = ⋁ {L^{∗}h | h ∈ H, L ∈ S(F̂_{2})} gilt. Damit können wir U_{0} zu einer unitären Abbildung U : K_{1} → K_{2} fortsetzen. Mit Hilfe von Proposition 1.11 rechnet man nun die Identität UN_{j,α} = L_{j,α}U für alle j ∈ J_{α}, α ∈ Γ leicht nach.

1.3 Lineare Abbildungen zwischen dualen

Banachräumen

Wir wollen zum Abschluss dieses Kapitels noch ein bekanntes Ergebnis über lineare Abbildungen der Form S : Y′ → X′ zwischen Dualräumen von Banachräumen X und Y formulieren, welches im Verlauf der Arbeit hilfreich sein wird. Insbesondere sei an dieser Stelle bemerkt, dass wir dieses Resultat haupsächlich auf den Raum B(H) aller beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum H anwenden werden, da wir ihn bekanntlich als Dualraum der Spurklasse-Operatoren auffassen können.

Proposition 1.15. Sei H ein Hilbertraum und sei (X_{α})_{α∈A} ein in der WOT-Topologie beschränktes Netz in B(H). Für X ∈ B(H) sind dann äquivalent:

(a) (X_{α})_{α∈A} ist WOT-konvergent gegen X.

(b) (X_{α})_{α∈A} ist w^{∗}-konvergent gegen X.

Beweis. Da WOT-beschränkte Mengen in B(H) nach dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit normbeschränkt sind, folgt die Behauptung direkt aus der Tatsache, dass nach [9, Proposition I.2.5] auf normbeschränkten Mengen die WOT-Topologie und die w^{∗}-Topologie übereinstimmen.

Eine Anwendung dieser Proposition stellt das nächste Lemma dar.

Lemma 1.16. Seien X, Y Banachräume und sei S : Y′ → X′ stetig linear. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) S ist w^{∗}-stetig.

(b) S : (ball(Y′), τ_{w^{∗}}) → (X′, τ_{w^{∗}}) ist stetig.

Sind H und K Hilberträume und X′ = B(H), Y′ = B(K), aufgefasst als Dualräume der Spurklasse-Operatoren auf H bzw. K, so sind die Aussagen aus (a) und (b) äquivalent zu:

(c) S : (ball(B(K)), τ_{WOT}) → (B(H), τ_{WOT}) ist stetig.

Beweis. Offensichtlich folgt die Stetigkeit von S : (ball(Y′), τ_{w^{∗}}) → (X′, τ_{w^{∗}}) unmittelbar aus der w^{∗}-Stetigkeit von S. Sei nun S : (ball(Y′), τ_{w^{∗}}) → (X′, τ_{w^{∗}}) stetig. Wir betrachten die kanonischen Einbettungen j_{X} : X → X′′ und j_{Y} : Y → Y′′. Da für x ∈ X, x′ ∈ X′, y ∈ Y, y′ ∈ Y′ die Gleichungen

j_{X}(x)(x′) = x′(x), j_{Y} (y)(y′) = y′(y)

erfüllt sind, stimmen für E ∈ {X, Y } die Topologien σ(E′, j_{E}(E)) und σ(E′, E) überein. Laut [24, Lemma IV.2.1] genügt es, die Inklusion S′(j_{X}(X)) ⊂ j_{Y} (Y) zu überprüfen, wobei S′ : X′′ → Y′′ die zu S adjungierte Abbildung bezeichne. Sei dazu x ∈ X beliebig. Dann ist sicherlich S′(j_{X}(x)) = j_{X}(x) ∘ S. Nach Voraussetzung ist die Abbildung j_{X}(x) ∘ S|_{ball(Y′)} : (ball(Y′), τ_{w^{∗}}) → ℂ stetig, also ist Ker(j_{X}(x) ∘ S|_{ball(Y′)}) ⊂ (Y′, τ_{w^{∗}}) abgeschlossen. Aus der Identität

Ker(j_{X}(x) ∘ S|_{ball(Y′)}) = Ker(j_{X}(x) ∘ S) ∩ ball(Y′).

ergibt sich nun die w^{∗}-Abgeschlossenheit von Ker(j_{X}(x)∘S)∩ball(Y′), und mit dem Satz von Krein-Šmulian (siehe [24, Corollary IV.6.4]) erhält man schließlich die w^{∗}-Abgeschlossenheit von Ker(j_{X}(x) ∘ S). Damit ist die Linearform j_{X}(x) ∘ S : (Y′, τ_{w^{∗}}) → ℂ stetig, und mit Hilfe von [7, Theorem IV.3.1] folgt leicht, dass j_{X}(x) ∘ S ∈ j_{Y} (Y) gilt. Sind nun H, K Hilberträume und X′ = B(H) sowie Y′ = B(K), so folgt die Äquivalenz von (b) und (c) unmittelbar aus Proposition 1.15 in Verbindung mit der Inklusion τ_{WOT} ⊂ τ_{w^{∗}} und der vorausgesetzten Norm-Stetigkeit von S.

Korollar 1.17. Seien H, K zwei Hilberträume und S : B(K) → B(H) stetig linear. Ist die Abbildung S : (B(K), τ_{WOT}) → (B(H), τ_{WOT}) stetig, so ist auch S : (B(K), τ_{w^{∗}}) → (B(H), τ_{w^{∗}}) stetig.

Beweis. Dies ist eine direkte Folgerung aus Lemma 1.16, da man aus der WOT-Stetigkeit von S : B(K) → B(H) unmittelbar die WOT-Stetigkeit der Abbildung S : ball(B(K)) → B(H) erhält.

16

2 Sphärische Kontraktionen

Wir sind nun in der Lage, uns näher mit einer besonderen Klasse von 2-Familien von Operatoren auf H, den Familien sogenannter sphärischer Kontraktionen, zu befassen. Nachdem wir im ersten Abschnitt elementare Charakteristika sphärischer Kontraktionen behandeln werden, wollen wir im darauf folgenden Abschnitt vollständig positive und kontraktive Projektionen untersuchen, mit deren Hilfe wir im dritten Abschnitt schließlich unter anderem beweisen werden, dass sphärische Isometrien subnormal sind.

2.1 Definition und erste Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Eigenschaften sphärischer Kontraktionen formuliert. Dabei legen wir ein besonderes Augenmerk auf die Menge der zugehörigen Toeplitzoperatoren. Wir werden zunächst zeigen, dass jeder sphärischen Kontraktion S eine vollständig positive und w^{∗}-stetige Abbildung ϕ_{S} zugeordnet werden kann, deren Fixpunktmenge gerade mit der Menge aller S-Toeplitzoperatoren übereinstimmt.

Definition 2.1. Sei H ein Hilbertraum.

(a) Eine kommutative Familie S = (T_{j})_{j∈J} mit T_{j} ∈ B(H) für alle j ∈ J heißt sphärische Kontraktion, falls

WOT- ∑_{j∈J} T_{j}^{∗}T_{j} ≤ 1

erfüllt ist.

(b) Eine kommutative Familie S = (T_{j})_{j∈J} mit T_{j} ∈ B(H) für alle j ∈ J heißt sphärische Isometrie, falls die Identität

WOT- ∑_{j∈J} T_{j}^{∗}T_{j} = 1

gilt.

(c) Ist S = (T_{j})_{j∈J} eine sphärische Kontraktion so wollen wir

T (S) = {X ∈ B(H) | WOT- ∑_{j∈J} T_{j}^{∗}XT_{j} = X}

die Menge der S-T oeplitzoperatoren nennen.

(d) Für eine kommutative Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} sphärischer Kontraktionen S_{α} = (T_{j,α})_{j∈J_{α}} auf H heißt

T (F) = ⋂_{α∈Γ} T (S_{α})

die Menge aller F-T oeplitzoperatoren.

An dieser Stelle sei kurz bemerkt, dass die hier gegebene Definition einer Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} sphärischer Isometrien gleichzeitig die Begriffe der endlichen sphärischen Isometrien und endlichen torischen Isometrien verallgemeinert, wie sie zum Beispiel in [3] zu finden sind. In der Tat erhält man für #Γ = n und #J_{α} = 1, α ∈ Γ, eine torische Isometrie und für #Γ = 1 und #J_{α} = n, α ∈ Γ, eine endliche sphärische Isometrie. Eine erste Proposition liefert die Wohldefiniertheit der Mengen T (S) und T (F) aus Definition 2.1.

Proposition 2.2. Sei F = (S_{α})_{α∈Γ} = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine 2-Familie in B(H) derart, dass für alle α ∈ Γ das Netz

(∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}T_{j,α})_{F ⊂J_{α}endl.}

nach oben bechränkt ist (etwa durch c_{α}I, c_{α} > 0 für alle α ∈ Γ). Dann konvergiert ∑_{j∈J_{α}} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α} für alle α ∈ Γ, X ∈ B(H) bzgl. der starken Operatortopologie.

Beweis. Seien α ∈ Γ und X ∈ B(H) beliebig. Da sich jeder beschränkte lineare Operator als Linearkombination positiver Elemente schreiben lässt, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass X ≥ 0 ist. Wir wollen zeigen, dass das Netz (∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α})_{F ⊂J_{α}endl.} ein monoton wachsendes, nach oben beschränktes Netz positiver Operatoren ist. Die Positivität von ∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α} folgt leicht aus X ≥ 0. Seien nun F ⊂ E endliche Teilmengen von J_{α}. Dann folgt

∑_{j∈E\F} ⟨T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}h, h⟩ = ∑_{j∈E\F} ⟨X^{1/2}T_{j,α}h, X^{1/2}T_{j,α}h⟩ ≥ 0 (h ∈ H).

Also ist ∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α} ≤ ∑_{j∈E} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}. Ferner gilt nach der Ungleichung von Cauchy-Schwarz die Abschätzung

∑_{j∈F} ⟨T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}h, h⟩ = ∑_{j∈F} ⟨XT_{j,α}h, T_{j,α}h⟩
≤ ∑_{j∈F} ∥X∥⟨T_{j,α}h, T_{j,α}h⟩
= ∥X∥⟨∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}T_{j,α}h, h⟩
≤ ∥X∥⟨c_{α}h, h⟩ (h ∈ H).

Damit ist das Netz (∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α})_{F ⊂J_{α}endl.} monoton wachsend und nach oben beschränkt. Mit [25, Satz 17.1] folgt die Konvergenz in der starken Operatortopologie.

Bemerkung. Da in der Situation des Beweises von Proposition 2.2 alle Summen ∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α} über endliche Teilmengen F ⊂ J_{α} positiv sind, erhält man wegen ∥ ∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}∥ ≤ ∥ ∑_{j∈J_{α}} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}∥ auch die Normbeschränktheit von {∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}}_{F ⊂J_{α}endl.}. Dies liefert zusammen mit Proposition 1.15 die w^{∗}-Konvergenz von ∑_{j∈J_{α}} T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}.

Als nächstes wollen wir einer sphärischen Kontraktion S = (T_{j})_{j∈J} die nach Proposition 2.2 wohldefinierte lineare Abbildung

ϕ_{S} : B(H) → B(H), X ↦ WOT- ∑_{j∈J} T_{j}^{∗}XT_{j}

zuordnen, deren Fixpunktmenge gerade aus den S-Toeplitzoperatoren besteht. Ist S eine sphärische Isometrie, so ist ϕ_{S} offensichtlich unital, im allgemeinen Fall einer sphärischen Kontraktion S gilt immerhin noch ϕ_{S}(1) ≤ 1. Wir werden uns nun für den Rest dieses Abschnittes näher mit dieser Abbildung befassen und einige interessante Eigenschaften untersuchen.

Proposition 2.3. Sei S = (T_{j})_{j∈J} eine sphärische Kontraktion. Für A, B ∈ S′ und X ∈ B(H) ist dann ϕ_{S}(A^{∗}XB) = A^{∗}ϕ_{S}(X)B.

Beweis. Seien A, B ∈ S′ und X ∈ B(H) beliebig. Dann ist ⟨ϕ_{S}(A^{∗}XB)g, h⟩ = ∑_{j∈J} ⟨T_{j}^{∗}A^{∗}XBT_{j}g, h⟩ = ∑_{j∈J} ⟨T_{j}^{∗}XT_{j}Bg, Ah⟩ = ⟨A^{∗}ϕ_{S}(X)Bg, h⟩ für alle g, h ∈ H.

Als Korollar aus der soeben bewiesenen Proposition erhalten wir, dass der Kommutant einer beliebigen sphärischen Isometrie S = (T_{j})_{j∈J} immer in der Menge aller S-Toeplitzoperatoren enthalten ist. Insbesondere folgt natürlich auch T_{j} ∈ T (S) für alle j ∈ J.

Korollar 2.4. Sei S = (T_{j})_{j∈J} eine sphärische Isometrie. Dann ist S′ ⊂ T (S).

Beweis. Da für eine sphärische Isometrie S die Abbildung ϕ_{S} unital ist, ist dies eine direkte Folgerung aus Proposition 2.3, angewendet auf den Fall, dass A = 1 und X = 1 ist.

Im nächsten Lemma wollen wir die w^{∗}-Stetigkeit und die vollständige Positivität der Abbildung ϕ_{S} beweisen. Dazu geben wir zuerst noch zwei hilfreiche Propositionen an, die den Beweis des Lemmas erleichtern werden. Beide Eigenschaften werden im Laufe der Arbeit derweil von großem Nutzen sein.

Proposition 2.5. Seien H, K Hilberträume und A ∈ B(K, H), B ∈ B(H, K) beliebig. Dann ist die Abbildung M_{A,B} : B(K) → B(H), X ↦ AXB w^{∗}-stetig.

Beweis. Nach Lemma 1.17 genügt es zu zeigen, dass M_{A,B} WOT-stetig ist. Ist aber (X_{α})_{α∈A} ein Netz in B(K) mit X_{α} → 0 bezüglich der schwachen Operatortopologie, so folgt ⟨AX_{α}Bg, h⟩ = ⟨X_{α}Bg, A^{∗}h⟩ → 0. Dies liefert die Behauptung.

Proposition 2.6. Sei S = (T_{j})_{j∈J} eine sphärische Kontraktion. Dann gelten die folgenden Aussagen:

(a) Die Abbildung T : H → ⨁_{j∈J} H, h ↦ (T_{j}h)_{j∈J} ist eine Kontraktion.

(b) Für alle X ∈ B(H) ist WOT-∑_{j∈J} T_{j}^{∗}XT_{j} = T^{∗}( ⨁_{j∈J} X)T.

Beweis. Zunächst wollen wir zeigen, dass T eine Kontraktion ist. Da die Familie S eine sphärische Kontraktion ist, gilt die Abschätzung

∥h∥^{2} ≥ ∑_{j∈J} ⟨T_{j}^{∗}T_{j}h, h⟩ = ∑_{j∈J} ∥T_{j}h∥^{2} = ∥T h∥^{2}

für h ∈ H. Sind nun g, h ∈ H und X ∈ B(H) beliebig, so folgt

∑_{j∈J} ⟨T_{j}^{∗}XT_{j}g, h⟩ = ∑_{j∈J} ⟨XT_{j}g, T_{j}h⟩
= ⟨(XT_{j}g)_{j∈J}, (T_{j}h)_{j∈J}⟩_{⨁_{j∈J} H}
= ⟨( ⨁_{j∈J} X)T g, T h⟩
= ⟨T^{∗}( ⨁_{j∈J} X)T g, h⟩.

Ist S = (T_{j})_{j∈J} in der Situation von Proposition 2.6 eine sphärische Isometrie, so sieht man leicht, dass dann T : H → ⨁_{j∈J} H, h ↦ (T_{j}h)_{j∈J} eine Isometrie ist. Wir sind nun in der Lage, die vollständige Positivität und w^{∗}-Stetigkeit der zu einer sphärischen Kontraktion S gehörenden Abbildung ϕ_{S} zu beweisen. Insbesondere folgt damit auch, dass ϕ_{S} kontraktiv ist, denn bekanntlich erhält man ∥ϕ_{S}∥_{cb} = ∥ϕ_{S}∥ = ∥ϕ_{S}(1)∥ aus der vollständigen Positivität von ϕ_{S}.

Lemma 2.7. Sei S = (T_{j})_{j∈J} eine sphärische Kontraktion. Dann ist die Abbildung ϕ_{S} w^{∗}-stetig und vollständig positiv.

Beweis. Mit Hilfe von Proposition 2.6 (b) stellen wir zuerst fest, dass ϕ_{S}(X) = T^{∗}( ⨁_{j∈J} X)T für alle X ∈ B(H) gilt. Damit erhalten wir unmittelbar

ϕ_{S}(X) = M_{T^{∗},T} ( ⨁_{j∈J} X)

für alle X ∈ B(H). Es genügt also, die w^{∗}-Stetigkeit der Abbildung

B(H) → B( ⨁_{j∈J} H), X ↦ ⨁_{j∈J} X

zu prüfen, denn dann folgt die Behauptung mit Proposition 2.5. Nach Lemma 1.16 reicht es jedoch, zu zeigen, dass die Abbildung

ball(B(H)) → B( ⨁_{j∈J} H), X ↦ ⨁_{j∈J} X

WOT-stetig ist. Sei dazu (X_{α})_{α∈A} ein Netz in ball(B(H)) mit X_{α} → 0 bezüglich der schwachen Operatortopologie und seien (x_{j})_{j∈J}, (y_{j})_{j∈J} ∈ ⨁_{j∈J} H. Dann existiert zu gegebenem ε > 0 eine endliche Teilmenge J(ε) ⊂ J so, dass

| ∑_{j∈J\J(ε)} ⟨X_{α}x_{j}, y_{j}⟩| ≤ ( ∑_{j∈J\J(ε)} ∥x_{j}∥^{2})^{1/2}( ∑_{j∈J\J(ε)} ∥y_{j}∥^{2})^{1/2} < \frac{ε}{2}

für alle α ∈ A gilt. Ferner gibt es ein α(ε) ∈ A so, dass ∑_{j∈J(ε)} |⟨X_{α}x_{j}, y_{j}⟩| < \frac{ε}{2} für alle α ∈ A mit α ≥ α(ε) ist. Damit erhält man schließlich

|⟨( ⨁_{j∈J} X_{α})(x_{j}), (y_{j})⟩| = | ∑_{j∈J} ⟨X_{α}x_{j}, y_{j}⟩| < ε

für alle α ∈ A mit α ≥ α(ε). Also ist die w^{∗}-Stetigkeit von ϕ_{S} gezeigt. Die vollständige Positivität von ϕ_{S} ist erfüllt, da man mit den Bezeichnungen aus Proposition 2.6 leicht sieht, dass ϕ_{α} die Komposition des *–Homomorphismus

B(H) → B(⨁_{j∈J} H), X ↦ ⨁_{j∈J} X

und der nach [20, Bemerkungen vor Proposition 3.6] vollständig positiven Abbildung

B(⨁_{j∈J} H) → B(H), X ↦ T^{∗}XT

ist.

Zuletzt sei noch erwähnt, dass im Falle zweier vertauschender sphärischer Kontraktionen S und T auch die zugehörigen Abbildungen ϕ_{S} und ϕ_{T} kommutieren. Insbesondere folgt dann auch, dass die zu einer Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} sphärischer Kontraktionen gehörende Familie (ϕ_{S_{α}})_{α∈Γ} vertauschend ist.

Proposition 2.8. Seien T = (T_{j})_{j∈J} und S = (S_{k})_{k∈K} sphärische Kontraktionen so, dass T_{j}S_{k} = S_{k}T_{j} für j ∈ J, k ∈ K gilt. Dann sind die Abbildungen ϕ_{T} und ϕ_{S} vertauschend.

Beweis. Die Abbildungen ϕ_{T} und ϕ_{S} sind nach Bemerkung 2.2 wohldefiniert und nach Lemma 2.7 w^{∗}-stetig. Für j ∈ J und X ∈ B(H) erhält man zunächst, dass

⟨T_{j}^{∗}ϕ_{S}(X)T_{j}g, h⟩ = ⟨ϕ_{S}(X)T_{j}g, T_{j}h⟩
= ∑_{k∈K} ⟨S_{k}^{∗}XS_{k}T_{j}g, T_{j}h⟩
= ∑_{k∈K} ⟨XS_{k}T_{j}g, S_{k}T_{j}h⟩
= ∑_{k∈K} ⟨XT_{j}S_{k}g, T_{j}S_{k}h⟩
= ∑_{k∈K} ⟨S_{k}^{∗}T_{j}^{∗}XT_{j}S_{k}g, h⟩
= ⟨ϕ_{S}(T_{j}^{∗}XT_{j})g, h⟩ (g, h ∈ H)

gilt. Dies führt jedoch leicht zu

ϕ_{T} (ϕ_{S}(X)) = w^{∗}- lim_{\begin{matrix}F ⊂J \\ F endl. \end{matrix}} ∑_{j∈F} T_{j}^{∗}ϕ_{S}(X)T_{j}
= w^{∗}- lim_{\begin{matrix}F ⊂J \\ F endl. \end{matrix}} ϕ_{S}( ∑_{j∈F} T_{j}^{∗}XT_{j})
= ϕ_{S}(ϕ_{T} (X))

für X ∈ B(H).

2.2 Vollständig positive kontraktive Projektionen

Wir wollen uns nun etwas ausführlicher mit Abbildungen Φ : B(H) → B(H) befassen, die vollständig positiv, kontraktiv und idempotent sind. Dabei werden wir feststellen, dass auf dem Bild einer solchen Abbildung Φ stets eine Verknüpfung ∘ als Multiplikation definiert werden kann, bezüglich derer Ran(Φ) eine C*-Algebra mit der von B(H) induzierten Norm und Involution ist. Hervorzuheben ist auch, dass die zum Beweis der Assoziativität der Verknüpfung ∘ verwendete Relation

Φ(Φ(X)Y) = Φ(Φ(X)Φ(Y)) = Φ(XΦ(Y)), (X, Y ∈ B(H))

im weiteren Verlauf der Arbeit ebenfalls sehr hilfreich sein wird. Daher wird in einem Korollar zum folgenden Satz noch einmal explizit darauf verwiesen.

Satz 2.9. Sei Φ : B(H) → B(H) eine vollständig positive, kontraktive Abbildung mit Φ ∘ Φ = Φ. Dann wird Ran(Φ) zu einer unitalen C*-Algebra bezüglich der Multiplikation

∘ : Ran(Φ) × Ran(Φ) → Ran(Φ), X ∘ Y = Φ(XY)

sowie der von B(H) induzierten Norm und Involution. Es ist Φ(1) die Eins dieser C*-Algebra.

Beweis. Zunächst liefert X, Y ∈ Ran(Φ) offensichtlich auch X ∘ Y ∈ Ran(Φ). Da für X, Y, Z ∈ Ran(Φ)

(X + Y) ∘ Z = Φ((X + Y)Z)
= Φ(XZ + Y Z)
= Φ(XZ) + Φ(Y Z)
= X ∘ Z + Y ∘ Z

sowie X ∘ (Y + Z) = X ∘ Y + X ∘ Z gilt, ist ∘ distributiv. Ist zusätzlich noch λ ∈ ℂ, so ist λ(X ∘ Y) = λΦ(XY) = Φ((λX)Y) = (λX) ∘ Y = X ∘ (λY). Wir wollen nun die Assoziativität von ∘ überprüfen. Seien dazu X ∈ B(H) und A ∈ Ran(Φ) beliebig. Wir zeigen, dass dann Φ(Φ(X)A) = Φ(XA) sowie Φ(AΦ(X)) = Φ(AX) gilt, denn daraus folgt unmittelbar

Φ(AΦ(BC)) = Φ(ABC) = Φ(Φ(AB)C) (A, B, C ∈ Ran(Φ)).

Als vollständig positive, kontraktive Abbildung ist Φ natürlich auch vollständig kontraktiv, denn ∥Φ∥_{cb} = ∥Φ∥ ≤ 1. Wir wenden nun Korollar 1.3 auf die vollständig positive kontraktive Abbildung Φ_{2} und auf die Matrix

( \begin{matrix}A^{∗} & X \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{2}(B(H))

an. Wegen A ∈ Ran(Φ) folgt, dass

0 ≤ ( \begin{matrix}Φ(AA^{∗}) & Φ(AX) \\ Φ(X^{∗}A^{∗}) & Φ(X^{∗}X) \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}Φ(A^{∗}) & Φ(X) \\ 0 & 0 \end{matrix} )^{∗} ( \begin{matrix}Φ(A^{∗}) & Φ(X) \\ 0 & 0 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}Φ(AA^{∗}) & Φ(AX) \\ Φ(X^{∗}A^{∗}) & Φ(X^{∗}X) \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}Φ(A) & 0 \\ Φ(X)^{∗} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}Φ(A)^{∗} & Φ(X) \\ 0 & 0 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}Φ(AA^{∗}) & Φ(AX) \\ Φ(X^{∗}A^{∗}) & Φ(X^{∗}X) \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}AA^{∗} & AΦ(X) \\ Φ(X)^{∗}A^{∗} & Φ(X)^{∗}Φ(X) \end{matrix} )

gilt. Da Φ vollständig positiv ist, liefert eine Anwendung von Φ_{2}

0 ≤ ( \begin{matrix}0 & Φ(AX) − Φ(AΦ(X)) \\ Φ(X^{∗}A^{∗}) − Φ(Φ(X)^{∗}A^{∗}) & Φ(X^{∗}X) − Φ(Φ(X)^{∗}Φ(X)) \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}0 & Φ(AX) − Φ(AΦ(X)) \\ Φ(AX)^{∗} − Φ(AΦ(X))^{∗} & Φ(X^{∗}X) − Φ(Φ(X)^{∗}Φ(X)) \end{matrix} ) .

Nun ist aber Φ(X^{∗}X) − Φ(Φ(X)^{∗}Φ(X)) = Φ(Φ(X^{∗}X) − Φ(X)^{∗}Φ(X)), und nach der bereits zitierten Schwarzschen Ungleichung ist Φ(X^{∗}X) − Φ(X)^{∗}Φ(X) positiv. Folglich ist Lemma 1.1 anwendbar, und für h_{1}, h_{2} ∈ H erhält man

|⟨Φ(AX) − Φ(AΦ(X))h_{1}, h_{2}⟩| ≤ 0,

was zu Φ(AX) − Φ(AΦ(X)) = 0 führt. Also ist Φ(AX) = Φ(AΦ(X)) gezeigt. Andererseits ist aber auch Φ(XA) = Φ(A^{∗}X^{∗})^{∗} = Φ(A^{∗}Φ(X^{∗}))^{∗} = Φ(Φ(X)A). Da Φ idempotent ist, folgt nun

Φ(1) ∘ X = Φ(Φ(1)X) = Φ(1 · X) = Φ(X) = Φ(X · 1) = Φ(XΦ(1)) = X ∘ Φ(1) für X ∈ Ran(Φ). Wegen Φ(X) = X liefert dies unmittelbar

Φ(1) ∘ X = X = X ∘ Φ(1)

Bleibt noch die C*-Bedingung zu prüfen. Sei dazu A ∈ Ran(Φ) beliebig. Dann sieht man leicht, dass ∥A^{∗} ∘ A∥ = ∥Φ(A^{∗}A)∥ ≤ ∥A^{∗}A∥ = ∥A∥^{2} ist. Wir wenden auch hier Korollar 1.3 an, das wegen der Voraussetzung A ∈ Ran(Φ) in Verbindung mit der Kontraktivität von Φ zu Φ(A^{∗}A) ≥ Φ(A)^{∗}Φ(A) = A^{∗}A führt, also ist ∥A^{∗} ∘ A∥ = ∥Φ(A^{∗}A)∥ ≥ ∥A^{∗}A∥ = ∥A∥^{2}. Schließlich sieht man leicht, dass die übliche Involution auf B(H) eine Involution auf Ran(Φ) induziert, denn für X, Y ∈ Ran(Φ) ist (X ∘ Y)^{∗} = Φ(XY)^{∗} = Φ(Y^{∗}X^{∗}) = Y^{∗} ∘ X^{∗}. Damit ist (Ran(Φ), ∘) eine C*-Algebra.

Korollar 2.10. Sei Φ : B(H) → B(H) eine vollständig positive, kontraktive Abbildung mit Φ ∘ Φ = Φ. Dann gilt für X, Y ∈ B(H):

Φ(Φ(X)Y) = Φ(Φ(X)Φ(Y)) = Φ(XΦ(Y)).

Beweis. Dies wurde im Beweis zu Satz 2.9 gezeigt.

Ist n ∈ ℕ beliebig, so induziert der ℂ-Algebren-Isomorphismus

σ : M_{n}(B(H)) → B(H^{n}), σ((A_{ij})_{i,j=1}^{n})(x_{i})_{i=1}^{n} = ( ∑_{i=1}^{n} A_{ij}x_{j})_{i=1}^{n}

eine C*-Algebrenstruktur auf M_{n}(B(H)) (siehe dazu auch [20, Seiten 2-3]). Wir nutzen diesen C*-Isomorphismus nun, um zu beweisen, dass die Identität zwischen Ran(Φ) und (Ran(Φ), ∘) eine vollständige Isometrie definiert.

Korollar 2.11. Sei Φ : B(H) → B(H) eine vollständig positive, kontraktive Abbildung mit Φ∘Φ = Φ. Dann ist id : Ran(Φ) → (Ran(Φ), ∘) eine vollständige Isometrie.

Beweis. Sei n ∈ ℕ beliebig. Ist Φ : B(H) → B(H) vollständig positiv und kontraktiv mit Φ^{2} = Φ, so ist die Abbildung

Φ̃_{n} = σ ∘ Φ_{n} ∘ σ^{−1} : B(H^{n}) → B(H^{n})

kontraktiv mit Φ̃_{n}^{2} = Φ̃_{n}. Da σ und σ^{−1} als C*-Algebrenhomomorphismen natürlich vollständig positiv und kontraktiv sind, und weil mit Φ auch Φ_{n} vollständig positiv und kontraktiv ist, gilt dasselbe für die Abbildung Φ̃_{n}. Nach Satz 2.9 ist dann aber Ran(Φ̃_{n}) = σ(M_{n}(Ran(Φ))) ⊂ B(H^{n}) eine C*-Algebra mit dem Produkt A ∘ B = Φ̃_{n}(AB) sowie mit der von B(H^{n}) induzierten Norm und Involution. Dann ist aber auch M_{n}(Ran(Φ)) eine C*-Algebra mit dem Produkt

(A_{ij}) ∘_{n} (B_{ij}) = σ^{−1}(σ(A_{ij}) ∘ σ(B_{ij})) = σ^{−1}(Φ̃_{n}(σ(A_{ij})σ(B_{ij})))
= Φ_{n} ∘ σ^{−1}(σ(A_{ij})σ(B_{ij})) = Φ_{n}((A_{ij})(B_{ij}))
= (Φ( ∑_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}))_{i,j} = ( ∑_{k=1}^{n} A_{ik} ∘ B_{kj})_{i,j}

sowie mit der von M_{n}(B(H)) induzierten Norm und Involution. Die nach [1, Korollar zu Theorem 1.3.2] eindeutige C*-Norm auf der ℂ-Algebra M_{n}(Ran(Φ), ∘) ist also die Einschränkung der C*-Norm von M_{n}(B(H)) ≅ B(H^{n}). Damit ist gezeigt, dass alle Abbildungen

id : M_{n}(Ran(Φ)) → M_{n}(Ran(Φ), ∘_{n}) (n ≥ 1)

Isometrien sind, womit die Behauptung folgt.

In den folgenden zwei Lemmata wollen wir uns etwas intensiver mit der Einschränkung Φ_{0} einer vollständig positiven kontraktiven Projektion Φ auf die von Ran(Φ) in B(H) erzeugte C*-Teilalgebra beschäftigen. Besonders das Verständnis der minimalen Stinespring-Dilatation (π, V, K) von Φ_{0} wird es uns unter anderem ermöglichen, die Subnormalität vertauschender Familien sphärischer Isometrien und ein ähnliches Resultat für Familien sphärischer Kontraktionen zu zeigen.

Lemma 2.12. Sei Φ : B(H) → B(H) eine vollständig positive, kontraktive Abbildung mit Φ ∘ Φ = Φ. Es bezeichne E = Ran(Φ) und Φ_{0} : C^{∗}(E) → B(H) die Einschränkung von Φ auf die von E in B(H) erzeugte unitale C*-Algebra. Ist (π, V, K) die minimale Stinespring-Dilatation von Φ_{0}, so folgt:

(a) Ker(Φ_{0}) = Ker(π).

(b) Die Abbildung ρ : π(C^{∗}(E)) → B(H), X ↦ V^{∗}XV ist eine vollständige Isometrie.

(c) Ran(ρ) = Ran(Φ).

(d) Es ist ρ : π(C^{∗}(E)) → (E, ∘) ein Isomorphismus zwischen unitalen C*- Algebren mit Umkehrabbildung π : (E, ∘) → π(C^{∗}(E)). Insbesondere ist π ∘ ρ die Identität auf π(C^{∗}(E)) und π(C^{∗}(E)) = π(E).

Beweis. Zunächst stellt man fest, dass Ker(Φ_{0}) ⊂ C^{∗}(E) ein Ideal ist. Seien dazu X = Φ(Y) ∈ E und A ∈ Ker(Φ_{0}). Dann folgt Φ_{0}(AX) = Φ(AΦ(Y)) = Φ(Φ(A)Y) = Φ(0) = 0 nach Korollar 2.10 und wegen X^{∗} = Φ(Y)^{∗} = Φ(Y^{∗}) für Y ∈ B(H) erhält man auch AX^{∗} ∈ Ker(Φ_{0}). Iterieren dieses Argumentes liefert, dass

Ker(Φ_{0})X_{1} … X_{n} ⊂ Ker(Φ_{0})

für n ∈ ℕ und X_{1}, …, X_{n} ∈ E ∪ E^{∗}. Da Ker(Φ_{0}) ⊂ C^{∗}(E) abgeschlossen ist, folgt die Inklusion Ker(Φ_{0})C^{∗}(E) ⊂ Ker(Φ_{0}). Ganz genauso erhalten wir (mit der anderen Identität aus Korollar 2.10), dass auch C^{∗}(E)Ker(Φ_{0}) ⊂ Ker(Φ_{0}) gilt. Also ist Ker(Φ_{0}) ⊂ C^{∗}(E) ein Ideal. Wir wollen nun die Behauptung in (a) zeigen. Die Inklusion Ker(π) ⊂ Ker(Φ_{0}) folgt direkt aus der Tatsache, dass Φ_{0}(X) = V^{∗}π(X)V = 0 für X ∈ Ker(π) ist. Seien nun X ∈ Ker(Φ_{0}) und S, T ∈ C^{∗}(E). Da Ker(Φ_{0}) ein Ideal in C^{∗}(E) ist, gilt T^{∗}XS ∈ Ker(Φ_{0}). Für x, y ∈ H liefert dies

0 = ⟨Φ_{0}(T^{∗}XS)x, y⟩
= ⟨V^{∗}π(T^{∗}XS)V x, y⟩
= ⟨π(T^{∗})π(X)π(S)V x, V y⟩
= ⟨π(X)π(S)V x, π(T)V y⟩.

Aufgrund der Minimalität von π ist aber K = ⋁(π(C^{∗}(E))V H). Also folgt ⟨π(X)x, y⟩ = 0 für alle x, y ∈ K und wir erhalten X ∈ Ker(π). Wir betrachten nun die Abbildung ρ : π(C^{∗}(E)) → B(H), X ↦ V^{∗}XV. Zunächst stellen wir fest, dass ρ injektiv ist, denn für X = π(Y) ∈ π(C^{∗}(E)) mit ρ(X) = 0 gilt

0 = ρ(X) = V^{∗}π(Y)V = Φ_{0}(Y),

woraus schließlich Y ∈ Ker(Φ_{0}) = Ker(π) und X = π(Y) = 0 folgt. Bevor wir uns dem Beweis der vollständigen Isometrie von ρ zuwenden, zeigen wir die Teile (c) und (d) der Behauptung. Ersteres folgt unmittelbar aus

Ran(ρ) = {V^{∗}π(X)V | X ∈ C^{∗}(E)} = {Φ_{0}(X) | X ∈ C^{∗}(E)} = E.

Hieraus folgt auch, dass die Abbildung π ∘ ρ wohldefiniert ist, denn es ist Ran(ρ) = E ⊂ C^{∗}(E). Wegen Φ_{0} ∘Φ_{0} = Φ_{0} ist ρ∘π ∘ρ∘π = ρ∘π auf C^{∗}(E). Also gilt ρ ∘ π ∘ ρ(Y) = ρ(Y) für alle Y ∈ π(C^{∗}(E)), und mit der Injektivität von ρ erhält man schließlich die Identität π ∘ρ = id_{π(C^{∗}(E))}. Dies impliziert die Surjektivität von π : E → π(C^{∗}(E)) und die Injektivität von ρ : π(C^{∗}(E)) → E. Da die letzte Abbildung wegen Ran(ρ) = E aber auch surjektiv ist, sind beide Abbildungen bijektiv und zueinander invers. Man sieht leicht, dass für X ∈ π(C^{∗}(E)) die Identität ρ(X^{∗}) = ρ(X)^{∗} erfüllt ist. Außerdem folgt

ρ(π(X)π(Y)) = ρ(π(XY))
= Φ(XY)
= X ∘ Y
= Φ(X) ∘ Φ(Y)
= ρ(π(X)) ∘ ρ(π(Y))

für X, Y ∈ E, da Φ nach Voraussetzung idempotent ist. Also ist die Abbildung ρ : π(C^{∗}(E)) → (E, ∘) multiplikativ. Ferner gilt ρ(1) = V^{∗}V = V^{∗}π(1)V = Φ(1), und da Φ(1) nach Satz 2.9 das Einselement in (E, ∘) ist, ist ρ unital. Damit ist die Behauptung in (d) gezeigt. Da sowohl ρ : π(C^{∗}(E)) → B(H) als auch π nach [20, Bemerkungen vor Proposition 3.6] vollständig kontraktive Abbildungen sind, erhält man, dass

∥π_{n}(X)∥ = ∥(π(x_{ij}))_{i,j}∥
= ∥(π ∘ ρ ∘ π(x_{ij}))_{i,j}∥
= ∥π_{n} ∘ ρ_{n} ∘ π_{n}(X)∥
≤ ∥ρ_{n} ∘ π_{n}(X)∥
≤ ∥π_{n}(X)∥

für alle X = (x_{ij})_{i,j} ∈ M_{n}(C^{∗}(E)) gilt. Damit ist aber ∥ρ_{n}(Y)∥ = ∥Y ∥ für alle Y ∈ π_{n}(M_{n}(C^{∗}(E))) = M_{n}(π(C^{∗}(E))), also ist ρ : π(C^{∗}(E)) → B(H) vollständig isometrisch.

Bemerkung. Als C*-Isomorphismus ist die Abbildung ρ : π(C^{∗}(E)) → (E, ∘) natürlich insbesondere vollständig isometrisch. Da nach Lemma 2.12 (b) auch ρ : π(C^{∗}(E)) → B(H) vollständig isometrisch ist, erhält man einen alternativen Beweis für Korollar 2.11. Mit Hilfe von Korollar 1.5 formulieren wir nun ein Eindeutigkeitsresultat für vollständig positive kontraktive Projektionen. Wir zeigen, dass je zwei solche Abbildungen Φ und Φ̃, deren Bilder gleich sind, schon auf C^{∗}(Ran(Φ)) übereinstimmen.

Korollar 2.13. Sind Φ : B(H) → B(H) und Φ̃ : B(H) → B(H) vollständig positive, kontraktive und idempotente Abbildungen mit Ran(Φ) = Ran(Φ̃), so stimmen Φ und Φ̃ auf C^{∗}(Ran(Φ)) überein.

Beweis. Sei E = Ran(Φ). Wir beweisen zunächst, dass Φ(1) = Φ̃(1) gilt. Sei dazu X ∈ E eine positive Kontraktion. Wegen X ≤ ∥X∥1 ≤ 1 ist dann X = Φ(X) ≤ Φ(1). Es ist aber Ran(Φ) = Ran(Φ̃), und mit dem gleichen Argument für Φ̃(1) statt Φ(1) erhält man, dass auch X ≤ Φ̃(1) für jede positive Kontraktion X ∈ E ist. Damit folgt Φ(1) = Φ̃(1). Wir betrachten nun die Einschränkungen Φ_{0} und Φ̃_{0} von Φ bzw. Φ̃ auf C^{∗}(E). Seien (π, V, K) und (π̃, Ṽ, K̃) die minimalen Stinespring-Dilatationen von Φ_{0} und Φ̃_{0}. Nach Lemma 2.12 sind dann die Abbildungen ρ : π(C^{∗}(E)) → B(H), X ↦ V^{∗}XV und ρ̃ : π̃(C^{∗}(E)) → B(H), X ↦ Ṽ^{∗}XṼ vollständige Isometrien mit Ran(ρ) = E = Ran(ρ̃), und es ist π ∘ ρ die Identität auf π(C^{∗}(E)) sowie π̃ ∘ ρ̃ die Identität auf π̃(C^{∗}(E)). Außerdem erhält man π(C^{∗}(E)) = π(E) und π̃(C^{∗}(E)) = π̃(E). Für A = ρ̃(X) mit X ∈ π̃(C^{∗}(E)) gilt ferner

∥π̃(A)∥ = ∥π̃(ρ̃(X))∥ = ∥X∥ = ∥ρ̃(X)∥ = ∥A∥,

die Abbildung π̃|_{E} ist also vollständig isometrisch. Wir definieren nun die Abbildung

τ = π̃ ∘ ρ : π(C^{∗}(E)) → π̃(C^{∗}(E)).

Wegen ρ ∘ π|_{E} = id_{E} ist dann τ(π(X)) = π̃(X) für alle X ∈ E, und da ρ und π̃|_{E} vollständig isometrisch sind, gilt das gleiche auch für τ. Ferner rechnet man leicht nach, dass τ surjektiv und unital ist^{1}. Also ist τ nach Korollar 1.5 ein *-Isomorphismus, und damit ist schon τ ∘ π = π̃ auf C^{∗}(E). Wegen ρ̃∘ π̃|_{E} = id_{E} ist außerdem ρ̃∘ τ = ρ. Also gilt für alle X ∈ C^{∗}(E) die Identität

Φ(X) = ρ(π(X))
= ρ̃(τ(π(X)))
= ρ̃(π̃(X))
= Φ̃(X).

Damit ist die Behauptung bewiesen.

1Die Surjektivität folgt aus τ(π(C^{∗}(E))) = π̃(ρ(π(C^{∗}(E)))) = π̃(E) = π̃(C^{∗}(E)). Wegen

τ(1) = π̃(ρ(1)) = π̃(ρ(π(1))) = π̃(Φ(1)) = π̃(Φ̃(1)) = π̃(ρ̃(π̃(1))) = π̃(1) = 1 ist τ auch

unital.

Im Falle der w^{∗}-Abgeschlossenheit des Bildes E = Ran(Φ) lässt sich eine weitere bedeutsame Eigenschaft der minimalen Stinespring-Dilatation (π, V, K) von Φ_{0} beweisen. Es ist nämlich dann auch π(C^{∗}(E)) ⊂ B(K) w^{∗}-abgeschlossen. Dies erlaubt es uns, das Bild der *-Darstellung π als von Neumann-Unteralgebra von B(K) aufzufassen.

Lemma 2.14. Seien Φ, π, E, ρ wie in Lemma 2.12. Ist Ran(Φ) ⊂ B(H) w^{∗}- abgeschlossen, so ist auch π(C^{∗}(E)) ⊂ B(K) w^{∗}-abgeschlossen, also eine von Neumann-Unteralgebra von B(K). Ferner ist in diesem Fall ρ : π(C^{∗}(E)) → E ein w^{∗}-Homomöorphismus.

Beweis. Nach Lemma 2.12 (d) ist die Abbildung π|_{E} : E → π(C^{∗}(E)) als Umkehrabbildung von ρ : π(C^{∗}(E)) → E natürlich bijektiv. Da ρ isometrisch ist und somit

∥π(A)∥ = ∥π(ρ(X))∥ = ∥X∥ = ∥ρ(X)∥ = ∥A∥

für A = ρ(X) mit X ∈ π(C^{∗}(E)) gilt, folgt, dass π|_{E} : E → π(C^{∗}(E)) ein isometrischer Isomorphismus ist. Wir versehen nun π(C^{∗}(E)) mit der Topologie

τ = {Ω ⊂ π(C^{∗}(E)) | es gibt U ⊂ (E, τ_{w^{∗}}) offen mit Ω = π(U)}.

Dann ist π(C^{∗}(E)) ⊂ B(H) eine abstrakte von Neumann-Algebra mit Prädual T (H)/^{⊥}E, denn es existieren isometrische Isomorphismen

(T (H)/^{⊥}E)′ ˜ ⟶E ⟶^{π|_{E}} π(C^{∗}(E)).

Hierbei bezeichne T (H) die Menge aller Spurklasseoperatoren auf H. Insbesondere ist die Multiplikation auf π(C^{∗}(E)) getrennt τ-stetig nach [23, Theorem 1.7.8]. Wir wollen nun die w^{∗}-Stetigkeit von π|_{E} : E → B(K) beweisen. Nach Lemma 1.16 genügt es zu zeigen, dass π : ball(E) → B(K) w^{∗}-stetig ist. Sei also (X_{α})_{α∈A} ein Netz in ball(E) mit X_{α} → 0 bezüglich τ_{w^{∗}}. Dann gilt sicherlich auch π(X_{α}) → 0 in (π(C^{∗}(E)), τ), und da die Multiplikation auf π(C^{∗}(E)) getrennt τ-stetig ist, folgt Sπ(X_{α})T → 0 in (π(C^{∗}(E)), τ) für alle S, T ∈ π(C^{∗}(E)). Also erhält man π(Z_{2}^{∗})π(X_{α})π(Z_{1}) → 0 in (π(C^{∗}(E)), τ), und damit ist schließlich

ρ(π(Z_{2}^{∗})π(X_{α})π(Z_{1})) → 0 in (E, τ_{w^{∗}})

für alle Z_{1}, Z_{2} ∈ C^{∗}(E). Da τ_{w^{∗}} stärker ist als die schwache Operatortopologie, folgt

⟨π(X_{α})π(Z_{1})V h_{1}, π(Z_{2})V h_{2}⟩ → 0 (Z_{1}, Z_{2} ∈ C^{∗}(E), h_{1}, h_{2} ∈ H).

Nun ist aber (π(X_{α}))_{α∈A} ein durch 1 normbeschränktes Netz in π(C^{∗}(E)), und aufgrund der Minimalität von π erhält man ⟨π(X_{α})k_{1}, k_{2}⟩ → 0 für alle k_{1}, k_{2} ∈ K, also π(X_{α}) → 0 bezüglich WOT. Dann ist aber auch π(X_{α}) → 0 in (B(K), τ_{w^{∗}}) nach Proposition 1.15. Wir können als nun die w^{∗}-Abgeschlossenheit von π(C^{∗}(E)) zeigen. Nach dem Satz von Krein-Šmulian genügt es, zu beweisen, dass ball(π(C^{∗}(E))) w^{∗}-abgeschlossen in B(K) ist. Da aber π|_{E} ein isometrischer Isomorphismus ist, gilt

ball(π(C^{∗}(E))) = ball(π(E)) = π(ball(E)).

Nach dem Satz von Alaoglu-Bourbaki ist ball(E) w^{∗}-kompakt in B(H), und weil π|_{E} w^{∗}-stetig ist, ist π(ball(E)) w^{∗}-kompakt, also insbesondere w^{∗}-abgeschlossen. Folglich ist π(C^{∗}(E)) ⊂ B(K) eine von Neumann-Unteralgebra. Da w^{∗}-stetige isometrische Isomorphismen zwischen zwei dualen Banachräumen bekanntlich w^{∗}-Homöomorphismen sind, ist π : E → π(C^{∗}(E)) ein w^{∗}-Homöomorphismus. Dann ist aber auch ρ : π(C^{∗}(E)) → E als Umkehrabbildung dieser Abbildung ein w^{∗}-Homöomorphismus.

Bemerkung. In der Situation von Lemma 2.14 wird ρ : π(C^{∗}(E)) → (E, ∘) zu einem W*-Algebrenisomorphismus mit Umkehrabbildung π : (E, ∘) → π(C^{∗}(E)). Wir wollen nun zeigen, dass zu einer gegebenen vertauschenden Familie (ϕ_{α})_{α∈Γ} vollständig positiver, kontraktiver und w^{∗}-Stetiger Abbildungen auf B(H) stets eine vollständig positive kontraktive Projektion Φ : B(H) → B(H) existiert, deren Bild gerade die gemeinsame Fixpunktmenge der Familie (ϕ_{α})_{α∈Γ} ist. Da wir gemäß Lemma 2.7 jeder sphärischen Kontraktion S eine vollständig positive, kontraktive und w^{∗}-stetige Abbildung ϕ_{S} zuordnen können, deren Fixpunktmenge gerade mit der Menge aller S-Toeplitzoperatoren übereinstimmt, liefert uns das folgende Lemma ein fundamentales Hilfsmittel zur Konstruktion einer vollständig positiven, kontraktiven Projektion, deren Bild mit der Menge T (F) aller Toeplitzoperatoren einer Familie F sphärischer Kontraktionen übereinstimmt.

Lemma 2.15. Sei (ϕ_{α})_{α∈Γ} eine kommutative Familie vollständig positiver, kontraktiver und w^{∗}-stetiger Abbildungen auf B(H). Dann existiert eine vollständig positive, kontraktive Abbildung Φ : B(H) → B(H) mit Φ ∘ Φ = Φ und

Ran(Φ) = {X ∈ B(H) | ϕ_{α}(X) = X für alle α ∈ Γ}.

Gilt zusätzlich ϕ_{α}(1) = 1 für alle α ∈ Γ, so ist auch Φ unital.

Beweis. Sei S die von {ϕ_{α}}_{α∈Γ} erzeugte kommutative Halbgruppe aller endlichen Produkte von Elementen aus {ϕ_{α}}_{α∈Γ}. Da alle ϕ_{α} vollständig positive, kontraktive und w^{∗}-stetige Abbildungen sind, gilt dasselbe für die Abbildungen ψ ∈ S. Ferner rechnet man leicht nach, dass

{X ∈ B(H) | ϕ_{α}(X) = X für alle α ∈ Γ}
= {X ∈ B(H) | ψ(X) = X für alle ψ ∈ S}

gilt. Wir betrachten nun die Abbildung

γ : S × B(H) → B(H), (ψ, X) ↦ ψ(X).

Da S kommutativ ist, gilt nach [12, Théorème 2], dass S mittelbar ist. Also existiert ein invariantes Mittel μ : ℓ^{∞}(S) → ℂ, das heißt, ein positives lineares Funktional mit μ(1) = 1 und μ(f_{ψ}) = μ(f) für alle ψ ∈ S, wobei f_{ψ}(x) = f(xψ) für x ∈ S. Man beachte dazu, dass S mit der diskreten Topologie versehen ist, weshalb ℓ^{∞}(S) = C(S) gilt. Sei nun T ∈ B(H) beliebig. Wir definieren die sesquilineare Abbildung

[ ·, ·]_{T} : H × H → ℂ, (ξ, η) ↦ [ξ, η]_{T} = μ(⟨γ(· , T)ξ, η⟩).

Da die Abbildungen aus S Kontraktionen sind, ist für ξ, η ∈ H und ψ ∈ S die Abschätzung

|⟨γ(ψ, T)ξ, η⟩| ≤ ∥γ(ψ, T)∥ · ∥ξ∥ · ∥η∥
= ∥ψ(T)∥ · ∥ξ∥ · ∥η∥
≤ ∥T ∥ · ∥ξ∥ · ∥η∥

erfüllt. Folglich ist sup_{ψ∈S} |⟨γ(ψ, T)ξ, η⟩| ≤ ∥T ∥ · ∥ξ∥ · ∥η∥ und damit

⟨γ(· , T)ξ, η⟩ ∈ ℓ^{∞}(S)

für alle ξ, η ∈ H. Also ist [ ·, ·]_{T} wohldefiniert. Die Sesquilinearität folgt leicht aus der Linearität von μ und γ(ψ, T) (ψ ∈ S) und aus der Sesquilinearität von ⟨· , ·⟩. Da zusätzlich |[ξ, η]_{T} | ≤ ∥T ∥ · ∥ξ∥ · ∥η∥ für ξ, η ∈ H gilt, ist [ ·, ·]_{T} auch beschränkt und nach [7, Prop. II.2.2] existiert genau ein Φ(T) ∈ B(H) mit ∥Φ(T)∥ ≤ ∥T ∥ und

⟨Φ(T)ξ, η⟩ = [ξ, η]_{T} (ξ, η ∈ H).

Die induzierte Abbildung Φ : B(H) → B(H), T ↦ Φ(T) ist linear und kontraktiv. Wir wollen zeigen, dass Φ vollständig positiv ist. Ist also n ∈ ℕ beliebig und (T_{ij})_{i,j=1}^{n} ∈ M_{n}(B(H)) eine positive Matrix, so sieht man mit der Linearität von μ leicht, dass

⟨Φ_{n}(T_{ij})(x_{i})_{i=1}^{n}, (x_{i})_{i=1}^{n}⟩ = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ⟨Φ(T_{ij})x_{j}, x_{i}⟩
= ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} μ(⟨γ(· , T_{ij})x_{j}, x_{i}⟩)
= μ(∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ⟨γ(· , T_{ij})x_{j}, x_{i}⟩)

für x_{1}, …, x_{n} ∈ H gilt. Da μ positiv ist, bleibt somit zu zeigen, dass

∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ⟨γ(ψ, T_{ij})x_{j}, x_{i}⟩ ≥ 0

für alle ψ ∈ S ist. Dies folgt aber leicht aus der vollständigen Positivität von allen ψ ∈ S, denn es ist

∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ⟨γ(ψ, T_{ij})x_{j}, x_{i}⟩ = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ⟨ψ(T_{ij})x_{j}, x_{i}⟩
= ⟨ψ_{n}((T_{ij})_{i,j})(x_{i}), (x_{i})⟩
≥ 0.

Folglich ist Φ eine vollständig positive Abbildung. Ist ferner T ∈ B(H) mit ψ(T) = T für alle ψ ∈ S, so gilt wegen γ(ψ, T) = ψ(T) auch γ(· , T) ≡ T, also folgt

⟨Φ(T)ξ, η⟩ = μ(⟨γ(· , T)ξ, η⟩)
= μ(ψ ↦ ⟨T ξ, η⟩)
= ⟨T ξ, η⟩μ(1)
= ⟨T ξ, η⟩ (ξ, η ∈ H).

Damit ist Φ(T) = T und insbesondere auch T ∈ Ran(Φ) gezeigt. Seien nun T ∈ B(H) und t ∈ S beliebig. Da t : B(H) → B(H) w^{∗}-stetig ist, existiert eine ∥.∥-stetige lineare Abbildung ψ_{t} : T (H) → T (H) mit tr(t(T)L) = tr(T ψ_{t}(L)) für alle L ∈ T (H). Ist ferner L ein selbstadjungierter Operator endlichen Ranges und {e_{i} | i = 1, …, r} eine Orthonormalbasis von Ran(L), so ergänzen wir {e_{i} | i = 1, …, r} zu einer Orthonormalbasis {e_{j} | j ∈ I} von H und erhalten

tr(Φ(T)L) = ∑_{j∈I} ⟨Φ(T)Le_{j}, e_{j}⟩
= ∑_{j∈I} ⟨e_{j}, LΦ(T)^{∗}e_{j}⟩
= ∑_{i=1}^{r} ⟨e_{i}, LΦ(T)^{∗}e_{i}⟩
= ∑_{i=1}^{r} [Le_{i}, e_{i}]_{T}
= ∑_{i=1}^{r} μ(⟨γ(· , T)Le_{i}, e_{i}⟩)
= μ( ∑_{i=1}^{r} ⟨γ(· , T)Le_{i}, e_{i}⟩)
= μ(tr(γ(· , T)L)).

Da die linke und die rechte Seite dieser Gleichung linear in L sind, gilt die Formel tr(Φ(T)L) = μ(tr(γ(· , T)L)) für alle Operatoren L ∈ B(H) endlichen Ranges. Zu beliebigem L ∈ T (H) existiert aber eine Folge (L_{k})_{k∈ℕ} von Operatoren endlichen Ranges mit ∥L − L_{k}∥_{1} → 0 für k → ∞. Wegen

∥γ(ψ, T)L − γ(ψ, T)L_{k}∥_{1} ≤ ∥γ(ψ, T)∥∥L − L_{k}∥_{1}
≤ ∥T ∥∥L − L_{k}∥_{1} (ψ ∈ S, k ∈ ℕ)

folgt schließlich

tr(Φ(T)L) = lim_{k→∞} tr(Φ(T)L_{k})
= lim_{k→∞} μ(tr(γ(· , T)L_{k}))
= μ(tr(γ(· , T)L))

für alle L ∈ T (H), woraus man leicht

tr(t(Φ(T))L) = tr(Φ(T)ψ_{t}(L)) = μ(tr(γ(· , T)ψ_{t}(L))) = μ(tr(γ(t, γ(· , T))L))

für L ∈ T (H) erhält. Hierbei steht tr(γ(t, γ(· , T))L) für die Funktion

S → ℂ, s ↦ tr(t(s(T))L) = tr((ts)(T)L).

Da μ ein invariantes Mittel auf ℓ^{∞}(S) ist, ergibt dies

tr(t(Φ(T))L) = μ(tr(γ(· , T)L)) = tr(Φ(T)L) (L ∈ T (H)),

was äquivalent zu t(Φ(T)) = Φ(T) ist, da (B(H), T (H), tr) ein Dualsystem ist. Wie oben gesehen folgt hieraus auch, dass Φ(Φ(T)) = Φ(T) ist. Sind zusätzlich alle Abbildungen ϕ_{α}, α ∈ Γ unital, so folgt leicht 1 ∈ Ran(Φ), also ist Φ(1) = 1. Damit sind alle Behauptungen bewiesen.

Ist (ϕ_{α})_{α∈Γ} eine Familie kommutierender, vollständig positiver, kontraktiver und w^{∗}-stetiger Abbildungen auf B(H) und Φ wie in Lemma 2.15, so existiert genau dann ein X ≠ {0} mit ϕ_{α}(X) = X für alle α ∈ Γ, wenn Φ(1) ≠ 0 ist. Dies erhält man unmittelbar aus der Tatsache, dass

Ran(Φ) = {X ∈ B(H) | ϕ_{α}(X) = X für alle α ∈ Γ}

und ∥Φ∥ = ∥Φ(1)∥ ist. Außerdem ist zu bemerken, dass die Abbildung Φ nach Korollar 2.13 auf der von den gemeinsamen Fixpunkten der Familie (ϕ_{α})_{α∈Γ} erzeugten unitalen C*-Algebra eindeutig bestimmt ist. Für eine Indexmenge Γ definieren wir die Menge

N = N_{Γ} = {j : Γ → ℕ | j(α) = 0 für fast alle α ∈ Γ}.

Bezüglich der partiellen Ordnung j_{1} ≤ j_{2}, falls j_{1}(α) ≤ j_{2}(α) für alle α ∈ Γ, ist die Menge N nach oben gerichtet. Ist (ϕ_{α})_{α∈Γ} eine Familie kommutierender, vollständig positiver, kontraktiver und w^{∗}-stetiger Abbildungen auf B(H), so schreiben wir

ϕ^{j} = ∏_{α∈Γ} ϕ_{α}^{j(α)}

für j ∈ N. Sind j, k ∈ N beliebig, so ist offensichtlich ϕ^{j+k} = ϕ^{j}ϕ^{k}.

Lemma 2.16. Sei (ϕ_{α})_{α∈Γ} eine vertauschende Familie vollständig positiver, kontraktiver und w^{∗}-stetiger Abbildungen auf B(H). Dann existiert der Grenzwert

Q = SOT- lim_{j} ϕ^{j}(1).

Ferner gilt speziell in der Situation von Lemma 2.15

Φ(1) = SOT- lim_{j} ϕ^{j}(1).

Beweis. Wie im Beweis von Lemma 2.15 bezeichne S = {ϕ^{j} | j ∈ N} die kommutative Halbgruppe aller endlichen Produkte von Elementen aus {ϕ_{α}}_{α∈Γ}. Da für j_{1} ≤ j_{2} die Abschätzung ϕ^{j_{2}}(1) = ϕ^{j_{1}}(ϕ^{j_{2}−j_{1}}(1)) ≤ ϕ^{j_{1}}(1) gilt, ist (ϕ^{j}(1))_{j∈N} ein monoton fallendes Netz positiver Kontraktionen. Also existiert der Grenzwert

Q = SOT- lim_{j} ϕ^{j}(1).

Sei nun μ : ℓ^{∞}(S) → ℂ ein invariantes Mittel. Nach dem Beweis von Lemma 2.15 ist für ξ ∈ H die Funktion

f = f_{ξ} : S → ℂ, s ↦ ⟨s(1)ξ, ξ⟩

beschränkt. Sei nun ε > 0 beliebig. Nach Definition von Q existiert ein j_{0} ∈ N so, dass für alle j ∈ N mit j ≥ j_{0} die Abschätzung

⟨Qξ, ξ⟩ ≤ ⟨ϕ^{j}(1)ξ, ξ⟩ ≤ ⟨Qξ, ξ⟩ + ε

erfüllt ist. Insbesondere gilt

⟨Qξ, ξ⟩ ≤ ⟨ϕ^{k+j_{0}}(1)ξ, ξ⟩ ≤ ⟨Qξ, ξ⟩ + ε

für alle k ∈ N. Also ist

⟨Qξ, ξ⟩ ≤ f_{j_{0}}(s) ≤ ⟨Qξ, ξ⟩ + ε

nach Definition von S. Folglich erhält man

⟨Qξ, ξ⟩ ≤ μ(f) = μ(f_{j_{0}}) ≤ ⟨Qξ, ξ⟩ + ε

durch Anwenden von μ. Da ε > 0 beliebig war, liefert dies μ(f) = ⟨Qξ, ξ⟩. Also gilt in der Situation von Lemma 2.15 die Identität Φ(1) = SOT- lim_{j} ϕ^{j}(1).

Nach Proposition 2.3 erfüllt die von einer sphärischen Kontraktion S induzierte vollständig positive Abbildung ϕ_{S} die Vertauschungsrelation

ϕ_{S}(A^{∗}XB) = A^{∗}ϕ_{S}(X)B

für A, B ∈ S′ und X ∈ B(H). Wie wir in der folgenden Proposition zeigen werden, übertragen sich Vertauschungsrelationen dieser Art auf die in Lemma 2.15 konstruierte Projektion Φ.

Proposition 2.17. Seien (ϕ_{α})_{α∈Γ} eine Familie kommutierender, vollständig positiver, kontraktiver und w^{∗}-stetiger Abbildungen ϕ_{α} : B(H) → B(H) und Φ : B(H) → B(H) wie in Lemma 2.15. Sind A, B ∈ B(H) so, dass ϕ_{α}(AXB) = Aϕ_{α}(X)B für alle X ∈ B(H) und α ∈ Γ gilt, so ist auch

Φ(AXB) = AΦ(X)B

für alle X ∈ B(H).

Beweis. Seien X ∈ B(H) beliebig und S die von {ϕ_{α}}_{α∈Γ} erzeugte Halbgruppe aller endlichen Produkte von Elementen aus {ϕ_{α}}_{α∈Γ}. Dann folgt aus der Voraussetzung leicht, dass ψ(AXB) = Aψ(X)B für alle ψ ∈ S gilt. Wir betrachten die im Beweis von Lemma 2.15 auftretenden Abbildungen γ : S×B(H) → B(H) und μ : ℓ^{∞}(S) → ℂ. Hier folgt unmittelbar γ(· , AXB) = Aγ(· , X)B und wir erhalten

⟨Φ(AXB)ξ, η⟩ = μ (⟨γ(· , AXB)ξ, η⟩)
= μ (⟨Aγ(· , X)Bξ, η⟩)
= μ (⟨γ(· , X)Bξ, A^{∗}η⟩)
= ⟨Φ(X)Bξ, A^{∗}η⟩
= ⟨AΦ(X)Bξ, η⟩

für alle ξ, η ∈ H.

2.3 Kommutative Familien sphärischer Kontraktionen

Wir kommen nun zu den Hauptresultaten der vorliegenden Arbeit. In Abschnitt 2.1 wurde gezeigt, dass wir einer sphärischen Kontraktion S eine vollständig positive, kontraktive und w^{∗}-stetige Abbildung ϕ_{S} zuordnen können, deren Fixpunktmenge mit den S-Toeplitzoperatoren übereinstimmt. Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit vertauschenden Familien F = (S_{α})_{α∈Γ} sphärischer Kontraktionen und den zugehörigen Abbildungen ϕ_{S_{α}}, α ∈ Γ befassen. Anhand der in Abschnitt 2.2 bewiesenen Ergebnisse können wir die Existenz einer vollständig positiven kontraktiven Projektion Φ folgern, deren Bild genau die gemeinsame Fixpunktmenge aller ϕ_{S_{α}}, α ∈ Γ, ist. Letzteres ist aber definitionsgemäß gerade die Menge T (F) aller F-Toeplitzoperatoren der Familie F = (S_{α})_{α∈Γ}. Diese Beobachtungen sind Gegenstand des folgenden Lemmas.

Lemma 2.18. Sei F = (S_{α})_{α∈Γ} eine kommutierende Familie sphärischer Kontraktionen auf H mit S_{α} = (T_{j,α})_{j∈J_{α}} für α ∈ Γ. Dann existiert eine vollständig postive, kontraktive Abbildung Φ : B(H) → B(H) mit Φ ∘ Φ = Φ und Ran(Φ) = T (F) so, dass für X ∈ B(H) und A, B ∈ F′ die Gleichung Φ(A^{∗}XB) = A^{∗}Φ(X)B erfüllt ist. Ist F sogar eine kommutierende Familie sphärischer Isometrien, so ist Φ unital.

Beweis. Wir betrachten für α ∈ Γ die unitale Abbildung ϕ_{α} = ϕ_{S_{α}}. Nach Lemma 2.7 sind alle Abbildungen ϕ_{α}, α ∈ Γ, w^{∗}-stetig und vollständig positiv. Da die Familie (S_{α})_{α∈Γ} kommutiert, ist mit Proposition 2.8 auch (ϕ_{α})_{α∈Γ} vertauschend, und weil T (F) gerade die gemeinsame Fixpunktmenge der Familie (ϕ_{α})_{α∈Γ} ist, folgt mit Lemma 2.15 nun die Existenz einer vollständig positiven Abbildung Φ : B(H) → B(H) mit Φ ∘ Φ = Φ und Ran(Φ) = T (F). Sind ferner A, B ∈ F′ und X ∈ B(H), so erhält man mit Proposition 2.3, dass ϕ_{α}(A^{∗}XB) = A^{∗}ϕ_{α}(X)B für alle α ∈ Γ gilt. Mit Proposition 2.17 erhält man schließlich Φ(A^{∗}XB) = A^{∗}Φ(X)B. Im Falle einer kommutierenden Familie F sphärischer Isometrien sind bekanntlich alle ϕ_{α}, α ∈ Γ, unital und mit Lemma 2.15 folgt das gleiche auch für Φ.

Bemerkung 2.19. Sofern nicht anders angegeben, seien im folgenden stets F = (S_{α})_{α∈Γ} eine kommutierende Familie sphärischer Kontraktionen S_{α} = (T_{j,α})_{j∈J_{α}} auf H und Φ : B(H) → B(H) eine wie im Beweis von Lemma 2.18 konstruierte Abbildung. Nach Korollar 2.13 ist die Einschränkung Φ_{0} von Φ auf die von T (F) erzeugte unitale C*-Unteralgebra C^{∗}(T (F)) von B(H) unabhängig von der Wahl von Φ. Wir betrachten die minimale Stinespring-Dilatation (π, V, Ĥ) von Φ_{0} und erhalten

Φ_{0}(X) = V^{∗}π(X)V

für X ∈ C^{∗}(T (F)). Da π unital ist, folgt daraus leicht, dass Φ(1) = Φ_{0}(1) = V^{∗}V gilt. Insbesondere sind die Voraussetzungen aus Lemma 2.12 erfüllt, und da Ran(Φ) = T (F) als Menge aller gemeinsamen Fixpunkte einer Familie von w^{∗}-stetigen Abbildungen auch w^{∗}-abgeschlossen ist, ist Lemma 2.14 ebenfalls anwendbar. Folglich ist die Abbildung

ρ : π(C^{∗}(T (F))) → B(H), π(X) ↦ V^{∗}π(X)V (X ∈ C^{∗}(T (F))),

eine w^{∗}-stetige vollständige Isometrie mit Ran(ρ) = T (F) sowie π ∘ ρ = id auf π(C^{∗}(T (F))), und π(C^{∗}(T (F))) ist eine von Neumann-Unteralgebra von B(Ĥ).

Als nächstes wollen wir zeigen, dass im Fall T (F) ≠ {0} zu F eine Familie F̂ = ((T̂_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} normaler sphärischer Isometrien auf Ĥ existiert so, dass V für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} die Operatoren T_{j,α} und T̂_{j,α} vertauscht. Insbesondere werden wir hieraus folgern, dass kommutative Familien sphärischer Isometrien subnormal sind.

Satz 2.20. Ist T (F) ≠ {0}, so existiert eine vertauschende Familie F̂ = (Ŝ_{α})_{α∈Γ} normaler sphärischer Isometrien Ŝ_{α} = (T̂_{j,α})_{j∈J_{α}} auf Ĥ so, dass die Vertauschungsrelation

T̂_{j,α}V = V T_{j,α}

für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} erfüllt ist.

Beweis. Sei also T (F) ≠ {0}. Wie wir bereits im Anschluss an Lemma 2.15 beobachtet haben, ist dann Q = Φ(1) ≠ 0. Wir definieren nun T̂_{j,α} = π(QT_{j,α}) für j ∈ J_{α}, α ∈ Γ (man beachte dazu, dass nach Proposition 2.3 alle QT_{j,α} ∈ T (F) ⊂ C^{∗}(T (F)) sind). Entsprechend setzen wir Ŝ_{α} = (T̂_{j,α})_{j∈J_{α}} und F̂ = (Ŝ_{α})_{α∈Γ}. Wir wollen zeigen, dass Ŝ_{α} für jedes α ∈ Γ eine sphärische Isometrie ist. Seien dazu α ∈ Γ und j ∈ J_{α} beliebig. Da bekanntlich π ∘ ρ = id_{π(C^{∗}(T (F)))} ist, folgt

π(Φ(X)) = π(ρ(π(X))) = π(X) (X ∈ C^{∗}(T (F))),

und mit Korollar 2.10 sieht man leicht, dass

T̂_{j,α}^{∗}π(X)T̂_{j,α} = π(T_{j,α}^{∗}QXQT_{j,α})
= π(Φ(T_{j,α}^{∗}QXQT_{j,α}))
= π(T_{j,α}^{∗}Φ(QXQ)T_{j,α})
= π(T_{j,α}^{∗}Φ(X)T_{j,α})

für alle X ∈ C^{∗}(T (F)) gilt. Mit X = 1 liefert dies für jede endliche Teilmenge F von J_{α} die Abschätzung

∑_{j∈F} T̂_{j,α}^{∗}T̂_{j,α} = ∑_{j∈F} π(T_{j,α}^{∗}QT_{j,α})
≤ ∑_{j∈F} π(T_{j,α}^{∗}T_{j,α})
= π(∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}T_{j,α})
≤ π(1) = 1,

da Q ≤ 1 und π ein unitaler ∗-Homomorphismus ist. Also ist ∑_{j∈J_{α}} T̂_{j,α}^{∗}T̂_{j,α} nach Proposition 2.2 SOT-konvergent, und es folgt

∑_{j∈J_{α}} T̂_{j,α}^{∗}T̂_{j,α} ≤ 1.

Sei nun X ∈ C^{∗}(T (F)) und F ⊂ J_{α} endlich. Dann folgt die Existenz von Z = w^{∗}- ∑_{j∈J_{α}} T̂_{j,α}^{∗}π(X)T̂_{j,α} erneut mit Proposition 2.2 und der anschließenden Bemerkung, und da π(C^{∗}(T (F))) ⊂ B(Ĥ) eine von Neumann-Unteralgebra ist, ist Z ∈ π(C^{∗}(T (F))). Eine Anwendung von Lemma 2.18 liefert

ρ( ∑_{j∈F} T̂_{j,α}^{∗}π(X)T̂_{j,α}) = ρ(π( ∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}Φ(X)T_{j,α}))
= Φ( ∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}Φ(X)T_{j,α})
= ∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}Φ(X)T_{j,α}.

Durch Übergang zum Limes über alle endlichen Teilmengen von J_{α} erhält man daraus mit der w^{∗}-Stetigkeit von ρ schließlich

ρ(Z) = ρ(w^{∗}- lim_{F ⊂J_{α}} ∑_{j∈F} T̂_{j,α}^{∗}π(X)T̂_{j,α})
= w^{∗}- lim_{F ⊂J_{α}} ∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}Φ(X)T_{j,α}
= ϕ_{α}(Φ(X))
= Φ(X) = ρ(π(X)),

und mit der Injektivität von ρ folgt Z = π(X). Also gilt

w^{∗}- ∑_{j∈J_{α}} T̂_{j,α}^{∗}π(X)T̂_{j,α} = π(X).

Indem man X = 1_{H} wählt, sieht man außerdem, dass w^{∗}- ∑_{j∈J_{α}} T̂_{j,α}^{∗}T̂_{j,α} = 1Ĥ gilt, also ist Ŝ_{α} eine sphärische Isometrie. Ist nun π(X) eine Orthogonalprojektion, so ist Ker(π(X)) ein invarianter Teilraum für alle T̂_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ, denn für alle α ∈ Γ und h ∈ Ker(π(X)) gilt

∑_{j∈J_{α}} ∥π(X)T̂_{j,α}h∥^{2} = ∑_{j∈J_{α}} ⟨π(X)T̂_{j,α}h, π(X)T̂_{j,α}h⟩
= ∑_{j∈J_{α}} ⟨T̂_{j,α}^{∗}π(X)T̂_{j,α}h, h⟩
= ⟨π(X)h, h⟩ = 0

und es folgt π(X)T̂_{j,α}h = 0 für alle j ∈ J_{α}, α ∈ Γ. Wir wollen als nächstes zeigen, dass alle T̂_{j,α} im Zentrum der von Neumann-Algebra π(C^{∗}(T (F))) liegen. Zunächst sieht man leicht, dass π(X)T̂_{j,α} = T̂_{j,α}π(X) für alle Orthogonalprojektionen π(X) ∈ π(C^{∗}(T (F))) gilt, denn sowohl Ker(π(X)) als auch Ran(π(X)) = Ker(π(1 − X)) sind invariant unter allen T̂_{j,α}, α ∈ Γ, j ∈ J_{α}. Mit [8, Propostition 13.3] erhält man außerdem, dass

\overline{LH\{π(X) ∈ π(C^{∗}(T (F))) | π(X) Orthogonalprojektion \}}^{∥·∥} = π(C^{∗}(T (F)))

gilt, woraus die Behauptung unmittelbar folgt. Insbesondere sind alle Operatoren T̂_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ, vertauschend und normal. Da ferner für alle X ∈ C^{∗}(T (F)) und alle A ∈ F′ die Vertauschungsrelation Φ(XQA) = Φ(XQ)A = Φ(X)A erfüllt ist, liefert Lemma 1.6 die Identität

π(QA)V = V A

für alle A ∈ F′. Unmittelbar erhält man nun T̂_{j,α}V = V T_{j,α} für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α}. Damit ist die Behauptung gezeigt.

Korollar 2.21. Sei F = (S_{α})_{α∈Γ} eine vertauschende Familie sphärischer Isometrien auf H mit S_{α} = (T_{j,α})_{j∈J_{α}} für α ∈ Γ. Dann existiert ein Hilbertraum Ĥ ⊃ H und eine kommutierende Familie F̂ = (Ŝ_{α})_{α∈Γ} normaler sphärischer Isometrien Ŝ_{α} = (T̂_{j,α})_{j∈J_{α}} auf Ĥ, die H invariant lässt und so, dass T_{j,α} = T̂_{j,α}|_{H} für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} gilt. Insbesondere ist F subnormal.

Beweis. Wir betrachten erneut für α ∈ Γ die Abbildungen ϕ_{α} = ϕ_{S_{α}}. Da die Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} eine kommutative Familie sphärischer Isometrien ist, sind alle ϕ_{α}, α ∈ Γ, unital. Also ist auch die Abbildung Φ : B(H) → B(H) aus Lemma 2.18 unital, insbesondere ist T (F) = Ran(Φ) ≠ {0}. Folglich existieren nach Satz 2.20 ein Hilbertraum Ĥ und eine kommutative Familie F̂ = (Ŝ_{α})_{α∈Γ} = ((T̂_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} normaler sphärischer Isometrien auf Ĥ so, dass die Vertauschungsrelation

T̂_{j,α}V = V T_{j,α}

für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} erfüllt ist. Wegen V^{∗}V = V^{∗}π(1)V = Φ(1) = 1 ist V eine Isometrie, und wir können H vermöge V mit V H identifizieren. Es folgt die Behauptung.

Das folgende Lemma liefert eine Minimalitätsaussage für die im Beweis von Satz 2.20 konstruierte Familie F̂ normaler sphärischer Isometrien auf Ĥ. Wir zeigen, dass der Hilbertraum Ĥ der kleinste reduzierende Teilraum für F̂ mit V H ⊂ Ĥ ist. Im Falle einer vertauschenden Familie F sphärischer Isometrien erhält man damit gerade die Minimalität der normalen Erweiterung (F̂, Ĥ) von F. Lemma 2.22. Für die im Beweis von Satz 2.20 konstruierte Familie F̂ normaler sphärischer Isometrien auf Ĥ gelten:

(a) Ĥ ist der kleinste reduzierende Teilraum für F̂, der V H enthält.

(b) Das Bild π(C^{∗}(T (F))) der *-Darstellung π stimmt mit dem in B(Ĥ) gebildeten Kommutanten der unitalen C*-Algebra C^{∗}(F̂) überein.

Beweis. Zunächst stellen wir fest, dass ein Teilraum K von Ĥ genau dann F̂ reduziert, wenn er C^{∗}(F̂) reduziert. Ist nun K der kleinste reduzierende Teilraum von Ĥ für C^{∗}(F̂) mit V H ⊂ K, so ist zu zeigen, dass dann Ĥ = K gilt. Wir definieren dazu die Abbildung

ρ_{K} : π(C^{∗}(T (F))) → B(K), π(X) ↦ P_{K}π(X)|_{K}.

Nach dem Beweis von Lemma 2.12 ist π(C^{∗}(T (F))) ⊂ F̂′ = C^{∗}(F̂)′, und da K reduzierend für C^{∗}(F̂), folgt

Ran(ρ_{K}) = P_{K}π(C^{∗}(T (F)))|_{K} ⊂ (C^{∗}(F̂)|_{K})′.

Ferner ist ρ_{K} nach [20, Bemerkungen vor Proposition 3.6] vollständig positiv und nach [20, Proposition 3.6] auch vollständig kontraktiv, denn bekanntlich ist ∥ρ_{K}∥_{cb} = ∥ρ_{K}(1)∥ = 1. Wir betrachten nun die vollständig kontraktive Abbildung

ρ_{H} : (C^{∗}(F̂)|_{K})′ → B(H), Y ↦ V^{∗}Y V

und zeigen, dass Ran(ρ_{H}) ⊂ T (F) ist. Seien dazu Y ∈ (C^{∗}(F̂)|_{K})′ und α ∈ Γ beliebig. Da T̂_{j,α}V = V T_{j,α} für alle j ∈ J_{α} gilt, folgt

∑_{j∈J_{α}} ⟨T_{j,α}^{∗}V^{∗}Y V T_{j,α} x, y⟩ = ∑_{j∈J_{α}} ⟨Y V T_{j,α} x, V T_{j,α}y⟩
= ∑_{j∈J_{α}} ⟨Y T̂_{j,α}V x, T̂_{j,α}V y⟩
= ∑_{j∈J_{α}} ⟨T̂_{j,α}Y V x, T̂_{j,α}V y⟩
= ⟨Y V x, V y⟩
= ⟨V^{∗}Y V x, y⟩

für x, y ∈ H. Außerdem erhalten wir ρ_{H}ρ_{K} = ρ, denn für alle Y ∈ π(C^{∗}(T (F))) ist wegen V H ⊂ K die Identität

⟨(ρ_{H}ρ_{K}(Y))x, y⟩ = ⟨V^{∗}P_{K}Y |_{K}V x, y⟩
= ⟨Y V x, V y⟩
= ⟨ρ(Y)x, y⟩

für alle x, y ∈ H erfüllt. Bekanntlich ist aber ρ = ρ_{H}ρ_{K} eine vollständige Isometrie, und da ρ_{H} und ρ_{K} vollständig kontraktiv sind, ist auch ρ_{K} vollständig isometrisch. Wir wollen als nächstes zeigen, dass die Abbildung

ρ_{K} : π(C^{∗}(T (F))) → (C^{∗}(F̂)|_{K})′

auch surjektiv ist. Da ρ : π(C^{∗}(T (F))) → T (F) surjektiv ist und die Inklusion Ran(ρ_{H}) ⊂ T (F) erfüllt ist, reicht es zu zeigen, dass die Abbildung ρ_{H} injektiv ist. Sei also Y ∈ (C^{∗}(F̂)|_{K})′ mit ρ_{H}(Y) = V^{∗}Y V = 0. Die vorausgesetzte Minimalitätsbedingung für K bedeutet genau, dass

⋁ C^{∗}(F̂)V H = K

ist. Also genügt es zu zeigen, dass

⟨Y RV x, SV y⟩ = 0

ist für alle x, y ∈ H und R, S ∈ S^{∗}(F̂) (siehe Bemerkung 1.12). Da S^{∗}(F̂) kommutativ ist und da Y mit den Einschränkungen aller Operatoren in S^{∗}(F̂) vertauscht, dürfen wir annehmen, dass R, S ∈ S(F̂) gilt. Operatoren in S(F̂) bilden aber V H in sich ab, also gibt es x̃, ỹ ∈ H mit RV x = V x̃ und SV y = V ỹ. Folglich ist

⟨Y RV x, SV y⟩ = ⟨Y V x̃, V ỹ⟩ = ⟨V^{∗}Y V x̃, ỹ⟩ = 0,

und es folgt die Injektivität von ρ_{H}, also die Surjektivität von ρ_{K}. Mit Korollar 1.5 ergibt sich weiterhin, dass ρ_{K} : π(C^{∗}(T (F))) → (C^{∗}(F̂)|_{K})′ als unitale und surjektive vollständige Isometrie ein ∗-Isomorphismus ist. Insbesondere ist K invariant unter π(C^{∗}(T (F))), denn für X ∈ π(C^{∗}(T (F))) und A = P_{K}X|_{K} folgt aus

A^{∗}A = ρ_{K}(X)^{∗}ρ_{K}(X) = ρ_{K}(X^{∗}X) = P_{K}(X^{∗}X)|_{K}

mit Proposition 1.8, dass XK ⊂ K gilt. Die Minimalität von π liefert dann aber Ĥ = K, da Ĥ der einzige reduzierende Teilraum für π(C^{∗}(T (F))) ist, der V H enthält. Insbesondere erhält man die Identität π(C^{∗}(T (F))) = C^{∗}(F̂)′.

Der Übersicht halber fassen wir die Situation kurz zusammen. Wir betrachten eine vertauschende Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} sphärischer Kontraktionen S_{α} = (T_{j,α})_{j∈J_{α}} auf H und die zugehörigen Abbildungen ϕ_{α} = ϕ_{S_{α}}, α ∈ Γ. Ist T (F) ≠ {0} und Q = SOT- lim_{j} ϕ^{j}(1) wie in Lemma 2.16, so haben wir bisher gezeigt, dass dann ein Tripel (Ĥ, V, F̂) bestehend aus

(i) einem Hilbertraum Ĥ,

(ii) einer stetig linearen Abbildung V : H → Ĥ mit V^{∗}V = Q und

(iii) einer kommutativen Familie F̂ = (Ŝ_{α})_{α∈Γ} normaler sphärischer Isometrien Ŝ_{α} = (T̂_{j,α})_{j∈J_{α}} auf Ĥ existiert so, dass T̂_{j,α}V = V T̂_{j,α} für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} ist und Ĥ der kleinste reduzierende Teilraum für F̂ ist, der V H enthält.

Wir zeigen nun, dass dieses Tripel bis auf unitäre Äquivalenz eindeutig bestimmt ist. Ist H ein beliebiger Hilbertraum und F = ((T_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} eine beliebige kommutative 2-Familie von Operatoren in B(H), so definieren wir die Mengen I = {(j, α) | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}} und N_{I} = {σ : I → ℕ | σ(i) = 0 für fast alle i ∈ I}. Für σ ∈ N_{I} setzen wir

T^{σ} = ∏_{i∈I} T_{i}^{σ(i)} ∈ B(H).

Offensichtlich gilt dann für die Halbgruppe S(F) aller endlichen Produkte von Elementen aus {T_{j,α} | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}} (vgl. Bemerkung 1.12) die Identität S(F) = {T^{σ} | σ ∈ N_{I}}.

Satz 2.23. Seien (Ĥ_{1}, V_{1}, F̂_{1}) mit F̂_{1} = ((N_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} und (Ĥ_{2}, V_{2}, F̂_{2})_{α∈Γ} mit F̂_{2} = ((L_{j,α})_{j∈J_{α}}) zwei Tripel mit den zuvor beschriebenen Eigenschaften (i)-(iii). Dann existiert ein unitärer Operator W : Ĥ_{1} → Ĥ_{2} mit W V_{1} = V_{2} und

W N_{j,α} = L_{j,α}W

für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α}.

Beweis. Um die Existenz von W zu zeigen, orientieren wir uns am Beweis von Lemma 1.14. Sei (H̃, Ṽ, F̃) mit F̃ = ((M_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} ein beliebiges Tripel mit den Eigenschaften (i)-(iii) und sei n ∈ ℕ. Nach Proposition 1.11 gilt dann XY^{∗} = Y^{∗}X für alle X, Y ∈ S(F̃). Sind nun für i ∈ {1, …, n} die Elemente σ_{i} ∈ N_{I} und h_{i} ∈ H beliebig, so folgt

∥ ∑_{i=1}^{n} (M^{σ_{i}})^{∗}Ṽh_{i}∥^{2} = ∑_{i,k=1}^{n} ⟨(M^{σ_{i}})^{∗}Ṽh_{i}, (M^{σ_{k}})^{∗}Ṽh_{k}⟩
= ∑_{i,k=1}^{n} ⟨M^{σ_{k}} Ṽh_{i}, M^{σ_{i}} Ṽh_{k}⟩
= ∑_{i,k=1}^{n} ⟨ṼT^{σ_{k}}h_{i}, ṼT^{σ_{i}}h_{k}⟩
= ∑_{i,k=1}^{n} ⟨Ṽ^{∗}ṼT^{σ_{k}}h_{i}, T^{σ_{i}}h_{k}⟩.

Für die beiden Tripel (Ĥ_{1}, V_{1}, F̂_{1}) und (Ĥ_{2}, V_{2}, F̂_{2}) ergibt sich hieraus wegen V_{1}^{∗}V_{1} = Q = V_{2}^{∗}V_{2} leicht, dass die Abbildung

W_{0} : LH {N^{∗}h | h ∈ H, N ∈ S(F̂_{1})} → LH {L^{∗}h | h ∈ H, L ∈ S(F̂_{2})} ,
∑_{i=1}^{n} (N^{σ_{i}})^{∗}V_{1}h_{i} ↦ ∑_{i=1}^{n} (L^{σ_{i}})^{∗}V_{2}h_{i}

eine wohldefinierte lineare Isometrie ist. Außerdem ist W_{0} surjektiv und es ist W_{0}V_{1} = V_{2}. Genau wie im Beweis von Lemma 1.13 folgt derweil, dass Ĥ_{1} = ⋁ {N^{∗}V_{1}h | h ∈ H, N ∈ S(F̂_{1})} und Ĥ_{2} = ⋁ {L^{∗}V_{2}h | h ∈ H, L ∈ S(F̂_{2})} gilt. Also können wir W_{0} zu einer unitären Abbildung W : Ĥ_{1} → Ĥ_{2} fortsetzen, die W V_{1} = V_{2} erfüllt. Mit Hilfe von Proposition 1.11 rechnet man nun die Identität W N_{j,α} = L_{j,α}W für alle j ∈ J_{α}, α ∈ Γ leicht nach.

Als nächstes wollen wir eine vollständig kontraktive, unitale und multiplikative Abbildung Θ konstruieren, die die Vertauschungsrelation aus Satz 2.20 auf den Kommutanten der Familie F erweitert.

Lemma 2.24. Sei F̂ die im Beweis von Satz 2.20 konstruierte Familie normaler sphärischer Isometrien auf Ĥ. Dann existiert eine vollständig kontraktive, unitale und multiplikative Abbildung

Θ : F′ → F̂′,

die der Vertauschungsrelation Θ(A)V = V A, A ∈ F′ genügt.

Beweis. Sei Q = Φ(1). Mit Lemma 2.18 stellen wir zunächst fest, dass

QA = Φ(A) ∈ Ran(Φ) ⊂ C^{∗}(T (F))

für alle A ∈ F′ sowie Ran(Φ) = T (F) gilt. Im Beweis von Satz 2.20 wurde gezeigt, dass alle T̂_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ im Zentrum der von Neumann-Algebra π(C^{∗}(T (F))) liegen, und dass alle A ∈ F′ die Identität π(QA)V = V A erfüllen. Folglich ist die Abbildung

Θ : F′ → F̂′, A ↦ π(QA)

wohldefiniert, unital und vollständig kontraktiv, und es gilt Θ(A)V = V A für alle A ∈ F′. Wir zeigen noch die Multiplikativität von Θ. Seien dazu X, Y ∈ F′ beliebig. Dann ist offensichtlich auch XY ∈ F′, und wir erhalten

(Θ(XY) − Θ(X)Θ(Y))V = Θ(XY)V − Θ(X)Θ(Y)V
= V XY − Θ(X)V Y
= V XY − V XY = 0.

Also ist auch V^{∗}(Θ(XY) − Θ(X)Θ(Y))V = 0, und da die Abbildung

ρ : π(C^{∗}(T (F))) → B(H), Y ↦ V^{∗}Y V

nach Lemma 2.12 insbesondere injektiv ist, folgt Θ(XY)−Θ(X)Θ(Y) = 0. Dies liefert die Multiplikativität von Θ.

Nach Lemma 1.14 wissen wir, dass minimale normale Erweiterungen einer subnormalen 2-Familie von Operatoren in B(H) bis auf unitäre Äquivalenz eindeutig bestimmt sind. Wir können anhand dieses Resultates nun noch einige Folgerungen für die minimale normale Erweiterung einer vertauschenden Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} sphärischer Isometrien beweisen, die im folgenden Satz zusammengefasst sind.

Satz 2.25. Seien F = (S_{α})_{α∈Γ} eine kommutierende Familie sphärischer Isometrien auf H mit S_{α} = (T_{j,α})_{j∈J_{α}} für α ∈ Γ und (N, K) eine minimale normale Erweiterung von F auf K ⊇ H mit N = (N_{α})_{α∈Γ} = ((N_{j,α})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ}. Sei ferner Φ : B(H) → B(H) die im Beweis von Lemma 2.18 definierte vollständig positive, unitale Projektion mit Ran(Φ) = T (F). Dann existiert eine unitale *-Darstellung π : C^{∗}(T (F)) → B(K) mit:

(a) π(T_{j,α}) = N_{j,α} für alle j ∈ J_{α}, α ∈ Γ.

(b) Ist P_{H} : K → H die Orthogonalprojektion von K auf H, so gilt

Φ(X) = P_{H}π(X)|_{H}

für alle X ∈ C^{∗}(T (F)).

(c) Ihr Bild π(C^{∗}(T (F))) stimmt mit dem in B(K) gebildeten Kommutanten der unitalen C*-Algebra C^{∗}(N) überein.

(d) Ker(π) stimmt mit dem von allen Operatoren der Form XY − Φ(XY), X, Y ∈ T (F) erzeugten abgeschlossenen zweiseitigen Ideal von C^{∗}(T (F)) überein.

(e) Die Abbildung

ρ : π(C^{∗}(T (F))) → B(H), π(X) ↦ P_{H}π(X)|_{H}

ist eine vollständige Isometrie mit Ran(ρ) = T (F) und π∘ρ = id_{π(C^{∗}(T (F)))}.

(f) Seien C^{∗}(F) die von F in B(H) erzeugte unitale C*-Algebra und C das von allen XY − Y X mit X, Y ∈ C^{∗}(F) erzeugte abgeschlossene Ideal in C^{∗}(F). Ist π_{0} die Einschränkung von π auf C^{∗}(F) und ρ_{0} die Einschränkung von ρ auf C^{∗}(N), so existiert eine kurze exakte Sequenz

0 → C ↪ C^{∗}(F) →^{π_{0}} C^{∗}(N) → 0.

Ferner ist ρ_{0} vollständig isometrisch und π_{0} ∘ ρ_{0} = id_{C^{∗}(N)}.

(g) Ein Operator X ∈ B(H) kommutiert mit F genau dann, wenn sowohl X ∈ T (F) als auch X^{∗}X ∈ T (F) gilt. In diesem Fall existiert ein eindeutig bestimmter Operator X̂ ∈ N′, der H invariant lässt und dessen Einschränkung auf H mit X übereinstimmt. Ferner ist die Abbildung X ↦ X̂ normerhaltend.

Beweis. Nach Lemma 2.22 ist die im Beweis von Korollar 2.21 konstruierte normale Erweiterung F̂ von F minimal. Da minimale normale Erweiterungen nach Lemma 1.14 bis auf unitäre Äquivalenz eindeutig bestimmt sind, genügt es zu zeigen, dass die in Bemerkung 2.19 gewählte *-Darstellung π die Eigenschaften (a)-(g) besitzt. Wir identifizieren H vermöge der Isometrie V : H → K mit V H.

Die Teile (a), (b), (c) und (e) folgen entweder direkt aus den Konstruktionen oder wurden bereits bewiesen (siehe Lemma 2.12 und Lemma 2.22). Wir wollen nun (d) beweisen. Da Φ_{0} : C^{∗}(T (F)) → B(H) eine Projektion ist, folgt

Ker(π) = Ker(Φ_{0}) = Ran(1 − Φ_{0}) = {X − Φ(X) | X ∈ C^{∗}(T (F))}

mit Lemma 2.12 (a). Sei I das von XY − Φ(XY) mit X, Y ∈ T (F) erzeugte abgeschlossene Ideal in C^{∗}(T (F)). Da Ker(π) ein Ideal ist, folgt I ⊂ Ker(π) unmittelbar aus der Tatsache, dass XY − Φ(XY) ∈ Ran(1 − Φ_{0}) = Ker(π) für X, Y ∈ T (F) ist. Ist umgekehrt X ∈ C^{∗}(T (F)), so genügt es zu zeigen, dass X − Φ(X) ∈ I gilt. Nun ist aber T (F)^{∗} = T (F), und wir erhallten

C^{∗}(T (F)) = ⋁{T_{1} … T_{n} | n ∈ ℕ und T_{1}, …, T_{n} ∈ T (F)}.

Also reicht es, die Behauptung für X = T_{1} ⋯ T_{n} mit T_{1}, …, T_{n} ∈ T (F), n ∈ ℕ zu beweisen. Für ein solches X gilt aber

T_{1} ⋯ T_{n} − Φ(T_{1} ⋯ T_{n})
= T_{1} ⋯ T_{n} − T_{1} ⋯ T_{n−1}Φ(T_{n})
+ T_{1} ⋯ T_{n−1}Φ(T_{n}) − T_{1} ⋯ T_{n−2}Φ(T_{n−1}T_{n})
+ ⋯ + T_{1}Φ(T_{2} ⋯ T_{n}) − Φ(T_{1} ⋯ T_{n})
= T_{1} ⋯ T_{n−1}(T_{n} − Φ(T_{n}))
+ T_{1} ⋯ T_{n−2}(T_{n−1}Φ(T_{n}) − Φ(T_{n−1}T_{n}))
+ ⋯ + T_{1} ⋯ T_{n−k}(T_{n−k+1}Φ(T_{n−k+2} ⋯ T_{n}) − Φ(T_{n−k+1} ⋯ T_{n}))
+ ⋯ + T_{1}Φ(T_{2} ⋯ T_{n}) − Φ(T_{1} ⋯ T_{n}).

Man beachte nun, dass T_{n} − Φ(T_{n}) ∈ I ist und wegen T_{n} ∈ Ran(Φ) erhält man auch T_{n−1}Φ(T_{n}) − Φ(T_{n−1}T_{n}) = T_{n−1}T_{n} − Φ(T_{n−1}T_{n}) ∈ I. Ferner folgt mit T_{n−k+1} ∈ Ran(Φ) und Korollar 2.10 leicht

T_{n−k+1}Φ(T_{n−k+2} ⋯ T_{n}) − Φ(T_{n−k+1} ⋯ T_{n})
= T_{n−k+1}Φ(T_{n−k+2} ⋯ T_{n}) − Φ(Φ(T_{n−k+1})T_{n−k+2} ⋯ T_{n})
= T_{n−k+1}Φ(T_{n−k+2} ⋯ T_{n}) − Φ(T_{n−k+1}Φ(T_{n−k+2} ⋯ T_{n})) ∈ I

für alle k ∈ {2, …, n}. Da T_{1} ⋯ T_{k} ∈ C^{∗}(T (F)) für k ∈ {1, …, n−1} gilt, folgt schließlich T_{1} ⋯ T_{n} − Φ(T_{1} ⋯ T_{n}) ∈ I. Damit ist Teil (d) gezeigt.

Um (f) zu beweisen, zeigen wir zuerst, dass Φ(C^{∗}(F)) = C^{∗}(F) ∩ T (F) erfüllt ist. Offensichtlich gelten die Inklusionen Φ(C^{∗}(F)) ⊂ Ran(Φ) = T (F) und C^{∗}(F) ∩ T (F) ⊂ Φ(C^{∗}(F)), da für ein Element X ∈ C^{∗}(F) ∩ Ran(Φ) schon X = Φ(X) ∈ Φ(C^{∗}(F)) ist. Somit bleibt Φ(C^{∗}(F)) ⊂ C^{∗}(F) zu zeigen. Aus dem Beweis von Satz 2.20 wissen wir, dass die Operatoren π(T_{j,α}) mit α ∈ Γ und j ∈ J_{α} eine vertauschende Familie normaler Operatoren bilden. Folglich erhält man

Φ(T_{1} ⋯ T_{n}) = V^{∗}π(T_{1}) ⋯ π(T_{n})V
= V^{∗} ∏_{k∈N_{n}^{∗}} π(T_{k}) ∏_{k∈N_{n}} π(T_{k})V
= Φ( ∏_{k∈N_{n}^{∗}} T_{k} ∏_{k∈N_{n}} T_{k})
= ∏_{k∈N_{n}^{∗}} T_{k} ∏_{k∈N_{n}} T_{k}

für T_{1}, …, T_{n} ∈ F ∪ F^{∗} mit Lemma 2.18, da ∏_{k∈N_{n}} T_{k} ∈ F′ ist. Hierbei ist N_{n} = {k ∈ {1, …, n | T_{k} ∈ F}} und N_{n}^{∗} = {1, …, n} \ N_{n}. Also folgt Φ(C^{∗}(F)) ⊂ C^{∗}(F) mit der Linearität und der Stetigkeit von Φ. Zusammen mit der in Lemma 2.12 bewiesenen Identität Ker(Φ_{0}) = Ker(π) erhält man unmittelbar Ker(π_{0}) = {X −Φ(X) | X ∈ C^{∗}(F)}. Da π_{0}(C^{∗}(F)) kommutativ und π_{0} ein ∗-Homomorphismus ist, gilt π_{0}(XY −Y X) = π_{0}(X)π_{0}(Y)−π_{0}(Y)π_{0}(X) = 0 für alle X, Y ∈ C^{∗}(F), was leicht C ⊂ Ker(π_{0}) ergibt. Sei nun X ∈ C^{∗}(F) ein endliches Produkt der Form X = T_{1} ⋯ T_{n} mit T_{1}, …, T_{n} ∈ F ∪ F^{∗}. Wir zeigen durch Induktion nach n, dass dann X − Φ(X) ∈ C ist. Dabei ist zu beachten, dass in jedem Fall F und F^{∗} kommutativ sind und

Φ(X) = ∏_{k∈N_{n}^{∗}} T_{k} ∏_{k∈N_{n}} T_{k}

gilt, wobei N_{n} und N_{n}^{∗} wie oben definiert sind. Für X = T_{1} ∈ F ∪ F^{∗} ist die Behauptung klar, denn in diesem Fall ist X = Φ(X), also X − Φ(X) = 0 ∈ C. Sei nun also n > 1 und die Behauptung für alle k ≤ n schon gezeigt. Dann ist X = T_{1} ⋯ T_{n+1} mit T_{1}, …, T_{n+1} ∈ F ∪ F^{∗} und entsprechend

Φ(X) = ∏_{k∈N_{n+1}^{∗}} T_{k} ∏_{k∈N_{n+1}} T_{k}.

Wir unterscheiden zwei Fälle. Ist einerseits T_{1} ∉ F, so folgt mit Lemma 2.18, dass X − Φ(X) = T_{1} · (T_{2} ⋯ T_{n+1} − Φ(T_{2} ⋯ T_{n+1})) gilt, also ist X − Φ(X) ∈ C nach Induktionsvoraussetzung. Ist andererseits T_{1} ∈ F, so setze Y = T_{2} ⋯ T_{n+1} und erhalte Φ(X) = Φ(Y)T_{1} mit der Kommutativität von F. Folglich können wir

X − Φ(X) = T_{1}Y − Φ(Y)T_{1}
= T_{1}Y − T_{1}Φ(Y) + T_{1}Φ(Y) − Φ(Y)T_{1}
= T_{1}(Y − Φ(Y)) + T_{1}Φ(Y) − Φ(Y)T_{1} ∈ C

schreiben, da Y − Φ(Y) ∈ C nach Induktionsvoraussetzung und T_{1}Φ(Y) − Φ(Y)T_{1} ∈ C wegen Φ(C^{∗}(F)) ⊂ C^{∗}(F) gilt. Als Einschränkung einer vollständig isometrischen Abbildung ist ρ_{0} : C^{∗}(F̂) → B(H) vollständig isometrisch. Wegen C^{∗}(F̂) = π(C^{∗}(F)) folgt ρ(C^{∗}(F̂)) = ρ(π(C^{∗}(F))) = Φ(C^{∗}(F)) ⊂ C^{∗}(F). Also gilt π_{0} ∘ ρ_{0} = id_{C^{∗}(F̂)}. Zum Schluss wollen wir Teil (g) zeigen. Ist zunächst X ∈ F′, so erhalten wir X ∈ T (F) und X^{∗}X ∈ T (F) direkt mit Proposition 2.3. Sei nun X ∈ B(H) mit X, X^{∗}X ∈ T (F). Dann ist X̂ = π(X) ∈ F̂′, denn alle T̂_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ, liegen bekanntlich im Zentrum von π(C^{∗}(T (F))). Aus X ∈ T (F) erhält man X = Φ(X) = V^{∗}X̂V, also ist

∥X∥ = ∥Φ(X)∥ = ∥ρ(X̂)∥ = ∥X̂∥.

Da auch X^{∗}X ∈ T (F) gilt, ist X^{∗}X die Kompression von X̂^{∗}X̂ und es folgt X̂V H ⊂ V H nach Proposition 1.8. Zusammen mit der Invarianz von V H unter allen T̂_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ ergibt dies

XT_{j,α} = V^{∗}X̂V V^{∗}T̂_{j,α}V
= V^{∗}X̂T̂_{j,α}V
= V^{∗}T̂_{j,α}X̂V
= V^{∗}T̂_{j,α}V V^{∗}X̂V
= T_{j,α}X

für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α}, da bekanntlich X̂ ∈ F̂′ gilt. Ist S ∈ B(Ĥ) ein weiterer Operator mit S ∈ F̂′, und SV H ⊂ V H sowie X = V^{∗}SV, so folgt mit der Normalität von T̂_{j,α} mit dem Satz von Fuglede-Putnam auch ST̂_{j,α}^{∗} = T̂_{j,α}^{∗}S für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α}. Also ist S ∈ C^{∗}(F̂)′ = π(C^{∗}(T (F))) nach Teil (c), und wegen ρ(S) = ρ(X̂) erhält man S = X̂ unmittelbar aus der Injektivität der Abbildung ρ.

3 Anwendungen auf uniforme Algebren

In diesem Kapitel wollen wir mit Hilfe der Ergebnisse aus Abschnitt 2.3 Beispiele exakter Sequenzen von verallgemeinerten Toeplitzalgebren für uniforme Algebren auf kompakten Hausdorffräumen konstruieren. Sei daher im Folgenden stets K ein kompakter Hausdorffraum und C(K) die Banachalgebra der komplexwertigen stetigen Funktionen auf K. Ferner bezeichnen wir mit M(K) den Raum aller komplexwertigen, regulären Borelmaße auf K und mit M(K)_{1}^{+} die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße in M(K). Nach dem Rieszschen Darstellungssatz ist bekanntlich M(K) = C(K)^{∗} bis auf isometrische Isomorphie (vgl. [7, Appendix C]).

3.1 Der verallgemeinerte Hardy-Raum H^{2}(m)

Ist A ⊂ C(K) eine normabgeschlossene Unteralgebra, die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, so heißt A eine uniforme Algebra. Da wir in diesem Kapitel Toeplitzoperatoren auf verallgemeinerten Hardy-Räumen zu einer uniformen Algebra untersuchen wollen, müssen wir zunächst den Begriff des Hardy-Raumes in diesem abstrakten Kontext einführen und spezifizieren, was wir unter einem Toeplitzoperator T_{φ} mit Symbol φ auf einem verallgemeinerten Hardy-Raum verstehen.

Definition 3.1. Sei A ⊂ C(K) eine uniforme Algebra und m ∈ M(K)_{1}^{+}. Wir nennen H^{2}(m) = \overline{A}^{L^{2}(m)} den verallgemeinerten Hardy-Raum zu A und definieren H^{∞}(m) = H^{2}(m) ∩ L^{∞}(m). Zusätzlich betrachten wir für φ ∈ L^{∞}(m) den Multiplikationsoperator

M_{φ} : L^{2}(m) → L^{2}(m), f ↦ φf

mit Symbol φ ∈ L^{∞}(m). Der T oeplitzoperator T_{φ} mit Symbol φ ∈ L^{∞}(m) ist definiert durch T_{φ} = P_{H^{2}(m)}M_{φ}|_{H^{2}(m)}, das heißt es ist

T_{φ} : H^{2}(m) → H^{2}(m), f ↦ P_{H^{2}(m)}(φf).

Hierbei bezeichnet P_{H^{2}(m)} die Orthogonalprojektion von L^{2}(m) auf H^{2}(m).

In der folgenden Proposition wollen wir grundlegende Eigenschaften der Abbildungen M : L^{∞}(m) → B(L^{2}(m)), φ ↦ M_{φ} und T : H^{∞}(m) → B(H^{2}(m)), φ ↦ T_{φ} angeben. Es sei kurz bemerkt, dass der überwiegende Teil des Beweises elementar ist und daher dem Leser überlassen wird.

Proposition 3.2. Sei A ⊂ C(K) eine uniforme Algebra und m ∈ M(K)_{1}^{+}.

(a) Die Abbildung M : L^{∞}(m) → B(L^{2}(m)), φ ↦ M_{φ} ist ein unitaler, isometrischer und w^{∗}-stetiger *-Homomorphismus. Insbesondere ist ihr Bild Ran(M) ⊂ B(L^{2}(m)) eine w^{∗}-abgeschlossene selbstadjungierte Teilalgebra.

(b) Die Abbildung T : H^{∞}(m) → B(H^{2}(m)), φ ↦ T_{φ} ist ein unitaler, kontraktiver Algebrenhomomorphismus.

Beweis. Wir beweisen nur die w^{∗}-Stetigkeit von M. Nach Lemma 1.16 genügt es zu zeigen, dass die Einschränkung von M auf die abgeschlossene Einheitskugel von L^{∞}(m) w^{∗}-stetig ist. Sei (φ_{λ})_{λ∈Λ} ein Netz in L^{∞}(m) mit ∥φ∥_{L^{∞}(m)} ≤ 1 für alle λ ∈ Λ und φ_{λ} → φ in (L^{∞}(m), τ_{w^{∗}}) für ein φ ∈ L^{∞}(m). Für alle f, g ∈ L^{2}(m) gilt dann sicherlich

⟨M_{φ_{λ}}f, g⟩ = ∫_{K} φ_{λ}f\overline{g} dm
→^{λ} ∫_{K} φf\overline{g} dm
= ⟨M_{φ}f, g⟩,

also ist M_{φ} = WOT- lim_{λ} M_{φ_{λ}}. Da das Netz (φ_{λ})_{λ∈Λ} jedoch normbeschränkt war, folgt schon M_{φ} = w^{∗}- lim_{λ} M_{φ_{λ}} mit Proposition 1.15.

Wir geben nun eine nützliche Charakterisierung von H^{∞}(m) an und zeigen, dass der Raum H^{∞}(m) genau aus den Elementen φ ∈ L^{∞}(m) besteht, für die φH^{2}(m) ⊂ H^{2}(m) gilt. Wir stellen also fest, dass genau dann φ ∈ H^{∞}(m) gilt, wenn H^{2}(m) ein invarianter Teilraum für den Multiplikationsoperator M_{φ} ist. Insbesondere beweisen wir, dass H^{∞}(m) ⊂ L^{∞}(m) eine w^{∗}-Abgeschlossene Unteralgebra ist.

Lemma 3.3. Seien A ⊂ C(K) eine uniforme Algebra und m ∈ M(K)_{1}^{+}. Dann gilt die Identität

H^{∞}(m) = {φ ∈ L^{∞}(m) | φH^{2}(m) ⊂ H^{2}(m)},

und H^{∞}(m) ist eine w^{∗}-abgeschlossene Teilalgebra von L^{∞}(m).

Beweis. Sei zunächst φ ∈ H^{∞}(m). Nach Definition ist bekanntlich H^{∞}(m) = H^{2}(m) ∩ L^{∞}(m), also ist insbesondere φ ∈ L^{∞}(m). Da der Multiplikationsoperator M_{φ} : L^{2}(m) → L^{2}(m) stetig ist, genügt es zu zeigen, dass φf ∈ H^{2}(m) für alle f ∈ A ist. Wegen φ ∈ H^{2}(m) existiert eine Folge (φ_{n})_{n} in A mit φ_{n} → φ für n → ∞ in L^{2}(m). Ist nun f ∈ A beliebig, so folgt wegen A ⊂ L^{∞}(m) schließlich

φf = M_{f}φ = M_{f}( lim_{n→∞} φ_{n}) = lim_{n→∞} M_{f}φ_{n} = lim_{n→∞} φ_{n}f

mit der Stetigkeit von M_{f}. Dies liefert aber sofort, dass φf ∈ \overline{A}^{L^{2}(m)} = H^{2}(m) ist, denn für alle n ∈ ℕ ist φ_{n}f ∈ A. Sei nun umgekehrt φ ∈ L^{∞}(m) so, dass φf ∈ H^{2}(m) für alle f ∈ H^{2}(m) ist. Wir müssen zeigen, dass dann φ ∈ H^{2}(m) folgt. Dies erhält man aber leicht aus der Tatsache, dass 1 ∈ H^{2}(m) und damit nach Voraussetzung auch φ = φ · 1 ∈ H^{2}(m) gilt. Anhand der damit Bewiesenen Charakterisierung von H^{∞}(m) sieht man leicht, dass H^{∞}(m) ⊂ L^{∞}(m) eine Teilalgebra ist. Die w^{∗}-Abgeschlossenheit von H^{∞}(m) ⊂ L^{∞}(m) folgt unmittelbar aus der in Proposition 3.2 bewiesenen w^{∗}- Stetigkeit der Abbildung M : L^{∞}(m) → B(H^{2}(m)), ψ ↦ M_{ψ}, da die Menge

{T ∈ B(L^{2}(m)) | T H^{2}(m) ⊂ H^{2}(m)} ⊂ B(L^{2}(m))

w^{∗}-abgeschlossen ist.

3.2 Sphärische Multifunktionen und zugehörige

Toeplitzoperatoren

Wir wollen nun eine besondere Klasse von Familien von Funktionen in C(K) untersuchen, die sogennanten sphärischen Multifunktionen. Wie sich herausstellen wird, bildet die zu einer Familie sphärischer Multifunktionen (F_{α})_{α∈Γ} gehörige Familie F = (S_{α})_{α∈Γ} von Familien von Toeplitzoperatoren gerade eine vertauschende Familie sphärischer Isometrien.

Definition 3.4. Eine Familie F = (φ_{j})_{j∈J} von Funktionen in C(K) heißt sphärische Multifunktion, falls die Indexmenge J höchstens abzählbar unendlich ist und falls für alle x ∈ K die Identität

∑_{j∈J} |φ_{j}(x)|^{2} = 1

gilt. Eine Familie (F_{α})_{α∈Γ} sphärischer Multifunktionen F_{α} = (φ_{j,α})_{j∈J_{α}} heißt separierend oder punktetrennend, falls zu je zwei Punkten x, y ∈ K mit x ≠ y ein α ∈ Γ und ein j ∈ J_{α} existieren mit φ_{j,α}(x) ≠ φ_{j,α}(y).

Im folgenden sei stets A ⊂ C(K) eine normabgeschlossene Unteralgebra, m ∈ M(K)_{1}^{+} ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf K und (F_{α})_{α∈Γ} eine punktetrennende Familie von sphärischen Multifunktionen F_{α} = (φ_{j,α})_{j∈J_{α}} mit φ_{j,α} ∈ A für alle α ∈ Γ, j ∈ J_{α}. Für α ∈ Γ sei außerdem S_{α} = (T_{φ_{j,α}})_{j∈J_{α}}. Wir bezeichnen mit F die Familie (S_{α})_{α∈Γ}. In Anlehnung an Kapitel 2 schreiben wir abkürzend T_{j,α} für den Toeplitzoperator mit Symbol φ_{j,α}. Ein erstes Ergebnis dieses Abschnittes liefert die angekündigte Verbindung von Familien sphärischer Multifunktionen zu Familien sphärischer Isometrien.

Lemma 3.5. F ist eine kommutierende Familie sphärischer Isometrien.

Beweis. Seien α ∈ Γ und j ∈ J_{α} beliebig. Wegen A ⊂ H^{∞}(m) ist insbesondere φ_{j,α} ∈ H^{∞}(m) und damit M_{φ_{j,α}}H^{2}(m) ⊂ H^{2}(m) nach Lemma 3.3. Offensichtlich ist (∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}T_{j,α})_{F ⊂J_{α}endl.} ein monoton wachsendes Netz selbstadjungierter Operatoren. Da für eine endliche Teilmenge F ⊂ J_{α} mit der Invarianz von H^{2}(m) unter M_{φ_{j,α}} außerdem

∑_{j∈F} ⟨T_{j,α}^{∗}T_{j,α}f, f⟩ = ∑_{j∈F} ⟨P_{H^{2}(m)}M_{φ_{j,α}}^{∗}P_{H^{2}(m)}M_{φ_{j,α}}f, f⟩
= ∑_{j∈F} ⟨M_{φ_{j,α}}f, M_{φ_{j,α}}f⟩
= ∑_{j∈F} ∫_{K} |φ_{j,α}|^{2} · |f(x)|^{2} dm(x)
= ∫_{K} ∑_{j∈F} |φ_{j,α}|^{2} · |f(x)|^{2} dm(x)
≤ ⟨f, f⟩

für alle f ∈ H^{2}(m) folgt, ist das Netz {∑_{j∈F} T_{j,α}^{∗}T_{j,α}}_{F ⊂J_{α}endl.} nach oben durch die Identität beschränkt. Mit Proposition 2.2 folgt die Konvergenz bezüglich der starken Operatortopologie.

Sind nun f, g ∈ L^{2}(m) und ist J_{α} = {j_{ν} | ν ∈ ℕ} abzählbar unendlich, so stellen wir fest, dass

∑_{ν=1}^{k} |φ_{j_{ν},α}(x)|^{2}f(x)\overline{g(x)} ⟶^{k→∞} f(x)\overline{g(x)}

punktweise für x ∈ K sowie

| ∑_{ν=1}^{k} |φ_{j_{ν},α}(x)|^{2}f(x)\overline{g(x)}| ≤ |f(x)| · |g(x)|

für alle k ∈ ℕ und x ∈ K gilt. Also erhält man

∑_{j∈J_{α}} ∫_{K} |φ_{j,α}(x)|^{2}f(x)\overline{g(x)} dm(x) = ∫_{K} f(x)\overline{g(x)}dm(x)

mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz. Dies liefert letztlich, dass für alle f, g ∈ H^{2}(m) die Identität

∑_{j∈J_{α}} ⟨T_{j,α}^{∗}T_{j,α}f, g⟩ = ∑_{j∈J_{α}} ⟨M_{φ_{j,α}}f, M_{φ_{j,α}}g⟩
= ∑_{j∈J_{α}} ∫_{K} |φ_{j,α}(x)|^{2}f(x)\overline{g(x)} dm(x)
= ∫_{K} f(x)\overline{g(x)}dm(x)
= ⟨f, g⟩

gilt. Jedes S_{α} ist demnach eine sphärische Isometrie. Die Kommutativität der Familie {S_{α}}_{α∈Γ} folgt unterdessen leicht aus der Invarianz von H^{2}(m) unter M_{φ_{j,α}} und der Kommutativität von A.

Ist m ∈ M(K) ein positives reguläres Borelmaß auf K, so erhalten wir mit [6, Proposition 7.4.2.], dass \overline{C(K)}^{L^{2}(m)} = L^{2}(m) gilt. Mit Hilfe dieses Resultates können wir nun die minimale normale Erweiterung der vertauschenden Familie F = ((T_{φ_{j,α}})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} bestimmen. Wir stellen fest, dass diese gerade aus den Multiplikationsoperatoren mit Symbol φ_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ besteht.

Lemma 3.6. Es ist (F̂, L^{2}(m)) mit F̂ = (Ŝ_{α})_{α∈Γ} = ((M_{φ_{j,α}})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} die minimale normale Erweiterung der Familie F.

Beweis. Genau wie im Beweis von Lemma 3.5 folgt, dass die Familie F̂ eine kommutierende Familie sphärischer Isometrien auf L^{2}(m) ist. Da für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} die Multiplikationsoperatoren M_{φ_{j,α}} ∈ B(L^{2}(m)) normal sind und alle φ_{j,α} ∈ H^{∞}(m) liegen, ist (F̂, L^{2}(m)) eine normale Erweiterung von F, denn nach Lemma 3.3 ist H^{2}(m) invariant für alle M_{φ_{j,α}}. Wir wollen nun die Minimalität überprüfen. Da nach Voraussetzung zu x, y ∈ K mit x ≠ y Indizes α ∈ Γ und j ∈ J_{α} mit φ_{j,α}(x) ≠ φ_{j,α}(y) existieren, folgt

C^{∗} ({φ_{j,α} | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}}) = C(K)  (3.1)

mit dem Satz von Stone-Weierstraß. Nach Lemma 1.13 genügt es zu zeigen, dass

L^{2}(m) = ⋁ {M^{∗}f | M ∈ S(F̂), f ∈ H^{2}(m)}

ist, wobei S(F̂) wie in Abschnitt 1.2 die Menge aller endlichen Produkte von Elementen aus {M_{φ_{j,α}} | j ∈ J_{α}, α ∈ Γ} bezeichne. Da H^{2}(m) alle endlichen Produkte der φ_{j,α}, j ∈ J_{α}, α ∈ Γ enthält, liegen alle endlichen Summen von endlichen Produkten der φ_{j,α} und \overline{φ}_{k,β} in

S = LH {M^{∗}f | M ∈ S(F̂), f ∈ H^{2}(m)} .

Da diese jedoch dicht in C(K) liegen, ist wegen \overline{C(K)}^{L^{2}(m)} = L^{2}(m) auch S ⊂ L^{2}(m) dicht. Also ist F̂ die minimale normale Erweiterung der Familie F.

3.3 Charakterisierungen von Toeplitzoperatoren

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Frage, wann ein gegebener Operator X ∈ B(H^{2}(m)) ein Toeplitzoperator mit Symbol in L^{∞}(m) bzw. H^{∞}(m) ist. In beiden Fällen lässt sich eine einfache Charakterisierung angeben und beweisen, die ein klassisches Resultat von Brown und Halmos (siehe [4]) für Toeplitzoperatoren über dem Einheitskreis in ℂ verallgemeinert. Zur Vorbereitung benötigen wir jedoch zuerst noch zwei maßtheoretische Ergebnisse, die in den folgenden beiden Propositionen zusammengefasst sind.

Proposition 3.7. Seien m ∈ M(K)_{1}^{+} und f ∈ L^{1}(m). Definiert man auf den Borelmengen A ⊂ K das komplexe Maß μ durch μ(A) = ∫_{A} f dm, so ist jede beschränkte Borel-messbare Funktion g : K → ℂ integrierbar bezüglich μ, und es gilt

∫_{K} g dμ = ∫_{K} fg dm.

Beweis. Sei μ = ∑_{i=1}^{4} ϵ_{i}μ_{i} die Jordan-Zerlegung von μ. Definitionsgemäß gilt dann

∫_{K} g dμ = ∑_{i=1}^{4} ∫_{K} g dμ_{i}.

Für messbare Funktionen g : K → ℂ mit nur endlich vielen Werten folgt die behauptete Formel direkt aus dieser Definition. Der allgemeine Fall folgt, indem man ausnutzt, dass jede beschränkte messbare Funktion g : K → ℂ der gleichmäßige Limes einer Folge messbarer Funktionen mit nur endlich vielen Werten ist.

Wir zeigen als nächstes, dass der Raum C(K) der stetigen Funktionen auf K in (L^{∞}(m), τ_{w^{∗}}) dicht liegt.

Lemma 3.8. Für m ∈ M(K)_{1}^{+} ist \overline{C(K)}^{w^{∗}} = L^{∞}(m).

Beweis. Wir nehmen an, \overline{C(K)}^{w^{∗}} wäre ein echter Teilraum von L^{∞}(m), und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Ist \overline{C(K)}^{w^{∗}} ⊊ L^{∞}(m), so existiert nach dem Satz von Hahn-Banach eine Funktion f ∈ L^{1}(m) \ {0} so, dass ∫ fg dm = 0 für alle g ∈ C(K) gilt. Nach Proposition 3.7 ist dann aber ∫ g dm_{f} = 0 für alle g ∈ C(K), wobei m_{f} das durch m_{f}(A) = ∫_{A} f dm definierte komplexe Borelmaß sei. Da m_{f} nach [6, Proposition 7.3.7] regulär ist, folgt aus dem Eindeutigkeitsteil des Rieszschen Darstellungssatzes (vgl. [6, Theorem 7.3.5]), dass m_{f} = 0 ist. Also ist f = 0 in L^{1}(m). Dies ist aber ein Widerspruch zur Wahl von f. Die Annahme war also falsch.

Jetzt sind wir in der Lage, eine Charakterisierung für Toeplitzoperatoren mit Symbol in L^{∞}(m) anzugeben. Wir zeigen, dass solche Operatoren genau mit den F-Toeplitzoperatoren der oben definierten Familie F = ((T_{φ_{j,α}})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} sphärischer Isometrien übereinstimmen. Insbesondere erklärt dieser Umstand auch die Wahl der in Definition 2.1 eingeführten Bezeichnungen.

Satz 3.9. Sei m ∈ M(K)_{1}^{+} beliebig. Ein linearer Operator X ∈ B(H^{2}(m)) ist genau dann ein Toeplitzoperator mit Symbol in L^{∞}(m), wenn für alle α ∈ Γ die Identität

WOT- ∑_{j∈J_{α}} T_{φ_{j,α}}^{∗}XT_{φ_{j,α}} = X  (3.2)

gilt.

Beweis. Sei zunächst X ∈ B(H^{2}(m)) so, dass (3.2) erfüllt ist. Gemäß Definition 2.1 gilt dann X ∈ T (F), und nach Lemma 2.18 existiert eine vollständig positive, unitale Projektion Φ : B(H^{2}(m)) → B(H^{2}(m)) mit Ran(Φ) = T (F). Außerdem existiert nach Satz 2.25 eine *-Darstellung π : C^{∗}(T (F)) → B(L^{2}(m)), deren Bild mit dem in B(L^{2}(m)) gebildeten Kommutanten von C^{∗}(F̂) übereinstimmt und so, dass X = Φ(X) = P_{H^{2}(m)}π(X)|_{H^{2}(m)} gilt. Folglich kommutiert π(X) mit allen T ∈ C^{∗}(F̂). Da die Abbildung M : L^{∞}(m) → B(L^{2}(m)), φ ↦ M_{φ} jedoch nach Proposition 3.2 ein unitaler *-Homomorphismus ist, erhält man

M (C^{∗} ({φ_{j,α} | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}})) = C^{∗}(F̂),

und da die Gleichung (3.1) gilt, kommutiert π(X) mit allen M_{φ}, φ ∈ C(K). Also vertauscht π(X) mit jedem Operator in

ℳ = \overline{\{M_{φ} | φ ∈ C(K)\}}^{w^{∗}} ⊂ B(L^{2}(m)).

Da M : L^{∞}(m) → B(L^{2}(m)) nach Proposition 3.2 w^{∗}-stetig ist und da C(K) nach Lemma 3.8 w^{∗}-dicht in L^{∞}(m) ist, folgt

L^{∞}(m) = \overline{C(K)}^{w^{∗}} ⊂ M^{−1}(ℳ).

Damit vertauscht π(X) mit jedem Operator in der Menge {M_{φ} | φ ∈ L^{∞}(m)}, und nach [7, Theorem IX.6.6] ist dann π(X) = M_{ψ} für eine geeignete Funktion ψ ∈ L^{∞}(m). Wir erhalten also, dass X = P_{H^{2}(m)}M_{ψ}|_{H^{2}(m)} = T_{ψ} gilt. Sei nun umgekehrt X = T_{ψ} für ein ψ ∈ L^{∞}(m). Wir wollen zeigen, dass X dann für alle α ∈ Γ die Gleichung (3.2) erfüllt. Seien dazu f, g ∈ H^{2}(m) und α ∈ Γ beliebig. Da H^{2}(m) bekanntlich ein invarianter Teilraum für M_{φ_{j,α}}, j ∈ J_{α} ist, gilt

∑_{j∈J_{α}} ⟨T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}f, g⟩ = ∑_{j∈J_{α}} ⟨T_{ψ}T_{j,α}f, T_{j,α}g⟩
= ∑_{j∈J_{α}} ⟨T_{ψ}φ_{j,α}f, φ_{j,α}g⟩
= ∑_{j∈J_{α}} ⟨P_{H^{2}(m)}(ψφ_{j,α}f), φ_{j,α}g⟩
= ∑_{j∈J_{α}} ⟨ψφ_{j,α}f, φ_{j,α}g⟩.

Für alle j ∈ J_{α} ist aber ⟨ψφ_{j,α}f, φ_{j,α}g⟩ = ∫ ψφ_{j,α}f\overline{φ}_{j,α}\overline{g} dm, und mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz folgt

∑_{j∈J_{α}} ∫ ψ(x)f(x)|φ_{j,α}(x)|^{2}\overline{g(x)} dm(x) = ∫ ψ(x)f(x)\overline{g(x)} dm(x)

analog zum Beweis von Lemma 3.5. Also ist

∑_{j∈J_{α}} ⟨T_{j,α}^{∗}XT_{j,α}f, g⟩ = ∫ ψ(x)f(x)\overline{g(x)} dm(x) = ⟨ψf, g⟩ = ⟨T_{ψ}f, g⟩,

und da f, g ∈ H^{2}(m) beliebig waren, folgt die Behauptung.

In der folgenden Bemerkung wollen wir kurz einige Ergebnisse anführen, die wir in den Beweisen der nächsten Sätze nutzen wollen. Diese Resultate wurden im Beweis des vorigen Satzes mitgezeigt, jedoch wurde nicht ausdrücklich darauf hingewiesen. Bemerkung 3.10. Im Beweis von Satz 3.9 wurde mitbewiesen, dass für die Abbildung π : C^{∗}(T (F)) → B(L^{2}(m)) die Identität

π(C^{∗}(T (F))) = C^{∗}(F̂)′ = {M_{φ} | φ ∈ C(K)}′ = {M_{φ} | φ ∈ L^{∞}(m)}

erfüllt ist. Da nach Teil (e) von Satz 2.25 die Abbildung

ρ : {M_{φ} | φ ∈ L^{∞}(m)} → B(H^{2}(m)), M_{φ} ↦ P_{H^{2}(m)}M_{φ}|_{H^{2}(m)} = T_{φ}

injektiv ist und da ρ(M_{φ}) = T_{φ} = Φ(T_{φ}) = P_{H^{2}(m)}π(T_{φ})|_{H^{2}(m)} = ρ(π(T_{φ})) für φ ∈ L^{∞}(m) gilt, folgt insbesondere, dass

π(T_{φ}) = M_{φ}

für alle φ ∈ L^{∞}(m) ist. Für die sphärische Isometrie F = ((T_{φ_{j,α}})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} zeigen wir nun mit Hilfe von Proposition 1.8 die Identität F′ = {T_{ψ} | ψ ∈ H^{∞}(m)}. Dies liefert die angekündigte Charakterisierung für Toeplitzoperatoren mit Symbol in H^{∞}(m).

Lemma 3.11. Sei m ∈ M(K)_{1}^{+} beliebig. Ein beschränkter linearer Operator X ∈ B(H^{2}(m)) ist genau dann ein Toeplitzoperator mit Symbol in H^{∞}(m), wenn X ∈ F′ gilt.

Beweis. Sei zunächst X = T_{ψ} für ein ψ ∈ H^{∞}(m). Da für α ∈ Γ und j ∈ J_{α} auch φ_{j,α} ∈ H^{∞}(m) ist, impliziert Lemma 3.3, dass X ∈ F′ ist. Ist nun X ∈ F′, so sind X, X^{∗}X ∈ T (F) nach Satz 2.25, und wir können Satz 3.9 anwenden. Folglich existiert ein ψ ∈ L^{∞}(m) so, dass X = T_{ψ} ist. Wir wollen nun zeigen, dass ψH^{2}(m) ⊂ H^{2}(m) gilt, denn dann erhält man

ψ ∈ L^{∞}(m) ∩ H^{2}(m) = H^{∞}(m)

unmittelbar aus Lemma 3.3. Dazu betrachten wir die Abbildung Φ aus Lemma 2.18 sowie den *-Homomorphismus π aus Satz 2.25 und stellen fest, dass nach Bemerkung 3.10 wegen Ran(Φ) = T (F) und X^{∗}X ∈ T (F) die Identität

X^{∗}X = T\overline{ψ}T_{ψ}
= Φ(T\overline{ψ}T_{ψ})
= P_{H^{2}(m)}π(T\overline{ψ}T_{ψ})|_{H^{2}(m)}
= P_{H^{2}(m)}π(T_{ψ})^{∗}π(T_{ψ})|_{H^{2}(m)}
= P_{H^{2}(m)}M_{ψ}^{∗}M_{ψ}|_{H^{2}(m)}

erfüllt ist. Aus X = T_{ψ} = P_{H^{2}(m)}M_{ψ}|_{H^{2}(m)} und X^{∗}X = P_{H^{2}(m)}M_{ψ}^{∗}M_{ψ}|_{H^{2}(m)} folgt nun unmittelbar M_{ψ}H^{2}(m) ⊂ H^{2}(m) mit Proposition 1.8, und die Behauptung ist gezeigt.

3.4 Exakte Sequenzen von Toeplitzalgebren

An dieser Stelle wollen wir noch einmal kurz an die im Anschluss zu Definition 3.4 erklärten allgemeinen Voraussetzungen erinnern. Es sei weiterhin A eine normabgeschlossene Unteralgebra von C(K), m ∈ M(K)_{1}^{+} ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf K und (F_{α})_{α∈Γ} eine punktetrennende Familie von sphärischen Multifunktionen, F_{α} = (φ_{j,α})_{j∈J_{α}} mit φ_{j,α} ∈ A für alle α ∈ Γ, j ∈ J_{α}. Wir bezeichnen mit F die Familie (S_{α})_{α∈Γ} = ((T_{φ_{j,α}})_{j∈J_{α}})_{α∈Γ} und schreiben abkürzend T_{j,α} für den Toeplitzoperator mit Symbol φ_{j,α}. Ist B ⊂ L^{∞}(m) eine unitale Unteralgebra, so sei T (B) die von allen Toeplitzoperatoren T_{φ} mit φ ∈ B erzeugte unitale C*-Unteralgebra von B(H^{2}(m)). C*-Teilalgebren dieses Typs nennen wir Toeplitzalgebren. Zur besseren Übersicht führen wir nun noch einige abkürzende Bezeichnungen ein. Das in T (B) abgeschlossene Ideal, welches von allen T_{φ}T_{ψ} − T_{ψ}T_{φ}, φ, ψ ∈ B, erzeugt wird bezeichnen wir mit C(B) und schreiben SC(B) für das in T (B) abgeschlossene Ideal, welches von allen T_{φ}T_{ψ} − T_{φψ}, φ, ψ ∈ B, erzeugt wird. Der folgende Satz liefert eine exakte Sequenz für die von den Toeplitzoperatoren mit Symbol in L^{∞}(m) erzeugte Toeplitzalgebra.

Satz 3.12. Es existiert eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren

0 → SC(L^{∞}(m)) ↪ T (L^{∞}(m)) →^{χ} L^{∞}(m) → 0

so, dass χ(T_{ψ}) = ψ für alle ψ ∈ L^{∞}(m) ist. Insbesondere ist die Spektralinklusion essran(ψ) ⊂ σ(T_{ψ}) für alle ψ ∈ L^{∞}(m) erfüllt.

Beweis. Wir betrachten erneut die Abbildungen Φ aus Lemma 2.18 und π aus Satz 2.25. Aus Teil (d) von Satz 2.25 erhalten wir, dass Ker(π) mit dem von XY −Φ(XY), X, Y ∈ T (F) in C^{∗}(T (F)) erzeugten abgeschlossenen Ideal übereinstimmt. Letzteres ist nach Satz 3.9 jedoch gerade das von T_{φ}T_{ψ} − Φ(T_{φ}T_{ψ}), φ, ψ ∈ L^{∞}(m) in C^{∗}(T (F)) erzeugte abgeschlossene Ideal. Für φ, ψ ∈ L^{∞}(m) erhält man aber

Φ(T_{φ}T_{ψ}) = P_{H^{2}(m)}π(T_{φ}T_{ψ})|_{H^{2}(m)}
= P_{H^{2}(m)}π(T_{φ})π(T_{ψ})|_{H^{2}(m)}
= P_{H^{2}(m)}M_{φ}M_{ψ}|_{H^{2}(m)}
= P_{H^{2}(m)}M_{φψ}|_{H^{2}(m)}
= T_{φψ}

mit Satz 2.25 und Bemerkung 3.10, was schließlich zu Ker(π) = SC(L^{∞}(m)) führt. Nach Bemerkung 3.10 wissen wir jedoch, dass

π(C^{∗}(T (F))) = {M_{φ} | φ ∈ L^{∞}(m)} = M(L^{∞}(m))

gilt, und da M : L^{∞}(m) → M(L^{∞}(m)) nach Proposition 3.2 bekanntlich ein isometrischer *-Isomorphismus ist, können wir die Abbildung

M^{−1} : M(L^{∞}(m)) → L^{∞}(m), M_{φ} ↦ φ

definieren. Wir setzen außerdem χ = M^{−1} ∘ π. Dann ist Ker(χ) = Ker(π) da M^{−1} bijektiv ist und Ran(χ) = L^{∞}(m). Ferner ist

χ(T_{ψ}) = M^{−1} ∘ π(T_{ψ}) = M^{−1}(M_{ψ}) = ψ

für alle ψ ∈ L^{∞}(m), und die behauptete Spektralinklusion folgt unmittelbar aus der Beobachtung, dass

essran(ψ) = σ_{L^{∞}(m)}(ψ) = σ_{L^{∞}(m)}(χ(T_{ψ})) ⊂ σ(T_{ψ})  (3.3)

gilt. Einen Beweis der wohlbekannten ersten Identität in (3.3) findet man etwa in [7, Proposition VIII.1.14].

Sei m ∈ M(K)_{1}^{+}. Nach [6, Proposition 7.4.1] ist die Vereinigung 𝒰 aller offenen Teilmengen U von K mit m(U) = 0 erneut eine offene m-Nullmenge. Wir bezeichnen mit supp(m) das Komplement von 𝒰 in K. Die Menge supp(m) heißt der T räger des Maßes m. Nach dem Fortsetzungssatz von Tietze gibt es zu jeder stetigen Funktion f ∈ C(supp(m)) eine stetige Funktion f̂ ∈ C(K) mit f̂|_{supp(m)} = f. Wir definieren nun die Abbildungen

j : C(K) → L^{∞}(m), f ↦ [f]

und

i : C(supp(m)) → L^{∞}(m), f ↦ [f̂] = j(f̂).

Die Abbildung i ist wohldefiniert, da alle Fortsetzungen von f außerhalb der m-Nullmenge K \ supp(m) übereinstimmen.

Proposition 3.13. Die Abbildung i : C(supp(m)) → L^{∞}(m), f ↦ [f̂] ist ein injektiver *-Homomorphismus.

Beweis. Offensichtlich ist i ein *-Homomorphismus. Sei f ∈ C(supp(m)) mit i(f) = 0. Nach Definition der Abbildung i können wir folgern, dass f̂ = 0 fast überall bezüglich m ist, und wir müssen zeigen, dass dann schon f = 0 ist. Dazu nehmen wir an, es existiere ein x ∈ supp(m) mit f(x) = f̂(x) ≠ 0. Aus der Stetigkeit von f̂ erhält man dann, dass es eine offene Umgebung U von x gibt mit f̂(y) ≠ 0 für alle y ∈ U. Da jedoch x ∈ supp(m) ist, folgt leicht, dass m(V) > 0 für jede offene Umgebung V von x gilt. Also ist insbeondere m(U) > 0 und damit f̂ ≠ 0 auf einer Menge echt positiven Maßes, was ein Widerspruch zu f̂ = 0 m-fast überall darstellt. Die Annahme war also falsch und wir folgern, dass f = 0 gewesen ist.

Proposition 3.14. Die Bilder der Abbildungen j : C(K) → L^{∞}(m), f ↦ [f] und i : C(supp(m)) → L^{∞}(m), f ↦ [f̂] = j(f̂) stimmen überein.

Beweis. Die Inklusion Ran(i) ⊂ Ran(j) erhält man unmittelbar aus der Definition von i. Ist nun [f] ∈ Ran(j), so existiert ein g ∈ C(K) mit j(g) = [f]. Die Abbildung h = g|_{supp(m)} : supp(m) → ℂ ist stetig und für die mit dem Fortsetzungssatz von Tietze erhaltene Abbildung ĥ gilt sicherlich

ĥ|_{supp(m)} = h = g|_{supp(m)}.

Aus m(K \ supp(m)) = 0 folgt schließlich, dass ĥ = g m-fast überall ist, also ist j(g) = j(ĥ) = i(h) ∈ Ran(i).

Mit Hilfe von Satz 2.25 können wir eine weitere exakte Sequenz für die von den Toeplitzoperatoren mit Symbol in C(K) erzeugte Toeplitzalgebra konstruieren. Damit wir diesen Satz erneut anwenden können, benötigen wir noch zwei Lemmata, die eine Verbindung zu Teil (f) des Satzes herstellen sollen.

Lemma 3.15. Sei A eine unitale C*-Algebra und sei E ⊂ A eine selbstadjungierte Teilmenge mit A = C^{∗}(E). Dann stimmen die von den Mengen

{XY − Y X | X, Y ∈ E} bzw. {XY − Y X | X, Y ∈ A}

erzeugten abgeschlossenen Ideale I_{0} bzw. I überein.

Beweis. Da die Inklusion I_{0} ⊂ I klar ist, beweisen wir nur, dass I ⊂ I_{0} gilt. Dazu definieren wir die Menge

M = {X ∈ A | XY − Y X ∈ I_{0} für alle Y ∈ E} ⊂ A

und zeigen, dass M ⊂ A eine unitale C*-Teilalgebra ist, die E enthält. Offensichtlich ist 1 ∈ M und E ⊂ M. Ebenso leicht rechnet man nach, dass M ⊂ A eine abgeschlossene Teilalgebra ist^{1}. Ist nun X ∈ M beliebig, so liefert die Selbstadjungiertheit von E, dass

X^{∗}Y − Y X^{∗} = (Y^{∗}X − XY^{∗})^{∗} = −(XY^{∗} − Y^{∗}X)^{∗} ∈ I_{0}

für alle Y ∈ E ist. Damit ist M ⊂ A eine unitale C*-Teilalgebra mit E ⊂ M, und nach Voraussetzung gilt schon M = A. Genauso stellen wir fest, dass

N = {Y ∈ A | XY − Y X ∈ I_{0} für alle X ∈ A} ⊂ A

eine unitale C*-Teilalgebra ist, und wegen M = A ist E auch in N enthalten. Folglich ist auch N = A und die Inklusion I ⊂ I_{0} ist gezeigt.

Als nächstes wollen wir zeigen, dass die C*-Teilalgebren

C^{∗}(F) = C^{∗}({T_{φ_{j,α}} | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}}) und T (C(K)) = C^{∗}({T_{f} | f ∈ C(K)})

von B(H^{2}(m)) identisch sind. Anhand dieses Resultates lässt sich im darauffolgenden Satz die angekündigte exakte Sequenz herleiten.

1Seien X, Z ∈ M beliebig. Da das Element XZY − Y XZ = XZY − XY Z + XY Z − Y XZ =

X(ZY − Y Z) + (XY − Y X)Z für alle Y ∈ E in I_{0} liegt, folgt die Abgeschlossenheit von

M unter der Multiplikation.

Lemma 3.16. Es gilt die Identität T (C(K)) = C^{∗}(F).

Beweis. Da die Funktionen φ_{j,α} für alle α ∈ Γ und j ∈ J_{α} in C(K) liegen, ist die Inklusion C^{∗}(F) ⊂ T (C(K)) klar. Zum Beweis der umgekehrten Inklusion zeigen wir zunächst, dass

B = {f ∈ C(K) | T_{f} ∈ C^{∗}(F)} ⊂ C(K)

eine unitale C*-Unteralgebra ist. Die lineare, unitale Abbildung

T |_{C(K)} : C(K) → B(H^{2}(m)), f ↦ T_{f}

ist stetig und verträglich mit den Involutionen. Also ist B ⊂ C(K) ein abgeschlossener linearer Teilraum, und mit f ∈ B ist auch \overline{f} ∈ B. Seien nun f, g ∈ B. Nach dem Beweis zu Satz 3.12 ist dann T_{fg} = Φ(T_{f}T_{g}) ∈ Φ(C^{∗}(F)), wobei Φ die Abbildung aus Lemma 2.18 bezeichne. Aus dem Beweis von Teil (f) des Satzes 2.25 erhält man aber die Inklusion Φ(C^{∗}(F)) ⊂ C^{∗}(F), welche unmittelbar fg ∈ B liefert. Also ist B ⊂ C(K) eine unitale C*-Teilalgebra. Da offensichtlich φ_{j,α} ∈ B für alle j ∈ J_{α} und α ∈ Γ ist, ist B punktetrennend, und mit dem Satz von Stone-Weierstraß erhält man B = C(K). Damit ist die Behauptung gezeigt.

Wir sind nun in der Lage, eine kurze exakte Sequenz für die von den Toeplitzoperatoren mit Symbol in C(K) erzeugte Toeplitzalgebra T (C(K)) anzugeben.

Satz 3.17. Es existiert eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren

0 → C(C(K)) ↪ T (C(K)) →^{χ_{0}} C(supp(m)) → 0

so, dass χ_{0}(T_{ψ}) = ψ|_{supp(m)} für alle ψ ∈ C(K) gilt.

Beweis. Wir betrachten erneut die beiden Abbildungen j : C(K) → L^{∞}(m) und i : C(supp(m)) → L^{∞}(m). Sowohl i als auch j sind *-Homomorphismen und nach Proposition 3.14 ist Ran(i) = Ran(j). Dies liefert unmittelbar, dass

C^{∗}(F̂) = C^{∗}({M(j(φ_{j,α})) | α ∈ Γ, j ∈ J_{α}})
= M(j(C(K)))
= M(i(C(supp(m))))

für die minimale normale Erweiterung F̂ von F aus Lemma 3.6 gilt. Damit ist

(M ∘ i)^{−1} = (M ∘ i : C(supp(m)) → C^{∗}(F̂))^{−1}

ein *-Isomorphismus von C^{∗}(F̂) auf C(supp(m)). Mit Hilfe von Lemma 3.16 sieht man leicht, dass die Abbildung π nach Teil (f) von Satz 2.25 einen surjektiven *-Homomorphismus

π_{0} : T (C(K)) = C^{∗}(F) → C^{∗}(F̂), X ↦ π(X)

induziert. Da die Menge {T_{ψ} | ψ ∈ C(K)} selbstadjungiert ist, erhalten wir mit Lemma 3.15 die Identität Ker(π_{0}) = C(C(K)), denn nach Satz 2.25 (f) ist Ker(π_{0}) gerade das von {XY − Y X | X, Y ∈ C^{∗}(F)} in C^{∗}(F) erzeugte abgeschlossene Ideal. Also wird durch

χ_{0} = (M ∘ i)^{−1} ∘ π_{0} : T (C(K)) → C(supp(m))

ein surjektiver *-Homomorphismus definiert mit

Ker(χ_{0}) = Ker(π_{0}) = C(C(K)).

Nach Bemerkung 3.10 und der Definition der Abbildung i gilt schließlich

χ_{0}(T_{ψ}) = (M ∘ i)^{−1}M_{jψ} = (M ∘ i)^{−1}M_{i(ψ|_{supp(m)})} = ψ|_{supp(m)}

für alle ψ ∈ C(K).

Als nächstes wollen wir versuchen, eine hinreichende Bedingung für die Existenz punktetrennender Familien sphärischer Multifunktionen innerhalb einer uniformen Algebra zu formulieren. Die folgende Proposition erweist sich derweil im Beweis des nächsten Satzes als hilfreich.

Proposition 3.18. Seien A ⊂ C(K) eine uniforme Algebra und f ∈ C(K) mit f(x) > 0 für alle x ∈ K. Existieren zu jedem ε > 0 und φ ∈ C(K) mit φ > 0 endlich viele g_{φ,1}, …, g_{φ,m_{φ}} in A mit

∥φ − ∑_{k=1}^{m_{φ}} |g_{φ,k}|^{2}∥_{∞} < ε,

so gibt es schon eine Folge (g_{k})_{k∈ℕ} in A mit f = ∑_{k=1}^{∞} |g_{k}|^{2} gleichmäßig auf K.

Beweis. Sei f : K → ℂ stetig mit f > 0 auf K, wir setzen n_{0} = 1. Durch Induktion über k ∈ ℕ konstruieren wir streng monoton wachsende Folgen (n_{k})_{k∈ℕ}, (m_{k})_{k∈ℕ} in ℕ und eine Folge (g_{k})_{k∈ℕ} in A so, dass für alle k ∈ ℕ die Abschätzung

0 < f − ∑_{j=1}^{m_{k}} |g_{j}|^{2} < \frac{1}{n_{k}}

erfüllt ist. Da f > 0 auf K ist, existiert ein n_{1} > n_{0} = 1 mit f − \frac{1}{2n_{1}} > 0. Nach Voraussetzung finden wir m_{1} ∈ ℕ und g_{1}, …, g_{m_{1}} ∈ A mit

∥f − \frac{1}{2n_{1}} − ∑_{ν=1}^{m_{1}} |g_{ν}|^{2}∥_{∞} < \frac{1}{2n_{1}} ,

also ist

0 < f − ∑_{ν=1}^{m_{1}} |g_{ν}|^{2} < \frac{1}{n_{1}} .

Sind nun die Folgenglieder n_{1}, …, n_{k}, m_{1}, …, m_{k} und g_{1}, …, g_{m_{k}} bereits konstruiert, so existiert wegen f − ∑_{j=1}^{m_{k}} |g_{j}|^{2} > 0 ein n_{k+1} > n_{k} derart, dass f − ∑_{j=1}^{m_{k}} |g_{j}|^{2} − \frac{1}{2n_{k+1}} > 0 gilt. Nach Voraussetzung existieren wiederum ein m_{k+1} > m_{k} und g_{m_{k}+1}, …, g_{m_{k+1}} ∈ A mit

∥f − ∑_{j=1}^{m_{k}} |g_{j}|^{2} − \frac{1}{2n_{k+1}} − ∑_{j=m_{k}+1}^{m_{k+1}} |g_{j}|^{2}∥_{∞} < \frac{1}{2n_{k+1}} .

Also ist die Abschätzung

0 < f − ∑_{j=1}^{m_{k+1}} |g_{j}|^{2} < \frac{1}{n_{k+1}}

erfüllt, und die Folgenglieder n_{k+1}, m_{k+1} und g_{m_{k}+1}, …, g_{m_{k+1}} sind konstruiert. Nach Konstruktion konvergiert die Folge (∑_{j=1}^{m_{k}} |g_{j}|^{2})_{k∈ℕ} gleichmäßig auf K gegen f. Damit besitzt f die gleichmäßig konvergente Reihendarstellung

f = ∑_{j=1}^{∞} |g_{j}|^{2}

auf K.

Mit Hilfe der separierenden Familie (F_{α})_{α∈Γ} sphärischer Multifunktionen und der exakten Sequenz aus Satz 3.12 wurde für alle ψ ∈ L^{∞}(m) die Spektralinklusion essran(ψ) ⊂ σ(T_{ψ}) gezeigt. Wir wollen nun beweisen, dass innerhalb einer uniformen Algebra schon eine punktetrennende Familie sphärischer Multifunktionen existiert, wenn jedes Maß m ∈ M(K)_{1}^{+} und jede Funktion ψ ∈ L^{∞}(m) der beschriebenen Spektralinklusion genügt.

Satz 3.19. Ist A ⊂ C(K) eine uniforme Algebra so, dass essran(ψ) ⊂ σ(T_{ψ}) für alle m ∈ M(K)_{1}^{+} und alle ψ ∈ L^{∞}(m) erfüllt ist, so enthält A eine separierende Familie (F_{α})_{α∈Γ} sphärischer Multifunktionen.

Beweis. Unter den gegebenen Voraussetzungen existiert nach [16, Proposition 3] zu 0 < f ∈ C(K) und ε > 0 eine endliche Summe der Form ∑_{k=1}^{n} |g_{k}|^{2} mit g_{k} ∈ A für k ∈ {1, …, n} so, dass

∥f − ∑_{k=1}^{n} |g_{k}|^{2}∥_{∞} < ε.

Also existiert nach Proposition 3.18 schon eine Folge (g_{k})_{k≥1} in A derart, dass f die gleichmäßig konvergente Reihendarstellung f = ∑_{k=1}^{∞} |g_{k}|^{2} besitzt. Dies wollen wir benutzen, um die separierende Familie sphärischer Multifunktionen zu konstruieren. Wir definieren die Menge Γ = {f ∈ A | |f| < 1 auf K} und betrachten eine beliebige Funktion f ∈ Γ. Dann ist die Funktion 1 − |f|^{2} echt positiv auf K, und es existiert eine Folge (g_{k,f})_{k≥1} in A mit

1 − |f|^{2} = ∑_{k=1}^{∞} |g_{k,f}|^{2}

auf K. Setzt man nun g_{0,f} = f, so ist F_{f} = (g_{k,f})_{k≥0} eine sphärische Multifunktion. Wir zeigen nun, dass die Familie (F_{f})_{f∈Γ} separierend ist. Da die uniforme Algebra A punktetrennend ist, trennt auch Γ die Punkte von K. Sind nun x, y ∈ K beliebig mit x ≠ y, so existiert ein f ∈ Γ mit f(x) ≠ f(y), also mit g_{0,f}(x) ≠ g_{0,f}(y), woraus die Behauptung unmittelbar folgt.

Da sich für uniforme Algebren die hinreichende Bedingung für die Existenz einer separierenden Familie sphärischer Multifunktionen aus Satz 3.19 im allgemeinen nur schwer verifizieren lässt, wollen wir an dieser Stelle noch einige Beispiele kompakter Hausdorffräume K und uniformer Algebren A ⊂ C(K) angeben, für die man die Existenz sphärischer Multifunktionen leicht zeigen kann. Bemerkung 3.20. Sei n ∈ ℕ beliebig. Für eine offene Teilmenge Ω ⊂ ℂ^{n} sei die Menge A(Ω) definiert durch

A(Ω) = \{f ∈ C(\overline{Ω}) | f|_{Ω} analytisch \},

und für j ∈ {1, …, n} bezeichnen wir mit z_{j} die Funktion z = (z_{1}, …, z_{n}) ↦ z_{j}.

(a) Ist K = S_{n} = {z ∈ ℂ^{n} | |z| = 1}, so ist A = A(𝔹_{n})|_{S_{n}} ⊂ C(S_{n}) eine uniforme Algebra. Das Tupel (z_{1}, …, z_{n}) ist eine separierende sphärische Multifunktion, denn es ist

∑_{j=1}^{n} |z_{j}|^{2} = 1

für alle z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ S_{n}.

(b) Ist K = 𝕋^{n} = {z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n} | |z_{j}| = 1 für alle j ∈ {1, …, n}}, so ist A = A(𝔻^{n})|_{𝕋^{n}} ⊂ C(𝕋^{n}) eine uniforme Algebra. Das Tupel \frac{1}{\sqrt{n}}(z_{1}, …, z_{n}) ist eine separierende sphärische Multifunktion, denn es ist

\frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} |z_{j}|^{2} = 1

für alle z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ 𝕋^{n}.

(c) Wir können das erste Beispiel noch verallgemeinern. Sei Ω ⊂ ℂ^{n} ein streng pseudokonvexes Gebiet mit C^{2}-Rand und K = ∂Ω. Nach klassischen Sätzen von Fornæss und Løw (siehe [14], [19] oder [11, Korollar 2.1.3]) existiert ein N ∈ ℕ und eine injektive Abbildung f ∈ A(Ω)^{N} mit f(∂Ω) ⊂ S_{N}. Folglich ist A = A(Ω)|_{∂Ω} eine uniforme Algebra und f|_{∂Ω} eine separierende sphärische Multifunktion für A.

Abschließend sei noch kurz bemerkt, dass, wie in der Einleitung schon erwähnt wurde, die exakten Sequenzen aus den Sätzen 3.12 und 3.17 für die Beispiele aus Bemerkung 3.20 zumindest für spezielle Maße m ∈ M(K)_{1}^{+} bereits in der Literatur behandelt wurden (siehe zum Beispiel [17] und [5]).

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