Wesentlich normale Hilbertmoduln über Gebieten in ℂ^{d}

Diplomarbeit zur Erlangung des Grades eines

Diplom-Mathematikers

der Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät I der Universität des Saarlandes

von

Michael Wernet

Saarbrücken Juli 2008

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 5

1 Grundlagen 9 1.1 Grundlagen funktionaler Hilberträume . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Der funktionale Hilbertraum H_{d}^{f} . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Eigenschaften von M_{z} 21 2.1 Wesentliche Normalität von H_{d}^{f} . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Mehrdimensionale Spektralbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Spektrum und wesentliches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . 34

3 p-wesentliche Normalität 41 3.1 p-Schattenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 p-wesentliche Normalität von H_{d}^{f} . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Der Hilbertmodul H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Untermoduln von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Das Quotiententupel M_{z}/M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6 Kodimensionalität homogener Untermoduln . . . . . . . . . . 63

4 Spektrum und wesentliches Spektrum von M_{z}|_{M} und M_{z}/M 69 4.1 Allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Spektrum und wesentliches Spektrum von M_{z}|_{M} und M_{z}/M . 73

Literaturverzeichnis 79

Einleitung

In seiner Arbeit [Avr98] hat William Arveson den nach ihm benannten Arveson-Raum H_{A} untersucht. Dieser funktionale Hilbertraum über B_{1}(0) ⊂ ℂ^{d} hat den reproduzierenden Kern

K_{A}(z, w) = \frac{1}{1 − ⟨z, w⟩} = ∑_{n=0}^{∞}⟨z, w⟩^{n}.

Da die Koordinatenfunktionen z_{1}, …, z_{d} Multiplikatoren für H_{A} sind, kann man H_{A} sehr einfach zu einem ℂ[z_{1}, …, z_{d}]- oder kurz ℂ[z]-Modul machen, indem man die Multiplikation mit Polynomen p ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{d}] definiert als

p · h = p(M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}})h h ∈ H_{A},

wobei die M_{z_{i}} die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen z_{i} sind. Aufgrund dieser Struktur wird H_{A} auch als Hilbertmodul bezeichnet. Wie man leicht nachprüft, ist nach dieser Definition ein abgeschlossener Teilraum M ⊂ H_{A} genau dann ein Untermodul von H_{A}, wenn M ∈ Lat(M_{z}) ist, also M ein unter M_{z} invarianter abgeschlossener Teilraum von H_{A} ist, wobei M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}). Arveson konnte zeigen, dass H_{A} wesentlich normal ist, d.h. dass die Kommutatoren

[M_{z_{i}}, M_{z_{j}}^{∗}] ∈ K(H_{A}) i, j = 1, …, d,

kompakt sind und dass H_{A} sogar schon p-wesentlich normal ist für jedes p > d, d.h. dass

[M_{z_{i}}, M_{z_{j}}^{∗}] ∈ L^{p}(H_{A}) i, j = 1, …, d,

für jedes p > d. Dabei bezeichnet man den Raum der Operatoren T ∈ L(H_{A}), für die tr|T |^{p} < ∞ ist, als die p-Schattenklasse L^{p}(H_{A}). Mit der oben definierten Modul-Struktur kommt nun natürlich die Frage auf, ob sich die wesentliche Normalität oder sogar die p-wesentliche Normalität auf die Untermoduln von H_{A} überträgt. Diese Fragestellung lässt sich natürlich auch auf andere funktionale Hilberträume mit dieser Modul-Struktur verallgemeinern [Avr02]. Im allgemeinen Fall ist die Antwort jedoch negativ, denn für nicht graduierte Untermoduln gibt es in [GRS] schon Gegenbeispiele für die wesentliche Normalität. Allerdings konnte Arveson in [Arv05] zeigen, dass alle Untermoduln von H_{A}, die von einer beliebigen Familie von Monomen erzeugt werden, p-wesentlich normal sind für p > d. Dieses Resultat konnte Douglas in [Dou06a] sogar für allgemeinere, vertauschende, gewichtete Shifts beweisen. Das führte Arveson zu der Vermutung, dass zumindest alle homogenen Untermoduln von H_{A} wieder p-wesentlich normal sind für p > d, also

alle Untermoduln M der Form M = ⋁_{n=0}^{∞} M ∩ ℍ_{n}, wobei ℍ_{n} den Raum der

homogenen komplexen Polynome vom Grad n in z_{1}, …, z_{d} bezeichnet. Douglas hat diese Vermutung von Arveson für Quotientenmoduln noch verfeinert. Er vermutet, dass für homogene Ideale I in ℂ[z_{1}, …, z_{d}] und Untermoduln der Form M = [I] der Quotientenmodul H_{A}/M sogar p-wesentlich normal ist für p > dim Z(I), wobei Z(I) die Nullstellenmenge von I ist [Dou06b]. Für p-wesentlich normale Hilbertmoduln H konnte Arveson allerdings zeigen, dass die p-wesentliche Normalität eines Untermoduls M äquivalent zur p-wesentlichen Normalität des Quotientenmoduls H/M ist [Arv07].

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit funktionalen Hilberträumen H_{d}^{f} über einem Gebiet Ω in ℂ^{d}, deren reproduzierender Kern

K_{f}(z, w) = f(⟨z, w⟩)

durch eine eindimensionale konvergente Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} mit po-

sitiven Koeffizienten a_{n} > 0 gegeben ist. Deren Hilbertraum-Tensorprodukte H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} mit ℂ^{r} kann man unter geeigneten Bedingungen an die Koeffizienten a_{n} wie den Arveson-Raum zu einem ℂ[z]-Modul machen. Wir werden diese Räume zunächst in Abhängigkeit der Koeffizienten der Potenzreihe f bezüglich ihrer wesentlichen und p-wesentlichen Normalität charakterisieren und anschließend für diejenigen Räume H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}, die p-wesentlich normal sind für p > d, Arvesons Vermutung untersuchen. Außerdem werden wir im wesentlich normalen Fall die Spektren und wesentlichen Spektren von M_{z} auf H_{d}^{f} (Theorem 2.22) sowie von M_{z}|_{M} und M_{z}/M (Theorem 4.6) für wesentlich normale Untermoduln der Form M = [I] ⊂ H_{d}^{f} berechnen. Dabei bezeichne [I] den Abschluss eines homogenen Ideals in H_{d}^{f}. Als Grundlage für unsere Betrachtungen dient eine Arbeit von Guo und Wang [GW06]. Im Fall d = 2 können wir die Vermutung für diese Hilbertmoduln beweisen (Theorem 3.22). Für den Fall d > 2 können wir zumindest eine zusätzliche Bedingung angeben, unter der die Vermutung richtig ist (Theorem 3.25). Guo und Wang haben mittlerweile eine weitere Arbeit veröffentlicht [GW08], in der sie beweisen, dass Arvesons Vermutung für den Arveson-Raum H_{A} sogar im Fall d = 3 ohne zusätzliche Bedingungen richtig ist. Leider konnten die Ergebnisse dieser neuen Arbeit von uns nicht mehr berücksichtigt werden.

Im ersten Kapitel beginnen wir zunächst mit einer allgemeinen Einführung von funktionalen Hilberträumen und deren Eigenschaften. Wir werden sehen, dass es eine eindeutige Korrespondenz zwischen funktionalen Hilberträumen und ihren zugehörigen reproduzierenden Kernen gibt. Bereits hier erkennt man, dass Eigenschaften der Räume stark mit den Eigenschaften der reproduzierenden Kerne zusammenhängen. Im Folgenden beschränken wir uns dann auf diejenigen Räume H_{d}^{f}, deren Kern von der Form

K_{f}(z, w) = f(⟨z, w⟩)

ist mit einer eindimensionalen konvergenten Potenzreihe f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}. Für

diese können wir eine Orthonormalbasis aus Monomen angeben.

Im zweiten Kapitel untersuchen wir die Multiplikationsoperatoren M_{z_{i}} mit den Koordinatenfunktionen z_{1}, …, z_{d}. Hier können wir Zusammenhänge zwischen den Koeffizienten a_{n} der Potenzreihe f und Eigenschaften von M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}), wie Beschränktheit und wesentliche Normalität, angeben. Für wesentlich normale Tupel M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}) erhalten wir schließlich für das Spektrum und das wesentliche Spektrum (Definitionen siehe Kapitel 2) von M_{z}

σ(M_{z}) = {z ∈ ℂ^{d}; |z| ≤ t},
σ_{e}(M_{z}) = {z ∈ ℂ^{d}; s ≤ |z| ≤ t},

wobei s^{2} = lim inf_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} und t^{2} = lim sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ist. Spektrum und wesentliches

Spektrum von M_{z} hängen also ausschließlich von den Eigenschaften der Koeffizienten der Potenzreihe f ab.

Im dritten Kapitel verfeinern wir den Begriff der Kompaktheit durch die Einführung der p-Schattenklassen und definieren damit die p-wesentliche Normalität von Operatortupeln T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} auf einem Hilbertraum H. Betrachtet man eine sogenannte stark reguläre Potenzreihe f (Definition siehe Kapitel 3), so lässt sich zeigen, dass dann das Tupel M_{z} ∈ L(H_{d}^{f})^{d}, und damit auch der Raum H_{d}^{f}, p-wesentlich normal ist für p > d (Korollar 3.10). Aufgrund der unitären Äquivalenz von M_{z_{i}} ⊗ 1_{ℂ^{r}} zu ⨁_{j=1}^{r} M_{z_{i}} übertragen sich wesentliche und p-wesentliche Normalität von

H_{d}^{f} auf H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}. Danach gehen wir zu homogenen invarianten Teilräumen M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}) über und beschreiben die Eigenschaften der Einschränkungen von M_{z}|_{M} auf M und der Quotiententupel M_{z}/M. Hierbei wird sich herausstellen, dass sich für p > d die p-wesentliche Normalität unter der zusätzlichen Voraussetzung

dim_{ℂ} Z(Ann (H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M)) ≤ 1

(Definitionen siehe Kapitel 3) auf die Einschränkungen M_{z}|_{M} überträgt. In diesem Zusammenhang beweisen wir auch, dass Arvesons Vermutung richtig ist im Fall d = 2 (Theorem 3.22). Im Fall der Quotiententupel M_{z}/M lassen sich die gefundenen Resultate sogar noch verbessern. Diese sind unter derselben Voraussetzung sogar p-wesentlich normal für p > 1 (Theorem 3.29). Zum Abschluss des Kapitels geben wir noch eine Bedingung an, unter der invariante Teilräume M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f}) endlich kodimensional sind.

Das letzte Kapitel beschäftigt sich schließlich damit, die Spektren und wesentlichen Spektren der Einschränkungen M_{z}|_{M} und Quotiententupel M_{z}/M für homogene Untermoduln der Form M = [I] zu berechnen. Ist dieser Untermodul wesentlich normal, so lassen sich die Spektren komplett durch die Nullstellenmenge von I und die Koeffizienten der Potenzreihe f angeben. Im nicht wesentlich normalen Fall können wir die Spektren nur noch teilweise beschreiben.

Mein Dank gilt Herrn Prof. Dr. J. Eschmeier für das interessante Thema und die geduldige Betreuung. Weiterhin bedanke ich mich bei Herrn Dr. Christoph Barbian, Herrn Dipl. Math. Dominik Faas und Herrn Kevin Everard für die vielen fachlichen Diskussionen. Schließlich danke ich meinen Eltern und meiner Freundin Katharina Bell, ohne deren moralische Unterstützung mein Studium nicht möglich gewesen wäre.

Kapitel 1

Grundlagen

1.1 Grundlagen funktionaler Hilberträume

In diesem Kapitel werden funktionale Hilberträume eingeführt und bereits einige wichtige Eigenschaften für den weiteren Verlauf bereitgestellt.

Definition 1.1. Sei Ω ⊂ ℂ^{d} offen. Ein funktionaler Hilbertraum über Ω ist ein Hilbertraum H ⊂ {f; f : Ω → ℂ} mit der Eigenschaft, dass für alle λ ∈ Ω die Punktauswertungen

δ_{λ} : H → ℂ, f ↦ f(λ)

stetig sind.

Da der topologische Dualraum eines Hilbertraums H kanonisch isomorph zu H ist, wirkt die Punktauswertung δ_{λ} in einem funktionalen Hilbertraum H wie das Skalarprodukt mit einem geeigneten Vektor aus H.

Satz 1.2. Sei H ein funktionaler Hilbertraum. Dann existiert eine eindeutige Abbildung K : Ω × Ω → ℂ so, dass für alle f ∈ H, λ ∈ Ω gilt:

(i) K(·, λ) ∈ H
(ii) f(λ) = ⟨f, K(·, λ)⟩_{H}.

In diesem Fall ist die Menge {K(·, λ); λ ∈ Ω} total in H.

Beweis. Für λ ∈ Ω folgt die Existenz eines Elementes K(·, λ) ∈ H mit

f(λ) = ⟨f, K(·, λ)⟩_{H} (f ∈ H)

direkt aus dem Satz von Riesz-Fréchet. Die Eindeutigkeit folgt aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts. Denn sind K(·, λ), K̃(·, λ) zwei solche Elemente, dann gilt

0 = f(λ) − f(λ) = ⟨f, K(·, λ) − K̃(·, λ)⟩_{H}

für alle f ∈ H, λ ∈ Ω, also insbesondere für f = K(·, λ)−K̃(·, λ). Offensichtlich definiert dann

K : Ω × Ω → ℂ, (μ, λ) ↦ K(·, λ)(μ)

die eindeutige Abbildung, die die Bedingungen (i) und (ii) erfüllt. Dass die Menge der K(·, λ) total ist in H, ist klar.

Die Abbildung K : Ω × Ω → ℂ heißt der reproduzierende Kern von H. Wir wollen nun den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften eines funktionalen Hilbertraums und denen des zugehörigen reproduzierenden Kerns untersuchen.

Definition 1.3. Eine Abbildung K : Ω × Ω → ℂ heißt positiv definit, falls für alle endlichen Folgen (λ_{i})_{i=1}^{r} in Ω und (x_{i})_{i=1}^{r} in ℂ

∑_{i,j} K(λ_{j}, λ_{i})x_{i}\overline{x_{j}} ≥ 0

gilt.

Man sieht leicht, dass jeder reproduzierende Kern zu einem funktionalen Hilbertraum positiv definit ist.

Lemma 1.4. Sei H ein funktionaler Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K. Dann ist K positiv definit.

Beweis. Seien (λ_{i})_{i=1}^{r}, (x_{i})_{i=1}^{r} endliche Folgen in Ω bzw. ℂ. Dann gilt:

∑_{i,j} K(λ_{j}, λ_{i})x_{i}\overline{x_{j}} = ∑_{i,j}⟨K(·, λ_{i}), K(·, λ_{j})⟩x_{i}\overline{x_{j}}

= ⟨∑_{i=1}^{r} K(·, λ_{i})x_{i}, ∑_{j=1}^{r} K(·, λ_{j})x_{j}⟩

= ∥ ∑_{i=1}^{r} K(·, λ_{i})x_{i}∥^{2} ≥ 0

Umgekehrt ist jede positiv definite Abbildung K : Ω × Ω → ℂ reproduzierender Kern eines geeigneten funktionalen Hilbertraums über Ω. Dieser ist durch K sogar eindeutig bestimmt.

Satz 1.5. Sei K : Ω × Ω → ℂ positiv definit. Dann gibt es genau einen funktionalen Hilbertraum H = H(K) über Ω mit reproduzierendem Kern K.

Beweis. Siehe [Barbian, Satz 1.6] mit X = Ω, E = ℂ.

Kennt man eine Orthonormalbasis des funktionalen Hilbertraums H(K), so lässt sich der reproduzierende Kern sehr einfach bestimmen.

Bemerkung 1.6. Ist I eine beliebige Indexmenge und (e_{i})_{i∈I} eine Orthonormalbasis in einem funktionalen Hilbertraum H(K) mit reproduzierendem Kern K : Ω × Ω → ℂ, so gilt für jedes w ∈ Ω

K(·, w) = ∑_{i∈I}⟨K(·, w), e_{i}⟩e_{i} = ∑_{i∈I} \overline{e_{i}(w)}e_{i},

wobei die Summe in H(K) gegen K(·, w) konvergiert, also insbesondere auch punktweise auf Ω.

Mit Hilfe des reproduzierenden Kerns K kann man auch leicht überprüfen, ob eine Abbildung h : Ω → ℂ im funktionalen Hilbertraum H(K) über Ω enthalten ist.

Satz 1.7. Sei H ein funktionaler Hilbertraum über Ω mit reproduzierendem Kern K und sei h : Ω → ℂ eine Abbildung. Dann sind äquivalent:

(i) h ∈ H (ii) Es existiert ein c ≥ 0 so, dass die Abbildung

γ_{c} : Ω × Ω → ℂ, (z, w) ↦ c^{2}K(z, w) − h(z)\overline{h(w)}

positiv definit ist. In diesem Fall ist ∥h∥ = min{c ≥ 0; γ_{c} positiv definit}.

Beweis. Siehe [Barbian, Satz 1.9 b)] mit X = Ω, E = ℂ.

Zur weiteren Verwendung notieren wir noch den folgenden Satz von Schur.

Satz 1.8. Sind K_{1}, K_{2} : Ω × Ω → ℂ positiv definit, so ist auch die Abbildung K_{1} · K_{2} : Ω × Ω → ℂ positiv definit.

Beweis. Siehe [Barbian, Satz 1.15].

Definition 1.9. (i) Seien r > 0, B_{r}(0) = {z ∈ ℂ^{d}; |z| < r} die offene r-Kugel um 0 und U = {U ∈ End(ℂ^{d}); U unitär}. Eine Abbildung

K : B_{r}(0) × B_{r}(0) → ℂ

heißt U-invariant, falls für alle z, w ∈ B_{r}(0), U ∈ U gilt:

K(z, w) = K(Uz, Uw).

(ii) Sei Ω ⊂ ℂ^{d} offen und Ω̃ := \{\overline{z}; z ∈ Ω\}. Eine Abbildung K : Ω × Ω → ℂ heißt sesquianalytisch, wenn die Abbildung

C : Ω × Ω̃ → ℂ, C(z, w) := K(z, \overline{w})

analytisch ist.

Mit Hilfe dieser Definition lassen sich funktionale Hilberträume analytischer Funktionen wie folgt charakterisieren.

Lemma 1.10. Sei H ein funktionaler Hilbertraum über Ω mit reproduzierendem Kern K. Dann sind äquivalent:

(i) H ⊂ O(Ω), (ii) K ist sesquianalytisch.

Beweis. Siehe [Barbian, Lemma 1.3 e)].

1.2 Der funktionale Hilbertraum H_{d}^{f}

Bevor wir die uns im Folgenden interessierende Klasse von funktionalen Hilberträumen definieren, erinnern wir noch an die übliche Multiindexnotation.

Bemerkung 1.11. Seien α = (α_{1}, …, α_{d}) ∈ ℕ^{d} ein Multiindex und z ∈ ℂ^{d}. Dann definieren wir |α| = α_{1} + ⋯ + α_{d}, α! = α_{1}! ⋯ α_{d}! und ∂^{α} = \frac{∂^{|α|}}{∂z_{1}^{α_{1}}···∂z_{d}^{α_{d}}},

\overline{∂}^{α} = \frac{∂^{|α|}}{∂\overline{z}_{1}^{α_{1}}···∂\overline{z}_{d}^{α_{d}}}, z^{α} = z_{1}^{α_{1}} ⋯ z_{d}^{α_{d}}.

Satz 1.12. Sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} ein Potenzreihe in einer komplexen Variablen

mit Konvergenzradius R = r^{2} > 0 und a_{n} ≥ 0 für alle n ∈ ℕ. Dann ist die Abbildung

K_{f} : B_{r}(0) × B_{r}(0) → ℂ, K_{f}(z, w) = f(⟨z, w⟩) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}⟨z, w⟩^{n}

positiv definit, U-invariant und sesquianalytisch.

1.2 Der funktionale Hilbertraum H_{d}^{f} 13

Beweis. Die Abbildung ⟨·, ·⟩ : B_{r}(0) × B_{r}(0) → ℂ, (z, w) ↦ ⟨z, w⟩ ist positiv definit. Nach Satz 1.8 sind dann auch die Abbildungen ⟨·, ·⟩^{n} positiv definit

für alle n ∈ ℕ. Da alle a_{n} ≥ 0 sind, ist auch K_{f} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}⟨·, ·⟩^{n} positiv definit.

Seien U ∈ U, z, w ∈ B_{r}(0). Dann gilt:

K_{f}(Uz, Uw) = f(⟨Uz, Uw⟩) = f(⟨z, w⟩) = K_{f}(z, w).

Also ist K_{f} U-invariant. Um zu begründen, dass K_{f} auch sesquianalytisch ist, beachte, dass gilt:

K_{f}(z, w) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}⟨z, w⟩^{n} = ∑_{α∈ℕ^{d}} a_{|α|} \frac{|α|!}{α!}z^{α}\overline{w}^{α}.

Nach Satz 1.5 existiert für jede solche Potenzreihe ein eindeutiger funktionaler Hilbertraum mit K_{f} als reproduzierendem Kern. Der weitere Verlauf dieser Arbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Charakterisierung dieser Räume, durch die Eigenschaften der zu Grunde liegenden Potenzreihen.

Definition 1.13. Sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} eine Potenzreihe in einer komplexen

Variablen mit Konvergenzradius R = r^{2} > 0 und a_{0} = 1, a_{n} > 0 für alle n ≥ 1 und K_{f} : B_{r}(0) × B_{r}(0) → ℂ, K_{f}(z, w) = f(⟨z, w⟩). Dann bezeichne H_{d}^{f}= H(K_{f}) den zugehörigen funktionalen Hilbertraum über B_{r}(0).

Im Folgenden seien die Bezeichnungen immer wie in Definition 1.13 gewählt. Das folgende Lemma beschreibt wichtige Eigenschaften von ℍ_{n}, dem Raum der homogenen komplexen Polynome vom Grad n in den komplexen Variablen z_{1}, …, z_{d}.

Lemma 1.14. Seien R > 0, f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} wie in Definition 1.13 und

K_{n} : B\sqrt{R}(0) × B\sqrt{R}(0) → ℂ, (z, w) ↦ ⟨z, w⟩^{n}.

Dann gilt:

(i) dim ℍ_{n} = \frac{(n + d − 1)!}{(d − 1)!n!},
(ii) H(K_{n}) = ℍ_{n}|_{B\sqrt{R}(0)} als Vektorräume,
(iii) ℍ_{n}|_{B\sqrt{R}(0)} ⊂ H_{d}^{f}.

Beweis. (i) Sei α = (α_{1}, …, α_{d}) ∈ ℕ^{d} mit |α| = n. Das Verteilen von n auf die d Komponenten von α entspricht einer Ziehung von n Kugeln mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Menge von d Kugeln. Dafür gibt es \frac{(n+d−1)!}{(d−1)!n!} Möglichkeiten. Also gibt es in ℍ_{n} auch \frac{(n+d−1)!}{(d−1)!n!}

verschiedene Monome und damit ist dim ℍ_{n} = \frac{(n+d−1)!}{(d−1)!n!}. (ii) Sei r = \sqrt{R}. Dann ist der Raum ℍ_{n}|_{B_{r}(0)} versehen mit dem Skalarprodukt

⟨ ∑_{|α|=n} a_{α}z^{α}, ∑_{|α|=n} b_{α}z^{α}⟩ = ∑_{|α|=n} a_{α}\overline{b_{α}} \frac{1}{γ_{α}} (γ_{α} = \frac{|α|!}{α!})

ein funktionaler Hilbertraum über B_{r}(0) mit Orthonormalbasis (\sqrt{γ_{α}}z^{α})_{|α|=n}. Also ist der reproduzierende Kern nach Bemerkung 1.6 gegeben durch

K(z, w) = K(·, w)(z) = ∑_{|α|=n} \overline{\sqrt{γ_{α}}w^{α}}(\sqrt{γ_{α}}z^{α}) = ⟨z, w⟩^{n} = K_{n}(z, w)

für z, w ∈ B_{r}(0). Damit sind H(K_{n}) und ℍ_{n}|_{B_{r}(0)} als funktionale Hilberträume gleich, insbesondere als Vektorräume. (iii) Nach (ii) genügt es zu zeigen, dass H(K_{n}) ⊂H_{d}^{f}= H(K_{f}) ist. Hierzu beachte man, dass nach dem Beweis von Satz 1.12 die Abbildung

K_{f} − a_{n}K_{n} : B\sqrt{R}(0) × B\sqrt{R}(0) → ℂ

positiv definit ist. Sei h ∈ H(K_{n}) mit ∥h∥ ≤ 1. Dann ist nach Satz 1.7 die Abbildung B\sqrt{R}(0) × B\sqrt{R}(0) → ℂ, (z, w) ↦ K_{n}(z, w) − h(z)\overline{h(w)} positiv definit. Dann ist aber auch

\frac{1}{a_{n}} K_{f}(z, w) − h(z)\overline{h(w)} = \frac{1}{a_{n}} K_{f}(z, w) − K_{n}(z, w) + K_{n}(z, w) − h(z)\overline{h(w)}

= \frac{1}{a_{n}} (K_{f}(z, w) − a_{n}K_{n}(z, w)) + (K_{n}(z, w) − h(z)\overline{h(w)})

wegen \frac{1}{a_{n}} > 0 als Summe zweier positiv definiter Abbildungen wieder positiv definit. Erneut unter Verwendung von Satz 1.7 folgt daraus h ∈H_{d}^{f}.

Das vorangegangene Lemma sagt im Wesentlichen aus, dass alle Polynome in den d komplexen Variablen z_{1}, …, z_{d} in H_{d}^{f} enthalten sind. Bei genauerer Betrachtung kann man sogar eine Orthonormalbasis von H_{d}^{f} aus Polynomen angeben.

Satz 1.15. Der funktionale Hilbertraum H_{d}^{f} über B\sqrt{R}(0) hat die Orthonormalbasis

([a_{|α|} \frac{|α|!}{α!}]^{1/2}z^{α})_{α∈ℕ^{d}}.

Beweis. Definiere γ_{α} = a_{|α|} \frac{|α|!}{α!} für α ∈ ℕ^{d} und γ = (γ_{α})_{α∈ℕ^{d}}. Dann definiert

∥(c_{α})∥ = ( ∑_{α∈ℕ^{d}} \frac{|c_{α}|^{2}}{γ_{α}})^{\frac{1}{2}}

eine Norm auf

l^{2}(γ) = {c = (c_{α})_{α∈ℕ^{d}}; c_{α} ∈ ℂ für alle α ∈ ℕ^{d} und ∥c∥ < ∞}.

Die Norm ist vollständig und wird induziert durch das Skalarprodukt

⟨(c_{α}), (λ_{α})⟩ = ∑_{α∈ℕ^{d}} \frac{c_{α}\overline{λ_{α}}}{γ_{α}} .

Da für alle (c_{α}) ∈ l^{2}(γ) und z ∈ B\sqrt{R}(0) gilt

∑_{α∈ℕ^{d}} |c_{α}z^{α}| = ∑_{α∈ℕ^{d}} \frac{|c_{α}|}{\sqrt{γ_{α}}} \sqrt{γ_{α}}|z^{α}| ≤ ∥(c_{α})∥( ∑_{α∈ℕ^{d}} γ_{α}|z^{α}|^{2})^{\frac{1}{2}}
= ∥(c_{α})∥f(|z|^{2})^{\frac{1}{2}}

(denn f(⟨z, w⟩) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} ∑_{|α|=n} \frac{|α|!}{α!}z^{α}\overline{w}^{α} = ∑_{α∈ℕ^{d}} γ_{α}z^{α}\overline{w}^{α} für alle z, w ∈ B\sqrt{R}(0)),

ist die Abbildung

ρ : l^{2}(γ) → O(B\sqrt{R}(0)), ρ((c_{α})) = ∑_{α∈ℕ^{d}} c_{α}z^{α}

wohldefiniert. Da ρ injektiv und linear ist, wird Im ρ versehen mit dem Skalarprodukt

⟨ρ((c_{α})), ρ((λ_{α}))⟩ = ⟨(c_{α}), (λ_{α})⟩ = ∑_{α∈ℕ^{d}} \frac{c_{α}\overline{λ_{α}}}{γ_{α}}

zu einem Hilbertraum, der vermöge ρ isometrisch isomorph zu l^{2}(γ) ist. Nach Konstruktion sind die Punktauswertungen stetig auf Im ρ und die Monome \sqrt{γ_{α}}z^{α}(α ∈ ℕ^{d}) bilden eine Orthonormalbasis von Im ρ. Also ist Im ρ der funktionale Hilbertraum mit reproduzierendem Kern (siehe Bemerkung 1.6)

K(z, λ) = ∑_{α∈ℕ^{d}}(γ_{α}\overline{λ}^{α})z^{α} (z, λ ∈ B\sqrt{R}(0)).

Insbesondere ist damit gezeigt, dass H_{d}^{f} die angegebene Orthonormalbasis besitzt.

Zum Abschluss dieses Abschnitts folgt noch ein wichtiges Lemma, das später den Umgang mit dem funktionalen Hilbertraum H_{d}^{f} etwas erleichtern wird.

Lemma 1.16. Sei u ∈ M(n, ℂ) unitär. Dann ist die Abbildung

Γ_{u} : H_{d}^{f} → H_{d}^{f}, (Γ_{u}h)(z) = h(u^{−1}z)

wohldefiniert, unitär und es gilt Γ_{u}^{−1} = Γ_{u^{−1}}.

Beweis. Sei u ∈ M(n, ℂ) unitär und h ∈ ball(H_{d}^{f}). Dann ist nach Satz 1.7 die Abbildung

K_{h} : B\sqrt{R}(0) × B\sqrt{R}(0) → ℂ, (λ, μ) ↦ K_{f}(λ, μ) − h(λ)\overline{h(μ)}

positiv definit. Da u ∈ M(n, ℂ) unitär ist, ist dann auch die Abbildung

B\sqrt{R}(0) × B\sqrt{R}(0) → ℂ, (λ, μ) ↦ K_{f}(u^{−1}λ, u^{−1}μ) − h(u^{−1}λ)\overline{h(u^{−1}μ)}

positiv definit. Aufgrund der U-Invarianz von K_{f} folgt wieder mit Satz 1.7, dass die Funktion

Γ_{u}h : B\sqrt{R}(0) → ℂ, λ ↦ (Γ_{u}h)(λ) = h(u^{−1}λ)

in ball(H_{d}^{f}) liegt. Also ist die Abbildung

Γ_{u} : H_{d}^{f} → H_{d}^{f}, h ↦ Γ_{u}h

wohldefiniert und stetig linear mit ∥Γ_{u}∥ ≤ 1. Weiter ist offensichtlich Γ_{u^{−1}} = Γ_{u}^{−1}, denn für alle h ∈ H_{d}^{f} und λ ∈ B\sqrt{R}(0) gilt:

(Γ_{u}Γ_{u^{−1}}h)(λ) = (Γ_{u^{−1}}h)(u^{−1}λ) = h(λ) = (Γ_{u}h)(uλ) = (Γ_{u^{−1}}Γ_{u}h)(λ).

Wegen ∥Γ_{u}∥ ≤ 1 und ∥Γ_{u}^{−1}∥ = ∥Γ_{u^{−1}}∥ ≤ 1 folgt, dass Γ_{u} isometrisch und bijektiv, also unitär ist.

1.3 Allgemeine Grundlagen

In diesem zweiten Abschnitt werden noch weitere grundlegende Resultate zusammengestellt, die in dieser Arbeit häufig verwendet werden. Das erste Lemma ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Charakterisierung kompakter Operatoren.

1.3 Allgemeine Grundlagen 17

Lemma 1.17. Seien H ein Hilbertraum, P_{n} ∈ L(H)\{0} (n ∈ ℕ) Orthogonalprojektionen mit paarweise orthogonalem Bild und (c_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in ℂ.

(i) Es sind äquivalent:

1. ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} konvergiert in τ_{SOT},

2. s = sup_{n∈ℕ}|c_{n}| < ∞.

In diesem Fall gilt ∥ ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}∥ = s. (ii) Ist ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} eine τ_{SOT} -konvergente Reihe und sind die Orthogonalprojektionen P_{n} endlich dimensional, dann sind äquivalent:

1. ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} ist kompakt,

2. lim_{n→∞} c_{n} = 0.

Beweis. (i) Seien x ∈ H und N ∈ ℕ. Dann gilt

∥ ∑_{n=0}^{N} c_{n}P_{n}x∥^{2} = ∑_{n=0}^{N} |c_{n}|^{2}∥P_{n}x∥^{2} ≤ ( sup_{n=0,...,N} |c_{n}|)^{2} ∑_{n=0}^{N} ∥P_{n}x∥^{2}
≤ s^{2}∥(∑_{n=0}^{N} P_{n})x∥^{2} ≤ s^{2}∥x∥^{2}.

Dabei wurde benutzt, dass ∑_{n=0}^{N} P_{n} wieder eine Orthogonalprojektion ist. Also konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} in der starken Operatortopologie und erfüllt ∥ ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}∥ ≤ s, falls s endlich ist. Konvergiert andererseits die Reihe ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} punktweise, so gilt für x ∈ P_{n_{0}}H mit ∥x∥ = 1

|c_{n_{0}}|^{2} = ∥ ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}x∥^{2} ≤ ∥ ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}∥^{2}.

Also ist s ≤ ∥ ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}∥.

(ii) Sei N ∈ ℕ. Dann gilt nach (i):

∥ ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} − ∑_{n=0}^{N} c_{n}P_{n}∥ = ∥ ∑_{n=N+1}^{∞} c_{n}P_{n}∥ = sup_{n≥N+1} |c_{n}|

Also ist ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} ∥·∥-konvergent genau dann, wenn lim_{n→∞} c_{n} = 0. In diesem Fall

ist ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} kompakt als ∥·∥-Limes einer Folge stetiger Operatoren endlichen

Ranges.

Sei umgekehrt K = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} kompakt. Da eine punktweise konvergente Folge

stetiger Operatoren auf H gleichmäßig auf allen kompakten Teilmengen von H

konvergiert und da KB_{1}(0) ⊂ H relativ kompakt ist, konvergiert ∑_{n=0}^{N} c_{n}^{2}P_{n} =

( ∑_{n=0}^{N} c_{n}P_{n})K in der Operatornorm gegen K^{2}. Also ist (c_{n}^{2})_{n∈ℕ}, und damit auch

(c_{n})_{n∈ℕ}, eine Nullfolge in ℂ.

Lemma 1.18. Sei H ein Hilbertraum und seien T_{1}, …, T_{d} stetige Operatoren auf H. Dann gilt:

(⋂_{i=1}^{d} Ker T_{i}^{∗})^{⊥} = \overline{∑_{i=1}^{d} Im T_{i}}

Beweis. Dies folgt aus (∑_{i=1}^{d} Im T_{i})^{⊥} = ⋂_{i=1}^{d}(Im T_{i})^{⊥} = ⋂_{i=1}^{d} Ker T_{i}^{∗}.

Der nächste Satz gibt eine hinreichende Bedingung für die Abgeschlossenheit der Bilder von stetigen Operatoren auf einem Banachraum.

Satz 1.19. Sei X ein Banachraum und S ∈ L(X) so, dass ein endlich kodimensionaler abgeschlossener Teilraum X_{1} ⊂ X existiert, auf dem S nach unten beschränkt ist. Dann ist Im S ⊂ X abgeschlossen.

Beweis. Ist S auf X_{1} nach unten beschränkt, so ist SX_{1} ⊂ X abgeschlossen. Da die Abbildung

X/X_{1} → SX/SX_{1}, x + X_{1} ↦ Sx + SX_{1}

surjektiv und X/X_{1} endlich dimensional nach Voraussetzung ist, ist SX/SX_{1} endlich dimensionaler Teilraum von X/SX_{1} und damit abgeschlossen. Bezeichnet q : X → X/SX_{1} die Quotientenabbildung, dann ist auch SX = q^{−1}(SX/SX_{1}) als stetiges Urbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen.

Die beiden folgenden Ergebnisse dienen der Berechnung des wesentlichen Spektrums eines Operators auf einem Banachraum bzw. eines normalen Operators auf einem Hilbertraum.

Satz 1.20. Sei X ein Banachraum und S ∈ L(X). Dann gehört jeder Punkt λ ∈ ∂σ(S), der kein isolierter Punkt von σ(S) ist, zum wesentlichen Spektrum σ_{e}(S) von S.

Beweis. Siehe [Conway, Theorem 5.3] unter Benutzung von [Conway, Proposition 2.2 a)].

Satz 1.21. Sei H ein Hilbertraum und N ∈ L(H) ein normaler Operator. Dann besteht σ(N)\σ_{e}(N) nur aus isolierten Punkten λ mit

dim Ker (λ − N) < ∞.

Beweis. Siehe [Conway, Proposition 2.9].

Zum Abschluss des Kapitels der Grundlagen notieren wir noch zwei elementare Lemmata.

Lemma 1.22. Sei (p_{n})_{n∈ℕ} eine Folge reeller Zahlen, die den folgenden Bedingungen genügen:

1. sup_{n∈ℕ}p_{n} < ∞
2. lim_{n→∞}[p_{n+1} − p_{n}] = 0.

Dann gilt

\overline{\{p_{0}, p_{1}, …\}} ⊃ [a, b],

wobei a = lim inf_{n→∞} p_{n} und b = lim sup_{n→∞} p_{n}.

Beweis. Für a = b ist die Behauptung klar. Sei a < b und r ∈ (a, b). Es genügt zu zeigen, dass r ∈ \overline{\{p_{0}, p_{1}, …\}}. Setze p_{−1} = 0 und t_{n} = p_{n} − p_{n−1}

für alle n ∈ ℕ. Dann ist p_{n} = ∑_{i=0}^{n} t_{i} und t_{n} →^{n} 0. Wähle streng monoton

wachsende Folgen {n_{k}^{(1)}}_{k∈ℕ} und {n_{k}^{(2)}}_{k∈ℕ} in ℕ mit

p_{n_{k}^{(1)}} ⟶^{k} a
p_{n_{k}^{(2)}} ⟶^{k} b

Dann gibt es ein K ∈ ℕ so, dass für alle k ≥ K gilt

∑_{i=0}^{n_{k}^{(1)}} t_{i} = p_{n_{k}^{(1)}} < r < p_{n_{k}^{(2)}} = ∑_{i=0}^{n_{k}^{(2)}} t_{i}.

20 1. Grundlagen Für jedes k ≥ K existiert also eine natürliche Zahl m_{k} mit

∑_{i=0}^{n_{k}^{(1)}+m_{k}} t_{i} < r , aber ∑_{i=0}^{n_{k}^{(1)}+m_{k}+1} t_{i} ≥ r.

Definiert man n_{k}^{(3)} = n_{k}^{(1)} + m_{k} für k ∈ ℕ, so erhält man daraus

0 < r − p_{n_{k}^{(3)}} = r − ∑_{i=0}^{n_{k}^{(3)}} t_{i} ≤ t_{n_{k}^{(3)}+1} ⟶^{k→∞} 0.

Also ist r Grenzwert von \{p_{n_{k}^{(3)}}\}_{k∈ℕ} und damit r ∈ \overline{\{p_{1}, p_{2}, …\}}. Lemma 1.23. Für d ∈ ℕ gilt

lim_{n→∞} \frac{\frac{(n+d−1)!}{n!}}{(n + 1)^{d−1}} = 1.

Beweis. Benutzt man die Stirlingsche Formel lim_{n→∞}(n!/\sqrt{2π}n^{n+ \frac{1}{2}} e^{−n}) = 1, so folgt die Behauptung aus der Beobachtung, dass

lim_{n→∞} \frac{\sqrt{2π}(n + d − 1)^{n+ \frac{1}{2} +d−1}e^{−n−d+1}}{\sqrt{2π}n^{n+ \frac{1}{2}} e^{−n}(n + 1)^{(d−1)}}
= e^{1−d} lim_{n→∞}(\frac{n + d − 1}{n})^{n+ \frac{1}{2}} (\frac{n + d − 1}{n + 1})^{d−1}
= e^{1−d} lim_{n→∞}(1 + \frac{d − 1}{n})^{n}(1 + \frac{d − 1}{n})^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d − 2}{n + 1})^{d−1}
= e^{1−d}e^{d−1} = 1.

Eigenschaften von M_{z}

2.1 Wesentliche Normalität von H_{d}^{f}

Sei im Folgenden f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} immer eine Potenzreihe in einer komplexen

Variablen mit Konvergenzradius R = r^{2} > 0 und a_{0} = 1, a_{n} > 0 ∀n ≥ 1 und H_{d}^{f} der nach Definition 1.13 zugehörige funktionale Hilbertraum. Weiter setzen wir a_{−1} = 0.

Definition 2.1. Sei Ω ⊂ ℂ^{d} und H ein funktionaler Hilbertraum über Ω. Eine Funktion g : Ω → ℂ heißt Multiplikator von H, falls gH ⊂ H gilt. Für einen Multiplikator g : Ω → ℂ bezeichne M_{g} : H → H, h ↦ gh den zugehörigen Multiplikationsoperator.

Eine einfache Anwendung des Graphensatzes zeigt, dass der von einem Multiplikator induzierte Multiplikationsoperator M_{g} : H → H automatisch stetig ist. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften des d-Tupels M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}), wobei die M_{z_{i}} die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen z_{i} bezeichnen. Unser primäres Ziel ist dabei eine Bedingung zu finden, unter der die Räume H_{d}^{f} wesentlich normal sind.

Definition 2.2. Sei H ein funktionaler Hilbertraum über Ω ⊂ ℂ^{d}. Ein Tupel T = (T_{1}, …, T_{d}) vertauschender linearer Operatoren T_{i} : H → H heißt beschränkt, falls alle T_{i} beschränkt sind. Ist T beschränkt, so nennt man T wesentlich normal, wenn T_{i}^{∗}T_{i} − T_{i}T_{i}^{∗} kompakt ist für i = 1, …, d. Ist M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}) wesentlich normal, so nennt man H wesentlich normal.

Aus dieser Definition erhält man direkt einen einfachen Zusammenhang zwischen der Beschränktheit von M_{z} und den Koeffizienten der H_{d}^{f} zu Grunde liegenden Potenzreihe.

22 2. Eigenschaften von M_{z}

Satz 2.3. Es sind äquivalent:

(i) sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} < ∞,
(ii) M_{z_{i}} : H_{d}^{f} → H_{d}^{f} ist beschränkt für ein i ∈ {1, …, d},
(iii) M_{z_{i}} : H_{d}^{f} → H_{d}^{f} ist beschränkt für i = 1, …, d.

In diesem Fall gilt: ∥M_{z_{i}}∥ = (sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} )^{1/2} für i = 1, …, d.

Beweis. (iii) ⇒ (ii): Ist klar. (ii) ⇒ (i): Sei M_{z_{i}} beschränkt für ein festes i ∈ {1, …, d}. Dann gilt für C = ∥M_{z_{i}}∥ und alle α ∈ ℕ^{d}

\frac{(α + e_{i})!}{a_{|α|+1}(|α| + 1)!} = ∥z^{α+e_{i}}∥^{2}

= ∥M_{z_{i}}z^{α}∥^{2} ≤ C^{2}∥z^{α}∥^{2} = C^{2} \frac{α!}{a_{|α|}|α|!}

und damit

\frac{α_{i} + 1}{|α| + 1} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} ≤ C^{2}.

Also ist

sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ≤ C^{2} = ∥M_{z_{i}}∥^{2}.

(i) ⇒ (iii): Ist umgekehrt das letzte Supremum endlich, so gilt für beliebige

h = ∑_{α∈ℕ^{d}} b_{α}z^{α} ∈ H_{d}^{f} mit C = (sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} )^{\frac{1}{2}} für i = 1, …, d:

∥ ∑_{α∈ℕ^{d}} b_{α}z^{α+e_{i}}∥^{2} = ∑_{α∈ℕ^{d}} |b_{α}|^{2}∥z^{α+e_{i}}∥^{2}
≤ ∑_{α∈ℕ^{d}} |b_{α}|^{2}C^{2}∥z^{α}∥^{2}
= C^{2}∥ ∑_{α∈ℕ^{d}} b_{α}z^{α}∥^{2}
= C^{2}∥h∥^{2}.

Also ist M_{z_{i}} beschränkt für i = 1, …, d mit ∥M_{z_{i}}∥^{2} ≤ sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} .

2.1 Wesentliche Normalität von H_{d}^{f} 23

Ist M_{z_{i}} beschränkt, so kann man die Wirkung von M_{z_{i}}^{∗} leicht angeben und

erhält als Anwendung von Lemma 1.17 die Darstellungen von ∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗} und

∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}} über die Koeffizienten der Potenzreihe f.

Lemma 2.4. Bezeichne E_{n} die Orthogonalprojektion von H_{d}^{f} auf ℍ_{n}, den Raum der homogenen Polynome vom Grad n. Sei M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}) beschränkt. Dann gilt für i = 1, …, d und α ∈ ℕ^{d}:

(i) M_{z_{i}}^{∗}z^{α} = \frac{α_{i}}{|α|} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} z^{α−e_{i}} (= 0, falls α_{i} = 0),

(ii) ∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}} = SOT- ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}(n + d)}{a_{n+1}(n + 1)}E_{n},

∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗} = SOT- ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n−1}}{a_{n}} E_{n}.

Beweis. (i) Für α, β ∈ ℕ^{d} erhält man:

⟨M_{z_{i}}^{∗}z^{α}, z^{β}⟩ = ⟨z^{α}, M_{z_{i}}z^{β}⟩
= ⟨z^{α}, z^{β+e_{i}}⟩
= \{ \begin{matrix}\frac{α!}{|α|!a_{|α|}} , α = β + e_{i} \\ 0 , α ≠ β + e_{i}. \end{matrix}

Also ist M_{z_{i}}^{∗}z^{α} = Cz^{α−e_{i}} für ein C > 0. Aus

⟨M_{z_{i}}^{∗}z^{α}, z^{α−e_{i}}⟩ = C⟨z^{α−e_{i}}, z^{α−e_{i}}⟩
= C \frac{(α − e_{i})!}{|α − e_{i}|!a_{|α−e_{i}|}} ,

erhält man für C:

C = \frac{α!}{(α − e_{i})!} \frac{|α − e_{i}|!}{|α|!} \frac{a_{|α−e_{i}|}}{a_{|α|}}
= α_{i} \frac{(|α| − 1)!}{|α|!} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}}
= \frac{α_{i}}{|α|} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} .

Also gilt:

M_{z_{i}}^{∗}z^{α} = \frac{α_{i}}{|α|} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} z^{α−e_{i}}.

(ii) Nach (i) gilt für α ∈ ℕ^{d}:

∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}}z^{α} = \frac{|α| + d}{|α| + 1} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} z^{α}

∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}z^{α} = \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} z^{α}.

Aus Lemma 1.17 erhält man, dass die Reihen ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}(n+d)}{a_{n+1}(n+1)}E_{n} und ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n−1}}{a_{n}} E_{n}

τ_{SOT} -konvergent sind und durch Vergleich der Werte auf z^{α} (α ∈ ℕ^{d}) folgt die Behauptung.

Mit den soeben gewonnenen Darstellungen lässt sich nun eine Bedingung an die Koeffizienten der Potenzreihe f angeben, die sicherstellt, dass der Raum z_{1}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f} ⊂ H_{d}^{f} abgeschlossen ist.

Satz 2.5. Sei M_{z} beschränkt. Dann sind äquivalent:

(i) z_{1}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f} ⊂ H_{d}^{f} ist abgeschlossen,
(ii) z_{1}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f} = {h ∈ H_{d}^{f}; h(0) = 0},
(iii) inf_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} > 0.

Beweis. (i) ⇔ (ii): Da für alle n ∈ ℕ a_{n} ≠ 0 gilt, folgt mit Lemma 2.4:

⋂_{i=1}^{d} Ker M_{z_{i}}^{∗} = ℂ(= {h ∈ H_{d}^{f}; h = const.}).

Nach Lemma 1.18 gilt also: \overline{∑_{i=1}^{d} z_{i}H_{d}^{f}} = \{h ∈ H_{d}^{f}; h(0) = 0\}.

(i) ⇒ (iii): Sei

A = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}) : (H_{d}^{f})^{d} → H_{d}^{f}.

Dann ist Im A = z_{1}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f} abgeschlossen. Also ist auch Im A^{∗} abgeschlossen. Damit erhält man die folgende Zerlegung:

(H_{d}^{f})^{d} = \overline{Im A^{∗}} ⊕ (\overline{Im A^{∗}})^{⊥} = Im A^{∗} ⊕ Ker A.

Also erhält man für AA^{∗} = ∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n−1}}{a_{n}} E_{n}, dass

Im AA^{∗} = Im A ⊂ H_{d}^{f}

abgeschlossen ist. Daher ist

AA^{∗} : (Ker AA^{∗})^{⊥} → H_{d}^{f}

injektiv mit abgeschlossenem Bild, also nach unten beschränkt. Folglich existiert ein C > 0 so, dass für alle n ≥ 1 und x ∈ E_{n}H_{d}^{f} gilt:

C∥x∥ ≤ ∥AA^{∗}x∥ = ∥\frac{a_{n−1}}{a_{n}} x∥.

Damit ist inf_{n∈ℕ^{∗}} \frac{a_{n−1}}{a_{n}} > 0.

(iii) ⇒ (i): Ist umgekehrt r = inf_{n∈ℕ^{∗}} \frac{a_{n−1}}{a_{n}} > 0, so folgt für alle

x = ∑_{n=1}^{∞} x_{n} ∈ ⨁_{n=1}^{∞} ℍ_{n} = (Ker A^{∗})^{⊥} = (Ker AA^{∗})^{⊥},

dass

∥AA^{∗}x∥^{2} = ∑_{n=1}^{∞}(\frac{a_{n−1}}{a_{n}})^{2}∥x_{n}∥^{2} ≥ r^{2} ∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥^{2} = r^{2}∥x∥^{2}.

Nach Satz 1.19 ist Im (AA^{∗}) ⊂ H_{d}^{f} abgeschlossen. Wegen

\overline{Im A} = \overline{A\overline{Im A^{∗}}} ⊂ Im AA^{∗} ⊂ Im A

ist auch z_{1}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f} = Im A ⊂ H_{d}^{f} abgeschlossen.

Der folgende Satz gibt nun die Charakterisierung der Potenzreihen an, für die der zugehörige funktionale Hilbertraum H_{d}^{f} wesentlich normal ist und stellt damit einen zentralen Punkt in dieser Arbeit dar.

Satz 2.6. Sei M_{z} beschränkt. Dann ist M_{z} wesentlich normal genau dann, wenn

lim_{n→∞}[\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}}] = 0.

Beweis. Nach Lemma 2.4 gilt für alle α ∈ ℕ^{d} und i = 1, …, d:

(M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}} − M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗})z^{α} = (\frac{α_{i} + 1}{|α| + 1} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} − \frac{α_{i}}{|α|} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}})z^{α}
= (\frac{α_{i}|α| + |α|}{|α|(|α| + 1)} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} − \frac{α_{i}|α| + α_{i}}{|α|(|α| + 1)} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}})z^{α}
= (\frac{α_{i}}{|α|}(\frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} − \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}}) + \frac{|α| − α_{i}}{|α|(|α| + 1)} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} )z^{α}.

26 2. Eigenschaften von M_{z} Seien E_{α} die Orthogonalprojektion auf ℂz^{α} (α ∈ ℕ^{d}) und

c_{α}^{(i)} := \frac{α_{i}}{|α|}(\frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} − \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}}) + \frac{|α| − α_{i}}{|α|(|α| + 1)} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} (α ∈ ℕ^{d}, i = 1, …, d).

Dann erhält man aus der Beschränktheit von M_{z} für jede Abzählung j : ℕ → ℕ^{d} und i = 1, …, d, dass

sup_{n∈ℕ}|c_{j(n)}^{(i)}| = sup_{α∈ℕ^{d}} |c_{α}^{(i)}|
= sup_{α∈ℕ^{d}} |\frac{α_{i}}{|α|}(\frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} − \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}}) + \frac{|α| − α_{i}}{|α|(|α| + 1)} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} |
≤ sup_{α∈ℕ^{d}}(|\frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} − \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} | + \frac{1}{|α| + 1} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} )
≤ sup_{α∈ℕ^{d}} |\frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} | + |\frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} | + \frac{1}{|α| + 1} \frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}}
≤ sup_{α∈ℕ^{d}}(2 + \frac{1}{|α| + 1})\frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} < ∞.

Aus Lemma 1.17 (i) folgt damit für i = 1, …, d:

∑_{n=0}^{∞} c_{j(n)}^{(i)}E_{j(n)} ist τ_{SOT} -konvergent.

Durch Vergleich der Werte auf z^{α} (α ∈ ℕ^{d}) erhält man

M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}} − M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗} = ∑_{n=0}^{∞} c_{j(n)}^{(i)}E_{j(n)} (i = 1, …, d).

Setze

d_{α}^{(i)} = \frac{α_{i}}{|α|}(\frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} − \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}}) (α ∈ ℕ^{d}, i = 1, …, d).

Da

c_{j(n)}^{(i)} − d_{j(n)}^{(i)} ⟶^{n→∞} 0

gilt, folgt mit Lemma 1.17 (ii), dass M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}} − M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗} kompakt ist genau dann, wenn lim_{n→∞} d_{j(n)}^{(i)} = 0 ist. Wenn

lim_{n→∞}(\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}}) = 0

ist, dann gilt auch

d_{j(n)}^{(i)} = \frac{j(n)_{i}}{|j(n)|}(\frac{a_{|j(n)|}}{a_{|j(n)|+1}} − \frac{a_{|j(n)|−1}}{a_{|j(n)|}}) ⟶^{n→∞} 0.

Sei umgekehrt die Folge (d_{j(n)}^{(i)})_{n≥0} eine Nullfolge. Wäre (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})_{n≥1} keine Nullfolge, so würde ein ϵ > 0 existieren so, dass

|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} | ≥ ϵ

wäre für unendlich viele n ≥ 1. Zu jeder dieser Zahlen n gäbe es ein k_{n} ∈ ℕ mit j(k_{n}) = ne_{i}. Für diese n wäre dann aber

|d_{j(k_{n})}^{(i)}| = \frac{j(k_{n})_{i}}{|j(k_{n})|}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} | ≥ ϵ.

Dies widerspricht der Voraussetzung, dass (d_{j(n)}^{(i)})_{n∈ℕ} eine Nullfolge ist.

Betrachtet man noch einmal die vorangegangenen Resultate, so erscheint die folgende Definition sinnvoll.

Definition 2.7. Sei f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}. Wir nennen f regulär, wenn gilt:

1. 0 < inf_{n} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ≤ sup_{n} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} < ∞
2. lim_{n→∞}[\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}}] = 0.

Mit dieser Definition erhalten wir direkt das folgende Korollar.

Korollar 2.8. Die Potenzreihe f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} ist genau dann regulär, wenn

z_{1}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f} ⊂ H_{d}^{f} abgeschlossen und der funktionale Hilbertraum H_{d}^{f} wesentlich normal ist.

2.2 Mehrdimensionale Spektralbegriffe

Sei X ein Banachraum und T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(X)^{d} ein vertauschendes Tupel. Für p = 0, …, d sei

Λ^{p}(σ, X) = { ∑_{1≤i_{1}<...<i_{p}≤d} x_{i_{1}...i_{p}}s_{i_{1}} ∧ … ∧ s_{i_{p}}; x_{i_{1}...i_{p}} ∈ X}

die Menge der p-Formen in d Unbestimmten s_{1}, …, s_{d} und Koeffizienten in X. Abkürzend schreiben wir die Elemente von Λ^{p}(σ, X) in der Form

∑_{|I|=p} x_{I}s_{I}.

Hierbei durchläuft I alle Multiindizes 1 ≤ i_{1} < … < i_{p} ≤ d. Man macht Λ^{p}(σ, X) zu einem Banachraum vermöge der Identifizierung

Λ^{p}(σ, X) ≅ X^{\binom{d}{p}}.

Die Abbildungen

δ_{T}^{p} : Λ^{p}(σ, X) → Λ^{p+1}(σ, X), ∑_{|I|=p} x_{I}s_{I} ↦ ∑_{j=1}^{d} ∑_{|I|=p} T_{j}x_{I}s_{j} ∧ s_{I}

bilden einen Komplex stetig linearer Operatoren

K^{•}(T, X) : 0 → Λ^{0}(σ, X) →^{δ_{T}^{0}} Λ^{1}(σ, X) →^{δ_{T}^{1}} … →^{δ_{T}^{d−1}} Λ^{d}(σ, X) → 0

zwischen Banachräumen. Diesen bezeichnet man als Koszul-Komplex von T. Die Quotientenvektorräume

H^{p}(T, X) = Kern δ_{T}^{p} /Im δ_{T}^{p−1}

heißen die Kohomologiegruppen von K^{•}(T, X). Mit diesen Bezeichnungen können wir das Spektrum und das wesentliche Spektrum vertauschender Tupel T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(X)^{d} auf einem Banachraum X definieren.

Definition 2.9. Sei X ein Banachraum und T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(X)^{d} ein vertauschendes Tupel. Man nennt T Fredholmsch, falls

dim H^{p}(T, X) < ∞ ∀p = 0, …, d.

In diesem Fall definiert man durch

ind T = ∑_{p=0}^{d}(−1)^{p} dim H^{p}(T, X)

den Index von T. Weiter bezeichnet man

σ(T) = σ(T, X) = {z ∈ ℂ^{d}; K^{•}(z − T, X) ist nicht exakt}

als (Taylor-)Spektrum von T und

σ_{e}(T) = {z ∈ ℂ^{d}; z − T ist nicht Fredholmsch} (⊂ σ(T))

als wesentliches (Taylor-)Spektrum von T.

Unser Ziel ist es, das Spektrum und das wesentliche Spektrum von M_{z} zu berechnen. Dazu benötigen wir jedoch noch ein paar vorbereitende Bemerkungen.

Lemma 2.10. Seien N, K, M Vektorräume mit dim N = n < ∞ und dim M = m < ∞ und seien j : N → K, q : K → M lineare Abbildungen so, dass die Sequenz

⋯ → N →^{j} K →^{q} M → ⋯

in K exakt ist. Dann ist dim K < ∞. Falls n = m = 0 gilt, ist K = {0}.

Beweis. Es gilt

dim K = dim Ker q + dim Im q
= dim Im j + dim Im q
= dim N − dim Ker j + dim Im q
≤ n + m < ∞.

Daran erkennt man auch, dass man für n = m = 0 auch K = {0} erhält.

Theorem 2.11. Seien X, Y, Z Hilberträume und j : Y → X, q : X → Z stetig lineare Abbildungen so, dass die Sequenz

0 → Y →^{j} X →^{q} Z → 0

exakt ist. Seien weiter R ∈ L(Y)^{d}, T ∈ L(X)^{d}, S ∈ L(Z)^{d} vertauschende Tupel so, dass komponentenweise j ∘ R = T ∘ j und q ∘ T = S ∘ q gilt. Dann ist das (wesentliche) Spektrum von R (bzw. T,S) in der Vereinigung der (wesentlichen) Spektren der beiden jeweils anderen enthalten.

Beweis. Sei 0 → Y →^{j} X →^{q} Z → 0 eine kurze exakte Sequenz wie in der Voraussetzung. Dann gibt es für z ∈ ℂ^{d} nach [Lang, Theorem IV.2.1] Abbildungen

d^{i} : H^{i−1}(z − S, Z) → H^{i}(z − R, Y) (i = 1, …, d)

so, dass die lange Sequenz

0 → H^{0}(z − R, Y) →^{j^{0}} H^{0}(z − T, X) →^{q^{0}} H^{0}(z − S, Z)
→^{d^{1}} H^{1}(z − R, Y) →^{j^{1}} H^{1}(z − T, X) →^{q^{1}} H^{1}(z − S, Z)
⋮
→^{d^{d}} H^{d}(z − R, Y) →^{j^{d}} H^{d}(z − T, X) →^{q^{d}} H^{d}(z − S, Z) → 0

exakt ist. Dabei sind für i = 0, …, d:

j^{i} : H^{i}(z − R, Y) → H^{i}(z − T, X),

∑_{|I|=i} y_{I}s_{I} + Im δ_{z−R}^{i−1} ↦ ∑_{|I|=i} j(y_{I})s_{I} + Im δ_{z−T}^{i−1}

und

q^{i} : H^{i}(z − T, X) → H^{i}(z − S, Z),

∑_{|I|=i} x_{I}s_{I} + Im δ_{z−T}^{i−1} ↦ ∑_{|I|=i} q(x_{I})s_{I} + Im δ_{z−S}^{i−1}.

Dann folgt die Behauptung aus Lemma 2.10. Denn ist z ∉ σ(R)∪σ(S) (bzw. z ∉ σ_{e}(R) ∪ σ_{e}(S)), dann liefert das Lemma angewendet auf die exakten Sequenzen

⋯ → H^{i}(z − R, Y) →^{j^{i}} H^{i}(z − T, X) →^{q^{i}} H^{i}(z − S, Y) → ⋯

für i = 0, …, d, dass dim H^{i}(z − T, X) = 0 (bzw. dim H^{i}(z − T, X) < ∞) ist. Dann ist aber z auch nicht im (wesentlichen) Spektrum von T enthalten. Es gilt also σ(T) ⊂ σ(R) ∪ σ(S) (bzw. σ_{e}(T) ⊂ σ_{e}(R) ∪ σ_{e}(S)). Die übrigen Inklusionen folgen analog.

Satz 2.12. Seien S = (S_{1}, …, S_{d}) ∈ L(X)^{d} und T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(Y)^{d} zwei vertauschende Tupel auf Banachräumen X und Y und R ∈ L(X, Y) bijektiv so, dass

RS_{i} = T_{i}R 1 ≤ i ≤ d.

Dann gilt σ(S) = σ(T) und σ_{e}(S) = σ_{e}(T).

Beweis. Dies folgt direkt aus Theorem 2.11 mit Z = {0}.

Wie im eindimensionalen Fall erhält man auch für d-Tupel von stetigen Operatoren und mehrdimensionale, analytische Abbildungen einen entsprechenden spektralen Abbildungssatz.

Satz 2.13. Sei S = (S_{1}, …, S_{d}) ∈ L(X)^{d} ein vertauschendes Tupel auf einem Banachraum X, U eine offene Umgebung von σ(S) und m ∈ ℕ. Dann gilt für jede analytische Funktion f : U → ℂ^{m}:

σ(f(S)) = f(σ(S)) und σ_{e}(f(S)) = f(σ_{e}(S)).

Beweis. Siehe [EP, Theorem 2.5.10] und [EP, Korollar 2.6.9].

Wir definieren nun den Begriff des gemeinsamen Spektrums in kommutativen Banachalgebren und stellen einen Zusammenhang zwischen den beiden Spektralbegriffen her.

Definition 2.14. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Einselement e und sei

△_{A} = {λ; λ : A → ℂ nicht triviale multiplikative Linearform}

der Strukturraum von A. Für a = (a_{1}, …, a_{d}) ∈ A^{d} nennt man die Menge

σ_{A}(a) = {z = (z_{1}, …, z_{d}) ∈ ℂ^{d}; e ∉ ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − a_{i})A} ⊂ ℂ^{d}

das gemeinsame Spektrum von a.

Mit elementarer Gelfandtheorie kann man zeigen, dass das gemeinsame Spektrum von a = (a_{1}, …, a_{d}) ∈ A^{d} wie im eindimensionalen Fall das Bild von △_{A} unter der Gelfandtransformierten â = (â_{1}, …, â_{d}) von a ist.

Lemma 2.15. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Einselement e und sei a = (a_{1}, …, a_{d}) ∈ A^{d}. Dann gilt:

σ_{A}(a) = {(λ(a_{1}), …, λ(a_{d})); λ ∈ △_{A}}.

Beweis. Nach Definition gilt z ∈ σ_{A}(a) genau dann, wenn das Ideal

∑_{i=1}^{d}(z_{i} − a_{i})A ⊂ A

echt ist. Nach allgemeiner Gelfandtheorie ist dies äquivalent zur Existenz einer multiplikativen Linearform λ ∈ △_{A} mit

∑_{i=1}^{d}(z_{i} − a_{i})A ⊂ Ker λ.

Die Gültigkeit dieser Inklusion ist äquivalent dazu, dass

λ(z_{i} − a_{i}) = 0, für i =, 1 …, d

oder dass z = (λ(a_{1}), …, λ(a_{d})) gilt.

Das gemeinsame Spektrum von a kann man auch auffassen als Taylorspektrum eines geeigneten Tupels vertauschender Operatoren auf A.

Lemma 2.16. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Einselement e. Für a = (a_{1}, …, a_{d}) ∈ A^{d} sei σ(L_{a}, A) das Taylorspektrum des vertauschenden Tupels L_{a} = (L_{a_{1}}, …, L_{a_{d}}) ∈ L(A)^{d} der Multiplikationsoperatoren

L_{a_{i}} : A → A, x ↦ a_{i}x (i = 1, …, d).

Dann gilt:

σ_{A}(a) = σ(L_{a}, A).

Beweis. Gehört z ∈ ℂ^{d} nicht zum Taylorspektrum σ(L_{a}, A) von L_{a}, so ist insbesondere die letzte Abbildung im Koszul-Komplex K^{•}(z − L_{a}, A) surjektiv. Diese wirkt bis auf das Vorzeichen wie

A^{d} → A, (x_{i}) ↦ ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − L_{a_{i}})x_{i} = ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − a_{i})x_{i}.

Also ist e ∈ ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − a_{i})A und z ∉ σ_{A}(a).

Aus z ∉ σ_{A}(a) folgt umgekehrt die Existenz von x_{1}, …, x_{d} ∈ A mit

∑_{i=1}^{d}(z_{i} − a_{i})x_{i} = e.

Dann ist aber auch ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − L_{a_{i}})L_{x_{i}} = 1_{A}. Weil für i = 1, …, d der Operator

L_{x_{i}} im Kommutanten von L_{a} liegt, folgt mit [EP, Lemma 2.2.4], dass der von

1_{A} = ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − L_{a_{i}})L_{x_{i}} induzierte Operator auf den Kohomologiegruppen

H^{p}(z − L_{a}, A) → H^{p}(z − L_{a}, A), [x] ↦ [1_{A}x] = [x] , p = 0, …, d

der Nulloperator ist. Also ist

H^{p}(z − L_{a}, A) = 0 , p = 0, …, d

und z ∉ σ(L_{a}, A).

Wie im eindimensionalen Fall kann man zeigen, dass sich das Taylorspektrum von L_{a} = (L_{a_{1}}, …, L_{a_{d}}) für vertauschende Elemente a_{1}, …, a_{d} einer unitalen C^{∗}-Algebra B nicht ändert, wenn man zu einer unitalen C^{∗}- Teilalgebra A ⊂ B übergeht, die ebenfalls die Elemente a_{1}, …, a_{d} enthält.

Satz 2.17. Seien a_{1}, …, a_{d} vertauschende Elemente einer unitalen C^{∗}-Algebra B. Dann gilt für jede unitale C^{∗}-Teilalgebra A ⊂ B mit a_{1}, …, a_{d} ∈ A

σ((L_{a_{1}}, …, L_{a_{d}}), A) = σ((L_{a_{1}}, …, L_{a_{d}}), B).

Beweis. Siehe [Curto].

Definition 2.18. Sei H ein Hilbertraum. Dann bezeichnet man die C^{∗}- Algebra

C(H) = L(H)/K(H)

als die Calkin-Algebra von H.

Damit erhält man für ein vertauschendes Tupel S = (S_{a}, …, S_{d}) ∈ L(H)^{d} auf einem Hilbertraum H, dass das wesentliche Taylorspektrum σ_{e}(S) von S gleich dem Taylorspektrum von L[S] auf der Calkin-Algebra C(H) ist.

Lemma 2.19. Sei H ein Hilbertraum und S = (S_{1}, …, S_{d}) ∈ L(H)^{d} ein vertauschendes Tupel von Operatoren. Dann gilt:

σ_{e}(S) = σ(L_{[S]}, C(H)).

Beweis. Siehe [EP, Korollar 2.6.11].

Bemerkung 2.20. Ist H_{d}^{f} wesentlich normal, so ist M_{z} ∈ L(H_{d}^{f})^{d} wesentlich normal und nach dem Satz von Putnam-Fuglede ist die von [M_{z_{1}}], …, [M_{z_{d}}] erzeugte C^{∗}-Teilalgebra

C^{∗}({[M_{z_{1}}], …, [M_{z_{d}}]}) ⊂ C(H_{d}^{f})

eine kommutative, unitale C^{∗}-Algebra.

Der nächste Satz, der ebenfalls dazu dient, Spektrum und wesentliches Spektrum von M_{z} berechnen zu können, ist jedoch auch für sich genommen ein interessantes Ergebnis für wesentlich normale vertauschende Tupel stetiger Operatoren auf einem Hilbertraum.

Satz 2.21. Sei H ein Hilbertraum und T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} ein wesentlich normales vertauschendes Tupel stetiger Operatoren. Dann gilt

σ_{e}(∑_{i=1}^{d} T_{i}T_{i}^{∗}) = {|z|^{2}; z ∈ σ_{e}(T)}.

Beweis. Da T wesentlich normal ist, ist [T] = ([T_{1}], …, [T_{d}]) ∈ C(H)^{d} ein vertauschendes Tupel normaler Elemente. Mit

A = C^{∗}({[T_{1}], …, [T_{d}]}) ⊂ C(H)

erhält man

σ_{e}(∑_{i=1}^{d} T_{i}T_{i}^{∗}) = σ_{C(H)}([∑_{i=1}^{d} T_{i}T_{i}^{∗}])

= σ_{A}([∑_{i=1}^{d} T_{i}T_{i}^{∗}])

= {λ([∑_{i=1}^{d} T_{i}T_{i}^{∗}]); λ ∈ △_{A}}

= \{∑_{i=1}^{d} λ([T_{i}])\overline{λ([T_{i}])}; λ ∈ △_{A}\}
(Lemma 2.15) = {|z|^{2}; z ∈ σ_{A}([T])}
(Lemma 2.16) = {|z|^{2}; z ∈ σ(L_{[T]}, A)}
(Satz 2.17) = {|z|^{2}; z ∈ σ(L_{[T]}, C(H)}
(Lemma 2.19) = {|z|^{2}; z ∈ σ_{e}(T)}.

2.3 Spektrum und wesentliches Spektrum

Sei H_{d}^{f} ein funktionaler Hilbertraum wie in Definition 1.13. In diesem Abschnitt setzen wir voraus, dass H_{d}^{f} wesentlich normal ist im Sinne von Definition 2.2. Weiter verwenden wir im Folgenden die Bezeichnungen

s^{2} = lim inf_{n→∞} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ,
t^{2} = lim sup_{n→∞} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} .

Dann gilt für den Konvergenzradius R von f: s^{2} ≤ R ≤ t^{2}. Jetzt sind wir in der Lage, das eigentliche Resultat, nämlich eine Darstellung für das Spektrum und das wesentliche Spektrum von M_{z}, zu beweisen. Wie sich herausstellt hängen beide ausschließlich von s und t ab.

Theorem 2.22. Sei H_{d}^{f} wesentlich normal. Dann gilt für das d-Tupel M_{z} auf H_{d}^{f}:

(i) Das Taylorspektrum von M_{z} ist gegeben durch

σ(M_{z}) = {z ∈ ℂ^{d}; |z| ≤ t}.

(ii) Das wesentliche Taylorspektrum von M_{z} ist gegeben durch

σ_{e}(M_{z}) = {z ∈ ℂ^{d}; s ≤ |z| ≤ t}.

Beweis. Wir beweisen zunächst die 2. Aussage des Theorems. Zu diesem Zweck beweisen wir jedoch zunächst die folgende Aussage:

σ_{e}(∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}) = [s^{2}, t^{2}].

” ⊆ ”: Sei r ∈ ℝ\[s^{2}, t^{2}].Dann gibt es ein ϵ_{0} > 0 und ein N ∈ ℕ so, dass |r − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} | ≥ ϵ_{0} für alle n ≥ N.

Definiere T = r · I − ∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗} = ∑_{n=0}^{∞}(r − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})E_{n}. Dann ist

Ker T = \{x ∈ H_{d}^{f}; ∑_{n=0}^{∞}(r − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})E_{n}x = 0\} ⊂ ⋂_{n≥N} Ker E_{n} = ⨁_{n=0}^{N−1} ℍ_{n}

endlich dimensional. Da für alle x ∈ ⨁_{n=N}^{∞} ℍ_{n} gilt

∥T x∥^{2} = ∑_{n=N}^{∞} |r − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{2}∥E_{n}x∥^{2} ≥ ϵ_{0}^{2} ∑_{n=N}^{∞} ∥E_{n}x∥^{2} = ϵ_{0}^{2}∥x∥^{2},

ist Im T ⊂ H_{d}^{f} abgeschlossen nach Satz 1.19. Da für n ≥ N und |α| = n

z^{α} = T (\frac{z^{α}}{r − \frac{a_{n−1}}{a_{n}}}) ∈ Im T

gilt, folgt zusammen mit der Abgeschlossenheit von Im T die Inklusion

⨁_{n=N}^{∞} ℍ_{n} ⊂ Im T.

Also ist Im T endlich kodimensional und daher T Fredholm. Das zeigt die Inklusion

σ_{e}(∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}) ⊆ [s^{2}, t^{2}].

” ⊇ ”: Sei r ∈ [s^{2}, t^{2}]. Dann folgt mit Lemma 1.22, dass

[s^{2}, t^{2}] ⊂ \overline{\{\frac{a_{n−1}}{a_{n}}; n ∈ ℕ\}}.

Also ist [s^{2}, t^{2}] ⊂ σ(∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}). Mit der Normalität von ∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗} folgt

hieraus mit Satz 1.21 die noch zu zeigende Inklusion, falls s^{2} < t^{2} ist. Im Fall s^{2} = t^{2} ist zu zeigen, dass

lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ∈ σ_{e}(∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}).

Wegen Satz 1.21 dürfen wir annehmen, dass dieser Limes ein isolierter Punkt

in σ(∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}) ist. Dann ist

\frac{a_{n}}{a_{n+1}} = s^{2} für fast alle n

und damit

dim Ker (s^{2} − ∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}) = ∞.

Insgesamt gilt also

σ_{e}(∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}) = [s^{2}, t^{2}]. (⋆)

Um daraus die 2. Aussage des Theorems zu folgern, definieren wir zunächst für jede unitäre d × d-Matrix u = (u_{ij}) ∈ M(n, ℂ) den unitären Operator Γ_{u} auf H_{d}^{f} wie in Lemma 1.16 durch:

(Γ_{u}h)(z) = h(u^{−1}z) (h ∈ H_{d}^{f}).

Dann gilt für alle f ∈ H_{d}^{f}, u ∈ M(n, ℂ) unitär, 1 ≤ i ≤ d und λ ∈ B\sqrt{R}(0):

⟨Γ_{u}M_{z_{i}}Γ_{u}^{∗}f, K(·, λ)⟩ = ⟨M_{z_{i}}Γ_{u^{−1}}f, K(u·, λ)⟩
= (M_{z_{i}}Γ_{u^{−1}}f)(u^{−1}λ)
= (z_{i} · (f ∘ u))(u^{−1}λ)
= (u^{−1}λ)_{i}f(λ) = (∑_{j=1}^{d} \overline{u}_{ji}λ_{j})f(λ)

= ∑_{j=1}^{d} \overline{u}_{ji}(λ_{j}f(λ)) = ∑_{j=1}^{d} \overline{u}_{ji}⟨M_{z_{j}}f, K_{λ}⟩

= ⟨∑_{j=1}^{d} \overline{u}_{ji}M_{z_{j}}f, K_{λ}⟩.

Also gilt

Γ_{u}M_{z_{i}}Γ_{u}^{∗} = ∑_{j=1}^{d} \overline{u}_{ji}M_{z_{j}}. (†)

Mit Hilfe von (†) sieht man, dass das wesentliche Taylorspektrum von M_{z} U-invariant ist, denn für alle u ∈ M(n, ℂ) unitär folgt mit Satz 2.12 und Satz 2.13

σ_{e}(M_{z}) = σ_{e}(u^{−1} ( M_{z_{1}} ; ⋮ ; M_{z_{d}} )) = u^{−1}(σ_{e}(M_{z})).

Also gilt uσ_{e}(M_{z}) = σ_{e}(M_{z}). Mit diesen Vorbereitungen können wir nun die zweite Aussage des Theorems beweisen. Da H_{d}^{f} wesentlich normal ist, ist das Multiplikationstupel M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}) ∈ L(H_{d}^{f})^{d} definitionsgemäß wesentlich normal. Also ist

[M_{z}] = ([M_{z_{1}}], …, [M_{z_{d}}]) ∈ C(H_{d}^{f})^{d}

ein vertauschendes Tupel normaler Elemente. Mit Satz 2.21 und (⋆) erhält man:

[s^{2}, t^{2}] = σ_{e}(∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}) = {|z|^{2}; z ∈ σ_{e}(M_{z})}.

Also gilt

[s, t] = {|z|; z ∈ σ_{e}(M_{z})}.

Da es zu je zwei Elementen z, w ∈ ℂ^{d} mit |z| = |w| eine unitäre Matrix u ∈ M(n, ℂ) mit uz = w gibt und da für jede solche Matrix

uσ_{e}(M_{z}) = σ_{e}(M_{z})

gilt, erhält man die Behauptung

σ_{e}(M_{z}) = {z ∈ ℂ^{d}; s ≤ |z| ≤ t}.

Kommen wir nun zum 1.Teil des Theorems. Definitionsgemäß gilt:

σ_{e}(M_{z}) ⊆ σ(M_{z}).

Da für |λ| < \sqrt{R} gilt

∑_{i=1}^{d}(λ_{i} − M_{z_{i}})H_{d}^{f} ≠ H_{d}^{f},

ist auch \overline{B\sqrt{R}(0)} ⊂ σ(M_{z}). Wegen s ≤ \sqrt{R} ≤ t gilt insgesamt

{z ∈ ℂ^{d}; |z| ≤ t} ⊂ σ(M_{z}).

Zum Beweis der anderen Inklusion überlegt man sich genauso wie für das wesentliche Spektrum, dass das Spektrum von M_{z} U-invariant ist, also dass für jede unitäre Matrix u ∈ M(n, ℂ) gilt:

uσ(M_{z}) = σ(M_{z}).

Sei nun r > t. Gäbe es ein z ∈ σ(M_{z}) mit |z| = r, so würde aus der U-Invarianz insbesondere

∂D_{r}(0) × {0} ⊂ σ(M_{z})

folgen. Wendet man Satz 2.13 an auf π_{1} : ℂ^{d} → ℂ, die Projektion auf die erste Komponente, so erhält man daraus, dass

∂D_{r}(0) ⊂ σ(M_{z_{1}}).

Setze

r_{1} = sup{c > 0; ∂D_{c}(0) ⊂ σ(M_{z_{1}})}(≥ r).

Da σ(M_{z_{1}}) abgeschlossen ist, folgt

∂D_{r_{1}}(0) ⊂ σ(M_{z_{1}}).

Wäre ∂D_{r_{1}}(0) ∩ σ_{e}(M_{z_{1}}) = ∅, so würde aus Satz 1.20 folgen, dass

∂D_{r_{1}}(0) ⊂ σ(M_{z_{1}})\∂σ(M_{z_{1}}) = Int (σ(M_{z_{1}}))

und es gäbe ein c > r_{1} so, dass ∂D_{c}(0) ⊂ σ(M_{z_{1}}). Dieser Widerspruch impliziert, dass ein λ ∈ ∂D_{r_{1}}(0) ∩ σ_{e}(M_{z_{1}}) existiert. Wendet man erneut Satz 2.13 auf π_{1} : ℂ^{d} → ℂ an, so erhält man die Existenz eines Punktes z̃ ∈ σ_{e}(M_{z}) mit

λ = π_{1}(z̃).

Dann wäre aber |z̃| ≥ |λ| = r_{1} ≥ r > t und z̃ ∈ σ_{e}(M_{z}). Das ist aber ein Widerspruch zu dem bereits bewiesenen 2. Teil des Theorems. Also folgt

σ(M_{z}) = {z ∈ ℂ^{d}; |z| ≤ t}.

p-wesentliche Normalität

3.1 p-Schattenklassen

Wir definieren nun zunächst die p-Schattenklassen, um den Begriff der kompakten Operatoren zu verfeinern. Dies erlaubt uns die Definition der pwesentlichen Normalität von Tupeln T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} vertauschender Operatoren auf einem Hilbertraum H. Dann können wir die p-wesentliche Normalität der funktionalen Hilberträume H_{d}^{f} und die von Unter- und Quotientenmoduln des Hilbertmoduls H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} untersuchen.

Definition 3.1. Seien H,K Hilberträume und (x_{α})_{α∈A} eine Orthonormalbasis von H. Für T ∈ L(H, K) sei |T | = \sqrt{T^{∗}T}. Dann nennen wir

tr |T | = ∑_{α∈A}⟨|T |x_{α}, x_{α}⟩

die Spur von |T |. Diese ist unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis. Sei weiter 1 ≤ p < ∞. Dann definiert man die p-Schattenklasse L^{p}(H, K) als

L^{p}(H, K) = {T ∈ L(H, K); tr |T |^{p} < ∞}.

Weiter nennen wir

∥T ∥_{p} = (tr |T |^{p})^{1/p}

die p-Norm von T. Abkürzend schreiben wir im Folgenden L^{p}(H) für L^{p}(H, H).

Einige grundlegende Eigenschaften der p-Schattenklassen sind in den folgenden Lemmata zusammengestellt.

Lemma 3.2. Seien 1 ≤ p < ∞ und H,K Hilberträume. Dann gilt:

(i) L^{p}(H, K) ⊂ K(H, K) ist ein linearer Teilraum. (ii) L^{p}(H, K) ist ein Operatorideal in dem Sinne, dass für Hilberträume H_{0}, K_{0} und A ∈ L^{p}(H, K), S ∈ L(H_{0}, H), T ∈ L(K, K_{0}) der Operator T AS zu L^{p}(H_{0}, K_{0}) gehört. (iii) L^{p}(H, K) ist selbstadjungiert in dem Sinne, dass A ∈ L^{p}(H, K) genau dann, wenn A^{∗} ∈ L^{p}(K, H). Beweis. Siehe [Meise-Vogt, Lemma 16.7].

Wegen Teil (i) von Lemma 3.2 bezeichnet man oft den Raum der kompakten Operatoren K(H) auf einem Hilbertraum H mit L^{∞}(H). Lemma 3.3. Seien 1 ≤ p ≤ ∞, H, K, H_{1}, …, H_{n}, K_{1}, …, K_{m} Hilberträume.

a) Für A ∈ L(H, K) sind äquivalent

(i) A ∈ L^{2p}(H, K),
(ii) A^{∗}A ∈ L^{p}(H).

b) Für A = (A_{ij}) ∈ L(⨁_{i=1}^{n} H_{i}, ⨁_{j=1}^{m} K_{j}) sind äquivalent:

(i) A ∈ L^{p}(⨁_{i=1}^{n} H_{i}, ⨁_{j=1}^{m} K_{j}),
(ii) A_{ij} ∈ L^{p}(H_{j}, K_{i}) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).

Beweis. a) Für p < ∞ folgt die Behauptung direkt aus |A|^{2p} = |A^{∗}A|^{p}. Für p = ∞ beachte man, dass ein Operator A genau dann kompakt ist, wenn A^{∗}A kompakt ist. Die nichttriviale Richtung erhält man etwa mit der Polarzerlegung.

b) Seien j_{k} : H_{k} → ⨁_{i=1}^{n} H_{i} die Einbettung von H_{k}, π_{k} : ⨁_{i=1}^{n} H_{i} → H_{k} die

kanonische Projektion auf H_{k} für k = 1, …, n und J_{l} : K_{l} → ⨁_{i=1}^{m} K_{i} die

Einbettung von K_{l}, Π_{l} : ⨁_{i=1}^{m} K_{i} → K_{l} die kanonische Projektion auf K_{l} für

l = 1, …, m. Dann folgt wegen j_{k} ∈ L(H_{k}, ⨁_{i=1}^{n} H_{i}), π_{k} ∈ L(⨁_{i=1}^{n} H_{i}, H_{k}) für

k = 1, …, n, J_{l} ∈ L(K_{l}, ⨁_{i=1}^{m} K_{i}), Π_{l} ∈ L(⨁_{i=1}^{m} K_{i}, K_{l}) für l = 1, …, m und den

Identitäten

A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} J_{i}A_{ij}π_{j}
A_{ij} = Π_{i}Aj_{j} (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)

die Behauptung aus Lemma 3.2 bzw. aus den Eigenschaften kompakter Operatoren.

Lemma 3.4. Sei H ein Hilbertraum, 1 ≤ p ≤ ∞, A, B ∈ L(H) mit 0 ≤ A ≤ B und B ∈ L^{p}. Dann ist auch A ∈ L^{p}.

Beweis. Da für alle x ∈ H gilt ∥\sqrt{A}x∥^{2} = ⟨Ax, x⟩ ≤ ⟨Bx, x⟩ = ∥\sqrt{B}x∥^{2}, ist die Abbildung

Im \sqrt{B} → H, \sqrt{B}x ↦ \sqrt{A}x

eine wohldefinierte Kontraktion. Setzt man diese zunächst stetig auf \overline{Im \sqrt{B}} und dann trivial zu einer Abbildung C : H → H mit ∥C∥ ≤ 1 fort, so gilt

C\sqrt{B} = \sqrt{A}.

Nach Lemma 3.3 ist \sqrt{B} ∈ L^{2p}. Also ist \sqrt{A} ∈ L^{2p} nach Lemma 3.2 (für p = ∞ ist \sqrt{A} kompakt). Erneut mit Lemma 3.3 erhält man die Behauptung.

Mit Hilfe des nächsten Lemmas kann man für Operatoren der Form

∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}, für paarweise orthogonale Orthogonalprojektionen (P_{n}) und be-

schränkte Folgen in (c_{n}) in ℂ, entscheiden, ob sie zu einer p-Schattenklasse gehören.

Lemma 3.5. Sei H ein Hilbertraum und (P_{n})_{n≥0} eine Folge paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen mit P_{n} ∈ L(H)\{0}. Dann sind für jede beschränkte Folge (c_{n})_{n≥0} in ℂ und jede reelle Zahl 1 ≤ p < ∞ die Reihen

∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n} und ∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{p}P_{n} τ_{SOT}-konvergent und es gilt

| ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}|^{p} = ∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{p}P_{n}.

Insbesondere gilt

∥ ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}∥_{p}^{p} = ∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{p} dim(P_{n}H) ∈ [0, ∞].

Beweis. Da (c_{n})_{n≥0} beschränkt ist, ist auch (|c_{n}|^{p})_{n≥0} für 1 ≤ p < ∞ eine beschränkte Folge in ℂ. Nach Lemma 1.17 (i) sind dann die genannten Reihen τ_{SOT}-konvergent. Sei c = sup_{n∈ℕ}|c_{n}| und A = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}. Dann ist σ(A) ⊂ \overline{D}_{c}(0)

und die Abbildung

C(\overline{D}_{c}(0)) → L(H), f ↦ ∑_{n=0}^{∞} f(c_{n})P_{n} + f(0)1_{( ⋁_{n=0}^{∞} Im P_{n})^{⊥}}

stimmt als C^{∗}-Homomorphismus, der den polynomiellen Funktionalkalkül von A fortsetzt, mit dem C^{0}-Kalkül des normalen Operators A überein. Insbesondere gilt

f(A) = ∑_{n=0}^{∞} f(c_{n})P_{n} + f(0)1_{( ⋁_{n=0}^{∞} Im P_{n})^{⊥}} für alle f ∈ C(\overline{D}_{c}(0))

und

| ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}|^{p} = |A|^{p} = ∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{p}P_{n} für alle p ≥ 1.

Wählt man die Orthonormalbasis (x_{α})_{α∈A} von H so, dass für alle n ∈ ℕ gilt

\overline{LH}\{x_{α}; α ∈ A mit x_{α} ∈ P_{n}H\} = P_{n}H,

so erhält man insbesondere:

∥ ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}∥_{p}^{p} = tr | ∑_{n=0}^{∞} c_{n}P_{n}|^{p}

= ∑_{α∈A}⟨∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{p}P_{n}x_{α}, x_{α}⟩

= ∑_{n=0}^{∞} |c_{n}|^{p} dim(P_{n}H),

wobei die linke Seite genau dann endlich ist, wenn die Reihe auf der rechten Seite konvergiert.

Definition 3.6. Seien H ein Hilbertraum, T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} ein vertauschendes Tupel und 1 ≤ p ≤ ∞ eine reelle Zahl. Dann nennen wir T p-wesentlich normal, falls

[T_{i}, T_{j}^{∗}] ∈ L^{p}(H)

für i, j = 1, …, d gilt. Dabei ist [T_{i}, T_{j}^{∗}] = T_{i}T_{j}^{∗} − T_{j}^{∗}T_{i}. Wir nennen einen funktionalen Hilbertraum H p-wesentlich normal, falls M_{z} ∈ L(H)^{d} p-wesentlich normal ist.

3.2 p-wesentliche Normalität von H_{d}^{f} 45

Ein vertauschendes Tupel T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} ist nach dieser Definition ∞-wesentlich normal, wenn [T_{i}, T_{j}^{∗}] ∈ K(H) ist für i, j = 1, …, d. Nach dem Satz von Putnam-Fuglede ist das jedoch äquivalent dazu, dass T wesentlich normal ist. Die p-wesentliche Normalität stellt also eine Verfeinerung des Begriffs der wesentlichen Normalität dar. Bevor wir eine Charakterisierung funktionaler Hilberträume angeben, für die M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}) p-wesentlich normal ist, erinnern wir noch an den Raum der gewichteten, p-summierbaren Folgen.

Bemerkung 3.7. Für 1 ≤ p < ∞ und eine Folge (α_{n})_{n≥0} positiver reeller Zahlen bezeichne

l^{p}(α_{n}) = {(x_{n})_{n≥0}; x_{n} ∈ ℂ für alle n und ∑_{n=0}^{∞} |x_{n}|^{p}α_{n} < ∞}

den ℂ-Vektorraum, der mit (α_{n})_{n≥0} gewichteten, p-summierbaren Folgen. Dieser wird bezüglich der Norm

∥(x_{n})∥ = (∑_{n=0}^{∞} |x_{n}|^{p}α_{n})^{\frac{1}{p}}

zu einem Banachraum.

3.2 p-wesentliche Normalität von H_{d}^{f}

Im Folgenden beschäftigen wir uns wieder mit dem funktionalen Hilbertraum H_{d}^{f} aus Kapitel 2. Für L^{p}(H_{d}^{f}) schreiben wir abkürzend L^{p}. Das folgende Theorem liefert nun äquivalente Bedingungen zur p-wesentlichen Normalität von M_{z}. Abkürzend schreiben wir M_{i} = M_{z_{i}} (i = 1, …, d) für die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen auf H_{d}^{f} im weiteren Verlauf dieser Arbeit.

Theorem 3.8. Sei 0 < inf_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ≤ sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} < ∞. Dann sind für d < p < ∞

äquivalent:

(i) M_{i}^{∗}M_{j} − M_{j}M_{i}^{∗} ∈ L^{p} (i, j = 1, …, d),
(ii) M_{i}^{∗}M_{i} − M_{i}M_{i}^{∗} ∈ L^{p} (i = 1, …, d),
(iii) ∑_{i=1}^{d}(M_{i}^{∗}M_{i} − M_{i}M_{i}^{∗}) ∈ L^{p},

(iv) ∑_{n=1}^{∞} n^{d−1}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p} < ∞.

Beweis. Sei p > d. Im Verlauf dieses Beweises steht "≍" für "hat dasselbe Konvergenzverhalten wie".

(i) ⇒ (ii): ist klar. (ii) ⇒ (iii): folgt direkt aus Lemma 3.2. (iii) ⇒ (iv): Nach Lemma 2.4 gilt

∑_{n=1}^{∞}(\frac{a_{n}(n + d)}{a_{n+1}(n + 1)} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})E_{n} = ∑_{i=1}^{d}(M_{i}^{∗}M_{i} − M_{i}M_{i}^{∗}) ∈ L^{p}.

Dann ist nach Lemma 3.5

∑_{n=1}^{∞} |\frac{a_{n}(n + d)}{a_{n+1}(n + 1)} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p} dim ℍ_{n} < ∞.

Beachtet man, dass nach Lemma 1.14 und Lemma 1.23 gilt

dim ℍ_{n} = \frac{(n + d − 1)!}{(d − 1)!n!} ∼ \frac{(n + 1)^{d−1}}{(d − 1)!} ,

wobei ∼ bedeutet, dass der Quotient der beiden Folgen gegen 1 konvergiert, so erhält man

∑_{n=1}^{∞} |\frac{a_{n}(n + d)}{a_{n+1}(n + 1)} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p} dim ℍ_{n}

≍ ∑_{n=1}^{∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{n + d}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p}(n + 1)^{d−1}.

Da (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{d−1}{n+1})_{n≥1} ∈ l^{p}((n + 1)^{d−1}), ist auch (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})_{n≥1} ∈ l^{p}((n + 1)^{d−1}). Es folgt (iv). (iv) ⇒ (i): Seien

A = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{a_{n−1}} (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{n}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})E_{n}

und B = ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{1}{n + 1}E_{n}.

Dann sind nach Lemma 1.17 (i) A und B wohldefinierte Operatoren. Nach Teil (ii) ist B sogar kompakt. Nach Lemma 2.4 gilt für alle α ∈ ℕ^{d} und i ≠ j ∈ {1, …, d}:

(AM_{j}M_{i}^{∗})z^{α} = (AM_{j})\frac{α_{i}}{|α|} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} z^{α−e_{i}}
= A\frac{α_{i}}{|α|} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} z^{α−e_{i}+e_{j}}
= \frac{a_{|α|}}{a_{|α|−1}} (\frac{a_{|α|}}{a_{|α|+1}} \frac{|α|}{|α| + 1} − \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}})\frac{α_{i}}{|α|} \frac{a_{|α|−1}}{a_{|α|}} z^{α−e_{i}+e_{j}}
= (\frac{α_{i}a_{|α|}}{(|α| + 1)a_{|α|+1}} − \frac{α_{i}a_{|α|−1}}{|α|a_{|α|}})z^{α−e_{i}+e_{j}}
= (M_{i}^{∗}M_{j} − M_{j}M_{i}^{∗})z^{α}

Also ist M_{i}^{∗}M_{j} − M_{j}M_{i}^{∗} = AM_{j}M_{i}^{∗} für i ≠ j. Weiter gilt für alle α ∈ ℕ^{d} und i = 1, …, d:

(B + AM_{i}M_{i}^{∗})z^{α} = (\frac{(α_{i} + 1)a_{|α|}}{(|α| + 1)a_{|α|+1}} − \frac{α_{i}a_{|α|−1}}{|α|a_{|α|}})z^{α}
= (M_{i}^{∗}M_{i} − M_{i}M_{i}^{∗})z^{α}

Also ist M_{i}^{∗}M_{i} − M_{i}M_{i}^{∗} = B + AM_{i}M_{i}^{∗}. Benutzt man wieder Lemma 1.14 und Lemma 1.23, so gilt:

∥B∥_{p}^{p} = ∑_{n=0}^{∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{1}{n + 1}|^{p} dim ℍ_{n}

≍ ∑_{n=0}^{∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{1}{n + 1}|^{p}(n + 1)^{d−1}

= ∑_{n=0}^{∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} |^{p} \frac{1}{(n + 1)^{p−d+1}} .

Da nach Voraussetzung (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} )_{n≥0} nach oben beschränkt ist, konvergiert die letzte Reihe für alle p > d. Also ist B ∈ L^{p}. Weiter gilt, da

0 < inf_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ≤ sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} < ∞ ist:

∥A∥_{p}^{p} = ∑_{n=1}^{∞} |\frac{a_{n}}{a_{n−1}} |^{p}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{n}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p} dim ℍ_{n}

≍ ∑_{n=1}^{∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{n}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p}(n + 1)^{d−1}

= ∑_{n=1}^{∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} − \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{1}{n + 1}|^{p}(n + 1)^{d−1}.

Da (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{1}{n+1})_{n≥1} ∈ l^{p}((n + 1)^{d−1}), ist A ∈ L^{p} genau dann, wenn (|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |) ∈ l^{p}((n+1)^{d−1}) ist. Dies folgt aber aus der Voraussetzung (iv). Mit A und B liegen nach Lemma 3.2 auch alle Operatoren M_{i}^{∗}M_{j} − M_{j}M_{i}^{∗} (1 ≤ i, j ≤ d) in L^{p}.

Der Beweis des vorangegangenen Theorems motiviert die folgende Definition.

Definition 3.9. Sei 0 < inf_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ≤ sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} < ∞. Wir nennen f stark

regulär, wenn gilt:

sup_{n∈ℕ}n|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} | < ∞.

Insbesondere ist jedes stark reguläre f auch regulär. Mit dieser Definition erhalten wir als direkte Folgerung aus Theorem 3.8 dass die starke Regularität von f die p-wesentliche Normalität für p > d sicherstellt.

Korollar 3.10. Sei f stark regulär. Dann ist H_{d}^{f} p-wesentlich normal für p > d.

Beweis. Sei f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} stark regulär, also c = sup_{n∈ℕ}n|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} | < ∞.

Dann ist

∑_{n=1}^{∞} n^{d−1}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p}

= ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{p−d+1}} (n|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |)^{p}

≤ c^{p} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{p−d+1}} < ∞

für p > d. Damit ist H_{d}^{f} nach Theorem 3.8 p-wesentlich normal für p > d.

3.3 Der Hilbertmodul H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}

Wir untersuchen nun die Eigenschaften des Tupels M_{z} in einem vektorwertigen Fall, indem wir das Hilbertraum-Tensorprodukt von H_{d}^{f} mit ℂ^{r} bilden.

3.3 Der Hilbertmodul H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} 49

Definition 3.11. Sei H ein Hilbertraum und sei D = ℂ^{r} versehen mit dem üblichen Skalarprodukt. Wir schreiben H ⊗ D für das Hilbertraum-Tensor-produkt von H und D.

Im weiteren Verlauf der Arbeit verwenden wir häufig abkürzend D für ℂ^{r}. Sei U : H ⊗ D → H^{r} die eindeutig bestimmte unitäre Abbildung mit

U(x ⊗ (α_{i})_{i=1}^{r}) = (α_{i}x)_{i=1}^{r}

für x ∈ H und (α_{i})_{i=1}^{r} ∈ D. Für A ∈ L(H) sind A⊗1_{D} ∈ L(H ⊗D) und die r-

fache direkte Summe ⨁_{i=1}^{r} A : H^{r} → H^{r}, (x_{i})_{i=1}^{r} ↦ (Ax_{i})_{i=1}^{r} unitär äquivalent

vermöge U.

Sei T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} ein p-wesentlich normales vertauschendes Tupel auf einem Hilbertraum H. Für 1 ≤ i, j ≤ d ist der Operator

(T_{i} ⊗ 1_{D})(T_{j} ⊗ 1_{D})^{∗} − (T_{j} ⊗ 1_{D})^{∗}(T_{i} ⊗ 1_{D})
= (T_{i}T_{j}^{∗} − T_{j}^{∗}T_{i}) ⊗ 1_{D} ∈ L(H ⊗ D)

unitär äquivalent zur r-fachen direkten Summe des Operators T_{i}T_{j}^{∗} − T_{j}^{∗}T_{i} ∈ L^{p}. Daher folgt aus Teil b) von Lemma 3.3, dass das Tensorprodukt-Tupel T ⊗ 1_{D} = (T_{1} ⊗ 1_{D}, …, T_{d} ⊗ 1_{D}) ∈ L(H ⊗ D)^{d} wieder pwesentlich normal ist. Sei H ein funktionaler Hilbertraum über einer Menge Ω ⊂ ℂ^{d}. Ist g : Ω → ℂ ein Multiplikator von H, so schreiben wir meistens M_{g} für den Operator M_{g} ⊗ 1_{D} ∈ L(H ⊗ D). Entsprechend schreiben wir M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}) für das Tupel M_{z} ⊗ 1_{D} = (M_{z_{1}} ⊗ 1_{D}, …, M_{z_{d}} ⊗ 1_{D}) ∈ L(H ⊗ D)^{d}, wenn die Koordinatenfunktionen Multiplikatoren von H sind.

Bemerkung 3.12. Seien H ein Hilbertraum und T ∈ L(H)^{d}. Dann bezeichnet man die Menge der unter T invarianten Teilräume von H mit

Lat (T, H) = {M abgeschlossener Teilraum von H; T_{i}M ⊂ M(1 ≤ i ≤ d)}.

Meistens schreiben wir dafür nur Lat (T).

Seien H ein Hilbertraum und T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} ein vertauschendes Tupel. Dann wird H vermöge

ℂ[z] × H → H, (p, h) ↦ p · h = p(T)h,

zu einem ℂ[z_{1}, …, z_{d}]-Modul. Bezüglich dieser Struktur ist ein abgeschlossener Teilraum M ⊂ H ein Untermodul von H genau dann, wenn M ∈ Lat (T) ist. In diesem Abschnitt betrachten wir nun die Hilberträume H_{d}^{f} ⊗ D mit T = M_{z} ∈ L(H_{d}^{f} ⊗ D)^{d}, und fassen H_{d}^{f} ⊗ D als einen ℂ[z_{1}, …, z_{d}]- oder kurz als ℂ[z]-Modul auf. Aufgrund dieser strukturellen Eigenschaften bezeichnet man H_{d}^{f} ⊗ D auch als Hilbertmodul.

Definition 3.13. Man nennt ein Polynom p_{k} ∈ ℂ[z] homogen vom Grad k, wenn es aus Monomen vom Grad k besteht. Ein ℂ[z]-Modul H heißt graduiert, wenn es abelsche Gruppen (H_{i})_{i∈ℤ} gibt mit H = ⨁_{i∈ℤ}H_{i} und p_{k}h_{i} ∈ H_{k+i} für

alle i ∈ ℤ, k ∈ ℕ, h_{i} ∈ H_{i} und alle homogenen Polynome p_{k} vom Grad k.

Damit wird ℂ[z] ⊗ ℂ^{r} = ⨁_{n=0}^{∞} ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r} zu einem endlich erzeugten, gradu-

ierten ℂ[z]-Modul.

Bemerkung 3.14. Sei H ein Hilbertraum, T ∈ L(H) und M ∈ Lat (T). Dann sind T/M und P_{M^{⊥}}T |_{M^{⊥}} unitär äquivalent. Wir schreiben dafür im Folgenden T/M ≅ P_{M^{⊥}}T |_{M^{⊥}} und unterscheiden nicht mehr zwischen den beiden Abbildungen.

Beweis. Da M ∈ Lat (T) ist, ist die Abbildung

T̃ : H/M → H/M, x + M ↦ T x + M

wohldefiniert. Sei U die unitäre Abbildung

U : H/M → M^{⊥}, x + M ↦ P_{M^{⊥}}x.

Dann gilt für alle x + M ∈ H/M

(P_{M^{⊥}}T |_{M^{⊥}})U(x + M) = P_{M^{⊥}}T |_{M^{⊥}}P_{M^{⊥}}x
= P_{M^{⊥}}T x
= U(T x + M)
= (UT̃)(x + M).

Also sind T̃ und P_{M^{⊥}}T |_{M^{⊥}} unitär äquivalent.

3.4 Untermoduln von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}

In diesem Abschnitt untersuchen wir, unter welchen Voraussetzungen Untermoduln von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} p-wesentlich normal sind. Dazu benötigen wir jedoch zunächst einige Vorbereitungen.

Definition 3.15. Man nennt einen Untermodul M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}) p-wesentlich normal, wenn M_{z}|_{M} p-wesentlich normal ist.

Das folgende Lemma charakterisiert gerade die p-wesentlich normalen Untermoduln, ist hier jedoch in allgemeinerer Form angegeben.

3.4 Untermoduln von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} 51

Lemma 3.16. Sei 1 ≤ p ≤ ∞, T = (T_{1}, …, T_{d}) ein p-wesentlich normales vertauschendes Tupel auf einem Hilbertraum H und sei M ∈ Lat (T). Äquivalent sind:

(i) T |_{M} ist p-wesentlich normal,
(ii) T/M(≅ P_{M^{⊥}}T |_{M^{⊥}}) ist p-wesentlich normal,
(iii) [P_{M}, T_{i}] ∈ L^{2p}(H) (1 ≤ i ≤ d),
(iv) [P_{M}, T_{i}][P_{M}, T_{j}]^{∗} ∈ L^{p}(H) (1 ≤ i, j ≤ d),
(v) [P_{M}, T_{i}]^{∗}[P_{M}, T_{j}] ∈ L^{p}(H) (1 ≤ i, j ≤ d),
(vi) P_{M}T_{j}^{∗}T_{i}P_{M} − T_{i}P_{M}T_{j}^{∗} ∈ L^{p}(H) (1 ≤ i, j ≤ d).

Beweis. Sei p < ∞. (iv) ⇔ (vi): Aus M ∈ Lat (T) folgt M^{⊥} ∈ Lat (T^{∗}). Damit erhält man für 1 ≤ i, j ≤ d :

[P_{M}, T_{i}][P_{M}, T_{j}]^{∗} = (P_{M}T_{i} − T_{i}P_{M})(P_{M}T_{j} − T_{j}P_{M})^{∗}
= P_{M}T_{i}T_{j}^{∗}P_{M} − P_{M}T_{i}P_{M}T_{j}^{∗} − T_{i}P_{M}T_{j}^{∗}P_{M} + T_{i}P_{M}T_{j}^{∗}
= P_{M}T_{i}T_{j}^{∗}P_{M} − P_{M}T_{j}^{∗}T_{i}P_{M} + P_{M}T_{j}^{∗}T_{i}P_{M}
+ T_{i}P_{M}T_{j}^{∗}P_{M^{⊥}} − P_{M}T_{i}P_{M}T_{j}^{∗}
= P_{M}[T_{i}, T_{j}^{∗}]P_{M} + P_{M}T_{j}^{∗}T_{i}P_{M} − T_{i}P_{M}T_{j}^{∗}.

Mit der p-wesentlichen Normalität von T folgt die Behauptung aus Lemma 3.2. (iii) ⇔ (iv): Setze C = ([P_{M}, T_{1}]^{∗}, …, [P_{M}, T_{d}]^{∗}) ∈ L(H^{d}, H). Nach Lemma 3.3 bedeutet Bedingung (iii) genau, dass C ∈ L^{2p} oder äquivalent dazu, dass C^{∗}C = ([P_{M}, T_{i}][P_{M}, T_{j}]^{∗})_{i,j} ∈ L^{p}(H^{d}). Wieder nach Lemma 3.3 ist die letzte Bedingung äquivalent zu (iv). (iii) ⇔ (v): Dies folgt genauso mit C = ([P_{M}, T_{1}], …, [P_{M}, T_{d}]).

(i) ⇔ (iv): Sei dazu B_{i} = T_{i}|_{M}. Dann ist (i) äquivalent dazu, dass der Operator [B_{i}, B_{j}^{∗}] ⊕ 0_{M^{⊥}} ∈ L^{p}(H) ist für 1 ≤ i, j ≤ d. Beachtet man, dass gilt

[B_{i}, B_{j}^{∗}] ⊕ 0_{M^{⊥}} = T_{i}P_{M}T_{j}^{∗}P_{M} − P_{M}T_{j}^{∗}T_{i}P_{M}
= −P_{M}T_{i}T_{j}^{∗}P_{M} + P_{M}T_{i}P_{M}T_{j}^{∗} + T_{i}P_{M}T_{j}^{∗}P_{M}
− T_{i}P_{M}T_{j}^{∗} + P_{M}T_{i}T_{j}^{∗}P_{M} − P_{M}T_{j}^{∗}T_{i}P_{M}
= −[P_{M}, T_{i}][P_{M}, T_{j}]^{∗} + P_{M}[T_{i}, T_{j}^{∗}]P_{M},

so folgt die Behauptung wegen der p-wesentlichen Normalität von T aus Lemma 3.2. (ii) ⇔ (v): Abkürzend schreibe P = P_{M}, P^{⊥} = P_{M^{⊥}}. Sei C_{i} = P^{⊥}T_{i}|_{M^{⊥}}.

Dann ist (ii) äquivalent dazu, dass 0_{M} ⊕ [C_{i}, C_{j}^{∗}] ∈ L^{p}(H), 1 ≤ i, j ≤ d. Beachtet man, dass gilt

0_{M} ⊕ [C_{i}, C_{j}^{∗}] = P^{⊥}T_{i}T_{j}^{∗}P^{⊥} − T_{j}^{∗}P^{⊥}T_{i}P^{⊥}
= P^{⊥}T_{i}T_{j}^{∗}P^{⊥} − P^{⊥}T_{j}^{∗}P^{⊥}T_{i}P^{⊥}
= P^{⊥}T_{i}T_{j}^{∗}P^{⊥} − P^{⊥}T_{j}^{∗}T_{i}P^{⊥} + P^{⊥}T_{j}^{∗}P T_{i}P^{⊥}
= P^{⊥}[T_{i}, T_{j}^{∗}]P^{⊥} + T_{j}^{∗}P T_{i} − T_{j}^{∗}P T_{i}P
− P T_{j}^{∗}P T_{i} + P T_{j}^{∗}T_{i}P
= P^{⊥}[T_{i}, T_{j}^{∗}]P^{⊥} + [P, T_{j}]^{∗}[P, T_{i}],

so folgt die Behauptung wegen der p-wesentlichen Normalität von T aus Lemma 3.2. Im Fall p = ∞ verwende man statt Lemma 3.2 die entsprechenden Eigenschaften kompakter Operatoren.

Bemerkung 3.17. (i) Die Äquivalenz zu (iii) in Lemma 3.16 zeigt, dass es genügt, die Bedingungen (iv), (v) und (vi) für i = j = 1, …, d zu verlangen. (ii) Die Äquivalenz zwischen (i) und (vi) bleibt sogar richtig, wenn T nicht p-wesentlich normal ist, denn

[(T_{i}|_{M})(T_{j}|_{M})^{∗} − (T_{j}|_{M})^{∗}(T_{i}|_{M})] ⊕ 0_{M^{⊥}} = T_{i}P_{M}T_{j}^{∗} − P_{M}T_{j}^{∗}T_{i}P_{M}.

(iii) Wegen (T_{i}/M)^{∗} ≅ (P_{M^{⊥}}T_{i}|_{M^{⊥}})^{∗} = T_{i}^{∗}|_{M^{⊥}} für i = 1, …, d ist T/M genau dann p-wesentlich normal, wenn T^{∗}|_{M^{⊥}} diese Eigenschaft hat.

Das gerade bewiesene Lemma wollen wir jetzt auf einige Spezialfälle von Untermoduln von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} anwenden. Dazu fehlt jedoch noch der Begriff eines homogenen Untermoduls und einige in diesem Falle geltende, wichtige Eigenschaften.

Definition 3.18. Man nennt einen Raum M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ℂ^{r}) homogen, wenn

M = ⋁_{n=0}^{∞} M ∩ (ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r}).

Für einen homogenen Raum M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}) schreiben wir in Zukunft M_{n} für die homogenen Anteile M ∩ (ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r}) von M.

Lemma 3.19. Für M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}) sind äquivalent:

(i) M ist homogen,
(ii) P_{M}ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r} ⊂ ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r} für alle n ∈ ℕ,
(iii) P_{M} = SOT- ∑_{n=0}^{∞} P_{M∩(ℍ_{n}⊗ℂ^{r})},
(iv) P_{ℍ_{n}⊗ℂ^{r}}M ⊂ M für alle n ∈ ℕ.

Beweis. (i) ⇒ (iii): Sei M homogen. Da die Räume M_{n} (n ∈ ℕ) paarweise orthogonal sind, gilt für alle x ∈ H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} und N ∈ ℕ

∑_{n=0}^{N} ∥P_{M_{n}}x∥^{2} = ∥ ∑_{n=0}^{N} P_{M_{n}}x∥^{2} = ∥(∑_{n=0}^{N} P_{M_{n}})x∥^{2} ≤ ∥x∥^{2}.

Also existiert Q = SOT- ∑_{n=0}^{∞} P_{M_{n}} ∈ L(H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}). Wegen M = ⋁_{n=0}^{∞} M_{n} gilt

offensichtlich die Inklusion M^{⊥} ⊂ Ker Q. Jedes x ∈ M hat die Form

x = ∑_{k=0}^{∞} x_{k}

mit Vektoren x_{k} ∈ M_{k}. Mit Hilfe dieser Darstellung erhält man, dass

∑_{n=0}^{∞} P_{M_{n}}x = ∑_{n=0}^{N} ∑_{k=0}^{∞} P_{M_{n}}x_{k} = ∑_{n=0}^{N} x_{n} →^{N} x.

Also ist Q = P_{M} wie behauptet. (iii) ⇒ (ii): Gilt (iii), so folgt für jedes k ∈ ℕ und x ∈ ℍ_{k} ⊗ ℂ^{r}

P_{M}x = ∑_{n=0}^{∞} P_{M_{n}}x = P_{M_{k}}x ∈ ℍ_{k} ⊗ ℂ^{r}.

(ii) ⇒ (i): Es gelte (ii). Sei x ∈ M. Schreibe x = ∑_{n=0}^{∞} x_{n} mit x_{n} ∈ ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r}

für alle n. Dann folgt

x = P_{M}x = ∑_{n=0}^{∞} P_{M}x_{n} ∈ ⋁_{n=0}^{∞} M_{n}.

(i) ⇒ (iv): Sei x = ∑_{n=0}^{∞} x_{n} ∈ M mit x_{n} ∈ M ∩ (ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r}) für alle n ∈ ℕ. Dann

gilt für jedes n ∈ ℕ

P_{ℍ_{n}⊗ℂ^{r}}x = x_{n} ∈ M.

(iv) ⇒ (i): Sei x ∈ M und x_{n} = P_{ℍ_{n}⊗ℂ^{r}}x (n ∈ ℕ). Dann ist

x = SOT- ∑_{n=0}^{∞} P_{ℍ_{n}⊗ℂ^{r}}x ∈ ⋁_{n=0}^{∞} M ∩ (ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r}).

Die andere Inklusion ist trivial.

Bemerkung 3.20. Sei M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}) homogen. Dann gilt für alle x_{n} ∈ M_{n} (n ∈ ℕ) und i = 1, …, d, dass M_{z_{i}}x_{n} ∈ M_{n+1} ist. Damit wird

⨁_{n=0}^{∞} M_{n} zu einem graduierten ℂ[z]-Untermodul von ℂ[z] ⊗ ℂ^{r}.

Bevor wir zu den eigentlichen Resultaten kommen, benötigen wir noch einen, auch unabhängig von der hier betrachteten Anwendungen, wichtigen Satz über die Dimensionen der homogenen Anteile eines homogenen Untermoduls M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}).

Satz 3.21. Sei M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}) ein homogener Untermodul. Dann gibt es ein Polynom q ∈ ℚ[z] in einer Veränderlichen mit deg(q) ≤ d − 1 und ein n_{0} ∈ ℕ so, dass

dim_{ℂ}(M_{n}) = q(n) für alle n ≥ n_{0}.

Ist deg(q) = r, so gibt es c_{1}, …, c_{r} ∈ ℤ und c_{0} ∈ ℕ so, dass

q(n) = c_{0}\binom{n}{r} + c_{1}\binom{n}{r − 1} + ⋯ + c_{r} (n ∈ ℕ).

Insbesondere gibt es im Fall d = 2 nur die beiden Möglichkeiten

q(n) = c_{0}n + c_{1} (c_{0} ∈ ℕ^{∗}, c_{1} ∈ ℤ)

oder

q(n) ≡ c_{0} (c_{0} ∈ ℕ).

Beweis. Nach der vorangegangenen Bemerkung ist ⨁_{n=0}^{∞} M_{n} ein graduierter

ℂ[z]-Untermodul von ℂ[z] ⊗ ℂ^{r}. Dieser ist nach [Lang, Proposition VI.1.4] endlich erzeugt, da auch ℂ[z] ⊗ ℂ^{r} endlich erzeugt ist. Nach einem klassischen Satz von Hilbert [Eisenbud, Theorem 1.11] existieren dann ein Polynom q ∈ ℚ[z] mit deg(q) ≤ d − 1 und ein n_{0} ∈ ℕ so, dass

dim_{ℂ}(M_{n}) = q(n)

für alle n ≥ n_{0} gilt. Ist r = deg(q), so erhält man mit [Hartshorne, Proposition I.7.3] Konstanten c_{0}, c_{1}, …, c_{r} ∈ ℤ mit

q(n) = c_{0}\binom{n}{r} + c_{1}\binom{n}{r − 1} + ⋯ + c_{r} (n ∈ ℕ).

Da q(n) = dim_{ℂ}(M_{n}) ≥ 0 für n ≥ n_{0} ist, muss c_{0} ≥ 0 sein. Im Fall d = 2 gibt es nur die beiden Möglichkeiten r = 1 oder r = 0, womit der Zusatz folgt.

Damit können wir Arvesons Vermutung im Fall d = 2 beweisen.

Theorem 3.22. Sei f stark regulär und d = 2. Wenn M ein homogener Untermodul von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} ist, dann ist M p-wesentlich normal für p > 2.

Beweis. Sei M ein homogener Untermodul von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}, d = 2 und p > 2. Nach Bemerkung 3.17 und Korollar 3.10 genügt es zu zeigen, dass die Operatoren

A_{i} = [P_{M}, M_{z_{i}}][P_{M}, M_{z_{i}}]^{∗}, i = 1, 2

zu L^{p}(H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}) gehören. Im Beweis von Lemma 3.16 wurde schon gezeigt, dass

A_{i} = P_{M}M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M} − M_{z_{i}}P_{M}M_{z_{i}}^{∗}

für i = 1, 2. Da M homogen ist, bildet A_{i} den Raum M_{n} nach Lemma 3.19 und Lemma 2.4 in sich ab. Benutzt man, dass für Operatoren A, B ∈ L(H) auf einem endlich dimensionalen Hilbertraum H die Identität tr (AB) = tr (BA) gilt, so erhält man

tr A_{i}|_{M_{n}} = tr (P_{M_{n}}M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M_{n}}) − tr (P_{M_{n}}M_{z_{i}}P_{M_{n−1}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M_{n}})
= tr (P_{M_{n}}M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M_{n}}) − tr (P_{M_{n}}M_{z_{i}}P_{M_{n−1}}P_{M_{n−1}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M_{n}})
= tr (P_{M_{n}}M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M_{n}}) − tr (P_{M_{n−1}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M_{n}}P_{M_{n}}M_{z_{i}}P_{M_{n−1}})
= tr (P_{M_{n}}M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M_{n}}) − tr (P_{M_{n−1}}M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}}P_{M_{n−1}}).

Mit Lemma 2.4 folgt für n ≥ 1

tr (A_{1} + A_{2})|_{M_{n}} = \frac{a_{n−1}}{a_{n}} (dim M_{n} − \frac{n + 1}{n} dim M_{n−1}).

Nach Satz 3.21 gibt es jedoch a ∈ ℤ und N, b ∈ ℕ so dass gilt:

dim M_{n} = a + bn ∀n ≥ N

Damit folgt dann ∀n ≥ N + 1:

tr (A_{1} + A_{2})|_{M_{n}} = \frac{a_{n−1}}{a_{n}} \frac{b − a}{n}

Da A_{1}, A_{2} positiv sind, folgt hieraus, dass a ≤ b. Sei n ≥ N + 1 und k_{n} = dim(M_{n}). Wähle eine Orthonormalbasis (v_{n,j})_{j=1}^{k_{n}} von M_{n} aus Eigenvektoren von A_{1} + A_{2} zu Eigenwerten μ_{n,j}. Dann gilt:

∑_{j=1}^{k_{n}} μ_{n,j} = tr (A_{1} + A_{2})|_{M_{n}} = \frac{a_{n−1}}{a_{n}} \frac{b − a}{n}

und daher

∑_{j=1}^{k_{n}} nμ_{n,j} = (b − a)\frac{a_{n−1}}{a_{n}} ≤ (b − a) sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n−1}}{a_{n}} = C < ∞.

Für t ≥ 1 gilt dann:

∑_{j=1}^{k_{n}} n^{t}μ_{n,j}^{t} ≤ C^{t}.

Insgesamt erhalten wir dir Abschätzung

∑_{n=N+1}^{∞} ∑_{j=1}^{k_{n}} μ_{n,j}^{t} ≤ C^{t} ∑_{n=N+1}^{∞} n^{−t}.

Die letzte Summe ist genau dann endlich, wenn t > 1 ist. Also ist A_{1}+A_{2} ∈ L^{t} für t > 1 (siehe Lemma 3.5). Nach Lemma 3.4 sind dann auch A_{i} ∈ L^{t} für t > 1, i = 1, 2.

Im vorangegangenen Beweis haben wir sogar gezeigt, dass A_{i} ∈ L^{t} ist für t > 1, i = 1, 2. Da Korollar 3.10 die p-wesentliche Normalität von H_{d}^{f} nur für p > d sicherstellt, können wir Lemma 3.16 nur für p > 2 anwenden und erhalten daher in diesem Fall kein besseres Ergebnis.

Definition 3.23. (i) Sei M ein homogener Untermodul von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}. Dann heißt

Ann (H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M) = {q ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{d}]; qH_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r} ⊂ M}

das Annihilatorideal von H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M. (ii) Sei I ⊂ ℂ[z_{1}, …, z_{d}] ein Ideal. Dann heißt

Z(I) = {λ ∈ ℂ^{d}; p(λ) = 0 für alle p ∈ I}

die Nullstellenmenge von I.

Satz 3.24. Sei M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}) homogen und N_{n} = ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r} ⊖ M_{n}. Dann existiert ein N ∈ ℕ und ein Polynom p_{k} vom Grad k, so dass

dim(N_{n}) = p_{k}(n)

für alle n ≥ N ist. Dabei ist

k = dim_{ℂ} Z(Ann (H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M)) − 1,

wobei p_{k} das Nullpolynom ist, falls k < 0.

Beweis. Siehe [Hartshorne, Satz I.7.5 und Übung I.2.6] und beachte, dass N_{n} ≅ (H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M)_{n}.

Wir können nun auch für d > 2 eine hinreichende Bedingung angeben, die die p-wesentliche Normalität homogener Untermoduln sicherstellt.

Theorem 3.25. Sei f stark regulär und sei M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ℂ^{r}) homogen mit

dim_{ℂ} Z(Ann (H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M)) ≤ 1.

Dann ist M p-wesentlich normal für p > d.

Beweis. Sei wie oben definiert M_{n} = M ∩ (ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r}) und

N_{n} = (ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r}) ⊖ M_{n} (n ≥ 0).

Setze

A_{i} = [P_{M}, M_{z_{i}}][P_{M}, M_{z_{i}}]^{∗} (1 ≤ i ≤ d).

Dann gilt wie im Beweis von Lemma 3.16 gesehen

A_{i} = P_{M}M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M} − M_{z_{i}}P_{M}M_{z_{i}}^{∗},

und die Operatoren A_{i} bilden die Räume M_{n} in sich ab. Weiter ist wie im Beweis von Theorem 3.22

tr (A_{1} + ⋯ + A_{d})|_{M_{n}}

= tr (∑_{i=1}^{d} P_{M_{n}}M_{z_{i}}M_{z_{i}}^{∗}P_{M_{n}}) − tr (∑_{i=1}^{d} P_{M_{n−1}}M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}}P_{M_{n−1}})
(Lemma 2.4) = \frac{a_{n−1}}{a_{n}} (dim M_{n} − \frac{n + d − 1}{n} dim M_{n−1})
= \frac{a_{n−1}}{a_{n}} (dim ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r} − dim N_{n}

− \frac{n + d − 1}{n} dim ℍ_{n−1} ⊗ ℂ^{r} + \frac{n + d − 1}{n} dim N_{n−1})

(Lemma 1.14) = \frac{a_{n−1}}{a_{n}} (\frac{n + d − 1}{n} dim N_{n−1} − dim N_{n}).

Wenn dim_{ℂ} Z(Ann(H_{d}^{f} ⊗ℂ^{r}/M)) ≤ 1, dann gibt es nach Satz 3.24 ein N ∈ ℕ und ein Polynom p_{k} vom Grad k ≤ 0 mit dim N_{n} = p_{k}(n), ∀n ≥ N. Also ist p_{k} ≡ K eine Konstante und damit

dim N_{n} = K für n ≥ N.

Dann gilt für alle n > N:

tr (A_{1} + ⋯ + A_{d})|_{M_{n}} = \frac{a_{n−1}}{a_{n}} (\frac{n + d − 1}{n}K − K)
= \frac{a_{n−1}}{a_{n}} \frac{d − 1}{n}K.

Ersetzt man im Beweis von Theorem 3.22 an dieser Stelle (b − a) durch (d − 1)K, so erhält man mit derselben Rechnung

A_{i} ∈ L^{t}, t > 1.

Aus Lemma 3.16 bzw. Bemerkung 3.17 zusammen mit Korollar 3.10 folgt, dass M p-wesentlich normal ist für p > d.

Bislang haben wir uns mit allgemeinen homogenen Untermoduln beschäftigt. Jetzt wollen wir als speziellen Fall die homogenen Untermoduln untersuchen, die Abschluss eines homogenen Ideals sind. Dafür verwenden wir im Folgenden wieder meist die abkürzende Schreibweise ℂ[z] für ℂ[z_{1}, …, z_{d}].

Definition 3.26. Sei I ⊂ ℂ[z_{1}, …, z_{d}] ein Ideal.

(i) Man nennt I homogen, wenn

I = ⨁_{n=0}^{∞} I ∩ ℍ_{n}.

(ii) [I] bezeichnet den Abschluss von I in H_{d}^{f}.

Mit dieser Definition erhält man direkt einige sehr wichtige Eigenschaften von homogenen Idealen, die im Folgenden noch mehrfach benötigt werden.

Lemma 3.27. Sei I ⊂ ℂ[z] ein Ideal.

a) I ist homogen genau dann, wenn endlich viele homogene Polynome p_{1}, …, p_{r} in ℂ[z] ∩ I existieren mit

I = ∑_{i=1}^{r} p_{i}ℂ[z].

b) Sei I homogen. Dann gilt:

(i) M = [I] ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f}) ist homogen. (ii) I = Ann (H_{d}^{f}/[I]).

Beweis. (a) "⇒": Sei I ⊂ ℂ[z] ein homogenes Ideal. Da ℂ[z] noethersch ist, existieren endlich viele Polynome q_{1}, …, q_{k} ∈ ℂ[z] ∩ I so, dass

I = ∑_{i=1}^{k} q_{i}ℂ[z].

Für i = 1, …, k sei r_{i} = deg(q_{i}). Da I homogen ist, lässt sich jedes q_{i} schreiben als

q_{i} = q_{i,1} + ⋯ + q_{i,r_{i}}

mit q_{i,j} ∈ I ∩ ℍ_{j} (j = 1, …, r_{i}). Man hat nun also endlich viele homogene Polynome q_{i,j} ∈ ℂ[z] ∩ I so, dass

I = ∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{r_{i}} q_{i,j}ℂ[z].

"⇐": Seien p_{1}, …, p_{r} ∈ ℂ[z] ∩ I homogene Polynome mit

I = ∑_{i=1}^{r} p_{i}ℂ[z].

Dann existieren für x ∈ I Polynome q_{1}, …, q_{r} in ℂ[z] mit

x = ∑_{i=1}^{r} p_{i}q_{i}.

Für i = 1, …, r sei k_{i} = deg(q_{i}) und m_{i} = deg(p_{i}). Dann lässt sich jedes q_{i} schreiben als

q_{i} = q_{i,1} + ⋯ + q_{i,k_{i}}

mit q_{i,j} ∈ ℍ_{j} (j = 1, …, k_{i}). Damit erhält man für x die Darstellung

x = ∑_{i=1}^{r} ∑_{j=1}^{k_{i}} p_{i}q_{i,j}

mit p_{i}q_{i,j} ∈ I ∩ ℍ_{m_{i}+j} für i = 1, …, r und j = 1, …, k_{i}. Also ist I homogen.

b) (i) Sei I homogen. Dann ist I = ⨁_{n=0}^{∞} I ∩ ℍ_{n}. Daher gilt für jedes n ∈ ℕ

P_{ℍ_{n}}I ⊂ I.

Weil P_{ℍ_{n}} stetig ist, gilt dann auch

P_{ℍ_{n}}M = P_{ℍ_{n}}[I] ⊂ [I] = M.

Also ist M = [I] nach Lemma 3.19 homogen. (ii) ” ⊂ ” : Sei q ∈ I und x ∈ H_{d}^{f}. Dann existiert eine Folge (x_{n})_{n≥0} in ℂ[z] mit x = lim_{n→∞} x_{n} und es gilt

qx = q lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} qx_{n} ∈ [I],

da I ein Ideal ist. Also ist q ∈ Ann(H_{d}^{f}/[I]). ” ⊃ ” : Sei q ∈ Ann(H_{d}^{f}/[I]). Also q ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{d}] so, dass qH_{d}^{f} ⊂ [I]. Insbesondere ist q ∈ [I] ∩ ℂ[z_{1}, …, z_{d}]. Sei N = deg(q) und sei (q_{k})_{k≥0} eine Folge in I mit q = lim_{k→∞} q_{k} in H_{d}^{f}. Da I homogen ist, hat jedes q_{k} eine endliche Summenzerlegung

q_{k} = ∑_{j≥0} q_{k,j} mit q_{k,j} ∈ I ∩ ℍ_{j} für alle k und j.

Dann gilt

q = P_{( ⋁_{n≤N} ℍ_{n})}q = lim_{k→∞}(P_{( ⋁_{n≤N} ℍ_{n})}q_{k}) = lim_{k→∞} ∑_{j=0}^{N} q_{k,j} ∈ I ∩ ⋁_{n≤N} ℍ_{n}.

Also ist q ∈ I.

Mit diesen Eigenschaften homogener Ideale ergibt sich direkt das folgende Korollar.

Korollar 3.28. Sei f stark regulär und I ein homogenes Ideal in ℂ[z_{1}, ⋯, z_{d}]. Ist dim_{ℂ}Z(I) ≤ 1, dann ist der Untermodul [I] p-wesentlich normal für p > d.

Beweis. Da nach dem vorangegangenen Lemma I = Ann (H_{d}^{f}/[I]) ist, folgt dim_{ℂ} Z(Ann (H_{d}^{f}/[I])) = dim_{ℂ} Z(I) ≤ 1. Dann folgt die Behauptung aus Theorem 3.25 für r = 1.

3.5 Das Quotiententupel M_{z}/M

Die bisherigen Resultate für homogene Untermoduln lassen sich noch verbessern, wenn man statt den Einschränkungen M_{z}|_{M} die Quotiententupel M_{z}/M betrachtet.

3.5 Das Quotiententupel M_{z}/M 61

Theorem 3.29. Sei f stark regulär und sei M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f} ⊗ℂ^{r}) homogen und

dim_{ℂ} Z(Ann (H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M)) ≤ 1.

Dann ist M_{z}/M ∈ L(H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M)^{d} p-wesentlich normal für p > 1.

Beweis. Setze T_{i} = M_{z_{i}} für 1 ≤ i ≤ d und sei 1 ≤ p < ∞. Im Beweis von Lemma 3.16 wurde gezeigt, dass

[P_{M^{⊥}}, T_{i}^{∗}][P_{M^{⊥}}, T_{j}^{∗}]^{∗} = P_{M^{⊥}}[T_{i}^{∗}, T_{j}]P_{M^{⊥}} + P_{M^{⊥}}T_{j}T_{i}^{∗}P_{M^{⊥}} − T_{i}^{∗}P_{M^{⊥}}T_{j}

für i, j = 1, …, d gilt und nach Bemerkung 3.17 (iii) ist T/M genau dann p-wesentlich normal, wenn T^{∗}|_{M^{⊥}} diese Eigenschaft hat. Dies ist aber nach Teil (ii) derselben Bemerkung äquivalent dazu, dass

T_{i}^{∗}P_{M^{⊥}}T_{j} − P_{M^{⊥}}T_{j}T_{i}^{∗}P_{M^{⊥}} ∈ L^{p} (1 ≤ i, j ≤ d).

Im Beweis von Theorem 3.25 wurde gezeigt, dass für i = 1, …, d

[P_{M}, T_{i}][P_{M}, T_{i}]^{∗} ∈ L^{t} (t > 1).

Nach Lemma 3.2 und Lemma 3.3 ist [P_{M}, T_{i}] ∈ L^{2t}. Bemerkung 3.17 (ii) zeigt auch, dass

[P_{M^{⊥}}, T_{i}^{∗}][P_{M^{⊥}}, T_{j}^{∗}]^{∗} = [1 − P_{M}, T_{i}^{∗}][1 − P_{M}, T_{j}^{∗}]^{∗}
= [P_{M}, T_{i}]^{∗}[P_{M}, T_{j}] ∈ L^{t} (t > 1, 1 ≤ i, j ≤ d).

Also genügt es zu zeigen, dass

P_{M^{⊥}}[T_{i}^{∗}, T_{j}]P_{M^{⊥}} ∈ L^{t} (t > 1, 1 ≤ i, j ≤ d).

Wie im Beweis von Theorem 3.8 zeigt man, dass

[T_{i}^{∗}, T_{j}] = \{ \begin{matrix}AT_{j}T_{i}^{∗}; i ≠ j \\ B + AT_{i}T_{i}^{∗}; i = j \end{matrix}

mit

A = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{a_{n−1}} (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{n}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})E_{n} ⊗ 1_{ℂ^{r}},

B = ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{1}{n + 1}E_{n} ⊗ 1_{ℂ^{r}}.

Weil M homogen ist, vertauschen P_{M^{⊥}} und (E_{n} ⊗ 1_{ℂ^{r}}) (siehe Lemma 3.19). Daher ist

P_{M^{⊥}}(E_{n} ⊗ 1_{ℂ^{r}}) = P_{(M^{⊥})∩(ℍ_{n}⊗ℂ^{r})} (n ≥ 0).

Setze N_{n} = M^{⊥} ∩ (ℍ_{n} ⊗ ℂ^{r}) für n ≥ 0. Dann ist

P_{M^{⊥}}A = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{a_{n−1}} (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{n}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})P_{N_{n}}

und wie im Beweis von Theorem 3.8 folgt, dass

∥P_{M^{⊥}}A∥_{p}^{p} = ∑_{n=1}^{∞}(\frac{a_{n}}{a_{n−1}} )^{p}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{n}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p} dim N_{n}

(da dim N_{n} = const.∀n ≥ N) ≍ ∑_{n=1}^{∞} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \frac{n}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} |^{p}

= ∑_{n=1}^{∞} |(\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})\frac{n}{n + 1} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}} \frac{1}{n + 1}|^{p}.

Sei p > 1 fest. Da (\frac{a_{n−1}}{a_{n}} \frac{1}{n+1})_{n≥1} ∈ l^{p} ist, ist P_{M^{⊥}}A ∈ L^{p} genau dann, wenn

(\frac{a_{n}}{a_{n+1}} − \frac{a_{n−1}}{a_{n}})_{n≥1} ∈ l^{p}.

Entsprechend folgt, dass

∥P_{M^{⊥}}B∥_{p}^{p} = ∑_{n=0}^{∞}(\frac{a_{n}}{a_{n+1}} )^{p} \frac{1}{(n + 1)^{p}} dim N_{n} ≍ ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(n + 1)^{p}} .

Ist f stark regulär, so sind P_{M^{⊥}}A, P_{M^{⊥}}B ∈ L^{p} für alle p > 1 und es folgt aus Lemma 3.2

P_{M^{⊥}}[T_{i}^{∗}, T_{j}]P_{M^{⊥}} = \{ \begin{matrix}P_{M^{⊥}}AT_{j}T_{i}^{∗}P_{M^{⊥}}; i ≠ j \\ P_{M^{⊥}}BP_{M^{⊥}} + P_{M^{⊥}}AT_{i}T_{i}^{∗}P_{M^{⊥}}; i = j \end{matrix} \} ∈ L^{p}.

für alle p > 1.

Betrachtet man den Fall d = 2, so ist die Bedingung für die Dimension von Z(Ann (H_{d}^{f} ⊗ ℂ^{r}/M)) sogar überflüssig und man erhält das folgende Korollar.

Korollar 3.30. Sei f stark regulär und {0} ≠ I ein homogenes Ideal in ℂ[z_{1}, z_{2}]. Dann ist der Quotientenmodul H_{d}^{f}/[I] p-wesentlich normal für jedes p > 1.

Beweis. Da {0} ≠ I ⊆ ℂ[z_{1}, z_{2}] ist, gibt es mindestens ein homogenes Polynom p_{0} ≠ 0 mit p_{0} ∈ I. Da p_{0} nicht das Nullpolynom ist, gilt dim_{ℂ} Z(p_{0}) ≤ 1. Also ist

dim_{ℂ} Z(I) ≤ dim_{ℂ} Z(p_{0}) ≤ 1.

Daher liefert Theorem 3.29 zusammen mit Lemma 3.27 die Behauptung.

3.6 Kodimensionalität homogener Untermoduln

In diesem Abschnitt wollen wir eine hinreichende Bedingung angeben unter der ein homogener Untermodul M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f}) endlich kodimensional ist. Um jedoch unser Resultat beweisen zu können, benötigen wir noch zwei, auch für sich genommen, interessante Resultate.

Lemma 3.31. Sei M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f}) homogen und seien

M_{n} = M ∩ ℍ_{n} (n ∈ ℕ).

Dann gibt es ein N ∈ ℕ mit

M_{n+1} = ∑_{ν=1}^{d} z_{ν}M_{n}

für alle n ≥ N.

Beweis. Die algebraische direkte Summe

I = ⨁_{n=0}^{∞} M_{n} ⊂ ℂ[z]

ist ein homogenes Ideal und wird daher nach Lemma 3.27 von endlich vielen homogenen Polynomen p_{i} ∈ M_{n_{i}} (1 ≤ i ≤ r) erzeugt. Sei N = max_{1≤i≤r} n_{i}. Wir

zeigen nun, dass dann

M_{n+1} = ∑_{ν=1}^{d} z_{ν}M_{n}

für alle n ≥ N gilt. Dabei ist die Inklusion ” ⊃ ” klar. Sei umgekehrt p ∈ M_{n+1}. Dann gibt es q_{1}, …, q_{r} ∈ ℂ[z] mit

p = ∑_{i=1}^{r} p_{i}q_{i}.

Zerlegt man nun die q_{i} in ihre homogenen Bestandteile

q_{i} = ∑_{k≥0} q_{i,k} ∈ ℍ_{k},

dann lässt sich p als Summe von homogenen Polynomen schreiben. Daher reicht es aus, diejenigen q_{i,k} zu betrachten mit deg(p_{i}) + k = n + 1. Da diese q_{i,k} keine konstanten Anteile haben, lässt sich jedes solche schreiben als

q_{i,k} = ∑_{ν=1}^{d} z_{ν}t_{i,k,ν}

mit geeigneten t_{i,k,ν} ∈ ℍ_{k−1}. Insgesamt erhält man

p = ∑_{i,k;deg(p_{i})+k=n+1} p_{i}q_{i,k} ∈ ∑_{ν=1}^{d} z_{ν} ∑_{i=1}^{r} p_{i}ℍ_{n−n_{i}} ⊂ ∑_{ν=1}^{d} z_{ν}M_{n}.

Theorem 3.32. Sei {0} ≠ M_{n} ⊂ ℍ_{n} ein linearer Teilraum und

M_{n+1} = z_{1}M_{n} + ⋯ + z_{d}M_{n}.

Dann gilt

dim M_{n+1} ≥ \frac{d + n}{1 + n} dim M_{n}

und Gleichheit gilt genau dann, wenn M_{n} = ℍ_{n}.

Beweis. Sei H der zu f = ∑_{n=0}^{∞} z^{n} = \frac{1}{1−z} gebildete funktionale Hilbertraum

über B_{1}(0) ⊂ ℂ^{d}. Dann ist M_{z} = (M_{z_{1}}, …, M_{z_{d}}) ∈ L(H)^{d}. Seien P_{M_{n}}, P_{M_{n+1}} ∈ L(H) die Orthogonalprojektionen von H auf M_{n} bzw. M_{n+1} und

T = P_{M_{n+1}} − ∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}P_{M_{n}}M_{z_{i}}^{∗}.

Dann gilt für x ∈ ℍ_{n+1} mit x = ∑_{|α|=n+1} b_{α}z^{α} mit Lemma 2.4 und Theorem 1.15:

⟨T x, x⟩ = ∥x∥^{2} − ∑_{i=1}^{d} ∥P_{M_{n}}M_{z_{i}}^{∗}x∥^{2}

≥ ∥x∥^{2} − ∑_{i=1}^{d} ∥M_{z_{i}}^{∗}x∥^{2}

= ∑_{|α|=n+1} |b_{α}|^{2} \frac{α!}{|α|!} − ∑_{i=1}^{d} ∥ ∑_{|α|=n+1} b_{α} \frac{α_{i}}{|α|}z^{α−e_{i}}∥^{2}

= ∑_{|α|=n+1} |b_{α}|^{2} \frac{α!}{|α|!} − ∑_{i=1}^{d} ∑_{|α|=n+1} |b_{α}|^{2} \frac{α_{i}^{2}}{|α|^{2}} \frac{(α − e_{i})!}{(|α| − 1)!}

= ∑_{|α|=n+1} |b_{α}|^{2} \frac{α!}{(n + 1)!}(1 − ∑_{i=1}^{d} \frac{α_{i}}{n + 1}) = 0.

Damit ist T ≥ 0. Wählt man eine Basis (p_{j}^{(n)})_{j=1}^{dim M_{n}} von M_{n} ⊂ H, dann erhält man unter erneuter Verwendung von Lemma 2.4:

tr [∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}P_{M_{n}}M_{z_{i}}^{∗}] = ∑_{j=1}^{dim M_{n}} ∑_{i=1}^{d} tr [M_{z_{i}}p_{j}^{(n)} ⊗ p_{j}^{(n)}M_{z_{i}}^{∗}]

= ∑_{j=1}^{dim M_{n}} ∑_{i=1}^{d} tr [(M_{z_{i}}p_{j}^{(n)}) ⊗ (M_{z_{i}}p_{j}^{(n)})]

= ∑_{j=1}^{dim M_{n}} ∑_{i=1}^{d} ∥M_{z_{i}}p_{j}^{(n)}∥^{2}

= ∑_{j=1}^{dim M_{n}}⟨∑_{i=1}^{d} M_{z_{i}}^{∗}M_{z_{i}}p_{j}^{(n)}, p_{j}^{(n)}⟩

= ∑_{j=1}^{dim M_{n}} \frac{n + d}{n + 1}

= \frac{n + d}{n + 1} dim M_{n}.

Da T ≥ 0 war, folgt daraus, dass (dim M_{n+1} − \frac{n+d}{n+1} dim M_{n}) = tr (T) ≥ 0 und damit die erste Behauptung. Ist M_{n} = ℍ_{n}, dann ist auch M_{n+1} = ℍ_{n+1} und die behauptete Gleichheit folgt aus Lemma 1.14. Sei also nun umgekehrt dim M_{n+1} = \frac{n+d}{n+1} dim M_{n}. Dann ist tr (T) = 0 und damit auch T = 0. Für ξ ∈ M_{n+1} folgt dann einerseits

∥ξ∥^{2} = ∑_{i=1}^{d} ∥P_{M_{n}}M_{z_{i}}^{∗}ξ∥^{2},

andererseits erhält man aus Lemma 2.4

∥ξ∥^{2} = ∑_{i=1}^{d} ∥M_{z_{i}}^{∗}ξ∥^{2}.

Also folgt, dass M_{z_{i}}^{∗}ξ ∈ M_{n} für i = 1, …, d und damit

M_{z_{j}}M_{z_{i}}^{∗}M_{n+1} ⊂ M_{n+1} (1 ≤ i, j ≤ d).

Wegen M_{n} ≠ {0} ist M_{n+1} = ∑_{i=1}^{d} z_{i}M_{n} ≠ {0}. Wähle ein

p = ∑_{|β|=n+1} a_{β}z^{β} ∈ M_{n+1}\{0}

und setze J = {β ∈ ℕ^{d}; |β| = n + 1 und a_{β} ≠ 0}. Wähle

α_{1} = max{β_{1}; β ∈ J},
α_{2} = max{β_{2}; β ∈ J und β_{1} = α_{1}},
α_{3} = max{β_{3}; β ∈ J und (β_{1}, β_{2}) = (α_{1}, α_{2})},
⋮
α_{d−1} = max{β_{d−1}; β ∈ J und (β_{1}, …, β_{d−2}) = (α_{1}, …, α_{d−2})},
α_{d} = β_{d} mit β ∈ J und (β_{1}, …, β_{d−1}) = (α_{1}, …, α_{d−1}).

Dann erhält man mit Lemma 2.4

(M_{z_{d}}M_{z_{d−1}}^{∗})^{α_{1}+···+α_{d−1}} ⋯ (M_{z_{3}}M_{z_{2}}^{∗})^{α_{1}+α_{2}}(M_{z_{2}}M_{z_{1}}^{∗})^{α_{1}}p = δz_{d}^{n+1},

wobei δ eine positive Konstante ist. Also ist z_{d}^{n+1} ∈ M_{n+1}. Eine ähnliche Rechnung ergibt für ein beliebiges α = (α_{1}, …, α_{d}) ∈ ℕ^{d} mit |α| = n+1 und K_{α} = (M_{z_{1}}M_{z_{2}}^{∗})^{n+1−α_{d}···−α_{2}} ⋯ (M_{z_{d−2}}M_{z_{d−1}}^{∗})^{n+1−α_{d}−α_{d−1}}(M_{z_{d−1}}M_{z_{d}}^{∗})^{n+1−α_{d}}, dass auch z^{α} ∈ M_{n+1} ist, denn

K_{α}z_{d}^{n+1} = γz_{1}^{α_{1}} ⋯ z_{d}^{α_{d}} = γz^{α},

wobei γ eine positive Konstante ist. Also ist M_{n+1} = ℍ_{n+1}. Aus Lemma 1.14 und dim M_{n+1} = \frac{n+d}{n+1} dim M_{n} erhält man dim M_{n} = dim ℍ_{n}. Also ist M_{n} = ℍ_{n}, wie behauptet.

Damit haben wir alle Vorbereitungen für das nächste Theorem getroffen. Theorem 3.33. Sei 0 < inf_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ≤ sup_{n∈ℕ} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} < ∞ und M ein homogener Untermodul von H_{d}^{f}. Sind alle [P_{M}, M_{z_{i}}] in L^{2}, dann ist dim H_{d}^{f}/M < ∞. Beweis. Benutzt man dieselbe Notation wie im Beweis von Theorem 3.25, so gilt:

tr (A_{1} + ⋯ + A_{d})|_{M_{n}} = \frac{a_{n−1}}{a_{n}} (dim M_{n} − \frac{n + d − 1}{n} dim M_{n−1})
= \frac{a_{n−1}}{a_{n}} \frac{n dim M_{n} − (n + d − 1) dim M_{n−1}}{n} .

Da [P_{M}, M_{z_{i}}] ∈ L^{2} für alle i = 1, ⋯, d, ist A_{1} + ⋯ + A_{d} ∈ L^{1} und es folgt, dass ∑_{n=0}^{∞} tr (A_{1} + ⋯ + A_{d})|_{M_{n}} < ∞. Nach Lemma 3.31 gibt es ein N_{0} ∈ ℕ, so dass

M_{n} = z_{1}M_{n−1} + ⋯ + z_{d}M_{n−1}

für alle n > N_{0} gilt. Weil 0 < inf_{n∈ℕ} \frac{a_{n−1}}{a_{n}} ist, gilt

∑_{n=N_{0}}^{∞} \frac{n dim M_{n} − (n + d − 1) dim M_{n−1}}{n} < ∞.

Da A_{1} + ⋯ + A_{d} positiv ist, sind alle Summanden nicht-negativ. Da aber ∑_{n=N_{0}}^{∞} \frac{1}{n} = ∞, muss es ein N_{1} ∈ ℕ geben mit N_{1} ≥ N_{0} und

N_{1} dim M_{N_{1}} = (N_{1} + d − 1) dim M_{N_{1}−1}

Nach Theorem 3.32 gilt dann aber M_{N_{1}} = ℍ_{N_{1}} und damit sogar M_{n} = ℍ_{n} für alle n ≥ N_{1}. Daher ist dim M^{⊥} = dim H_{d}^{f}/M ≤ ∑_{n=0}^{N_{1}−1} dim ℍ_{n} < ∞.

Spektrum und wesentliches Spektrum von M_{z}|_{M} und M_{z}/M

4.1 Allgemeine Vorbemerkungen

Im Verlauf dieses Kapitels betrachten wir wieder wesentlich normale Räume H_{d}^{f} und untersuchen das Spektrum und das wesentliche Spektrum von M_{z}|_{M} bzw. M_{z}/M für Untermoduln M von H_{d}^{f}. Dafür verwenden wir die folgenden abkürzenden Schreibweisen: Sei M ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f}) und p ∈ ℂ[z], dann definieren wir:

R_{p} = M_{p}|_{M}; R_{i} = R_{z_{i}}, R = (R_{1}, …, R_{d}),
S_{p} = P_{M^{⊥}}M_{p}|_{M^{⊥}}(≅ M_{p}/M); S_{i} = S_{z_{i}}, S = (S_{1}, …, S_{d}),

wobei M_{p} den Multiplikationsoperator mit p ∈ ℂ[z] aus Definition 2.1 bezeichnet. Weiter seien s und t wie in Kapitel 2 gewählt.

Lemma 4.1. Ist μ ∈ ℂ mit s ≤ |μ| ≤ t, dann ist der Unterraum (z − μ)H_{1}^{f} nicht abgeschlossen.

Beweis. Offensichtlich ist M_{z} − μ injektiv. Da der Raum

\overline{(z − μ)ℂ[z]} + ℂ1 ⊂ H_{1}^{f}

abgeschlossen ist und ℂ[z] enthält, ist \overline{(z − μ)ℂ[z]} + ℂ1 = H_{1}^{f}. Wäre (z − μ)H_{1}^{f} ⊂ H_{1}^{f} abgeschlossen, so wäre dim H_{1}^{f}/Im (M_{z} − μ) ≤ 1 und μ ∈ σ_{e}(M_{z}). Dies ist ein Widerspruch zu Theorem 2.22.

Um das eigentliche Resultat vorzubereiten, beweisen wir einige auch allgemeiner geltende Hilfssätze. Für ein Kompaktum K ⊂ ℂ^{d} nennt man die Menge

K^{∼} = {z ∈ ℂ^{d}; |p(z)| ≤ ∥p∥_{∞,K} für alle p ∈ ℂ[z]}

70 4. Spektrum und wesentliches Spektrum von M_{z}|_{M} und M_{z}/M

die polynom-konvexe Hülle von K. Die Menge K heißt polynom-konvex, falls K = K^{∼} ist.

Bemerkung 4.2. Da für ein beliebiges Kompaktum K ⊂ ℂ^{d} die Menge K^{∼} ein polynom-konvexes Kompaktum ist, gibt es zu jedem λ ∈ ℂ^{d}\K^{∼} ein p ∈ ℂ[z] mit |p(λ)| > ∥p∥_{∞,K̃}. Indem man Polynome p_{1}, …, p_{d} ∈ ℂ[z] wählt mit

p(z) − p(λ) = ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − λ_{i})p_{i}(z) (z ∈ ℂ^{d}),

sieht man, dass eine offene Umgebung U von K^{∼} und analytische Funktionen f_{i} ∈ O(U) (i = 1, …, d) existieren mit

1 = ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − λ_{i})f_{i}(z) (z ∈ U).

Da K^{∼} polynom-konvex ist, gibt es eine kleinere Umgebung V ⊂ U von K^{∼} so, dass jedes f_{i} (i = 1, …, d) auf V kompakt gleichmäßiger Limes einer Folge (p_{i,k})_{k≥0} von Polynomen p_{i,k} ∈ ℂ[z] ist (Wähle dazu V wie in [Vasilescu, Lemma II.9.2]. Dann existiert nach [Vasilescu, Lemma II.9.1] eine polynom-konvexe, kompakte Ausschöpfung von V. Auf diese wende man das Oka-Weil-Theorem [Range, Theorem VI.1.5] an).

Mit dieser Bemerkung erhält man ein Resultat für die Einschränkung von T ∈ L(H)^{d} auf ein M ∈ Lat (T, H).

Satz 4.3. Sei H ein Hilbertraum, T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} ein vertauschendes Tupel und M ∈ Lat (T, H). Dann ist

σ(T |_{M}) ⊂ σ(T)^{∼}.

Beweis. Ist in der Situation der vorangegangenen Bemerkung K = σ(T), so ist M wegen

f_{i}(T) = lim_{k→∞} p_{i,k}(T) (i = 1, …, d)

auch invariant unter den Operatoren f_{i}(T). Also ist

1_{M} = ∑_{i=1}^{d}(T_{i} − λ_{i})f_{i}(T)|_{M} = ∑_{i=1}^{d}(T_{i}|_{M} − λ_{i})(f_{i}(T)|_{M}).

Da die Operatoren f_{i}(T)|_{M} im Kommutanten von T |_{M} liegen, folgt aus [EP, Lemma 2.2.4]

λ ∉ σ(T |_{M}).

Damit ist gezeigt, dass σ(T |_{M}) ⊂ σ(T)^{∼} gilt.

Der nächste Satz dient zur Beschreibung des wesentlichen Spektrums von wesentlich normalen Operatoren T ∈ L(H)^{d} auf einem Hilbertraum H.

Satz 4.4. Sei H ein Hilbertraum, T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} wesentlich normal und λ ∈ ℂ^{d} so, dass

dim H^{d}(λ − T, H) < ∞

ist bzw.

H → H^{d}, x ↦ ((λ_{i} − T_{i})x)_{i=1}^{d}

endlich dimensionalen Kern und abgeschlossenes Bild besitzt, so ist

λ ∉ σ_{e}(T).

Beweis. Seien

H^{∞} = {(x_{n})_{n≥0}; (x_{n})_{n≥0} ist beschränkte Folge in H}

und

pc(H) = {(x_{n}) ∈ H^{∞}; jede Teilfolge von (x_{n}) hat eine konvergente Teilfolge}.

Dann ist H^{∞} ein Banachraum und pc(H) ⊂ H^{∞} ein abgeschlossener Teilraum. Weiter bezeichne H^{q} = H^{∞}/pc(H) den Quotientenraum. Für A ∈ L(H) ist

A^{∞} : H^{∞} → H^{∞}, (x_{n}) ↦ (Ax_{n})

stetig linear mit ∥A^{∞}∥ ≤ ∥A∥ und A^{∞}pc(H) ⊂ pc(H). Sei A^{q} der Quotientenoperator

A^{q} : H^{q} → H^{q}, A^{q}((x_{n}) + pc(H)) = A^{∞}((x_{n})) + pc(H).

Nach Konstruktion ist ∥A^{q}∥ ≤ ∥A∥ und A^{q} = 0 genau dann, wenn A ∈ L(H) kompakt ist. Für das wesentlich normale Tupel T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(H)^{d} bezeichne

T^{q} = (T_{1}^{q}, …, T_{d}^{q}) ∈ L(H^{q})^{d}

das induzierte vertauschende Tupel auf dem Banachraum H^{q} und

[T] = ([T_{1}], …, [T_{d}]) ∈ C(H)^{d}

das induzierte vertauschende Tupel normaler Elemente in der Calkin-Algebra C(H) = L(H)/K(H). Nach Putnam-Fugledes Theorem ist die erzeugte unitale C^{∗}-Algebra

C^{∗}([T]) = C^{∗}({[T_{1}], …, [T_{d}]}) ⊂ C(H)

kommutativ. Weiter wissen wir bereits (siehe Kapitel 2), dass

σ_{e}(T) = σ(L_{[T]}, C(H)) = σ(L_{[T]}, C^{∗}([T]))
= σ_{C^{∗}([T])}([T]) = {λ([T_{1}]), …, λ([T_{d}]); λ ∈ △_{C^{∗}([T])}}.

Also ist die Abbildung

χ : △_{C^{∗}([T])} → σ_{e}(T); λ ↦ (λ([T_{1}]), …, λ([T_{d}]))

wohldefiniert und surjektiv. Offensichtlich ist χ auch injektiv und stetig. Also ist χ ein Homöomorphismus zwischen kompakten Hausdorffräumen. Die Komposition

Φ : C(σ_{e}(T)) → C(△_{C^{∗}([T])}) →^{Γ^{−1}} C^{∗}([T]),
f ↦ f ∘ χ

wobei Γ : C^{∗}([T]) → C(△_{C^{∗}([T])}), a ↦ â der Geldfand-Isomorphismus ist, ist ein Isomorphismus zwischen unitalen C^{∗}-Algebren mit

Φ(z_{i}) = [T_{i}] (i = 1, …, d).

Die Abbildung

Ψ : C(σ_{e}(T)) → L(H^{q}), f ↦ T_{f}^{q}, falls [T_{f}] = Φ(f)

ist ein stetiger unitaler Algebrenhomomorphismus mit

Ψ(z_{i}) = T_{i}^{q} (i = 1, …, d).

Also ist das Tupel T ∈ L(H)^{d} nach [EP, Theorem 6.1.13] wesentlich zerlegbar im Sinne von [EP, Definition 6.3.1]. Dann folgt aus den Voraussetzungen an λ ∈ ℂ^{d} die Behauptung aus [EP, Korollar 6.3.5] für die Spezialfälle p = d bzw. p = 0.

4.2 Spektrum und wesentliches Spektrum von M_{z}|_{M} und M_{z}/M

Um den Beweis des Hauptresultats so übersichtlich wie möglich zu halten, machen wir noch eine letzte vorbereitende Bemerkung.

Bemerkung 4.5. Sei K = ⋁_{k=0}^{∞} z_{1}^{k}. Dann ist

H_{d}^{f} = K ⊕ \overline{(z_{2}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f})}

eine orthogonale Zerlegung von H_{d}^{f} in reduzierende Teilräume für M_{z_{1}} so, dass M_{z_{1}}|_{K} unitär äquivalent ist zu M_{z} ∈ L(H_{1}^{f}).

Beweis. Dass dies eine orthogonale Zerlegung von H_{d}^{f} ist, folgt direkt aus Theorem 1.15. Aus der Invarianz der beiden Räume unter M_{z_{1}} folgt, dass sie reduzierend sind für M_{z_{1}}. Die Abbildung

U : H_{1}^{f} ↪ H_{d}^{f}, (Uh)(z) = h(z_{1})

ist isometrisch nach Satz 1.15. Vermöge U : H_{1}^{f} → Im U = K sind M_{z} ∈ L(H_{1}^{f}) und M_{z_{1}}|_{K} unitär äquivalent.

Jetzt ist es uns möglich, die (wesentlichen) Spektren von R und S für wesentlich normale Untermoduln M = [I] ∈ Lat (M_{z}, H_{d}^{f}) durch Eigenschaften der H_{d}^{f} zugrunde liegenden Potenzreihe f zu beschreiben.

Theorem 4.6. Sei H_{d}^{f} wesentlich normal und {0} ≠ I ein homogenes Ideal von ℂ[z_{1}, ⋯, z_{d}]. Der homogene Untermodul M = [I] von H_{d}^{f} sei wesentlich normal. Dann gilt:

(i) σ(R) = {z ∈ ℂ^{d}; |z| ≤ t},
(ii) σ_{e}(R) = {z ∈ ℂ^{d}; s ≤ |z| ≤ t},
(iii) σ(S) = Z(I) ∩ {z ∈ ℂ^{d}; |z| ≤ t},
(iv) σ_{e}(S) = Z(I) ∩ {z ∈ ℂ^{d}; s ≤ |z| ≤ t}.

Beweis. Abkürzend schreiben wir \overline{B}_{t}(0) = \{z ∈ ℂ^{d}; |z| ≤ t\} und 𝔹_{d}[s, t] = {z ∈ ℂ^{d}; s ≤ |z| ≤ t}. Nach Bemerkung 3.14 ist klar, dass für alle p ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{d}] auch p(S) = p(P_{M^{⊥}}M_{z}|_{M^{⊥}}) ≅ p(M_{z}/M) = p(M_{z})/M ist. Beachtet man weiter, dass nach Lemma 3.27 gilt

I = Ann (H_{d}^{f}/M) = {p ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{d}]; pH_{d}^{f} ⊂ M}
= {p ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{d}]; p(M_{z})/M = 0},

so erhält man mit Satz 2.13

p(σ(S)) = p(σ(M_{z}/M)) = σ(p(M_{z}/M)) = 0 ∀p ∈ I.

Also gilt σ(S) ⊂ Z(I). Da die Menge \overline{B}_{t}(0) als konvexe Menge auch polynom-konvex ist, folgt aus Satz 4.3 und Theorem 2.22, dass σ(R) = σ(M_{z}|_{M}) ⊂ σ(M_{z})^{∼} ⊂ \overline{B}_{t}(0) gilt. Sei λ ∈ ℂ^{d}\σ_{e}(M_{z}). Dann hat

(H_{d}^{f}/M)^{d} ⟶^{λ−M_{z}/M} H_{d}^{f}/M

endlich kodimensionales Bild, da (H_{d}^{f})^{d} ⟶^{λ−M_{z}} H_{d}^{f} endlich kodimensionales Bild hat, und die Abbildung

M ⟶^{λ−M_{z}|_{M}} M^{d}

ist injektiv mit abgeschlossenem Bild, da dasselbe für die entsprechende Abbildung H_{d}^{f} ⟶^{λ−M_{z}} (H_{d}^{f})^{d} gilt. Da die Tupel S ≅ M_{z}/M und R = M_{z}|_{M} nach Lemma 3.16 wesentlich normal sind, folgt aus Satz 4.4, dass λ ∉ σ_{e}(S)∪σ_{e}(R). Also gilt σ_{e}(S) ∪ σ_{e}(R) ⊂ σ_{e}(M_{z}) = 𝔹_{d}[s, t]. Wendet man Theorem 2.11 an auf Y = M, X = H_{d}^{f}, Z = H_{d}^{f}/M, so erhält man mit Theorem 2.22:

σ(S) ⊂ \underbrace{σ(R)}_{⊂\overline{B}_{t}(0)} ∪ \underbrace{σ(M_{z})}_{=\overline{B}_{t}(0)} = \overline{B}_{t}(0),

\overline{B}_{t}(0) = σ(M_{z}) ⊂ σ(S) ∪ σ(R) ⊂ \overline{B}_{t}(0), (⋆_{1})

sowie

σ_{e}(M_{z}) ⊂ σ_{e}(R) ∪ σ_{e}(S) ⊂ σ_{e}(M_{z}). (⋆_{2})

Aus σ(S) ⊂ \overline{B}_{t}(0) ∩ Z(I) und (⋆_{1}) erhält man, dass

\overline{B}_{t}(0) ∩ Z(I)^{c} ⊂ σ(R) ⊂ \overline{B}_{t}(0).

Da σ(R) abgeschlossen und \overline{B}_{t}(0) ∩ Z(I)^{c} ⊂ \overline{B}_{t}(0) dicht ist, folgt die Behauptung von (i). Im Fall s < t erhält man ebenso wegen σ_{e}(S) ⊂ 𝔹_{d}[s, t] ∩ Z(I) und (⋆_{2}), dass

𝔹_{d}[s, t] ∩ Z(I)^{c} ⊂ σ_{e}(R) ⊂ 𝔹_{d}[s, t].

Wegen der Dichtheit folgt auch hier aus der Abgeschlossenheit von σ_{e}(R) schon die Behauptung von (ii). Um die Inklusion

𝔹_{d}[s, t] ⊂ σ_{e}(R)

im Fall s = t zu beweisen, beachte, dass bereits gezeigt wurde

σ(R) = \overline{B}_{t}(0).

Sei λ ∈ ∂B_{t}(0). Wähle u : ℂ^{d} → ℂ^{d} unitär mit u(λ) = te_{1} und setze

R̃ = u(R) = u ( R_{1} ; ⋮ ; R_{d} ) ∈ L(M)^{d}.

Nach dem spektralen Abbildungssatz (Satz 2.13) ist

te_{1} = u(λ) ∈ σ(R̃) = u(σ(R)) = \overline{B}_{t}(0).

Sei π_{1} : ℂ^{d} → ℂ die Projektion auf die erste Komponente. Dann ist

t = π_{1}(te_{1}) ∈ σ(R̃_{1}) = π_{1}(σ(R̃)) = \overline{D}_{t}(0)

ein Punkt in ∂σ(R̃_{1}), der nicht isoliert ist in σ(R̃_{1}). Also ist nach Satz 1.20 t ∈ σ_{e}(R̃_{1}) = π_{1}(σ_{e}(R̃)). Wähle μ ∈ σ_{e}(R̃) mit t = π_{1}(μ). Dann ist

u(λ) = te_{1} = μ ∈ σ_{e}(R̃) = uσ_{e}(R)

und daher λ ∈ σ_{e}(R). Sei μ = (μ_{1}, …, μ_{d}) ∈ Z(I) ∩ \overline{B}_{s}(0). Da

∑_{i=1}^{d}(μ_{i} − M_{z_{i}}/M)(H_{d}^{f}/M) ⊂ {f + M; f ∈ H_{d}^{f} mit f(μ) = 0}

und da f(μ) = 0 ∀f ∈ M, liegt 1 + M ∉ ∑_{i=1}^{d}(μ_{i} − M_{z_{i}}/M)(H_{d}^{f}/M). Folglich

ist μ ∈ σ(M_{z}/M) = σ(S). Nach dem bisher Bewiesenen reicht es aus, Z(I) ∩ 𝔹_{d}[s, t] ⊆ σ_{e}(S) zu zeigen. Dann gilt

Z(I) ∩ \overline{B}_{t}(0) = (Z(I) ∩ \overline{B}_{s}(0)) ∪ (Z(I) ∩ 𝔹_{d}[s, t]) ⊂ σ(S) ⊂ Z(I) ∩ \overline{B}_{t}(0)

und

Z(I) ∩ 𝔹_{d}[s, t] ⊂ σ_{e}(S) ⊂ Z(I) ∩ 𝔹_{d}[s, t].

Man erhält also die Behauptungen (iii) und (iv). Betrachte dafür zunächst den Fall Z(I) ∋ (1, 0, …, 0). Dann gilt für alle homogenen Polynome F (z) = ∑_{|α|=n} a_{α}z^{α} ∈ M:

0 = F ((1, 0, …, 0)) = a_{(n,0,...,0)}

und damit

F ∈ \overline{z_{2}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f}}.

Also ist

M ⊆ \overline{z_{2}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f}}.

Sei μ ∈ ℂ mit s ≤ |μ| ≤ t. Dann ist auch (μ, 0 …, 0) ∈ Z(I). Seien weiter

q : H_{d}^{f} → H_{d}^{f}/M die Quotientenabbildung und K = ⋁_{k=0}^{∞} z_{1}^{k}.

Wäre (z_{1} − μ)(H_{d}^{f}/M) + ∑_{i=2}^{d} z_{i}(H_{d}^{f}/M) ⊂ H_{d}^{f}/M abgeschlossen, so wäre

(z_{1} − μ)K + \overline{z_{2}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f}} = q^{−1}((z_{1} − μ)(H_{d}^{f}/M) + ∑_{i=2}^{d} z_{i}(H_{d}^{f}/M))

als Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion abgeschlossen. Da nach Bemerkung 4.5 (z_{1} − μ)K ⊂ K und \overline{z_{2}H_{d}^{f} + ⋯ + z_{d}H_{d}^{f}} = K^{⊥} gilt, würde folgen, dass (z_{1} − μ)K ⊂ K abgeschlossen wäre. Da nach derselben Bemerkung aber auch (M_{z_{1}} − μ)|_{K} ≅ M_{z} − μ ∈ L(H_{1}^{f}) gilt, wäre (z − μ)H_{1}^{f} ⊂ H_{1}^{f} abgeschlossen. Das ist jedoch ein Widerspruch zu Lemma 4.1. Also ist (μ, 0, …, 0) ∈ σ_{e}(S). Betrachte nun den allgemeinen Fall w = (w_{1}, …, w_{d}) ∈ Z(I)∩𝔹_{d}[s, t]: Wähle

U = (a_{i,j}) : ℂ^{d} → ℂ^{d} unitär mit U^{−1}w = (μ, 0, …, 0) (μ ∈ ℂ geeignet).

Dann definiert U, wie im Beweis von Lemma 1.16, einen unitären Operator

Ũ : H_{d}^{f} → H_{d}^{f}, Ũf = f ∘ U.

Weiter bezeichne Ĩ = Ũ(I) und N = [Ĩ]. Dann ist Ĩ ebenfalls homogen mit (μ, 0, …, 0) ∈ U^{−1}Z(I) = Z(Ĩ). Im Beweis von Theorem 2.22 wurde bereits gezeigt, dass gilt:

Ũ^{−1}M_{z}Ũ = U^{−1}M_{z}.

Da N = [Ũ(I)] = Ũ([I]) = Ũ(M) ist, induziert Ũ einen unitären Operator

Û : H_{d}^{f}/M → H_{d}^{f}/N, [f] ↦ [Ũf]

mit der Eigenschaft

Û^{−1}(M_{z}/N)Û = U^{−1}(M_{z}/M).

Dann folgt aus dem oben bewiesenen Spezialfall zusammen mit Satz 2.13 und Lemma 2.12

U^{−1}w = (μ, 0, …, 0) ∈ σ_{e}(M_{z}/N) = σ_{e}(U^{−1}(M_{z}/M)) = U^{−1}σ_{e}(M_{z}/M)

und damit w ∈ σ_{e}(M_{z}/M) = σ_{e}(S). Diese Beobachtung beendet den Beweis.

Definiert man für ein vertauschendes Tupel T = (T_{1}, …, T_{d}) ∈ L(X)^{d} auf einem Banachraum X das Defektspektrum von T als

σ_{δ}(T) = {z ∈ ℂ^{d}; X^{d} → X, (x_{i}) ↦ ∑_{i=1}^{d}(z_{i} − T_{i})x_{i} nicht surjektiv}

und das wesentliche Defektspektrum von T als

σ_{δ,e}(T) = {z ∈ ℂ^{d}; dim H^{d}(z − T, X) = ∞},

so stellt man fest, dass der Beweis von Theorem 4.6 auch für nicht wesentlich normale Untermoduln M = [I] noch einige interessante Ergebnisse liefert.

Bemerkung 4.7. (i) Teil (i) von Theorem 4.6 bleibt auch richtig, wenn M nicht wesentlich normal ist. (ii) Ist M nicht wesentlich normal, so zeigt der Beweis von 4.6, dass man anstelle der Teile (iii) und (iv) noch die folgenden Gleichheiten erhält:

σ_{δ}(S) = Z(I) ∩ \overline{B}_{t}(0),
σ_{δ,e}(S) = Z(I) ∩ 𝔹_{d}[s, t].

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Hiermit erkläre ich an Eides Statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die ausdrücklich angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.

Saarbrücken, den