Zusammenfassung:
Im Jahr 1963 zeigte Ando die Existenz einer minimalen unitären bzw. isometrischen Dilatation für ein Paar von vertauschenden Kontraktionen.
Daraus folgt unmittelbar die Gültigkeit einer zur von Neumannschen Ungleichung analoge Ungleichung für Paare von vertauschenden Kontraktionen,
die als die Andosche Ungleichung bekannt ist.
Der Satz von Fejer-Riesz, wonach jedes auf dem Rand des Einheitskreises nicht-negative trigonometrische
Polynom von der Form Ip(e i t )I2 mit einem geeigneten Polynom p ist, liefert eine zweite Möglichkeit, die von Neumannsche Ungleichung zu
beweisen. Cole und Wermer haben in ihrer Arbeit "Ando´s Theorem and Sums of Squares" aus dem Jahr 1999 gezeigt, dass eine ähnliche Eigenschaft
von Polynomen in zwei komplexen Variablen äquivalent zur Andoschen Ungleichung ist. Eine interessante offene Frage ist, ob es wie im
eindimensionalen Fall möglich ist, diese Eigenschaft von komplexwertigen Polynomen in zwei Variablen direkt zu zeigen und somit einen alternativen
Beweis der Andoschen Ungleichung zu erhalten. In ihrer Arbeit benutzen Cole und Wermer einen Interpolationssatz von Agler, um die angesprochene
Eigenschaft herzuleiten, führen aber keinen Beweis dafür an.
Das erste Ziel dieser Arbeit wird sein, einen
Beweis einer geeigneten Version des Interpolationssatzes von Agler zu geben. Darin charakterisieren wir die Fortsetzbarkeit einer komplexwertigen Funktion
f auf einer beliebigen Teilmenge S des Bizylinders zu einer holomorphen komplexwertigen Funktion F auf dem ganzen Bizylinder, die Norm
höchstens 1 hat, durch die Existenz geeigneter positiv definiter Abbildungen. Wir zeigen auch, dass das Fortsetzungsproblem genau dann lösbar ist,
wenn f sich als Transferfunktion eines geeigneten unitären Matrixoperators schreiben lässt. Anschliessend zeigen wir, dass eine analoge Aussage
auch für operatorwertige Funktionen Gültigkeit hat.
Schliesslich benutzen wir den oben beschriebenen Interpolationssatz, um eine geeignete
Quadratsummendarstellung für Polynome in zwei komplexen Variablen herzuleiten. Dieses Ergebnis wenden wir dann mit Hilfe eines Funktionalkalküls
für holomorphe komplexwertige Funktionen auf Paare vertauschender Kontraktionen an und erhalten so die Andosche Ungleichung. Es bleibt weiterhin offen,
ob es möglich ist, die Quadratsummendarstellung auch direkt, d.h. ohne die Andosche Ungleichung, zu zeigen, um so einen alternativen Beweis der
Andoschen Ungleichung zu erhalten.
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