Die Andosche Ungleichung und Interpolationsprobleme

über dem Bizylinder

Diplomarbeit

angefertigt von Simone Engstler

im Fachbereich Mathematik der Universität des Saarlandes

unter Betreuung von Prof. Dr. Jörg Eschmeier Saarbrücken, Dezember 2002

Hiermit erkläre ich an Eides statt, daß ich die vorliegende Arbeit selbst angefertigt und nur die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.

Saarbrücken, den 12.Dezember 2002

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 2

Notationen 5

Kapitel 1. Positiv definite Abbildungen 7 1. Operatorwertige positiv definite Abbildungen 7 2. Skalarwertige positiv definite Abbildungen 12

Kapitel 2. Interpolation auf dem Bizylinder 21 1. Ein skalarwertiger Interpolationssatz 21 2. Die operatorwertige von Neumannsche Ungleichung 34 3. Die operatorwertige Version des Interpolationssatzes 37

Kapitel 3. Darstellung von Funktionen als Summen von Quadraten 51 1. Der eindimensionale Fall 51 2. Die Quadratsummendarstellung auf dem Bizylinder 55 3. Ein Kalkül holomorpher ℂ-wertiger Funktionen 62 4. Anwendungen in der Operatorentheorie 64

Literaturverzeichnis 69

Einleitung

Ein wichtiger Satz der Funktionalanalysis des letzten Jahrhunderts ist der Dilatationssatz von Sz.-Nagy [SN53], wonach zu jeder Kontraktion auf einem Hilbertraum eine minimale unitäre bzw. isometrische Dilatation existiert. Aus diesem Satz folgt unmittelbar die Gültigkeit der von Neumannschen Ungleichung:

Sei T eine Kontraktion auf einem Hilbertraum H. Dann gilt für jedes Polynom p in einer komplexen Variablen die Ungleichung

∥p(T)∥ ≤ ∥p∥_{∞,𝔻̄}.

Nach Sz.-Nagy hat die Kontraktion T eine unitäre Dilatation U auf einem Hilbertraum K ⊃ H. Es gilt also

T^{α} = P_{H} U^{α} _{|H}

für α ∈ ℕ. Damit sieht man nun leicht, daß

∥p(T)∥ = ∥P_{H} p(U)_{|H}∥
≤ ∥p(U)∥
= ∥p∥_{∞,σ(U)}
≤ ∥p∥_{∞,𝔻̄}.

Nun stellt sich die Frage nach der Verallgemeinerung dieser Ergebnisse auf den mehrdimensionalen Fall. Dazu benötigt man zunächst eine Verallgemeinerung des Begriffes der Kontraktion und der zugehörigen unitären bzw. isometrischen Dilatation. In der vorliegenden Arbeit gehen wir dabei von einem Tupel von vertauschenden Kontraktionen T ∈ L(H)^{n} aus. Die zugehörige unitäre bzw. isometrische Dilatation ist dann ein Tupel U ∈ L(K)^{n} vertauschender unitärer bzw. isometrischer Abbildungen auf einem größeren Hilbertraum K, so daß

T^{α} = P_{H} U^{α} _{|H}

für α ∈ ℕ^{n} gilt. Im Jahr 1963 zeigte Ando [And63] die Existenz einer minimalen unitären bzw. isometrischen Dilatation für ein Paar von vertauschenden Kontraktionen. Genauso wie auf 𝔻 aus dem Dilatationssatz von Sz.-Nagy die von Neumannsche Ungleichung folgt, erhält man eine analoge Ungleichung für Paare von vertauschenden Kontraktionen, die als die Andosche Ungleichung bekannt ist:

Sei T = (T_{1}, T_{2}) ein Paar von vertauschenden Kontraktionen in L(H)^{2}. Dann gilt für jedes Polynom p in zwei komplexen Variablen die Ungleichung

∥p(T)∥ ≤ ∥p∥_{∞,𝔻̄^{2}}.

Jedoch zeigt ein Gegenbeispiel von Parrott [Par70] aus dem Jahr 1970, daß drei oder mehr vertauschende Kontraktionen im Allgemeinen keine vertauschenden unitären bzw. isometrischen Dilatationen haben. Außerdem wurde von Varopoulos [Var74] und Crabb-Davie [CD75] gezeigt, daß für n ≥ 3 die von Neumannsche Ungleichung für ein vertauschendes Tupel von n Kontraktionen im Allgemeinen falsch ist.

Der Satz von Fejér-Riesz, wonach jedes auf dem Rand des Einheiskreises nichtnegative trigonometrische Polynom von der Form |p(e^{iθ})|^{2} mit einem geeigneten Polynom p ist, liefert eine zweite Möglichkeit, die von Neumannsche Ungleichung zu beweisen. Cole und Wermer haben in ihrer Arbeit aus dem Jahr 1999 [CW99] gezeigt, daß eine ähnliche Eigenschaft von Polynomen in zwei komplexen Variablen äquivalent zur Andoschen Ungleichung ist. Eine interessante offene Frage ist, ob es wie im eindimensionalen Fall möglich ist, diese Eigenschaft von komplexwertigen Polynomen in zwei Variablen direkt zu zeigen und somit einen alternativen Beweis der Andoschen Ungleichung zu erhalten. In [CW99] benutzen Cole und Wermer einen Interpolationssatz von Agler (Proposition 5.2 in [CW99]), um die angesprochene Eigenschaft von Polynomen in zwei komplexen Variablen herzuleiten, führen aber keinen Beweis dafür an. Das erste Ziel dieser Arbeit wird sein, einen Beweis einer geeigneten Version des Interpolationssatzes von Agler zu geben. Eine wichtige Rolle spielen in diesem Zusammenhang positiv definite Abbildungen.

Das erste Kapitel gibt dementsprechend eine Zusammenfassung der wichtigsten Sätze über operatorwertige positiv definite Abbildungen. Danach führen wir den Spezialfall der skalarwertigen positiv definiten Abbildungen noch weiter aus, der in der vorliegenden Arbeit eine zentrale Rolle spielen wird.

Im zweiten Kapitel folgt dann der oben erwähnte Interpolationssatz (Satz 2.5). Sei f : S → ℂ eine komplexwertige Funktion auf einer beliebigen Teilmenge S des Bizylinders. In Satz 2.5 charakterisieren wir die Fortsetzbarkeit von f zu einer holomorphen Funktion F : 𝔻^{2} → ℂ mit ∥F ∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1 durch die Existenz geeigneter positiv definiter Abbildungen. Wir zeigen auch, daß das Fortsetzungsproblem genau dann lösbar ist, wenn f sich als Transferfunktion eines geeigneten unitären Matrixoperators schreiben läßt . Zum Beweis der obigen Äquivalenzen benutzen wir die Andosche Ungleichung für vertauschende Paare von Kontraktionen und modifizieren ein von Agler in einer ähnlichen Situation [Agl90] gegebenes lokalkonvexes Trennungsargument. Mit Hilfe einer operatorwertigen von Neumannschen Ungleichung, die wir im zweiten Teil dieses Kapitels herleiten, zeigen wir, daß eine analoge Aussage auch für operatorwertige Funktionen f : S → L(E), wobei E ein Hilbertraum ist, Gültigkeit hat (Satz 2.11). Wir zeigen an dieser Stelle ebenfalls, wie man die operatorwertige von Neumannsche Ungleichung direkt aus Satz 2.11 zurückerhält.

Schließlich benutzen wir im dritten Kapitel den oben beschriebenen Interpolationssatz (Satz 2.5), um eine geeignete Quadratsummendarstellung für Polynome in zwei komplexen Variablen (Satz 3.3) herzuleiten. Dieses Ergebnis wenden wir dann mit Hilfe eines Funktionalkalküls für holomorphe ℂ-wertige Funktionen auf Paare vertauschender Kontraktionen an und erhalten so die Andosche Ungleichung. Es bleibt weiterhin offen, ob es möglich ist, die in Satz 3.3 beschriebene Eigenschaft auch direkt, d.h. ohne die Andosche Ungleichung, zu zeigen, um so einen alternativen Beweis der Andoschen Ungleichung zu erhalten. Wir beenden die Arbeit mit einer Bemerkung, die zeigt, daß es genügt, die von Cole und Wermer gestellte offene Frage in einer etwas spezielleren Situation zu beantworten.

Mein herzlichster Dank gilt Herrn Prof. Dr. Jörg Eschmeier für die Themenstellung und die geduldige Betreuung, Christoph Barbian für die vielen hilfreichen Hinweise und Daniel Sonntag – nicht nur für seine Mühe beim Korrekturlesen. Ich möchte mich auch bei meinen Eltern bedanken, die mir das Studium der Mathematik erst ermöglicht und mich auch während des Studiums unterstützt haben.

Notationen

An dieser Stelle erklären wir einige Notationen und Symbole, die durchgehend in der vorliegenden Arbeit verwendet werden.

• Für zwei normierte Räume X und Y bezeichnet L(X, Y) den Raum aller stetig linearen Abbildungen von X nach Y. Abkürzend wird auch L(X) anstatt L(X, X) verwendet. Für einen normierten Raum X sei 1_{X} immer die identische Abbildung von X nach X. Kern und Bild einer linearen Abbildung T werden mit ker T und Im T bezeichnet.

• Wir bezeichnen mit – ⊗_{ϵ} das ϵ-Tensorprodukt

– ⊗_{2} das Hilbertraumtensorprodukt

– ˆ⊗_{ϵ}, ˆ⊗_{2} die vervollständigten Tensorprodukte. Abkürzend schreiben wir H ⊗ G für das vervollständigte Hilbertraumtensorprodukt von zwei Hilberträumen H und G, also H ⊗ G = H ˆ⊗_{2} G.

• In einem Hilbertraum H steht P_{M} immer für die Orthogonalprojektion auf einen abgeschlossenen Teilraum M von H.

• Es bezeichnet 𝔻 die offene Einheitskreisscheibe in ℂ und 𝔻^{n} = 𝔻×…×𝔻 den offenen Einheitspolyzylinder in ℂ^{n}.

• Für eine offene Menge U ⊂ ℂ^{n} ist O(U) die Menge der holomorphen Funktionen auf U. Ist X ein Banachraum, so bezeichnet O(U, X) die Menge der X-wertigen holomorphen Funktionen auf U.

• Wir bezeichnen mit A(𝔻^{n}) die Diskalgebra der auf 𝔻̄^{n} stetigen und auf 𝔻^{n} holomorphen Funktionen f : 𝔻̄^{n} → ℂ.

• Für U ⊂ ℂ^{n} ist die Menge Ũ definiert als

Ũ = {z̄, z ∈ U}.

Für eine Abbildung f : U → ℂ ist die Abbildung f̃ definiert als

f̃: Ũ → ℂ, f̃(z) = \overline{f(z̄)}.

Für eine Abbildung f : U → L(E) (E ein Hilbertraum) ist die Abbildung f̃ definiert durch

f̃: U → L(E), f̃(z) = f(z̄)^{∗}.

Somit ist f genau dann analytisch, wenn f̃ es ist.

• Für einen Multiindex α ∈ ℕ^{n} sei

|α| = ∑_{i=1}^{n} α_{i},

sowie für z ∈ ℂ^{n}

z^{α} = z_{1}^{α_{1}} · . . . · z_{n}^{α_{n}}.

• Für Elemente x, y eines Hilbertraumes H bezeichnen wir mit x ⊗ y die Abbildung

x ⊗ y : H → H
h ↦ ⟨h, y⟩x.

• Wir bezeichnen einen Operator T ∈ L(H) als strikte Kontraktion, falls ∥T ∥ < 1.

KAPITEL 1 Positiv definite Abbildungen

Im folgenden Kapitel werden zunächst der Begriff der positiven Definitheit von operatorwertigen Abbildungen auf X ×X (X eine Menge) eingeführt und einige grundlegende Eigenschaften solcher Abbildungen untersucht. Danach betrachten wir den Spezialfall der skalarwertigen positiv definiten Abbildungen, da dieser in der vorliegenden Arbeit eine wichtige Rolle spielt.

1. Operatorwertige positiv definite Abbildungen

Wir führen aber zunächst noch die Begriffe des funktionalen Hilbertraumes und des zugehörigen reproduzierenden Kerns ein, da diese zum Beweis der Sätze über skalarwertige positiv definite Abbildungen benötigt werden.

Sei im Folgenden X eine Menge und E ein Hilbertraum.

Definition 1.1. Ein Hilbertraum H ⊂ E^{X} heißt funktional, falls für jedes z ∈ X die Punktauswertung

δ_{z} : H → E, f ↦ f(z)

stetig ist.

Der nächste Satz gibt eine weitere Charakterisierung funktionaler Hilberträume.

Satz 1.2. Sei H ⊂ E^{X} ein Hilbertraum. Dann sind äquivalent:

(a) H ist funktional.

(b) Es existiert eine Abbildung K : X ×X → L(E) mit folgenden Eigenschaften: • Für x ∈ E und w ∈ X liegt die Abbildung z ↦ K(z, w)x in H.

• Es ist ⟨f, K(·, w)x⟩ = ⟨f(w), x⟩ für alle x ∈ E, w ∈ X und f ∈ H.

In diesem Fall ist K eindeutig bestimmt und heißt reproduzierender Kern von H.

Beweis. Es gelte (a). Für w ∈ X sei δ_{w} die stetige lineare Abbildung

δ_{w} : H → E, f ↦ f(w).

Dann definiert

K : X × X → L(E), (z, w) ↦ δ_{z}δ_{w}^{∗}

eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:

• Für x ∈ E und w ∈ X ist K(·, w)x = δ_{w}^{∗}x ∈ H.
• Für x ∈ E und w ∈ X ist ⟨f, K(·, w)x⟩ = ⟨δ_{w}f, x⟩ = ⟨f(w), x⟩.

Also ist K wie gewünscht.

Es gelte nun (b). Sei w ∈ X. Mit

∥K(·, w)x∥^{2} = ⟨K(w, w)x, x⟩
≤ ∥K(w, w)∥ ∥x∥^{2}  (x ∈ E)

erhält man

∥δ_{w}(f)∥ = sup_{x∈E,∥x∥≤1} |⟨f(w), x⟩|
= sup_{x∈E,∥x∥≤1} |⟨f, K(·, w)x⟩|
≤ ∥f∥ ∥K(w, w)∥^{\frac{1}{2}}  (f ∈ H).

Also ist δ_{w} stetig mit ∥δ_{w}∥ ≤ ∥K(w, w)∥^{\frac{1}{2}} und H ist funktional.

Es bleibt die Eindeutigkeitsaussage zu zeigen: Seien also K und K̃ wie oben. Dann gilt für f ∈ H, w ∈ X und x ∈ E

⟨f, K(·, w)x⟩ = ⟨f(w), x⟩ = ⟨f, K̃(·, w)x⟩

und somit K(·, w)x = K̃(·, w)x für w ∈ X und x ∈ E, also K = K̃.

Wir führen nun den Begriff der positiven Definitheit operatorwertiger Abbildungen auf X × X ein. Wir werden sehen, daß die reproduzierenden Kerne funktionaler Hilberträume E-wertiger Funktionen auf X positiv definit sind.

Definition 1.3. Eine Abbildung K : X × X → L(E) heißt positiv definit, falls

∑_{i,j=1}^{r}⟨K(z_{i}, z_{j})x_{j}, x_{i}⟩ ≥ 0

für alle r ∈ ℕ, z_{1}, …, z_{r} ∈ X und x_{1}, …, x_{r} ∈ E gilt.

Bemerkung 1.4. (a) Ein Operator A = (A_{ij})_{ij} ∈ L(E^{r}) ist genau dann positiv, wenn die Abbildung

K_{A} : {1, …, r} × {1, …, r} → L(E), (i, j) ↦ A_{ij}

positiv definit ist.

(b) Offensichtlich ist dann eine Abbildung K : X × X → L(E) genau dann positiv definit, wenn für alle z_{1}, …, z_{r} ∈ X der Operator

( \begin{matrix}K(z_{1}, z_{1}) & … & K(z_{1}, z_{r}) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ K(z_{r}, z_{1}) & … & K(z_{r}, z_{r}) \end{matrix} ) ∈ M(r, L(E)) ˜=L(E^{r})

positiv ist.

(c) Identifiziert man im Falle E = ℂ wie üblich L(ℂ) ˜=ℂ, so ist die Positivität des obigen Matrixoperators äquivalent zur positiven Semi-Definitheit der zugehörigen skalaren Matrix.

Beweis. Von (a). Sei K_{A} : {1, …, r} × {1, …, r} → L(E), (i, j) ↦ A_{ij} positiv definit. Dann gilt insbesondere für x = (x_{1}, …, x_{r}) ∈ E^{r}

0 ≤ ∑_{i,j=1}^{r}⟨K_{A}(i, j)x_{j}, x_{i}⟩ = ∑_{i,j=1}^{r}⟨A_{ij}x_{j}, x_{i}⟩
= ⟨Ax, x⟩

und somit ist der Operator A = (A_{ij})_{ij} ∈ L(E^{r}) positiv. Ist umgekehrt der Operator A = (A_{ij})_{ij} ∈ L(E^{r}) positiv, so genügt es zum Beweis der positiven Definitheit von K_{A}, die definierende Bedingung aus Definition 1.3 für (z_{1}, …, z_{r}) = (1, …, r) nachzuprüfen. Denn sind k_{1}, …, k_{s} aus {1, …, r} beliebig, dann kann man die k_{1}, …, k_{s} zunächst paarweise verschieden wählen. Seien dazu k_{α_{1}}, …, k_{α_{p}} die paarweise verschiedenen Elemente aus k_{1}, …, k_{s} und x_{1}, …, x_{s} aus E. Dann gilt

∑_{i,j=1}^{s}⟨K_{A}(k_{i}, k_{j})x_{j}, x_{i}⟩ = ∑_{i,j=1}^{p}⟨K_{A}(k_{α_{i}}, k_{α_{j}})y_{j}, y_{i}⟩,

wobei

y_{i} = ∑_{{j; x_{j}=x_{α_{i}}}} x_{j} für 1 ≤ i ≤ p.

Seien nun also k_{1}, …, k_{s} ∈ {1, …, r} paarweise verschieden, dann gilt

∑_{i,j=1}^{s}⟨K_{A}(k_{i}, k_{j})x_{j}, x_{i}⟩ = ∑_{i,j=1}^{r}⟨K_{A}(i, j)u_{j}, u_{i}⟩ = ⟨Au, u⟩ ≥ 0,

wobei u = (u_{1}, …, u_{r}) ∈ E^{r} mit

u_{k_{i}} = x_{i} für i ∈ {1, …, s} und u_{k} = 0 für k ∈ {1, …, r} \ {k_{1}, …, k_{s}}.

Wir zeigen nun, daß reproduzierende Kerne von funktionalen Hilberträumen positiv definit sind.

Satz 1.5. Sei H ⊂ E^{X} ein funktionaler Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K. Dann ist K positiv definit.

Beweis. Seien z_{1}, …, z_{r} ∈ X und x_{1}, …, x_{r} ∈ E. Dann ist
∑_{i,j=1}^{r}⟨K(z_{i}, z_{j})x_{j}, x_{i}⟩ = ⟨∑_{j=1}^{r} K(·, z_{j})x_{j}, ∑_{i=1}^{r} K(·, z_{i})x_{i}⟩

= ∥ ∑_{i=1}^{r} K(·, z_{i})x_{i}∥^{2}
≥ 0.

Umgekehrt gehört auch zu jeder positiv definiten Abbildung K : X ×X → L(E) ein eindeutig bestimmter funktionaler Hilbertraum H ⊂ E^{X} mit reproduzierendem Kern K, was im skalarwertigen Fall von Aronzajn [Aro50] gezeigt wurde. Einen Beweis des operatorwertigen Falles findet man in [Bar02, Satz 1.6]

Eine weitere Charakterisierung von positiv definiten Abbildungen erhält man mit dem Satz von Kolmogorov:

Satz 1.6 (Kolmogorov). Eine Abbildung K : X × X → L(E) ist genau dann positiv definit, wenn ein Hilbertraum F und eine Funktion τ : X → L(F, E) existieren, so daß

K(z, w) = τ(z)τ(w)^{∗}

für z, w ∈ X gilt. Man kann immer erreichen, daß zusätzlich gilt

F = \overline{LH}(Im(τ(z)^{∗}), z ∈ X).

Beweis. Sei F ein Hilbertraum und τ : X → L(F, E) eine Abbildung. Dann definiert

K : X × X → L(E)
(z, w) ↦ τ(z)τ(w)^{∗}

offensichtlich eine positiv definite Abbildung. Sei nun K : X × X → L(E) positiv definit. Sei F ⊂ E^{X} der funktionale Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K und δ_{z} : F → E die Punktauswertung in z ∈ X. Sei dann τ : X → L(F, E) definiert durch τ(z) = δ_{z}. Dann folgt die Behauptung aus dem Beweis von Satz 1.2.

Das folgende Lemma faßt nun einige wichtige Eigenschaften von operatorwertigen positiv definiten Abbildungen zusammen, die sehr einfach aus dem Satz von Kolmogorov folgen:

Lemma 1.7. Sei K : X ×X → L(E) positiv definit. Dann gilt für alle z, w ∈ X und x, y ∈ E

(a) K(z, w)^{∗} = K(w, z)

(b) |⟨K(z, w)x, y⟩|^{2} ≤ ⟨K(z, z)y, y⟩⟨K(w, w)x, x⟩

(c) ∥K(z, w)∥^{2} ≤ ∥K(z, z)∥ ∥K(w, w)∥.

Beweis. Wir wählen zu K : X × X → L(E) gemäß des Satzes von Kolmogorov einen Hilbertraum F und eine Abbildung τ : X → L(E, F) mit K(z, w) = τ(z)τ(w)^{∗}. Dann gilt

(a) K(z, w)^{∗} = (τ(z)τ(w)^{∗})^{∗} = τ(w)τ(z)^{∗} = K(w, z).

(b) Es gilt für z, w ∈ X und x, y ∈ E

|⟨K(z, w)x, y⟩|^{2} = |⟨τ(w)^{∗}x, τ(z)^{∗}y⟩|^{2}
≤ ∥τ(w)^{∗}x∥^{2} ∥τ(z)^{∗}y∥^{2}
= ⟨K(z, z)y, y⟩⟨K(w, w)x, x⟩.

(c) Die Behauptung folgt aus Teil (b) und der Definition der Operatornorm:

∥K(z, w)∥^{2} = sup_{∥x∥≤1,∥y∥≤1} |⟨K(z, w)x, y⟩|^{2}
≤ sup_{∥x∥≤1,∥y∥≤1}⟨K(z, z)y, y⟩⟨K(w, w)x, x⟩
= sup_{∥y∥≤1}⟨K(z, z)y, y⟩ sup_{∥x∥≤1}⟨K(w, w)x, x⟩
= ∥K(z, z)∥ ∥K(w, w)∥.

2. Skalarwertige positiv definite Abbildungen

Wie eingangs erwähnt, enthält das bisher Gesagte den Fall skalarwertiger positiv definiter Abbildungen als Spezialfall. Da die skalarwertigen positiv definiten Abbildungen in dieser Arbeit eine zentrale Rolle spielen, führen wir diesen Fall ein wenig weiter aus. Hier lassen sich dann die Eigenschaften aus Lemma 1.7 wie folgt formulieren:

Lemma 1.8. Sei K : X × X → ℂ positiv definit. Dann gilt für alle z, w ∈ X:

(a) K(z, z) ≥ 0

(b) K(w, z) = \overline{K(z, w)}

(c) |K(z, w)|^{2} ≤ K(z, z)K(w, w)

Im skalarwertigen Fall läßt sich der Satz von Kolmogorov (Satz 1.6) auch in der folgenden Form formulieren. Wir geben an dieser Stelle einen alternativen Beweis, da wir später von dieser Konstruktion noch Gebrauch machen werden.

Satz 1.9 (Kolmogorov). (a) Eine Abbildung K : X × X → ℂ ist genau dann positiv definit, wenn ein Hilbertraum H und eine Abbildung τ : X → H existieren, so daß

K(z, w) = ⟨τ(z), τ(w)⟩

für alle z, w ∈ X gilt. In diesem Fall nennen wir (τ, H) eine Darstellung der positiv definiten Abbildung K. Man kann immer erreichen, daß zusätzlich gilt

H = \overline{LH}(Im(τ)).

(b) Seien (τ_{1}, H_{1}) und (τ_{2}, H_{2}) zwei beliebige Darstellungen einer positiv definiten Abbildung K : X × X → ℂ. Dann existiert eine eindeutige unitäre Abbildung

U : \overline{LH}(Im(τ_{1})) → \overline{LH}(Im(τ_{2}))

so, daß gilt:

τ_{2} = U ∘ τ_{1}.

Beweis. (a) Sei H ein Hilbertraum und τ : X → H eine Abbildung. Dann definiert

K : X × X → ℂ
(z, w) ↦ ⟨τ(z), τ(w)⟩

offensichtlich eine positiv definite Abbildung. Sei nun also K : X × X → ℂ positiv definit. Auf

H_{0} = LH{K(z, ·); z ∈ X} ⊂ {f, f : X → ℂ Abbildung}

wird durch

⟨∑_{i=1}^{n} c_{i}K(z_{i}, ·), ∑_{j=1}^{m} d_{j}K(w_{j}, ·)⟩ = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} c_{i}d̄_{j}K(z_{i}, w_{j})

ein Skalarprodukt definiert. Das ist wohldefiniert, denn gilt

∑_{i=1}^{n} c_{i}K(z_{i}, ·) = ∑_{i=1}^{ñ} c̃_{i}K(z̃_{i}, ·) und ∑_{j=1}^{m} d_{j}K(w_{j}, ·) = ∑_{j=1}^{m̃} d̃_{j}K(w̃_{j}, ·),

so erhält man mit Lemma 1.8(b) die Unabhängigkeit von der Wahl der Darstellung:

∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} c_{i}d̄_{j}K(z_{i}, w_{j}) = ∑_{i=1}^{n} c_{i} ∑_{j=1}^{m} d̄_{j}K(z_{i}, w_{j})

= ∑_{i=1}^{n} c_{i} ∑_{j=1}^{m̃} \overline{d̃_{j}}K(z_{i}, w̃_{j})

= ∑_{j=1}^{m̃} \overline{d̃_{j}} ∑_{i=1}^{n} c_{i}K(z_{i}, w̃_{j})

= ∑_{j=1}^{m̃} \overline{d̃_{j}} ∑_{i=1}^{ñ} c̃_{i}K(z̃_{i}, w̃_{j})

= ∑_{i=1}^{ñ} ∑_{j=1}^{m̃} c̃_{i}\overline{d̃_{j}}K(z̃_{i}, w̃_{j}).

Offensichtlich ist ⟨·, ·⟩ sesquilinear und wegen der positiven Definitheit von K positiv semidefinit. Ferner gilt für f ∈ H_{0} und z ∈ X

⟨f, K(z, ·)⟩ = f(z).

Daraus folgt insbesondere

⟨K(w, ·), K(z, ·)⟩ = K(w, z)

und mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

|f(z)|^{2} ≤ ⟨f, f⟩K(z, z).

Somit gilt ⟨f, f⟩ = 0 genau dann, wenn f die Nullabbildung ist. Definiert man außerdem

τ : X → H_{0}

durch

τ(z) = K(z, ·),

so gilt offensichtlich

⟨τ(z), τ(w)⟩_{H_{0}} = K(z, w).

Also liefert τ zusammen mit der Hilbertraum-Vervollständigung H = H̃_{0} eine Darstellung von K. Außerdem gilt nach Konstruktion H = \overline{LH}(Im(τ)).

(b) Da (τ_{1}, H_{1}) und (τ_{2}, H_{2}) Darstellungen von K sind, gilt für z_{1}, …, z_{r} ∈ X und x_{1}, …, x_{r} ∈ ℂ:

∥ ∑_{j=1}^{r} x_{j}τ_{1}(z_{j})∥^{2} = ∑_{j,k=1}^{r} x_{j}x̄_{k}K(z_{j}, z_{k}) = ∥ ∑_{j=1}^{r} x_{j}τ_{2}(z_{j})∥^{2}.

Also definiert

U(∑_{j=1}^{r} x_{j}τ_{1}(z_{j})) := ∑_{j=1}^{r} x_{j}τ_{2}(z_{j})

einen linearen isometrischen Operator

U : LH(Im(τ_{1})) → LH(Im(τ_{2})).

Dieser läßt sich zu einer unitären Abbildung

U : \overline{LH}(Im(τ_{1})) → \overline{LH}(Im(τ_{2}))

mit

Uτ_{1}(z) = τ_{2}(z) (z ∈ X)

fortsetzen.

Wir definieren nun noch zwei Spezialfälle von positiv definiten Abbildungen:

Definition 1.10. Sei X ⊆ ℂ^{n} offen und sei K : X × X → ℂ eine Abbildung.

(a) Man nennt K einen positiven holomorphen Kern auf X, falls K positiv definit ist und für alle w ∈ X die Abbildung K(·, w) : X → ℂ holomorph ist.

(b) Man nennt K einen positiven Polynomkern, falls K positiv definit ist und für alle w ∈ X die Abbildung K(·, w) : X → ℂ ein Polynom ist. In diesem Fall sagt man, K hat Grad M, falls deg(K(·, w)) ≤ M für alle w ∈ X und M die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist.

Bemerkung. Sei H ein Hilbertraum, X ⊆ ℂ^{n} offen und τ : X → H eine Abbildung.

(a) Ist τ holomorph, dann ist durch ⟨τ(z), τ(w)⟩ ein positiver holomorpher Kern auf X definiert.

(b) Ist τ zusätzlich noch ein Polynom vom Grad M, dann ist durch ⟨τ(z), τ(w)⟩ ein positiver Polynomkern vom Grad M definiert. Denn ist τ = ∑_{|ν|≤M} h_{ν}z^{ν} ein Polynom vom Grad M mit Koeffizienten in H, dann existiert ein ν_{0} mit |ν_{0}| = M so, daß h_{ν_{0}} ≠ 0 ist. Offensichtlich ist

⟨τ(z), τ(w)⟩ = ∑_{|ν|≤M,|μ|≤M} z^{ν}w̄^{μ}⟨h_{ν}, h_{μ}⟩
= ∑_{|ν|≤M}( ∑_{|μ|≤M} w̄^{μ}⟨h_{ν}, h_{μ}⟩)z^{ν}

für jedes w ∈ X ein Polynom vom Grad ≤ M in z mit Koeffizienten in ℂ. Für ν = ν_{0} ist dann ∑_{|μ|≤M} w̄^{μ}⟨h_{ν_{0}}, h_{μ}⟩ ≢ 0, da nach dem Identitätssatz die Nullstellenmenge dieses von Null verschiedenen Polynoms keinen inneren Punkt besitzen kann, was zeigt, daß die Nullstellenmenge nicht ganz X enthalten kann. Somit ist dann auch ⟨τ(z), τ(w)⟩ ein Polynom vom Grad M.

Der nächste Satz zeigt, daß die darstellende Abbildung τ eines holomorphen Kerns K auch holomorph ist.

Satz 1.11. Sei X ⊆ ℂ^{n} offen, K ein positiver holomorpher Kern auf X und (τ, H) eine Darstellung von K. Dann ist τ : X → H holomorph.

Beweis. Wir nehmen ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, daß

H = \overline{LH}(Im(τ))

ist. Da K ein holomorpher Kern ist, ist nach Lemma 1.8(b) die Funktion

F : X × X̃ ⊆ ℂ^{2n} → ℂ, F (z, w) = K(z, w̄)

in jeder Variablen holomorph. Dann ist F nach dem Theorem von Hartogs (siehe z.B.[Kra82, Theorem 1.2.6]) auch auf X × X̃ holomorph. Nachdem man X, falls notwendig, verkleinert hat, kann man erreichen, daß F auf X × X̃ beschränkt ist. Somit ist also K auf X × X beschränkt und es existiert eine Konstante c > 0, so daß gilt:

∥τ(z)∥^{2} = K(z, z) ≤ c (z ∈ X).

Für x ∈ H sei

g_{x} : X → ℂ, g_{x}(z) = ⟨τ(z), x⟩.

Wir betrachten nun den Unterraum

V = {x ∈ H; g_{x} ist holomorph auf X}

von H. Konvergiert x_{n} → x in H, dann konvergiert g_{x_{n}} → g_{x} gleichmäßig auf X. Damit folgt dann, daß V in H abgeschlossen ist. Für x = τ(w) ist g_{x}(z) = ⟨τ(z), τ(w)⟩ = K(z, w) holomorph auf X und somit τ(w) ∈ V für alle w ∈ X. Da H = \overline{LH}(Im(τ)), folgt V = H und somit ist τ schwach holomorph, also holomorph.

Wir führen nun den Begriff des Ranges einer positiv definiten Abbildung ein.

Definition 1.12. Sei K : X × X → ℂ positiv definit. Für jedes y ∈ X sei h_{y} definiert durch h_{y}(x) = K(x, y) für alle x ∈ X. Sei

L_{K} = LH{h_{y}; y ∈ X} ⊆ {f; f : X → ℂ Abbildung }.

Man definiert

rank(K) = dimL_{K}.

Es gilt also: 0 ≤ rank(K) ≤ ∞.

Der nächste Satz zeigt den Zusammenhang zwischen dem Rang einer positiv definiten Abbildung K und ihrer darstellenden Abbildung τ.

Satz 1.13. Sei K auf X positiv definit und sei (τ, H) eine Darstellung von K. Dann gilt für den Rang von K

rank(K) = dim(LH(Im(τ))).

Beweis. Sei H_{0} = LH{K(z, ·); z ∈ X} wie im Beweis von Satz 1.9(a) definiert. Da die Abbildung

L_{K} → H_{0}, f ↦ f̄

einen antilinearen Vektorraum-Isomorphismus definiert, gilt

dimL_{K} = dimH_{0}.

Damit folgt dann die Behauptung aus dem Beweis von Satz 1.9(a) und aus Satz 1.9(b).

Satz 1.14. Sei X eine Menge.

(a) Sei K auf X positiv definit mit rank(K) = N < ∞. Dann hat K eine Darstellung (τ, H) mit dim(H) = N. Sei {φ_{m}}_{m=1}^{N} eine Orthonormalbasis von H und

f_{m}(z) = ⟨τ(z), φ_{m}⟩ für z ∈ X, 1 ≤ m ≤ N.

Dann gilt:

(i) τ(z) = ∑_{m=1}^{N} f_{m}(z)φ_{m} (z ∈ X)

(ii) {f_{m}}_{m=1}^{N} ist eine Basis von L_{K}

(iii) K(z, w) = ∑_{m=1}^{N} f_{m}(z)\overline{f_{m}(w)} (z, w ∈ X)

(b) Sei (f_{m})_{m=1}^{N} eine Folge von Funktionen f_{m} : X → ℂ. Definiert man K durch

K(z, w) = ∑_{m=1}^{N} f_{m}(z)\overline{f_{m}(w)} (z, w ∈ X),

dann ist K auf X positiv definit, L_{K} = LH{f_{m}; m = 1, …, N} und rank(K) ≤ N.

Beweis. (a) Sei τ : X → H eine Darstellung von K mit H = \overline{LH}(Im(τ)). Nach Satz 1.13 gilt dim(LH(Im(τ))) = rank(K) = N < ∞. Also ist H = LH(Im(τ)) ein N-dimensionaler Vektorraum. Da {φ_{m}}_{m=1}^{N} eine Orthonormalbasis von H ist, ist (i) klar. Da (τ, H) eine Darstellung von K und {φ_{m}}_{m=1}^{N} eine Orthonormalbasis ist, folgt aus (i):

K(z, w) = ⟨τ(z), τ(w)⟩
= ⟨∑_{m=1}^{N} f_{m}(z)φ_{m}, ∑_{n=1}^{N} f_{n}(w)φ_{n}⟩

= ∑_{m,n=1}^{N} f_{m}(z)\overline{f_{n}(w)}⟨φ_{m}, φ_{n}⟩

= ∑_{m=1}^{N} f_{m}(z)\overline{f_{m}(w)}

für alle z, w ∈ X. Also gilt (iii). Sei V = LH{f_{m}; m = 1, …, N}. Für y ∈ X gilt

h_{y}(x) = K(x, y) = ⟨τ(x), τ(y)⟩
= ∑_{m=1}^{N} f_{m}(x)⟨φ_{m}, τ(y)⟩

für alle x ∈ X. Also ist h_{y} ∈ V für alle y ∈ X und somit L_{K} ⊆ V. Da nach Voraussetzung dim(L_{K}) = N ist, gilt L_{K} = V und {f_{m}}_{m=1}^{N} ist eine Basis von L_{K}.

(b) Sei (f_{m})_{m=1}^{N} eine Folge von Funktionen auf X und sei K definiert durch

K(z, w) = ∑_{m=1}^{N} f_{m}(z)\overline{f_{m}(w)} (z, w ∈ X).

Sei H ein Hilbertraum mit dim(H) = N und sei {φ_{m}}_{m=1}^{N} eine Orthonormalbasis von H. Man definiert τ : X → H durch

τ(z) = ∑_{m=1}^{N} f_{m}(z)φ_{m} (z ∈ X).

Dann gilt für z, w ∈ X

⟨τ(z), τ(w)⟩ = ∑_{m=1}^{N} f_{m}(z)\overline{f_{m}(w)} = K(z, w).

Also ist K auf X positiv definit mit Darstellung (τ, H). Sei V = LH{f_{m}; m = 1, …, N} und W = LH(Im(τ)). Für y aus X gilt dann:

h_{y}(x) = K(x, y) = ∑_{m=1}^{N} f_{m}(x)\overline{f_{m}(y)}.

Also ist h_{y} ∈ V für alle y ∈ X und somit L_{K} ⊆ V. Wir fixieren nun m ∈ {1, …, N} und wählen ξ ∈ W^{⊥}, c_{i} ∈ ℂ und z_{i} ∈ X, (1 ≤ i ≤ r) so, daß

φ_{m} = ξ + ∑ c_{i}τ(z_{i}).

Dann gilt:

f_{m}(z) = ⟨τ(z), φ_{m}⟩
= ∑ \overline{c_{i}}⟨τ(z), τ(z_{i})⟩
= ∑ \overline{c_{i}}K(z, z_{i})
= ∑ \overline{c_{i}}h_{z_{i}}(z).

Also ist f_{m} ∈ LH{h_{z_{i}}} ⊆ L_{K} und damit V ⊆ L_{K}.

Satz 1.14 zeigt, daß die Darstellung von K in Teil (b) nicht eindeutig ist, außer in trivialen Fällen.

Satz 1.15. Sei K ein positiver Polynomkern auf ℂ^{n} vom Grad M. Dann ist N := rank(K) < ∞ und es existieren linear unabhängige Polynome f_{1}, …, f_{N} auf ℂ^{n} vom Grad ≤ M, so daß K eine Darstellung wie in Satz 1.14(b) hat. Ist (τ, H) eine Darstellung von K, so ist τ ein Polynom vom Grad M. Sind umgekehrt f_{1}, …, f_{N} Polynome auf ℂ^{n} vom Grad ≤ M, dann definiert die Darstellung aus Satz 1.14(b) einen positiven Polynomkern K auf ℂ^{n} vom Grad ≤ M mit rank(K) ≤ N.

Beweis. Der Vektorraum L_{K} ist in der Menge der Polynome vom Grad ≤ M enthalten, also gilt

N = dimL_{K} < ∞.

Sei (τ_{0}, H_{0}) eine Darstellung von K mit LH(Im(τ_{0})) = H_{0}. Nach Satz 1.13 gilt dimH_{0} = N. Man wähle zu τ_{0} Funktionen f_{1}, …, f_{N} wie in Teil (a) von Satz 1.14. Aus Satz 1.14 folgt dann, daß f_{1}, …, f_{N} eine Basis des Vektorraumes L_{K} bilden, insbesondere also Polynome vom Grade ≤ M sind. Es folgt ebenfalls, daß auch τ_{0} : ℂ^{n} → H_{0} ein Polynom vom Grad ≤ M ist. Sei nun deg(τ_{0}) = M′ ≤ M. Nach Definition von f_{m} ist dann deg(f_{m}) ≤ M′ für alle m = 1, …, N. Wegen L_{K} = LH{f_{m}; m = 1, …, N} gilt auch deg(h) ≤ M′ für alle h ∈ L_{K}. Da nach Definition des Grades von K der Vektorraum L_{K} Polynome vom Grad M enthält, gilt M ≤ M′ und somit M = M′. Sei nun (τ, H) eine beliebige Darstellung von K. Dann existiert nach Satz 1.9 eine unitäre Abbildung U : H_{0} → H, so daß τ = U ∘ τ_{0} und somit ist τ ebenfalls ein Polynom vom Grad M. Die umgekehrte Richtung ist klar.

KAPITEL 2 Interpolation auf dem Bizylinder

In diesem Kapitel beweisen wir zunächst eine geeignete skalarwertige Version von Agler’s Interpolationssatz für den Bizylinder ([CW99, Proposition 5.2]). Dieses Ergebnis ist grundlegend für die Herleitung der eingangs erwähnten Eigenschaft von Polynomen in zwei komplexen Variablen in Kapitel 3. Im Beweis des Interpolationssatzes werden wir die Andosche Ungleichung für ein Paar von vertauschenden Kontraktionen benutzen. Danach werden wir sehen, daß dieser Interpolationssatz auch für Funktionen mit Werten in L(E) (E ein Hilbertraum) gültig bleibt. Um dies einzusehen, benötigen wir eine von Neumannsche Ungleichung für Polynome mit Koeffizienten in L(E), für die wir im zweiten Abschnitt dieses Kapitels einen Beweis geben werden.

1. Ein skalarwertiger Interpolationssatz

Bevor wir den Interpolationssatz formulieren, zeigen wir zunächst noch einige Ergebnisse, die wir für den Beweis des Satzes benötigen. Sei S ⊆ 𝔻^{2} und K : S × S → ℂ positiv definit. Für f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}) definiert man

K_{f} : S × S → ℂ, (z, w) ↦ K(z, w)(1 − f(z)f̄(w)).

Indem man für f die Koordinatenprojektionen

𝔻^{2} → ℂ, z ↦ z_{i} (i = 1, 2)

wählt, erhält man die Abbildungen

K_{i} : S × S → ℂ, (z, w) ↦ K(z, w)(1 − z_{i}w̄_{i}) (i = 1, 2).

Das folgende Lemma zeigt, daß aus der positiven Definitheit der Abbildungen K_{1} und K_{2} die positive Definitheit der Abbildung K_{f} für alle Funktionen f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}) mit Supremumsnorm kleiner gleich 1 auf dem Bizylinder folgt:

Lemma 2.1. Sind K_{1} und K_{2} positiv definit, so ist auch K_{f} für jede Funktion f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}) mit ∥f∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1 positiv definit.

Beweis. Nach dem Satz von Kolmogorov (Satz 1.9) kann man zu K eine Funktion

τ : S → H (H ein Hilbertraum)

so wählen, daß

(i) K(z, w) = ⟨τ(z), τ(w)⟩ (z, w ∈ S) (ii) H = \overline{LH}\{τ(z); z ∈ S\}.

(1) Wir zeigen zunächst, daß für f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}) die Abbildung K_{f} genau dann positiv definit ist, wenn eine Kontraktion T_{f} : H → H existiert mit

T_{f}τ(z) = f(z)τ(z) (z ∈ S).

Um dies einzusehen, beachte man, daß

∥ ∑_{i=1}^{r} x_{i}τ(z_{i})∥^{2} − ∥ ∑_{i=1}^{r} x_{i}f(z_{i})τ(z_{i})∥^{2}

= ∑_{i,j=1}^{r} x_{i}x̄_{j}⟨τ(z_{i}), τ(z_{j})⟩ − ∑_{i,j=1}^{r} x_{i}x̄_{j}f(z_{i})\overline{f(z_{j})}⟨τ(z_{i}), τ(z_{j})⟩

= ∑_{i,j=1}^{r} x_{i}x̄_{j} \underbrace{(1 − f(z_{i})f̄(z_{j}))K(z_{i}, z_{j})}_{=K_{f} (z_{i},z_{j})}

für x_{1}, …, x_{r} ∈ ℂ und z_{1}, …, z_{r} ∈ S gilt. Ist K_{f} positiv definit, so ist die letzte Doppelsumme nicht negativ und man kann die Kontraktion T_{f} : H → H als die eindeutige stetig lineare Fortsetzung der Kontraktion

LH{τ(z); z ∈ S} → LH{τ(z); z ∈ S},
∑_{i=1}^{r} α_{i}τ(z_{i}) ↦ ∑_{i=1}^{r} α_{i}f(z_{i})τ(z_{i})

definieren. Existiert umgekehrt eine Kontraktion T_{f} : H ↦ H mit T_{f}τ(z) = f(z)τ(z) für alle z ∈ S, so ist die linke Seite obiger Gleichungskette nicht negativ für alle x_{1}, …, x_{r} ∈ ℂ und z_{1}, …, z_{r} ∈ S und daher K_{f} positiv definit.

(2) Sei f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}) eine Funktion mit ∥f∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1. Wir zeigen, daß aus der positiven Definitheit von K_{1} und K_{2} die Existenz einer Kontraktion T_{f} mit den oben beschriebenen Eigenschaften folgt. Als Anwendung von Teil (1) erhält man dann die positive Definitheit von K_{f}.

Sind K_{1} und K_{2} positiv definit, so existieren also Kontraktionen T_{1} und T_{2} in L(H) mit

T_{i}τ(z) = z_{i}τ(z) (z ∈ S) (i = 1, 2).

Die Operatoren T_{1} und T_{2} vertauschen, da für alle z ∈ S gilt:

T_{1}T_{2}τ(z) = z_{2}T_{1}τ(z) = z_{2}z_{1}τ(z) = z_{1}z_{2}τ(z) = z_{1}T_{2}τ(z) = T_{2}T_{1}τ(z).

Also ist T = (T_{1}, T_{2}) ein vertauschendes Paar von Kontraktionen auf H. Nach der Andoschen Ungleichung gilt dann

∥p(T)∥ ≤ ∥p∥_{∞,𝔻^{2}}

für jedes Polynom p in zwei komplexen Variablen. Wir verwenden nun ein Lemma, das wir später auch für banachraumwertige H^{∞}-Funktionen auf dem Polyzylinder benötigen und es dann an dieser Stelle beweisen werden (Lemma 2.9). Danach existiert zu f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}) eine Folge von Polynomen

(p_{k})_{k∈ℕ} mit ∥p_{k}∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ ∥f∥_{∞,𝔻^{2}} und lim_{k→∞} p_{k}(z) = f(z) für z ∈ 𝔻^{2}. Da

nach Voraussetzung ∥f∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1 ist, gilt auch ∥p_{k}(T)∥ ≤ 1 für alle k ∈ ℕ. Außerdem gilt:

(p_{k}(T))τ(z) = p_{k}(z)τ(z) ⟶^{k→∞} f(z)τ(z) (z ∈ S).

Also konvergiert (p_{k}(T)x)_{k} für alle x ∈ LH{τ(z); z ∈ S} und sogar für alle x ∈ H, da (∥p_{k}(T)∥)_{k∈ℕ} beschränkt ist. Also existiert SOT - lim_{k→∞} p_{k}(T) und definiert eine Kontraktion T_{f} ∈ L(H) mit T_{f}τ(z) = f(z)τ(z) für alle z ∈ S. Wie in Teil (1) gezeigt, impliziert dies die positive Definitheit von K_{f}.

Lemma 2.2. Seien z^{1}, …, z^{r} ∈ 𝔻^{2}. Dann bildet die Menge T aller Matrizen T ∈ M(r, ℂ), für die positiv semidefinite Matrizen A = (A_{ij}) und B = (B_{ij}) existieren mit

T_{ij} = (1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})A_{ij} + (1 − z_{2}^{i}z̄_{2}^{j})B_{ij} (1 ≤ i, j ≤ r),

einen abgeschlossenen Kegel in M(r, ℂ), der alle positiv semidefiniten Matrizen enthält.

Beweis. (1) Um zu zeigen, daß T ein Kegel ist, seien T, S ∈ T und μ ≥ 0. Dann existieren positiv semidefinite Matrizen A = (A_{ij}), B = (B_{ij}) und Ã = (Ã_{ij}), B̃ = (B̃_{ij}) mit

T_{ij} = (1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})A_{ij} + (1 − z_{2}^{i}z̄_{2}^{j})B_{ij} (1 ≤ i, j ≤ r),
S_{ij} = (1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})Ã_{ij} + (1 − z_{2}^{i}z̄_{2}^{j})B̃_{ij} (1 ≤ i, j ≤ r).

Da für 1 ≤ i, j ≤ r

T_{ij} + μS_{ij} = (1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})(A_{ij} + μÃ_{ij}) + (1 − z_{2}^{i}z̄_{2}^{j})(B_{ij} + μB̃_{ij})

mit A + μÃ und B + μB̃ ∈ M(r, ℂ) positiv semidefinit gilt, ist T + μS ∈ T . Somit ist T ein Kegel.

(2) Zum Beweis der Abgeschlossenheit von T sei (T^{(k)})_{k} eine Folge in T mit T^{(k)} → T für k → ∞ in M(r, ℂ). Da Konvergenz in M(r, ℂ) gleich komponentenweiser Konvergenz ist, gilt auch T_{ij}^{(k)} → T_{ij} für alle i, j = 1, …, r. Für die T^{(k)} gilt außerdem

T_{ij}^{(k)} = (1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})A_{ij}^{(k)} + (1 − z_{2}^{i}z̄_{2}^{j})B_{ij}^{(k)} (1 ≤ i, j ≤ r)

mit geeigneten positiv semidefiniten Matrizen A^{(k)}, B^{(k)} ∈ M(r, ℂ). Wir müssen nun zeigen, daß der Grenzwert T wieder in T liegt. Dazu betrachten wir die Diagonaleinträge A_{ii} für i = 1, …, r. Es gilt

0 ≤ (1 − |z_{1}^{i}|^{2})A_{ii}^{(k)} ≤ T_{ii}^{(k)}.

Da die Folge (T_{ii}^{(k)})_{k} konvergent, also beschränkt ist, ist auch (A_{ii}^{(k)})_{k} für alle i = 1, …, r beschränkt. Indem man die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung auf die durch A^{(k)} gegebene positiv semidefinite hermitesche Form (x, y) ↦ ⟨A^{(k)}x, y⟩ anwendet, erhält man

|A_{ij}^{(k)}|^{2} = |⟨A^{(k)}e_{j}, e_{i}⟩|^{2}
≤ ⟨A^{(k)}e_{j}, e_{j}⟩⟨A^{(k)}e_{i}, e_{i}⟩
= A_{jj}^{(k)}A_{ii}^{(k)}
≤ ( max_{i=1,... ,r} A_{ii}^{(k)})^{2}.

Also sind auch die Folgen (A_{ij}^{(k)})_{k} (i, j = 1, …, r) beschränkt. Nach Übergang zu geeigneten Teilfolgen darf man daher annehmen, daß

A^{(k)} ⟶^{k→∞} A
B^{(k)} ⟶^{k→∞} B

für geeignete positiv semidefinite Matrizen A, B ∈ M(r, ℂ). Wegen

T_{ij} = (1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})A_{ij} + (1 − z_{2}^{i}z̄_{2}^{j})B_{ij} (1 ≤ i, j ≤ r)

ist T ∈ T , und die Abgeschlossenheit von T ist gezeigt.

(3) Um zu zeigen, daß T alle positiv semidefiniten Matrizen enthält, sei die Matrix A = (A_{ij}) ∈ M(r, ℂ) positiv semidefinit. Wegen

A_{ij} = (1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})(1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})^{−1}A_{ij} (1 ≤ i, j ≤ r),

genügt es zu zeigen, daß die Matrix ((1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})^{−1}A_{ij}) ∈ M(r, ℂ) positiv semidefinit ist. Da mit zwei positiv semidefiniten Matrizen auch ihr komponentenweises Produkt wieder positiv semidefinit ist (Satz von Schur, siehe z.B. [Pau86, 3.6]), folgt dies aus der Darstellung

\frac{1}{1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j}} = ∑_{n=0}^{∞}(z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})^{n}

und der positiven Semidefinitheit der Matrix (z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})_{i,j}.

Lemma 2.3. Seien H, K Hilberträume und seien (x_{i})_{i∈I}, (y_{i})_{i∈I} Familien von Vektoren x_{i} ∈ H, y_{i} ∈ K. Dann gibt es eine Isometrie

V : \overline{LH}\{x_{i}; i ∈ I\} → K

mit

V x_{i} = y_{i}

für alle i ∈ I genau dann, wenn

⟨y_{i}, y_{j}⟩ = ⟨x_{i}, x_{j}⟩

für alle i, j ∈ I gilt.

Beweis. Sei zunächst V : \overline{LH}\{x_{i}; i ∈ I\} → K eine Isometrie mit V x_{i} = y_{i}. Dann gilt

⟨y_{i}, y_{j}⟩ = ⟨V x_{i}, V x_{j}⟩ = ⟨x_{i}, x_{j}⟩

für alle i, j ∈ I. Sei nun ⟨y_{i}, y_{j}⟩ = ⟨x_{i}, x_{j}⟩ für alle i, j ∈ I. Dann gilt für r ∈ ℕ, {i_{1}, …, i_{r}} ⊂ I, α_{1}, …, α_{r} ∈ ℂ, x_{i_{1}}, …, x_{i_{r}} ∈ H und y_{i_{1}}, …, y_{i_{r}} ∈ K

∥ ∑_{ν=1}^{r} α_{ν}x_{i_{ν}}∥^{2} = ∑_{ν,μ=1}^{r} α_{ν}ᾱ_{μ}⟨x_{i_{ν}}, x_{i_{μ}}⟩

= ∑_{ν,μ=1}^{r} α_{ν}ᾱ_{μ}⟨y_{i_{ν}}, y_{i_{μ}}⟩

= ∥ ∑_{ν=1}^{r} α_{ν}y_{i_{ν}}∥^{2}.

26 2. INTERPOLATION AUF DEM BIZYLINDER

Dies zeigt die Wohldefiniertheit und die Isometrie der Abbildung

V_{0} : LH{x_{i}; i ∈ I} → K,
V_{0}(∑_{i=1}^{r} α_{i}x_{i}) = ∑_{i=1}^{r} α_{i}y_{i} .

Definiert man nun V : \overline{LH}\{x_{i}; i ∈ I\} → K als die eindeutige stetig lineare Fortsetzung der Abbildung V_{0}, so ist V wie gewünscht. Lemma 2.4. Seien H, H′, K und K′ Hilberträume und sei

( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ L(H ⊕ K, H′ ⊕ K′)

eine Kontraktion. Dann ist für jede Kontraktion

X : K′ → K,

für die der Operator 1 − DX ∈ L(K′) invertierbar ist, auch der Operator

A + BX(1 − DX)^{−1}C ∈ L(H, H′)

eine Kontraktion. Insbesondere gilt dies für strikte Kontraktionen X ∈ L(K′, K).

Beweis. Sei x ∈ H. Dann ist y = (1 − DX)^{−1}Cx ∈ K′ und wegen
DXy + Cx = DX(1 − DX)^{−1}Cx + Cx
= (DX(1 − DX)^{−1} + 1)Cx
= (DX + (1 − DX))(1 − DX)^{−1}Cx
= y

gilt

( \begin{matrix}Ax + BXy \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}Ax + BXy \\ Cx + DXy \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & X \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) .

Es folgt

∥Ax + BXy∥^{2} + ∥y∥^{2} ≤ ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}.

Also gilt

∥(A + BX(1 − DX)^{−1}C)x∥ = ∥Ax + BXy∥ ≤ ∥x∥,

was zu zeigen war.

Wir werden im Folgenden Lemma 2.4 auf den Spezialfall H = H′ = ℂ anwenden. In diesem Fall werden wir die Operatoren A, C identifizieren mit ihren Werten A1 ∈ ℂ und C1 ∈ K′. Nun können wir die anfangs erwähnte Verallgemeinerung von Agler’s Interpolationssatz für den Bizylinder formulieren und beweisen:

Satz 2.5. Sei S ⊆ 𝔻^{2} und f : S → ℂ eine Funktion. Äquivalent sind:

(a) Es gibt eine Funktion F ∈ H^{∞}(𝔻^{2}) mit ∥F ∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1 und f = F |S.

(b) Es gibt positiv definite Abbildungen K_{1}, K_{2} : S × S → ℂ so, daß

1 − f(z)\overline{f(w)} = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ S gilt.

(c) Es gibt Hilberträume K_{1} und K_{2} und einen unitären Operator

U = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ L(ℂ ⊕ (K_{1} ⊕ K_{2}))

mit

f(z) = A + BZ(1 − DZ)^{−1}C (z ∈ S).

Hierbei sei für z = (z_{1}, z_{2}) ∈ ℂ^{2} der Operator Z : K_{1} ⊕ K_{2} → K_{1} ⊕ K_{2} definiert durch

Z(x_{1}, x_{2}) = (z_{1}x_{1}, z_{2}x_{2}).

Beweis. (a) ⇒ (b).

Wir zeigen diese Implikation zunächst für S ⊆ 𝔻^{2} endlich.

(1) Sei also S = {z^{1}, …, z^{r}} endlich mit paarweise verschiedenen Punkten z^{1}, … z^{r} ∈ 𝔻^{2}. Definiere A ∈ M(r, ℂ) als die Matrizen mit (i, j)-Eintrag

A_{ij} = 1 − f(z^{i})\overline{f(z^{j})}

Da eine Abbildung K : S × S → ℂ genau dann positiv definit ist, wenn die Matrix (K(z^{i}, z^{j}))_{ij} ∈ M(r, ℂ) positiv semidefinit ist (vgl. Bemerkung 1.4), genügt es (mit den Bezeichnungen aus Lemma 2.2) zu zeigen, daß A ∈ T ist. Dazu nehmen wir an, daß A nicht in T liegt. Dann folgt mit den Trennungssätzen, daß in M(r, ℂ)′ ein u existiert, so daß

(Re u)(A) < 0 ≤ (Re u)(T) (T ∈ T ).

Nach dem Satz über die Spur-Dualität (siehe z.B. [Sch97, 4.3.9]) existiert zu u ∈ M(r, ℂ)′ ein W ∈ M(r, ℂ) so, daß

u(T) = tr(W T)

für alle T ∈ M(r, ℂ) gilt. Da {A} ∪ T ⊆ {T ∈ M(r, ℂ); T = T^{∗}}, gilt

(Re u)(T) = Re(tr(W T)) = tr (\frac{W + W^{∗}}{2} T )

für alle T ∈ {A} ∪ T . Indem man W durch \frac{W +W^{∗}}{2} ersetzt, darf man annehmen, daß W selbstadjungiert ist. In diesem Fall ist W automatisch positiv semidefinit. Dazu beachte man, daß T nach Lemma 2.2 alle positiv semidefiniten Matrizen enthält und daß

⟨W x, x⟩ = ∑_{i=1}^{r}⟨W x, e_{i}⟩⟨e_{i}, x⟩
= ∑_{i=1}^{r}⟨W ⟨e_{i}, x⟩x, e_{i}⟩
= ∑_{i=1}^{r}⟨W (x ⊗ x)e_{i}, e_{i}⟩
= tr(W (x ⊗ x))

für alle x ∈ ℂ^{r} gilt. Da tr(W T) ≥ 0 für alle positiv semidefiniten Matrizen T ∈ M(r, ℂ), ist ⟨W x, x⟩ ≥ 0 für alle x ∈ ℂ^{r}. Also ist W und somit auch die transponierte Matrix positiv semidefinit. Wir bezeichnen mit K die positiv definite Abbildung

K : S × S → ℂ, K(z^{i}, z^{j}) = W_{ji}.

Dann gilt für x_{1}, …, x_{r} ∈ ℂ

∑_{i,j=1}^{r} x_{i}x̄_{j} \underbrace{K(z^{i}, z^{j})(1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})}_{=K_{1}(z^{i},z^{j})} = tr(W T) ≥ 0

mit (T_{ij})_{ij} = ((1 − z_{1}^{i}z̄_{1}^{j})x_{i}x̄_{j})_{ij} ∈ T und

∑_{i,j=1}^{r} x_{i}x̄_{j} \underbrace{K(z^{i}, z^{j})(1 − z_{2}^{i}z̄_{2}^{j})}_{=K_{2}(z^{i},z^{j})} = tr(W T̃) ≥ 0

mit (T̃_{ij})_{ij} = ((1 − z_{2}^{i}z̄_{2}^{j})x_{i}x̄_{j})_{ij} ∈ T . Also sind K_{1} und K_{2} (wie in Lemma 2.1) positiv definit.

Dann ist nach Lemma 2.1 die Abbildung K_{F} positiv definit und man erhält den Widerspruch, daß

tr(W A) = ∑_{i,j=1}^{r} K(z^{i}, z^{j})A_{ij} ≥ 0

ist. Also gilt A ∈ T und somit die Behauptung für S ⊆ 𝔻^{2} endlich.

(2) Sei nun S ⊆ 𝔻^{2} beliebig und sei M = {z^{1}, …, z^{r}} ⊆ S endlich mit paarweise verschiedenen Punkten z^{1}, …, z^{r} ∈ S. Nach (1) kann man dann positiv definite Abbildungen

K_{1}^{M}, K_{2}^{M} : M × M → ℂ

so wählen, daß

1 − f(z)\overline{f(w)} = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}^{M}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}^{M}(z, w)

für alle z, w ∈ M gilt. Man setzt K_{1}^{M}, K_{2}^{M} auf S × S fort durch

K_{1}^{M}(z, w) = K_{2}^{M}(z, w) = 0

für alle (z, w) ∈ (S × S) \ (M × M). Für alle z, w ∈ S gelten dann die Ungleichungen

|K_{1}^{M}(z, w)| ≤ \frac{1}{\sqrt{1 − |z_{1}|^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 − |w_{1}|^{2}}}

und

|K_{2}^{M}(z, w)| ≤ \frac{1}{\sqrt{1 − |z_{2}|^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 − |w_{2}|^{2}}} .

Dies ist trivial, falls z ∉ M oder w ∉ M. Sei also z ∈ M und z = w. Dann folgt, da die Gleichung aus Teil (b) für K_{1}^{M} und K_{2}^{M} gilt:

1 ≥ 1 − |f(z)|^{2}
= (1 − |z_{1}|^{2})K_{1}^{M}(z, z) + (1 − |z_{2}|^{2})K_{2}^{M}(z, z)
≥ (1 − |z_{1}|^{2})K_{1}^{M}(z, z)

Es gilt also

K_{1}^{M}(z, z) ≤ \frac{1}{1 − |z_{1}|^{2}} .

Da nach Lemma 1.8

|K_{1}^{M}(z, w)|^{2} ≤ K_{1}^{M}(z, z)K_{1}^{M}(w, w)

für z, w ∈ M gilt, folgt die Ungleichung für K_{1}^{M}. Entsprechend folgt auch die Ungleichung für K_{2}^{M} .

Wir möchten nun mit Hilfe eines Kompaktheitsargumentes den Beweis der Implikation (a) ⇒ (b) beenden. Sei dazu M = {M; M ⊆ S endlich}. M ist ein gerichtetes System, partiell geordnet durch “⊆“. Betrachtet man K_{1}^{M} und K_{2}^{M} als Netze auf M mit Werten in der Menge der Funktionen auf S × S, die die beiden obigen Ungleichungen erfüllen, dann ist (K_{1}^{M}, K_{2}^{M})_{M∈M} ein Netz in der kompakten Menge

∏_{(z,w)∈S×S} D̄_{r_{1}(z,w)}(0) × ∏_{(z,w)∈S×S} D̄_{r_{2}(z,w)}(0)

mit r_{j}(z, w) = \frac{1}{\sqrt{1−|z_{j}|^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1−|w_{j}|^{2}}} (j = 1, 2). Sei (K_{1}^{M_{i}}, K_{2}^{M_{i}})_{i∈I} ein kon-

vergentes Teilnetz und sei (K_{1}, K_{2}) = lim_{i∈I}(K_{1}^{M_{i}}, K_{2}^{M_{i}}). Die Abbildungen

K_{j} : S × S → ℂ (j = 1, 2)

sind positiv definit, denn für z^{1}, …, z^{r} ∈ S gibt es ein i_{0} ∈ I mit {z^{1}, …, z^{r}} ⊂ M_{i_{0}}, und folglich gilt für alle c_{1}, …, c_{r} ∈ ℂ:

∑_{k,l} c_{k}c̄_{l}K_{j}(z^{k}, z^{l}) = lim_{i∈I} \underbrace{∑_{k,l} c_{k}c̄_{l}K_{j}^{M_{i}}(z^{k}, z^{l})}_{≥0 für alle i≥i_{0}} ≥ 0.

Ganz ähnlich sieht man, daß

1 − f(z)\overline{f(w)} = lim_{i∈I}(1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}^{M_{i}}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}^{M_{i}}(z, w)
= (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w)

für beliebige z, w ∈ S gilt.

(b) ⇒ (c). Nach Satz 1.9 gibt es Funktionen τ_{i} : S → H_{i} (H_{i} Hilbertraum, i = 1, 2) so, daß

(i) K_{i}(z, w) = ⟨τ_{i}(z), τ_{i}(w)⟩ (z, w ∈ S) (ii) H_{i} = \overline{LH}\{τ_{i}(z); z ∈ S\}

Die Voraussetzung

1 − f(z)\overline{f(w)} = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w) (z, w ∈ S) bedeutet genau, daß für z, w ∈ S die Identität

⟨( \begin{matrix}& 1 \\ ( & \begin{matrix}z_{1}τ_{1}(z) \\ z_{2}τ_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& 1 \\ ( & \begin{matrix}w_{1}τ_{1}(w) \\ w_{2}τ_{2}(w) \end{matrix} & ) \end{matrix} )⟩

= ⟨( \begin{matrix}& f(z) \\ ( & \begin{matrix}τ_{1}(z) \\ τ_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& f(w) \\ ( & \begin{matrix}τ_{1}(w) \\ τ_{2}(w) \end{matrix} & ) \end{matrix} )⟩

gilt, wobei das Skalarprodukt in dem Hilbertraum ℂ⊕(H_{1} ⊕H_{2}) gebildet wird. Nach Lemma 2.3 ist diese Bedingung äquivalent dazu, daß es eine Isometrie

L : \overline{LH}\{( \begin{matrix}& 1 \\ ( & \begin{matrix}z_{1}τ_{1}(z) \\ z_{2}τ_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} ); z ∈ S\} → ℂ ⊕ (H_{1} ⊕ H_{2})

gibt mit der Eigenschaft, daß

L ( \begin{matrix}& 1 \\ ( & \begin{matrix}z_{1}τ_{1}(z) \\ z_{2}τ_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& f(z) \\ ( & \begin{matrix}τ_{1}(z) \\ τ_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} )

für alle z ∈ S gilt. Setze L zu einer unitären Abbildung U ∈ L(ℂ ⊕ (K_{1} ⊕ K_{2})) fort, wobei K_{i} ⊇ H_{i} geeignete Hilberträume sind, und zerlege U entsprechend der Zerlegung des Raumes ℂ ⊕ (K_{1} ⊕ K_{2}) in

U = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) .

Wendet man nun U auf ein Element aus LH\{( \begin{matrix}1 \\ z_{1}τ_{1}(z) \\ z_{2}τ_{2}(z) \end{matrix} ); z ∈ S\} an, so erhält

man mit u(z) = (τ_{1}(z), τ_{2}(z)) die Gleichungen

A + BZu(z) = f(z)

und

C + DZu(z) = u(z).

Daraus erhält man

u(z) = (1 − DZ)^{−1}C

und Einsetzen ergibt dann

f(z) = A + BZ(1 − DZ)^{−1}C.

(c) ⇒ (a). Offensichtlich definiert die rechte Seite der Gleichung in Teil (c) eine holomorphe Fortsetzung F : 𝔻^{2} → ℂ von f. Außerdem gilt nach Lemma 2.4 auch ∥F ∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1.

Aus dem Beweis von Satz 2.5 folgt auch:

Bemerkung 2.6. (a) In der Situation (b) von Satz 2.5 haben die Abbildungen f, K_{1} und K_{2} Fortsetzungen zu einer holomorphen Abbildung F : 𝔻^{2} → ℂ bzw. zu holomorphen Kernen K̂_{1}, K̂_{2} : 𝔻^{2} × 𝔻^{2} → ℂ so, daß

1 − F (z)\overline{F (w)} = (1 − z_{1}w̄_{1})K̂_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K̂_{2}(z, w)

für z, w ∈ 𝔻^{2} gilt. Im Falle S = 𝔻^{2} bedeutet dies, daß die positiv definiten Abbildungen K_{1}, K_{2} in Teil (b) von Satz 2.5 automatisch holomorph sind.

(b) Definiert man in der Situation (c) von Satz 2.5 Funktionen

û : 𝔻^{2} → K_{1} ⊕ K_{2}, û(z) = (1 − DZ)^{−1}C

und

τ̂_{i} : 𝔻^{2} → K_{i}, τ̂_{i}(z) = π_{i}û(z) (i = 1, 2),

so sind

K̂_{i} : 𝔻^{2} × 𝔻^{2} → ℂ, K̂_{i}(z, w) = ⟨τ̂_{i}(z), τ̂_{i}(w)⟩ (i = 1, 2)

positive holomorphe Kerne mit

1 − f(z)\overline{f(w)} = (1 − z_{1}w̄_{1})K̂_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K̂_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ S. Dieselbe Formel gilt auch für alle z, w ∈ 𝔻^{2}, wenn man auf der linken Seite f : S → ℂ durch die holomorphe Fortsetzung

F : 𝔻^{2} → ℂ, F (z) = A + BZ(1 − DZ)^{−1}C

ersetzt.

Beweis. Der Beweis der Implikationen (b) ⇒ (c) und (c) ⇒ (a) von Satz 2.5 zeigt, daß es genügt, den Teil (b) der Bemerkung zu zeigen. Sei F : 𝔻^{2} → ℂ die in Teil (b) der Bemerkung definierte holomorphe Fortsetzung von f. Dann gilt mit den Bezeichnungen aus (b) für z ∈ 𝔻^{2}

A + BZû(z) = F (z)

und

C + DZû(z) = û(z)

oder äquivalent

( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}& 1 \\ ( & \begin{matrix}z_{1}τ̂_{1}(z) \\ z_{2}τ̂_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& F (z) \\ ( & \begin{matrix}τ̂_{1}(z) \\ τ̂_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} )

für alle z ∈ 𝔻^{2}. Da U = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) unitär ist, folgt

⟨( \begin{matrix}& 1 \\ ( & \begin{matrix}z_{1}τ̂_{1}(z) \\ z_{2}τ̂_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& 1 \\ ( & \begin{matrix}w_{1}τ̂_{1}(w) \\ w_{2}τ̂_{2}(w) \end{matrix} & ) \end{matrix} )⟩

= ⟨( \begin{matrix}& F (z) \\ ( & \begin{matrix}τ̂_{1}(z) \\ τ̂_{2}(z) \end{matrix} & ) \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& F (w) \\ ( & \begin{matrix}τ̂_{1}(w) \\ τ̂_{2}(w) \end{matrix} & ) \end{matrix} )⟩

für alle z, w ∈ 𝔻^{2}. Nach Definition von K̂_{i} bedeutet dies genau, daß

1 − F (z)\overline{F (w)} = (1 − z_{1}w̄_{1})K̂_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K̂_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ 𝔻^{2} gilt.

Im ersten Teil des Beweises der Implikation (a) ⇒ (b) von Satz 2.5 haben wir Lemma 2.1 und damit die Andosche Ungleichung für vertauschende Paare von Kontraktionen auf Hilberträumen benutzt. Da die positiv definite Abbildung K : S × S → ℂ, auf die wir Lemma 2.1 im Beweis von Satz 2.5 angewendet haben, nur auf einer endlichen Menge S = {z_{1}, …, z_{r}} definiert ist, kann man den Darstellungsraum H von K in Lemma 2.1 als endlichdimensionalen Hilbertraum wählen (siehe Satz 1.13). In den Beweis von Satz 2.5 ist also nur die Andosche Ungleichung für vertauschende Paare von Kontraktionen auf endlichdimensionalen Hilberträumen eingegangen. Wir werden später sehen, daß umgekehrt aus der Gültigkeit von Satz 2.5 die allgemeine Andosche Ungleichung folgt.

2. Die operatorwertige von Neumannsche Ungleichung

Seien im Folgenden E und H Hilberträume. Für zwei C^{∗}-Algebren A und B sei α_{0} : A ⊗ B → ℝ die minimale C^{∗}-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt A ⊗ B (vgl. [Sak71, Thm. 1.22.6]). Die Vervollständigung A ˆ⊗_{α_{0}}B ist auf kanonische Weise eine C^{∗}-Algebra. Nach [Sak71, Prop. 1.22.3] gilt für einen kompakten Hausdorffraum X und eine C^{∗}-Algebra B

C(X) ˆ⊗_{α_{0}}B = C(X) ˆ⊗_{ϵ}B ˜= C(X, B).

Zu zwei ∗-Homomorphismen π_{1} : A → L(H_{1}) und π_{2} : B → L(H_{2}), H_{1} und H_{2} Hilberträume, existiert nach [Sak71, Prop. 1.22.9] genau ein ∗-Homomor-phismus π_{1} ⊗ π_{2} : A ˆ⊗_{α_{0}}B → L(H_{1} ⊗ H_{2}) mit

π_{1} ⊗ π_{2}(a ⊗ b) = π_{1}(a) ⊗ π_{2}(b) (a ∈ A, b ∈ B).

Daraus erhält man sofort als Anwendung:

Satz 2.7. Sei X ein kompakter Hausdorffraum und Ψ : C(X) → L(H) ein ∗-Homomorphismus. Dann existiert ein eindeutiger ∗-Homomorphismus

Ψ^{E} : C(X, L(E)) = C(X) ˆ⊗_{ϵ}L(E) → L(H ⊗ E)

mit Ψ^{E}(f ⊗ A) = Ψ(f) ⊗ A für alle f ∈ C(X) und A ∈ L(E).

Zu T = (T_{1}, T_{2}) ∈ L(H)^{2} vertauschend existiert nach [And63] eine vertauschende unitäre Dilatation U = (U_{1}, U_{2}) ∈ L(K)^{2}, K ⊃ H, mit

T^{α} = P_{H}U^{α} _{|H} (α ∈ ℕ^{2}).

Wendet man Satz 2.7 auf den C(𝕋^{2})-Funktionalkalkül

Ψ_{U} : C(𝕋^{2}) → L(K), f ↦ Ψ_{U}(f)

von U an, so erhält man einen eindeutigen ∗-Homomorphismus

Ψ_{U}^{E} : C(𝕋^{2}, L(E)) = C(𝕋^{2}) ˆ⊗_{ϵ}L(E) → L(K ⊗ E)

mit

Ψ_{U}^{E}(f ⊗ A) = Ψ_{U}(f) ⊗ A (f ∈ C(𝕋^{2}), A ∈ L(E)).

Sei nun p(z) = ∑_{|α|≤r} z^{α}A_{α} ∈ L(E)[z] ein Polynom in zwei komplexen Variablen mit Koeffizienten in L(E). Dann definiert man für T ∈ L(H)^{2} wie oben

p(T) = ∑_{|α|≤r} T^{α} ⊗ A_{α} ∈ L(H ⊗ E),

und es folgt

p(T) = ∑_{|α|≤r} T^{α} ⊗ A_{α}
= ∑_{|α|≤r} P_{H}U^{α} _{|H} ⊗ A_{α}
= ∑_{|α|≤r}(P_{H} ⊗ 1_{E})(U^{α} ⊗ A_{α})_{|(H⊗E)}
= ∑_{|α|≤r} P_{H⊗E}(U^{α} ⊗ A_{α})_{|(H⊗E)}
= P_{H⊗E} p(U)_{|(H⊗E)}
= P_{H⊗E} Ψ_{U}^{E}(p)_{|(H⊗E)}.

Da ∗-Homomorphismen kontraktiv sind, erhält man als Korollar eine operatorwertige von Neumannsche Ungleichung für zwei vertauschende Kontraktionen:

Korollar 2.8. Sei T = (T_{1}, T_{2}) ∈ L(H)^{2} ein vertauschendes Paar von Kontraktionen. Dann gilt für jedes Polynom p ∈ L(E)[z] in zwei komplexen Variablen mit Koeffizienten in L(E) die Ungleichung

∥p(T)∥ ≤ ∥p∥_{∞,𝔻^{2}}.

Beweis. Sei wie oben U = (U_{1}, U_{2}) ∈ L(K)^{2} eine unitäre Dilatation zu T und p ∈ L(E)[z] ein Polynom. Dann gilt

∥p(T)∥ = ∥P_{H⊗E} p(U)_{|(H⊗E)}∥
≤ ∥p(U)∥
= ∥Ψ_{U}^{E}(p)∥
≤ ∥p∥_{∞,𝕋^{2}}
= ∥p∥_{∞,𝔻^{2}}.

Unter geeigneten Bedingungen kann man Polynome p ∈ L(E)[z] durch holomorphe Funktionen f ∈ O(𝔻^{2}, L(E)) ersetzen. Dazu sei T ∈ L(H)^{2} ein vertauschendes Paar von Operatoren mit Taylorspektrum σ(T) ⊂ 𝔻^{2} und die Abbildung O(𝔻^{2}) → L(H), f ↦ f(T) bezeichne den analytischen Funktionalkalkül von T. Dann existiert eine eindeutige stetig lineare Abbildung

Φ_{T}^{E} : O(𝔻^{2}, L(E)) = O(𝔻^{2}) ˜⊗ L(E) → L(H ⊗ E)

mit

Φ_{T}^{E} (f ⊗ A) = f(T) ⊗ A (f ∈ O(𝔻^{2}), A ∈ L(E)).

Dann erhält man eine Verallgemeinerung von Korollar 2.8 mit

Lemma 2.9. Sei X ein Banachraum und f ∈ H^{∞}(𝔻^{n}, X). Dann existiert eine Folge (p_{k})_{k∈ℕ} von X-wertigen Polynomen p_{k} mit ∥p_{k}∥_{∞,𝔻^{n}} ≤ ∥f∥_{∞,𝔻^{n}}, so daß (p_{k})_{k∈ℕ} auf 𝔻^{n} kompakt gleichmäßig gegen f konvergiert.

Beweis. Sei ohne Einschränkung ∥f∥_{∞,𝔻^{n}} = 1. Sei (r_{k})_{k=1}^{∞} eine Folge in (0, 1) mit r_{k} ⟶^{k→∞} 1. Dann konvergiert die Folge (f_{r_{k}})_{k=1}^{∞}, wobei f_{r_{k}}(z) = f(r_{k}z) für z ∈ 𝔻^{n}, auf 𝔻^{n} kompakt gleichmäßig gegen f. Außerdem gilt für die Norm

∥f_{r_{k}}∥_{∞,𝔻^{n}} ≤ ∥f∥_{∞,𝔻^{n}} ≤ 1.

Da die Funktion f_{r_{k}} für alle k ∈ ℕ auf einer Umgebung von 𝔻^{n} eine holomorphe Fortsetzung hat, kann man zu f_{r_{k}} ein X-wertiges Polynom q_{k} so wählen, daß

∥f_{r_{k}} − q_{k}∥_{∞,𝔻^{n}} ≤ \frac{1}{k} .

Die Folge (q_{k})_{k∈ℕ} von Polynomen konvergiert auf 𝔻^{n} kompakt gleichmäßig gegen f, denn es gilt für K ⊂ 𝔻^{n} kompakt

∥f − q_{k}∥_{∞,K} ≤ ∥f − f_{r_{k}}∥_{∞,K} + ∥f_{r_{k}} − q_{k}∥_{∞,K} ⟶^{k→∞} 0.

Außerdem gilt ∥q_{k}∥_{∞,𝔻^{n}} ≤ 1+ \frac{1}{k}. Wir setzen p_{k} = \frac{k}{k+1} q_{k}. Dann ist ∥p_{k}∥_{∞,𝔻^{n}} ≤ 1 und

∥q_{k} − p_{k}∥_{∞,𝔻^{n}} = \frac{1}{1 + k} ∥q_{k}∥_{∞,𝔻^{n}} ≤ \frac{1}{k} .

Die Folge (p_{k})_{k∈ℕ} konvergiert auf 𝔻^{n} ebenfalls kompakt gleichmäßig gegen f, denn es gilt für K ⊂ 𝔻^{n} kompakt

∥f − p_{k}∥_{∞,K} ≤ ∥f − q_{k}∥_{∞,K} + ∥q_{k} − p_{k}∥_{∞,K} ⟶^{k→∞} 0.

Also ist (q_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von X-wertigen Polynomen mit den gewünschten Eigenschaften.

Satz 2.10. Sei T ∈ L(H)^{2} ein vertauschendes Paar von Kontraktionen mit Taylorspektrum σ(T) ⊂ 𝔻^{2}. Dann gilt für jedes f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}, L(E)) die Ungleichung

∥Φ_{T}^{E} (f)∥ ≤ ∥f∥_{∞,𝔻^{2}}.

Beweis. Zu f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}, L(E)) existiert nach Lemma 2.9 eine Folge von Polynomen (p_{k})_{k∈ℕ} in L(E)[z] mit ∥p_{k}∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ ∥f∥_{∞,𝔻^{2}}, so daß (p_{k})_{k∈ℕ} auf 𝔻^{2} kompakt gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann folgt mit Korollar 2.8

∥Φ_{T}^{E} (f)∥ = lim_{k→∞} ∥Φ_{T}^{E} (p_{k})∥
≤ sup_{k∈ℕ}∥p_{k}∥_{∞,𝔻^{2}}
≤ ∥f∥_{∞,𝔻^{2}}.

In der Situation von Satz 2.10 benutzen wir im Folgenden die Notation

f(T) := Φ_{T}^{E} (f)

für f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}, L(E)).

3. Die operatorwertige Version des Interpolationssatzes

Mit Hilfe der operatorwertigen von Neumannschen Ungleichung können wir nun auch eine operatorwertige Version von Satz 2.5 beweisen. Sei dazu E ein Hilbertraum.

Satz 2.11. Sei S ⊆ 𝔻^{2} und f : S → L(E) eine Funktion. Äquivalent sind:

(a) Es gibt eine Funktion F ∈ H^{∞}(𝔻^{2}, L(E)) mit ∥F ∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1 und f = F |S.

(b) Es gibt positiv definite Abbildungen K_{1}, K_{2} : S × S → L(E) so, daß

1 − f(z)f(w)^{∗} = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ S gilt.

(c) Es gibt Hilberträume K_{1} und K_{2} und einen unitären Operator

U = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ L(E ⊕ (K_{1} ⊕ K_{2}))

mit

f(z) = A + BZ(1 − DZ)^{−1}C (z ∈ S).

Hierbei sei für z = (z_{1}, z_{2}) ∈ ℂ^{2} der Operator Z : K_{1} ⊕ K_{2} → K_{1} ⊕ K_{2} definiert durch

Z(x_{1}, x_{2}) = (z_{1}x_{1}, z_{2}x_{2}).

Beweis. (a) ⇒ (b). Seien f und F wie in Bedingung (a) beschrieben. Wir wählen eine Orthonormalbasis (e_{i})_{i∈I} von E. Für eine endliche Teilmenge J ⊂ I sei

E_{J} = LH{e_{i}; i ∈ J}

und P_{J} die Orthogonalprojektion von E auf E_{J}. Die Menge J aller endlichen Teilmengen von I ist durch die Mengeninklusion gerichtet, (P_{J})_{J∈J} ist dann ein Netz, welches in der starken Operatortopologie gegen 1_{E} konvergiert.

(1) Sei nun also J ⊂ I endlich und sei zunächst S = {z^{1}, …, z^{r}} endlich mit paarweise verschiedenen Punkten z^{1}, …, z^{r} ∈ 𝔻^{2}. Es sei V der Vektorraum aller Abbildungen von S×S̃ nach L(E_{J}), versehen mit der Supremumsnorm. Dann ist V endlichdimensional, da S endlich und auch L(E_{J}) endlichdimensional ist. Ferner sei

C = {g ∈ V; es existieren K_{1}, K_{2} : S × S → L(E_{J}) positiv definit mit

g(z, w̄) = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ S}.

Offensichtlich ist C ein konvexer Kegel in V. Wir wollen im ersten Teil des Beweises zeigen, daß die Funktion

h : S × S̃ → L(E_{J}), (z, w) ↦ P_{J}(1 − f(z)f(w̄)^{∗})_{|E_{J}}

zu C gehört. Dazu zeigen wir zunächst, daß C abgeschlossen und spitz ist. Zum Beweis der Spitzheit sei g ∈ C, so daß auch −g in C liegt. Also gilt:

g(z, w̄) = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w)
−g(z, w̄) = (1 − z_{1}w̄_{1})K̃_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K̃_{2}(z, w)

mit K_{1}, K_{2}, K̃_{1}, K̃_{2} : S × S → L(E_{J}) positiv definit. Für z ∈ S gilt dann

0 = g(z, z̄) − g(z, z̄)
= (1 − |z_{1}|^{2})(K_{1}(z, z) + K̃_{1}(z, z)) + (1 − |z_{2}|^{2})(K_{2}(z, z) + K̃_{2}(z, z))

Ist die Summe zweier positiver Operatoren A, B ∈ L(E) gleich 0, so müssen die beiden Operatoren schon 0 gewesen sein:

0 = ⟨(A + B)x, x⟩
= ⟨Ax, x⟩ + ⟨Bx, x⟩  (x ∈ E),

also ⟨Ax, x⟩ = 0 = ⟨Bx, x⟩ für alle x ∈ E und damit A = B = 0. Somit gilt in obiger Gleichung

K_{1}(z, z) = K̃_{1}(z, z) = K_{2}(z, z) = K̃_{2}(z, z) = 0

für alle z ∈ S. Mit Lemma 1.7 folgt dann für z, w ∈ S und x, y ∈ E_{J}

∥K_{1}(z, w)∥^{2} ≤ ∥K_{1}(z, z)∥ ∥K_{1}(w, w)∥ = 0.

Also ist K_{1} = 0. Analog zeigt man, daß auch K_{2} = 0 ist und somit ist g = 0. Zum Beweis der Abgeschlossenheit sei (g^{(n)})_{n∈ℕ} eine Folge in C mit Grenzwert g in V. Für die g^{(n)} gilt

g^{(n)}(z, w̄) = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}^{(n)}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}^{(n)}(z, w) (z, w ∈ S)

mit geeigneten positiv definiten Abbildungen K_{1}^{(n)} und K_{2}^{(n)}. Sei nun z ∈ S fest. Dann gilt für alle n ∈ ℕ

(1 − |z_{i}|^{2})K_{i}^{(n)}(z, z) ≤ g^{(n)}(z, z̄) (i = 1, 2)

und somit auch

(1 − |z_{i}|^{2})∥K_{i}^{(n)}(z, z)∥ ≤ ∥g^{(n)}(z, z̄)∥ (i = 1, 2).

Da die Folge (g^{(n)})_{n∈ℕ} konvergent und damit normbeschränkt ist, ist die Folge (∥K_{i}^{(n)}(z, z)∥)_{n∈ℕ} (i = 1, 2) für alle z ∈ S beschränkt. Dann ist auch die Folge (∥K_{i}^{(n)}(z, w)∥)_{n∈ℕ} (i = 1, 2) für alle z, w ∈ S beschränkt, denn es gilt nach Lemma 1.7

∥K_{i}^{(n)}(z, w)∥^{2} ≤ ∥K_{i}^{(n)}(z, z)∥ ∥K_{i}^{(n)}(w, w)∥ (n ∈ ℕ, i = 1, 2).

Da L(E_{J}) endlichdimensional ist, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß die Grenzwerte K_{i}(z, w) = lim_{n→∞}K_{i}^{(n)}(z, w) in L(E_{J}) für alle z, w ∈ S und i = 1, 2 existieren. Die Grenzwert-Abbildungen K_{i} : S × S → L(E_{J}) (i = 1, 2) sind wieder positiv definit und es gilt

g(z, w̄) = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w)

für z, w ∈ S. Damit ist die Abgeschlossenheit von C gezeigt. Wir zeigen jetzt mit einem Trennungsargument, daß h zu C gehört. Dazu zeigen wir, daß für alle l ∈ V′ (stetiger Dualraum), die Re l(g) > 0 für g ∈ C \ {0} erfüllen, schon Re l(h) ≥ 0 folgt. Denn da V endlichdimensional ist, existiert nach [Kle55, Theorem 2.7], falls h ∉ C, eine stetige Linearform l auf V mit Re l(g) > 0 für g ∈ C\{0} und Re l(h) < 0. Sei also im Folgenden l ∈ V′ wie oben beschrieben. Zu g ∈ V definieren wir

g^{∗} : S × S̃ → L(E_{J}), (z, w) ↦ g(w̄, z̄)^{∗},

also gilt g^{∗} ∈ V und (g^{∗})^{∗} = g. Ferner sei

L : V → ℂ, g ↦ \frac{1}{2}(l(g) + \overline{l(g^{∗})}),

also L ∈ V′. Für g ∈ V mit g = g^{∗} ist offenbar L(g) = Re l(g). Also gilt L(g) = Re l(g) für alle g ∈ C, da diese g = g^{∗} erfüllen:

g^{∗}(z, w̄) = g(w, z̄)^{∗}
= ((1 − w_{1}z̄_{1})K_{1}(w, z))^{∗} + ((1 − w_{2}z̄_{2})K_{2}(w, z))^{∗}
= (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w)
= g(z, w̄)  (z, w ∈ S).

Weiter sei H der Vektorraum aller Abbildungen von S̃ nach L(E_{J}, ℂ), also ist H endlichdimensional. Wir wollen nun H mit einem Skalarprodukt versehen. Zu φ, ψ ∈ H sei

φ × ψ : S × S̃ → L(E_{J}), (z, w) ↦ φ(z̄)^{∗}ψ(w),

also φ × ψ ∈ V. Man rechnet nach, daß die Identität φ × ψ = (ψ × φ)^{∗} für φ, ψ aus H gilt. Wir definieren nun

⟨·, ·⟩ : H × H → ℂ, ⟨φ, ψ⟩ = L(ψ × φ)

und behaupten, daß ⟨·, ·⟩ ein Skalarprodukt auf H ist. Die Linearität im ersten Argument ist klar. Es gilt weiter

⟨φ, ψ⟩ = L(ψ × φ)
= \frac{1}{2}(l(ψ × φ) + \overline{l((ψ × φ)^{∗})})
= \overline{L((ψ × φ)^{∗})}
= \overline{L(φ × ψ)}
= \overline{⟨ψ, φ⟩}  (φ, ψ ∈ H).

Somit ist ⟨·, ·⟩ sesquilinear. Sei nun φ ∈ H. Dann ist die Abbildung

S × S → L(E_{J}), (z, w) ↦ φ × φ(z, w̄)

positiv definit, denn für endliche Folgen (z_{i}) in S und (x_{i}) in E_{J} gilt

∑⟨φ × φ(z_{i}, z̄_{j})x_{j}, x_{i}⟩ = ∑⟨φ(z̄_{i})^{∗}φ(z̄_{j})x_{j}, x_{i}⟩
= ∑⟨φ(z̄_{j})x_{j}, φ(z̄_{i})x_{i}⟩
= ∥ ∑ φ(z̄_{i})x_{i}∥^{2} ≥ 0.

Nach Satz 1.15 in [Bar02] ist auch die Abbildung

K_{1} : S × S → L(E_{J}), (z, w) ↦ (1 − z_{1}w̄_{1})^{−1}φ × φ(z, w̄)

positiv definit und somit gilt

φ × φ(z, w̄) = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) (z, w ∈ S).

Daher liegt die Abbildung φ × φ in C, und es ist

⟨φ, φ⟩ = L(φ × φ) = Re l(φ × φ) ≥ 0.

Aufgrund der Wahl von l gilt ⟨φ, φ⟩ = 0 genau dann, wenn φ × φ = 0 ist. Wegen

|φ(z)x|^{2} = ⟨φ(z)^{∗}φ(z)x, x⟩
= ⟨φ × φ(z̄, z)x, x⟩ (z ∈ S̃, x ∈ E_{J})

ist das äquivalent zu φ = 0, weswegen ⟨·, ·⟩ positiv definit ist. Mit diesem Skalarprodukt ist H also ein Hilbertraum. Die Multiplikationen mit den Koordinatenfunktionen

T_{i} : H → H, T_{i}φ(z) = z_{i}φ(z) (i = 1, 2)

sind stetig, da H endlichdimensional ist. Wir werden zeigen, daß T_{1} und T_{2} strikte Kontraktionen sind. Für φ ∈ H \ {0} und i = 1, 2 ist

∥φ∥^{2} − ∥T_{i}φ∥^{2} = L(φ × φ) − L((T_{i}φ) × (T_{i}φ))
= L(φ × φ − (T_{i}φ) × (T_{i}φ)) > 0,

denn die Darstellung

(φ × φ − (T_{i}φ) × (T_{i}φ))(z, w̄)
= φ(z̄)^{∗}φ(w̄) − z_{i}φ(z̄)^{∗}w̄_{i}φ(w̄)
= (1 − z_{i}w̄_{i})φ(z̄)^{∗}φ(w̄)
= (1 − z_{i}w̄_{i})φ × φ(z, w̄)  (z, w ∈ S, i = 1, 2)

zeigt, daß die Abbildung φ × φ − (T_{i}φ) × (T_{i}φ) nur für φ = 0 gleich 0 ist und somit für φ ∈ H \ {0} in C \ {0} liegt. Da H endlichdimensional ist, sind dann T_{1} und T_{2} strikte Kontraktionen. Außerdem gilt für φ ∈ H und z ∈ S̃

T_{1}T_{2}φ(z) = z_{2}T_{1}φ(z) = z_{2}z_{1}φ(z)
= z_{1}z_{2}φ(z) = z_{1}T_{2}φ(z)
= T_{2}T_{1}φ(z).

Also ist T = (T_{1}, T_{2}) ∈ L(H)^{2} ein vertauschendes Paar von strikten Kontraktionen.

Da σ(T) = S̃ ⊂ 𝔻^{2}, ist nach Satz 2.10 dann F̃(T) ∈ L(H ⊗ E) ein Operator mit

∥F̃(T)∥ ≤ ∥F̃∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1.

Nun behaupten wir, daß für alle u, v ∈ O(𝔻^{2}, L(E)), φ, ψ ∈ H, x, y ∈ E und (z, w) ∈ S × S̃ die folgende Gleichheit gilt:

⟨u(T)φ ⊗ x, v(T)ψ ⊗ y⟩_{H⊗E} = L((z, w) ↦ ⟨u(w)x, v(z̄)y⟩_{E}ψ × φ(z, w)).

Da bei festgehaltenen φ, ψ, x, y beide Seiten der Gleichung stetige sesquilineare Abbildungen in u und v definieren, genügt es, die Behauptung für Funktionen der Form

u = u_{0} ⊗ A und v = v_{0} ⊗ B (u_{0}, v_{0} ∈ O(𝔻^{2}), A, B ∈ L(E))

zu überprüfen:

⟨u(T)φ ⊗ x, v(T)ψ ⊗ y⟩_{H⊗E}
= ⟨u_{0}(T)φ, v_{0}(T)ψ⟩_{H}⟨Ax, By⟩_{E}
= L((v_{0}(T)ψ) × (u_{0}(T)φ)⟨Ax, By⟩_{E})
= L((z, w) ↦ (v_{0}(T)ψ)(z̄)^{∗}(u_{0}(T)φ)(w)⟨Ax, By⟩_{E})
= L((z, w) ↦ \overline{v_{0}(z̄)}ψ(z̄)^{∗}u_{0}(w)φ(w)⟨Ax, By⟩_{E})
= L((z, w) ↦ (ψ × φ)(z, w)⟨u_{0}(w)Ax, v_{0}(z̄)By⟩_{E})
= L((z, w) ↦ ⟨u(w)x, v(z̄)y⟩_{E}ψ × φ(z, w)).

Mit dem bisher Gezeigten können wir jetzt den Beweis des endlichdimensionalen Falles abschließen. Für i ∈ J sei φ_{i} ∈ H definiert durch

φ_{i} : S̃ → L(E_{J}, ℂ), φ_{i}(z)x = ⟨x, e_{i}⟩.

Da F̃(T) ∈ L(H ⊗ E) eine Kontraktion ist, folgt ((z, w) ∈ S × S̃):

0 ≤ ∥ ∑_{i∈J} φ_{i} ⊗ e_{i}∥^{2} − ∥F̃(T)(∑_{i∈J} φ_{i} ⊗ e_{i})∥^{2}
= ∑_{i∈J}⟨φ_{i}, φ_{i}⟩_{H} − ∑_{i,j∈J}⟨F̃(T)(φ_{i} ⊗ e_{i}), F̃(T)(φ_{j} ⊗ e_{j})⟩_{H⊗E}
= ∑_{i∈J}⟨φ_{i}, φ_{i}⟩_{H} − L((z, w) ↦ ∑_{i,j∈J}⟨F̃(w)e_{i}, F̃(z̄)e_{j}⟩_{E}(φ_{j} × φ_{i})(z, w))
= L((z, w) ↦ ∑_{i,j∈J}⟨(1 − F̃(z̄)^{∗}F̃(w))e_{i}, e_{j}⟩_{E}(φ_{j} × φ_{i})(z, w))
= L((z, w) ↦ ∑_{i,j∈J}⟨(1 − F (z)F (w̄)^{∗})e_{i}, e_{j}⟩_{E}(φ_{j} × φ_{i})(z, w)).

Schließlich gilt

∑_{i,j∈J}⟨(1 − f(z)f(w̄)^{∗})e_{i}, e_{j}⟩(φ_{j} × φ_{i})(z, w)x

= ∑_{i,j∈J}⟨(1 − f(z)f(w̄)^{∗})e_{i}, e_{j}⟩⟨x, e_{i}⟩e_{j}
= ∑_{j∈J} ⟨(1 − f(z)f(w̄)^{∗}) ∑_{i∈J}⟨x, e_{i}⟩e_{i}, e_{j}⟩e_{j}
= P_{J}(1 − f(z)f(w̄)^{∗})x
= h(z, w)x

für z ∈ S, w ∈ S̃ und x ∈ E_{J}. Zusammengenommen ergibt sich also L(h) ≥ 0. Wegen

h^{∗}(z, w) = h(w̄, z̄)^{∗}
= (P_{J}(1 − f(w̄)f(z)^{∗})_{|E_{J}})^{∗}
= P_{J}(1 − f(z)f(w̄)^{∗})_{|E_{J}}
= h(z, w)  (z ∈ S, w ∈ S̃)

gilt h = h^{∗} und folglich Re l(h) = L(h) ≥ 0, was zu zeigen war.

(2) Sei nun S ⊆ 𝔻^{2} beliebig. Für M = {z^{1}, …, z^{r}} ⊆ S und J ⊂ I endlich existieren positiv definite Abbildungen

K_{1}^{M,J}, K_{2}^{M,J} : M × M → L(E_{J})

mit

P_{J}(1 − f(z)f(w)^{∗})_{|E_{J}} = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}^{M,J}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}^{M,J}(z, w)

für alle z, w ∈ M. Wir definieren Abbildungen L_{i}^{M,J} : S × S → L(E) (i = 1, 2) durch L_{i}^{M,J} = 0 auf (S × S) \ (M × M) und

L_{i}^{M,J}(z, w) = ι_{J}K_{i}^{M,J}P_{J}

für z, w ∈ M, wobei ι_{J} : E_{J} → E die Inklusionsabbildung ist. Offensichtlich sind die L_{i}^{M,J} für i = 1, 2 positiv definit. Für festes z, w ∈ S gilt

∥L_{i}^{M,J}(z, w)∥ ≤ \frac{1}{\sqrt{1 − |z_{i}|^{2}}\sqrt{1 − |w_{i}|^{2}}} (i = 1, 2).

Dies ist trivial für (z, w) ∈ (S × S) \ (M × M). Für z ∈ M gilt

(1 − |z_{1}|^{2})∥L_{1}^{M,J}(z, z)∥

= sup_{∥x∥≤1}(1 − |z_{1}|^{2})⟨L_{1}^{M,J}(z, z)x, x⟩
≤ sup_{∥x∥≤1}((1 − |z_{1}|^{2})⟨L_{1}^{M,J}(z, z)x, x⟩ + (1 − |z_{2}|^{2})⟨L_{2}^{M,J}(z, z)x, x⟩)
= sup_{∥x∥≤1}⟨(1 − f(z)f(z)^{∗})P_{J}x, P_{J}x⟩
= sup_{∥x∥≤1}(∥P_{J}x∥^{2} − ∥f(z)^{∗}P_{J}x∥^{2})
≤ 1

und somit

∥L_{1}^{M,J}(z, z)∥ ≤ \frac{1}{1 − |z_{1}|^{2}} .

Da nach Lemma 1.7 für positiv definite Abbildungen

∥L_{1}^{M,J}(z, w)∥^{2} ≤ ∥L_{1}^{M,J}(z, z)∥ ∥L_{1}^{M,J}(w, w)∥

gilt, folgt die Ungleichung für L_{1}^{M,J}. Entsprechend folgt auch die Ungleichung für L_{2}^{M,J}. Versehen mit der Relativtopologie der schwachen Operatortopologie bilden die abgeschlossenen Kugeln B̄_{r_{i}(z,w)}(0) ⊂ L(E), i = 1, 2 mit

r_{i}(z, w) = \frac{1}{\sqrt{1 − |z_{i}|^{2}}\sqrt{1 − |w_{i}|^{2}}}

kompakte Hausdorffräume. Wir fassen die Familien (L_{i}^{M,J})_{M,J} (i = 1, 2) als Netze in dem kompakten Produktraum

∏_{z,w∈S} B̄_{r_{i}(z,w)}(0)

mit r_{i}(z, w) wie oben auf. Durch Übergang zu konvergenten Teilnetzen erhalten wir Netze (L_{i}^{M_{α},J_{α}})_{α∈A} (i = 1, 2), die in den entsprechenden Produkträumen (d.h. punktweise in der schwachen Operatortopologie) gegen Abbildungen

K_{i} : S × S → L(E) (i = 1, 2)

konvergieren. Die Abbildungen K_{i} sind positiv definit, denn es gilt

∑_{k,l=1}^{r}⟨K_{i}(z^{k}, z^{l})c_{l}, c_{k}⟩ = lim_{α∈A} ∑_{k,l=1}^{r}⟨L_{i}^{(M_{α},J_{α})}(z^{k}, z^{l})c_{l}, c_{k}⟩ ≥ 0 (i = 1, 2).

für alle z^{1}, …, z^{r} ∈ S und c_{1}, …, c_{r} ∈ E. Außerdem gilt

1 − f(z)f(w)^{∗} = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ S. Um dies einzusehen, fixieren wir z, w ∈ S und eine endliche Menge J ⊂ I. Wir wählen einen Index α_{0} ∈ A mit {z, w} ⊂ M_{α_{0}} und J ⊂ J_{α_{0}} und prüfen nach, daß

⟨(1 − f(z)f(w)^{∗})x, y⟩

= lim_{α≥α_{0}}⟨P_{J_{α}}(1 − f(z)f(w)^{∗})_{|E_{Jα}} x, y⟩
= lim_{α≥α_{0}}⟨((1 − z_{1}w̄_{1})L_{1}^{(M_{α},J_{α})}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})L_{2}^{(M_{α},J_{α})}(z, w))x, y⟩
= ⟨((1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w))x, y⟩

für alle x, y ∈ E_{J} gilt.

Da aber J ⊂ I eine beliebige endliche Menge war und

\overline{LH}\{E_{J}; J ⊂ I endlich\} = E

ist, folgt Teil (b).

(b) ⇒ (c). Wähle wie in Satz 1.6 Funktionen k_{i} : S → L(H_{i}, E) (H_{i} Hilbertraum, i = 1, 2) so, daß

K_{i}(z, w) = k_{i}(z)k_{i}(w)^{∗} (z, w ∈ S).

Die Voraussetzung

1 − f(z)f(w)^{∗} = (1 − z_{1}w̄_{1})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K_{2}(z, w) (z, w ∈ S)

bedeutet genau, daß für z, w ∈ S und x, y ∈ E die Identität

⟨( \begin{matrix}& x \\ ( & \begin{matrix}(z_{1}k_{1}(z))^{∗}x \\ (z_{2}k_{2}(z))^{∗}x \end{matrix} & ) \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& y \\ ( & \begin{matrix}(w_{1}k_{1}(w))^{∗}y \\ (w_{2}k_{2}(w))^{∗}y \end{matrix} & ) \end{matrix} )⟩

= ⟨( \begin{matrix}& f(z)^{∗}x \\ ( & \begin{matrix}k_{1}(z)^{∗}x \\ k_{2}(z)^{∗}x \end{matrix} & ) \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& f(w)^{∗}y \\ ( & \begin{matrix}k_{1}(w)^{∗}y \\ k_{2}(w)^{∗}y \end{matrix} & ) \end{matrix} )⟩

gilt. Nach Lemma 2.3 ist diese Bedingung äquivalent dazu, daß es eine Isometrie

L : \overline{LH}\{( \begin{matrix}& x \\ ( & \begin{matrix}(z_{1}k_{1}(z))^{∗}x \\ (z_{2}k_{2}(z))^{∗}x \end{matrix} & ) \end{matrix} ); z ∈ S und x ∈ E\} → E ⊕ (H_{1} ⊕ H_{2})

gibt mit der Eigenschaft, daß

L ( \begin{matrix}& x \\ ( & \begin{matrix}(z_{1}k_{1}(z))^{∗}x \\ (z_{2}k_{2}(z))^{∗}x \end{matrix} & ) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& f(z)^{∗}x \\ ( & \begin{matrix}k_{1}(z)^{∗}x \\ k_{2}(z)^{∗}x \end{matrix} & ) \end{matrix} ) (z ∈ S, x ∈ E).

Wähle Hilberträume K_{i} ⊇ H_{i} (i = 1, 2) und einen unitären Operator

U = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ L(E ⊕ (K_{1} ⊕ K_{2}))

so, daß U^{∗} eine Fortsetzung von L ist. Fasse k_{i}(z)^{∗} auf als Operator in L(E, K_{i}),

(z ∈ S, i = 1, 2) und definiere u : S → L(E, K_{1} ⊕K_{2}), u(z) = ( \begin{matrix}k_{1}(z)^{∗} \\ k_{2}(z)^{∗} \end{matrix} ). Dann

gilt

A^{∗} + C^{∗}Z^{∗}u(z) = f(z)^{∗}

und

B^{∗} + D^{∗}Z^{∗}u(z) = u(z).

Daraus erhält man

u(z) = (1 − D^{∗}Z^{∗})^{−1}B^{∗}

und Einsetzen ergibt dann

f(z)^{∗} = A^{∗} + C^{∗}Z^{∗}(1 − D^{∗}Z^{∗})^{−1}B^{∗}

oder äquivalent

f(z) = A + B(1 − ZD)^{−1}ZC.

Wenn man die Formel

(1 − ZD)^{−1} = ∑_{k=0}^{∞}(ZD)^{k}
= 1 + Z (∑_{k=0}^{∞}(DZ)^{k}) D
= 1 + Z(1 − DZ)^{−1}D

benutzt, sieht man, daß

f(z) = A + B(1 + Z(1 − DZ)^{−1}D)ZC
= A + BZC − BZ(1 − DZ)^{−1}(1 − DZ)C + BZ(1 − DZ)^{−1}C
= A + BZ(1 − DZ)^{−1}C

wie gewünscht.

(c) ⇒ (a). Offensichtlich definiert die rechte Seite der Gleichung in Teil (c) eine holomorphe Fortsetzung F ∈ H^{∞}(𝔻^{2}, L(E)) von f. Außerdem gilt nach Lemma 2.4 auch ∥F ∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1.

Wie im skalarwertigen Fall folgt aus dem Beweis des Satzes auch

Bemerkung 2.12. (a) In der Situation (b) von Satz 2.11 haben die Abbildungen K_{1}, K_{2} und f Fortsetzungen zu holomorphen Kernen

K̂_{1}, K̂_{2} : 𝔻^{2} × 𝔻^{2} → L(E)

bzw. zu einer holomorphen Abbildung

F : 𝔻^{2} → L(E)

so, daß

1 − F (z)F (w)^{∗} = (1 − z_{1}w̄_{1})K̂_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K̂_{2}(z, w)

für z, w ∈ 𝔻^{2} gilt. Im Falle S = 𝔻^{2} bedeutet dies, daß die positiv definiten Abbildungen K_{1}, K_{2} in Teil (b) von Satz 2.11 automatisch holomorph sind.

(b) Definiert man in der Situation (c) von Satz 2.11 Funktionen

û : 𝔻^{2} → L(E, K_{1} ⊕ K_{2}), û(z) = (1 − D^{∗}Z^{∗})^{−1}B^{∗}

und

k̂_{i} : 𝔻^{2} → L(K_{i}, E), k̂_{i}(z) = û(z)^{∗}ι_{i} (i = 1, 2),

wobei ι_{i} : K_{i} → K_{1} ⊕ K_{2} für i = 1, 2 die kanonischen Einbettungen sind, so gilt k̂_{i}(z)^{∗} = π_{i}û(z) für z ∈ 𝔻^{2} und die Abbildungen

K̂_{i} : 𝔻^{2} × 𝔻^{2} → L(E), K̂_{i}(z, w) = k̂_{i}(z)k̂_{i}(w)^{∗} (i = 1, 2)

sind positive holomorphe Kerne mit

1 − f(z)f(w)^{∗} = (1 − z_{1}w̄_{1})K̂_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K̂_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ S. Dieselbe Formel gilt auch für alle z, w ∈ 𝔻^{2}, wenn man auf der linken Seite f : S → L(E) durch die holomorphe Fortsetzung

F : 𝔻^{2} → L(E), F (z) = A + BZ(1 − DZ)^{−1}C

ersetzt.

Beweis. Der Beweis der Implikationen (b) ⇒ (c) und (c) ⇒ (a) von Satz 2.11 zeigt, daß es genügt, den Teil (b) der Bemerkung zu zeigen. Sei F : 𝔻^{2} → L(E) die in Teil (b) der Bemerkung definierte holomorphe Fortsetzung von f mit

F (z) = A + BZ(1 − DZ)^{−1}C

oder äquivalent (vgl. Beweis der Implikation (b) ⇒ (c) von Satz 2.11)

F (z)^{∗} = A^{∗} + C^{∗}Z^{∗}(1 − D^{∗}Z^{∗})^{−1}B^{∗}.

Dann gilt mit den Bezeichnungen aus (b) für z ∈ 𝔻^{2}

A^{∗} + C^{∗}Z^{∗}û(z) = F (z)^{∗}

und

B^{∗} + D^{∗}Z^{∗}û(z) = û(z)

oder äquivalent

( \begin{matrix}A^{∗} & C^{∗} \\ B^{∗} & D^{∗} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}& 1 \\ ( & \begin{matrix}(z_{1}k̂_{1}(z))^{∗} \\ (z_{2}k̂_{2}(z))^{∗} \end{matrix} & ) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& F (z)^{∗} \\ ( & \begin{matrix}k̂_{1}(z)^{∗} \\ k̂_{2}(z)^{∗} \end{matrix} & ) \end{matrix} )

für alle z ∈ 𝔻^{2}. Da U = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) unitär ist, folgt

⟨( \begin{matrix}& x \\ ( & \begin{matrix}(z_{1}k̂_{1}(z))^{∗}x \\ (z_{2}k̂_{2}(z))^{∗}x \end{matrix} & ) \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& y \\ ( & \begin{matrix}(w_{1}k̂_{1}(z))^{∗}y \\ (w_{2}k̂_{2}(w))^{∗}y \end{matrix} & ) \end{matrix} )⟩

= ⟨( \begin{matrix}& F (z)^{∗}x \\ ( & \begin{matrix}k̂_{1}(z)^{∗}x \\ k̂_{2}(z)^{∗}x \end{matrix} & ) \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& F (w)^{∗}y \\ ( & \begin{matrix}k̂_{1}(w)^{∗}y \\ k̂_{2}(w)^{∗}y \end{matrix} & ) \end{matrix} )⟩

für alle z, w ∈ 𝔻^{2} und x, y ∈ E. Nach Definition von K̂_{i} bedeutet dies genau (mit vertauschten Rollen von z und w), daß

1 − F (z)F (w)^{∗} = (1 − z_{1}w̄_{1})K̂_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})K̂_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ 𝔻^{2} gilt.

Wir haben im Beweis der Implikation (a) ⇒ (b) von Satz 2.11 die operatorwertige von Neumannsche Ungleichung für vertauschende Paare von Kontraktionen benutzt. Umgekehrt folgt aus der Gültigkeit der in Teil (c) von Satz 2.11 gegebenen Darstellung für beschränkte holomorphe Funktionen auf 𝔻^{2} die operatorwertige von Neumannsche Ungleichung.

Bemerkung 2.13. Aus der Gültigkeit von Satz 2.11 folgt die Gültigkeit der operatorwertigen von Neumannschen Ungleichung in der in Satz 2.10 beschriebenen Form.

Beweis. Sei f ∈ H^{∞}(𝔻^{2}, L(E)) und sei ohne Einschränkung ∥f∥_{∞,𝔻^{2}} = 1. Nach Satz 2.11 (c) hat f für z ∈ 𝔻^{2} eine Darstellung

f(z) = A + BZ(1 − DZ)^{−1}C

mit einem unitären Operator

U = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ L(E ⊕ (K_{1} ⊕ K_{2})).

Sei T = (T_{1}, T_{2}) ∈ L(H)^{2} ein vertauschendes Paar von Kontraktionen mit σ(T) ⊂ 𝔻^{2}. Benutzt man Standardeigenschaften des analytischen Funktionalkalküls, so erhält man

f(T) = 1_{H} ⊗ A + (1_{H} ⊗ B)Z(T)(1_{H⊗(K_{1}⊕K_{2})} − (1_{H} ⊗ D)Z(T))^{−1}1_{H} ⊗ C.

Da der Operator

( \begin{matrix}1_{H} ⊗ A & 1_{H} ⊗ B \\ 1_{H} ⊗ C & 1_{H} ⊗ D \end{matrix} ) ˜= 1_{H} ⊗ U ∈ L(H ⊗ (E ⊕ (K_{1} ⊕ K_{2})))

eine Kontraktion ist, folgt die Behauptung aus Lemma 2.4, falls die Abbildung Z(T) ∈ L(H ⊗ (K_{1} ⊕ K_{2})) eine Kontraktion ist. Um dies einzusehen, seien

π_{i} : K_{1} ⊕ K_{2} → K_{i}, (k^{1}, k^{2}) ↦ k^{i}

die kanonischen Projektionen. Da für h_{1}, …, h_{n} ∈ H und k_{1}^{i}, …, k_{n}^{i} ∈ K_{i} (i = 1, 2), gilt

∥ ∑_{i=1}^{n} h_{i} ⊗ (k_{i}^{1}, k_{i}^{2})∥^{2} = ∑_{i,j=1}^{n}⟨h_{i} ⊗ (k_{i}^{1}, k_{i}^{2}), h_{j} ⊗ (k_{j}^{1}, k_{j}^{2})⟩

= ∑_{i,j=1}^{n}⟨h_{i}, h_{j}⟩(⟨k_{i}^{1}, k_{j}^{1}⟩ + ⟨k_{i}^{2}, k_{j}^{2}⟩)

= ∑_{i,j=1}^{n}(⟨h_{i} ⊗ k_{i}^{1}, h_{j} ⊗ k_{j}^{1}⟩ + ⟨h_{i} ⊗ k_{i}^{2}, h_{j} ⊗ k_{j}^{2}⟩)

= ∥(∑_{i=1}^{n} h_{i} ⊗ k_{i}^{1}, ∑_{i=1}^{n} h_{i} ⊗ k_{i}^{2})∥^{2}

und da \overline{LH}\{(h ⊗ k^{1}, h ⊗ k^{2}); h ∈ H, k^{i} ∈ K_{i} für i = 1, 2\} = (H ⊗ K_{1}) ⊕ (H ⊗ K_{2}) ist, gibt es eine eindeutige unitäre Abbildung

U : H ⊗ (K_{1} ⊕ K_{2}) → (H ⊗ K_{1}) ⊕ (H ⊗ K_{2})

mit

U(h ⊗ (k^{1}, k^{2})) = (h ⊗ k^{1}, h ⊗ k^{2})

für h ∈ H und k^{1} ∈ K_{1}, k^{2} ∈ K_{2}. Wegen

Z(z) = z_{1} ( \begin{matrix}1_{K_{1}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) + z_{2} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1_{K_{2}} \end{matrix} ) ∈ L(K_{1} ⊕ K_{2})

gilt

Z(T) = T_{1} ⊗ ( \begin{matrix}1_{K_{1}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) + T_{2} ⊗ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1_{K_{2}} \end{matrix} ) ∈ L(H ⊗ (K_{1} ⊕ K_{2})).

Vermöge U ist dieser Operator unitär äquivalent zu der Kontraktion

(T_{1} ⊗ 1_{K_{1}}) ⊕ (T_{2} ⊗ 1_{K_{2}}) ∈ L((H ⊗ K_{1}) ⊕ (H ⊗ K_{2})).

Also ist Z(T) eine Kontraktion, und Lemma 2.4 zeigt, daß auch f(T) eine Kontraktion ist.

Insbesondere folgt aus der Gültigkeit von Satz 2.10 auch die von Neumannsche Ungleichung für operatorwertige Polynome. Denn ist T = (T_{1}, T_{2}) ∈ L(H)^{2} ein vertauschendes Paar von Kontraktionen und ist p ein operatorwertiges Polynom in zwei komplexen Variablen, so folgt

∥p(T)∥ = lim_{r↑1} ∥p(rT)∥ ≤ ∥p∥_{∞,𝔻^{2}}.

KAPITEL 3 Darstellung von Funktionen als Summen von Quadraten

In [CW99] haben Cole und Wermer gezeigt, daß die Andosche Ungleichung für ein Paar von vertauschenden Kontraktionen äquivalent ist zu einer elementaren Eigenschaft komplexer Polynome in zwei Variablen (siehe Satz 3.3). Im eindimensionalen Fall kann man die entsprechende Eigenschaft eindimensionaler komplexer Polynome direkt beweisen und erhält so einen alternativen Beweis der von Neumannschen Ungleichung für einzelne Kontraktionen. Ob ein ähnliches Vorgehen für Polynome in zwei Variablen möglich ist, ist eine interessante offene Frage.

1. Der eindimensionale Fall

Ist f ∈ H^{∞}(𝔻) rational, d.h. gibt es Polynome p, q in einer komplexen Variablen mit

f(z) = \frac{q(z)}{p(z)}

und p(z) ≠ 0 für z ∈ 𝔻, so hat f eine Fortsetzung zu einer holomorphen Funktion auf einer offenen Umgebung U von \overline{𝔻}. Wählt man die obige Darstellung von f so, daß p und q keine gemeinsamen Nullstellen besitzen, so hat p keine Nullstelle in \overline{𝔻}. Ist zusätzlich f eine innere Funktion, d.h. |p(z)| ≥ |q(z)| für z ∈ 𝔻 und |p(z)| = |q(z)| für z ∈ 𝕋, so gibt es β_{1}, …, β_{N} ∈ 𝔻 und c ∈ ∂𝔻 so, daß

f(z) = c ∏_{i=1}^{N} \frac{z − β_{i}}{1 − β̄_{i}z}

für z ∈ 𝔻 gilt (siehe z.B. [Con81, Korollar 4.11]). In diesem Fall ist N eindeutig bestimmt (N ist die Anzahl der Nullstellen von f in 𝔻 in Vielfachheiten gezählt). Man nennt N den Grad der rationalen inneren Funktion f (N = deg(f)). Ist f eine rationale innere Funktion vom Grade N und ist

f(z) = \frac{q(z)}{p(z)} (z ∈ 𝔻)

eine Darstellung von f durch teilerfremde Polynome p, q in einer komplexen Variablen, so sind p und q bis auf multiplikative Konstanten eindeutig bestimmt und es gilt

deg(q) = deg(p) = N.

Lemma 3.1. Sei f eine rationale innere Funktion vom Grade n ≥ 1 und sei

f(z) = \frac{q(z)}{p(z)} (z ∈ 𝔻)

eine Darstellung von f durch teilerfremde Polynome p, q in einer komplexen Variablen. Dann existieren Polynome A_{ν} auf ℂ mit deg(A_{ν}) ≤ n − 1 für jedes ν = 1, …, n so, daß

1 − f(z)\overline{f(w)} = (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{n} (\frac{A_{ν}(z)}{p(z)}) \overline{(\frac{A_{ν}(w)}{p(w)})}

für alle z, w ∈ 𝔻 gilt.

Beweis. durch Induktion nach n. Nach obigen Vorbemerkungen hat f für n = 1 die Form

f(z) = \frac{q(z)}{p(z)} (z ∈ 𝔻)

mit

q(z) = c(z − β) und
p(z) = 1 − β̄z,

wobei |c| = 1 und |β| < 1. Man rechnet nach:

1 − f(z)\overline{f(w)} = 1 − c\frac{z − β}{1 − β̄z} c̄\frac{w̄ − β̄}{1 − βw̄}
= 1 − \frac{(z − β)(w̄ − β̄)}{(1 − β̄z)(1 − βw̄)}
= \frac{1 + |β|^{2}zw̄ − zw̄ − |β|^{2}}{(1 − β̄z)(1 − βw̄)}
= (1 − zw̄)\frac{1 − |β|^{2}}{(1 − β̄z)(1 − βw̄)}
= (1 − zw̄)\frac{1 − |β|^{2}}{p(z)\overline{p(w)}}.

Also gilt für n = 1 die Behauptung mit

A_{1}(z) = (1 − |β|^{2})^{\frac{1}{2}} .

Sei nun g eine rationale innere Funktion vom Grade n + 1 und sei

g(z) = \frac{q(z)}{p(z)}

eine Darstellung von g durch teilerfremde Polynome p, q in einer komplexen Variablen. Für g existieren rationale innere Funktionen h_{1}, h_{2} mit deg(h_{1}) = n und deg(h_{2}) = 1 so, daß g = h_{1}h_{2}. Seien h_{1} = \frac{q_{1}}{p_{1}} und h_{2} = \frac{q_{2}}{p_{2}} Darstellungen von h_{1} und h_{2} durch teilerfremde Polynome p_{1}, q_{1} und p_{2}, q_{2} auf ℂ, wobei p = p_{1}p_{2} und q = q_{1}q_{2}. Nach Induktionsvoraussetzung existieren dann Polynome B_{ν} mit Grad ≤ n − 1 für ν = 1, …, n auf ℂ und eine Konstante C ∈ ℂ, so daß

1 − h_{1}(z)\overline{h_{1}(w)} = (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{n} (\frac{B_{ν}(z)}{p_{1}(z)}) \overline{(\frac{B_{ν}(w)}{p_{1}(w)})}

und

1 − h_{2}(z)\overline{h_{2}(w)} = (1 − zw̄) (\frac{C}{p_{2}(z)}) \overline{(\frac{C}{p_{2}(w)})}

für alle z, w ∈ 𝔻 gilt. Man setzt nun

A_{ν} = p_{2}B_{ν} für 1 ≤ ν ≤ n

und

A_{n+1} = q_{1}C.

Dann gilt

1 − h_{1}(z)\overline{h_{1}(w)} = (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{n} (\frac{A_{ν}(z)}{p(z)}) \overline{(\frac{A_{ν}(w)}{p(w)})}

und

h_{1}(z)\overline{h_{1}(w)}(1 − h_{2}(z)\overline{h_{2}(w)})
= (\frac{q_{1}(z)}{p_{1}(z)}) \overline{(\frac{q_{1}(w)}{p_{1}(w)})}(1 − zw̄) (\frac{C}{p_{2}(z)}) \overline{(\frac{C}{p_{2}(w)})}
= (1 − zw̄) (\frac{q_{1}(z)C}{p_{1}(z)p_{2}(z)}) \overline{(\frac{q_{1}(w)C}{p_{1}(w)p_{2}(w)})}
= (1 − zw̄) (\frac{A_{n+1}(z)}{p(z)}) \overline{(\frac{A_{n+1}(w)}{p(w)})}.

Damit folgt dann

1 − g(z)\overline{g(w)} = 1 − h_{1}(z)\overline{h_{1}(w)} + h_{1}(z)\overline{h_{1}(w)}(1 − h_{2}(z)\overline{h_{2}(w)})
= (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{n+1} (\frac{A_{ν}(z)}{p(z)}) \overline{(\frac{A_{ν}(w)}{p(w)})}

für z, w ∈ 𝔻 und jedes A_{ν}, ν = 1, …, n+1, ist ein Polynom vom Grade ≤ n.

Bemerkung. Da zwei Polynome p, q ∈ ℂ[z] mit |p| = |q| auf ℂ den gleichen Grad und die gleichen Nullstellen haben, können sie sich höchstens durch eine multiplikative Konstante vom Betrag 1 unterscheiden.

Damit folgt nun die gewünschte Eigenschaft für Polynome in einer komplexen Variablen:

Satz 3.2. Seien p, q Polynome in einer komplexen Variablen. Es gelte

|p(z)| ≥ |q(z)|

für z ∈ 𝔻 und

|p(z)| = |q(z)|

für z ∈ 𝕋. Sei N := deg(q). Dann existieren Polynome A_{ν} auf ℂ mit deg(A_{ν}) ≤ N − 1, 1 ≤ ν ≤ N, so daß

p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)} = (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{N} A_{ν}(z)\overline{A_{ν}(w)}

für z, w ∈ ℂ gilt. Die Summe auf der rechten Seite definiert einen positiven Polynomkern vom Grade ≤ N − 1 auf ℂ.

Beweis. Nach obiger Bemerkung kann man annehmen, daß |p| ≢ |q| auf ℂ. Wir setzen zunächst voraus, daß p und q teilerfremde Polynome sind. Aus der Teilerfremdheit und da |p(z)| ≥ |q(z)| auf 𝔻 folgt, daß p keine Nullstelle in \overline{𝔻} hat. Also können wir eine Funktion f auf 𝔻 definieren als f = \frac{q}{p}. Offensichtlich ist f eine nicht konstante, rationale innere Funktion auf 𝔻 mit deg(f) = N ≥ 1. Wir wählen nun wie in Lemma 3.1 Polynome A_{ν} mit deg(A_{ν}) ≤ N − 1 für 1 ≤ ν ≤ N. Multipliziert man nun beide Seiten der Gleichung in Lemma 3.1 mit p(z)\overline{p(w)}, so erhält man

p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)} = (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{N} A_{ν}(z)\overline{A_{ν}(w)}

für z, w ∈ 𝔻. Da beide Seiten dieser Gleichung Polynome in den Variablen z, w̄ sind, muß sie auch für alle z, w ∈ ℂ gelten. Seien nun p und q nicht teilerfremd. Dann kann man p und q schreiben als p = rp_{1} und q = rq_{1} mit p_{1} und q_{1} teilerfremd und deg(q_{1}) < deg(q). Die Voraussetzungen des Satzes für p_{1} und q_{1} folgen aus den entsprechenden Bedingungen für p und q. Da für die teilerfremden Polynome p_{1} und q_{1} Polynome A_{1ν}, ν = 1, …, N mit

p_{1}(z)\overline{p_{1}(w)} − q_{1}(z)\overline{q_{1}(w)} = (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{N} A_{1ν}(z)\overline{A_{1ν}(w)}

und deg(A_{1ν}) ≤ deg(q_{1}) − 1 existieren, folgt die gewünschte Gleichung aus

p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)} = r(z)\overline{r(w)}(p_{1}(z)\overline{p_{1}(w)} − q_{1}(z)\overline{q_{1}(w)})
= r(z)\overline{r(w)}(1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{N} A_{1ν}(z)\overline{A_{1ν}(w)}

= (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{N} A_{ν}(z)\overline{A_{ν}(w)},

wobei die A_{ν} = rA_{1ν} für ν = 1, …, N Polynome sind, die jeweils Grad ≤ deg(r) + deg(q_{1}) − 1 = deg(q) − 1 haben. Somit gilt die Behauptung in allen Fällen. Die Schlußbemerkung in Satz 3.2 folgt direkt aus Satz 1.15.

2. Die Quadratsummendarstellung auf dem Bizylinder

Wir wollen im Folgenden zeigen, daß man Satz 2.5 und damit die Andosche Ungleichung für Paare von vertauschenden Kontraktionen auf Hilberträumen benutzen kann, um ein Analogon von Satz 3.2 für Polynome in zwei komplexen Variablen zu zeigen.

Satz 3.3. Seien p, q Polynome in zwei komplexen Variablen. Es gelte

|p(z)| ≥ |q(z)|

für z ∈ 𝔻^{2} und

|p(z)| = |q(z)|

für z ∈ 𝕋^{2}. Sei N := deg(q). Dann gibt es Polynome A_{ν}, B_{ν}, (ν = 1, …, r), vom Grade ≤ N − 1 auf ℂ^{2}, so daß

|p(z)|^{2} − |q(z)|^{2} = (1 − |z_{1}|^{2}) ∑_{ν=1}^{r} |A_{ν}(z)|^{2}
+ (1 − |z_{2}|^{2}) ∑_{ν=1}^{r} |B_{ν}(z)|^{2}

für alle z = (z_{1}, z_{2}) ∈ ℂ^{2} gilt und allgemeiner

p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)} = (1 − z_{1}\overline{w_{1}}) ∑_{ν=1}^{r} A_{ν}(z)\overline{A_{ν}(w)}
+ (1 − z_{2}\overline{w_{2}}) ∑_{ν=1}^{r} B_{ν}(z)\overline{B_{ν}(w)}

für alle z = (z_{1}, z_{2}) und w = (w_{1}, w_{2}) ∈ ℂ^{2}.

Beweis. Ist p ≡ 0, so ist auch q ≡ 0 und die beiden Gleichungen sind erfüllt für r = 1 und A_{1} = B_{1} = 0. Also kann man ohne Einschränkung annehmen, daß p ≢ 0 ist. Sei V = {z ∈ ℂ^{2}; p(z) = 0} die Nullstellenmenge von p. Wir definieren

f(z) = \frac{q(z)}{p(z)}

für z ∈ 𝔻^{2} ∩ V^{C}. Da |p(z)| ≥ |q(z)| für z ∈ 𝔻^{2}, folgt

|f(z)| ≤ 1

für z ∈ 𝔻^{2} ∩ V^{C}. Dann kann man f nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz (siehe z.B. [Kra82, Theorem 7.3.3]) zu einer analytischen Funktion f auf 𝔻^{2} mit ∥f∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1 fortsetzen. Nach Satz 2.5 und Bemerkung 2.6 existieren dann positive holomorphe Kerne K_{1} und K_{2} auf 𝔻^{2}, zu denen nach Satz 1.9 Darstellungen (τ_{1}, H_{1}) und (τ_{2}, H_{2}) exstieren, so daß

1 − f(z)\overline{f(w)} = (1 − z_{1}\overline{w_{1}})K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}\overline{w_{2}})K_{2}(z, w)

für alle z = (z_{1}, z_{2}) und w = (w_{1}, w_{2}) ∈ 𝔻^{2} gilt. Multipliziert man diese Gleichung mit p(z)\overline{p(w)}, so erhält man

p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)}
= (1 − z_{1}w̄_{1})p(z)\overline{p(w)}K_{1}(z, w) + (1 − z_{2}w̄_{2})p(z)\overline{p(w)}K_{2}(z, w)

zunächst für z, w ∈ 𝔻^{2} ∩ V^{C} und aus Stetigkeitsgründen für alle z, w ∈ 𝔻^{2}. Definiert man

R_{1}(z, w) = p(z)\overline{p(w)}K_{1}(z, w) und
R_{2}(z, w) = p(z)\overline{p(w)}K_{2}(z, w) (z, w ∈ 𝔻^{2}),

so wird die Gleichung zu

p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)} = (1 − z_{1}\overline{w_{1}})R_{1}(z, w) + (1 − z_{2}\overline{w_{2}})R_{2}(z, w)

für alle z, w ∈ 𝔻^{2}. R_{1} und R_{2} sind ebenfalls positive holomorphe Kerne auf 𝔻^{2} mit Darstellungen (pτ_{1}, H_{1}) und (pτ_{2}, H_{2}). Setzt man

K = K_{1} + K_{2},

und

R = R_{1} + R_{2}

so sind auch K und R auf 𝔻^{2} positiv definit. Eine Darstellung (τ, H) von K im Sinne von Satz 1.9 erhält man wie folgt. Wir setzen

H = H_{1} ⊕ H_{2}

und

τ : 𝔻^{2} → H, τ(z) = τ_{1}(z) ⊕ τ_{2}(z).

Dann ist (τ, H) eine Darstellung von K. Eine Darstellung (σ, H) von R erhält man mit der Abbildung

σ : 𝔻^{2} → H, σ(z) = p(z)τ(z).

Nach Satz 1.11 ist σ auf 𝔻^{2} analytisch und es existieren Vektoren b_{jk} ∈ H, 0 ≤ j, k < ∞, so daß

σ(z) = ∑_{j,k≥0} b_{jk}z_{1}^{j}z_{2}^{k} (z ∈ 𝔻^{2})

und

∑_{j,k≥0} ∥b_{jk}∥r^{j+k} < ∞ (r < 1).

Für j + k ≥ N = deg(q) ist b_{jk} = 0, denn: Fixiere α ∈ ℂ mit |α| = 1. Für jede Abbildung ρ von 𝔻^{2} in eine Menge S sei ρ_{α} : 𝔻 → S definiert durch

ρ_{α}(z) = ρ(z, αz).

Auf diese Weise erhält man Polynome p_{α} und q_{α} mit deg(q_{α}) ≤ N auf ℂ und analytische Abbildungen τ_{α}, σ_{α} : 𝔻 → H. Dann folgt (αᾱ = 1)

p_{α}(z)\overline{p_{α}(w)} − q_{α}(z)\overline{q_{α}(w)}
= p(z, αz)\overline{p(w, αw)} − q(z, αz)\overline{q(w, αw)}
= (1 − zw̄)R_{1}((z, αz), (w, αw)) + (1 − αzᾱw̄)R_{2}((z, αz), (w, αw))
= (1 − zw̄)R((z, αz), (w, αw))
= (1 − zw̄)R^{α}(z, w)

für alle z, w ∈ 𝔻, wobei

R^{α}(z, w) = R((z, αz), (w, αw)) (z, w ∈ 𝔻)

ein positiver holomorpher Kern auf 𝔻 ist. Dieser hat die Darstellung (σ_{α}, H), denn es gilt:

R^{α}(z, w) = R((z, αz), (w, αw))
= ⟨σ(z, αz), σ(w, αw)⟩
= ⟨σ_{α}(z), σ_{α}(w)⟩ (z, w ∈ 𝔻).

Da p_{α} und q_{α} Polynome auf 𝔻 sind, für die die Voraussetzungen aus Satz 3.2 gelten, existiert auf 𝔻 ein positiver Polynomkern M^{α} mit Grad ≤ N − 1 , so daß M^{α} = R^{α} auf 𝔻^{2}. Nach Satz 1.15 hat M^{α} eine Darstellung (χ^{α}, H^{α}), wobei χ^{α} : 𝔻 → H^{α} ein Polynom vom Grad ≤ N − 1 ist. Dann ist (χ^{α}, H^{α}) auch eine Darstellung von R^{α}. Der positive holomorphe Kern R^{α} hat also zwei Darstellungen (σ_{α}, H) und (χ^{α}, H^{α}). Dann existiert nach Satz 1.9 eine lineare Abbildung U : H^{α} → H, so daß

σ_{α} = U ∘ χ^{α}

auf 𝔻 gilt. Also ist auch σ_{α} ein Polyom vom Grad ≤ N − 1. Setzt man nun

d_{p}(α) = ∑_{j+k=p} b_{jk}α^{k} für p ≥ 0,

dann folgt mit der Reihendarstellung von σ

σ_{α}(z) = σ(z, αz) = ∑_{j,k≥0} b_{jk}z^{j}(αz)^{k}
= ∑_{j,k≥0} b_{jk}z^{j+k}α^{k}

= ∑_{p=0}^{∞} d_{p}(α)z^{p}

für alle z ∈ 𝔻. Da deg(σ_{α}) ≤ N − 1 ist, gilt:

0 = d_{p}(α) = ∑_{k=0}^{p} b_{p−k,k}α^{k}

für p ≥ N. Da dies für alle α mit |α| = 1 richtig ist, ist b_{p−k,k} = 0 für alle p ≥ N und k = 0, …, p und somit b_{jk} = 0 für j + k ≥ N. Damit und mit der Reihendarstellung von σ folgt nun

σ(z) = ∑_{j+k≤N−1} b_{jk}z_{1}^{j}z_{2}^{k}

für z = (z_{1}, z_{2}) ∈ 𝔻^{2}. Die positiven holomorphen Kerne R_{1} und R_{2} kann man auf ℂ^{2} zu positiven Polynomkernen mit Grad ≤ N − 1 fortsetzen. Sei dazu E die Projektion von H auf H_{1}. Da für z ∈ 𝔻^{2}

σ(z) = p(z)τ(z) = p(z)τ_{1}(z) ⊕ p(z)τ_{2}(z),

gilt, hat man also

E(σ(z)) = p(z)τ_{1}(z) (z ∈ 𝔻^{2}).

Setzt man c_{jk} = E(b_{jk}) für alle j, k mit j + k ≤ N − 1, so erhält man für alle z ∈ 𝔻^{2}

p(z)τ_{1}(z) = ∑_{j+k≤N−1} c_{jk}z_{1}^{j}z_{2}^{k}.

Da R_{1} die Darstellung (pτ_{1}, H_{1}) hat, gilt

R_{1}(z, w) = ⟨p(z)τ_{1}(z), p(w)τ_{1}(w)⟩ (z, w ∈ 𝔻^{2})

und somit gibt es eine Fortsetzung von R_{1} zu einem positiven Polynomkern mit Grad ≤ N − 1 auf ℂ^{2}. Nach Satz 1.15 existieren dann Polynome A_{1}, …, A_{d} vom Grade ≤ N − 1 auf ℂ^{2}, so daß für alle z, w ∈ 𝔻^{2}

R_{1}(z, w) = ∑_{ν=1}^{d} A_{ν}(z)\overline{A_{ν}(w)}

gilt. Analog existieren auch zu R_{2} Polynome B_{1}, …, B_{d′} vom Grade ≤ N − 1 auf ℂ^{2}, so daß für alle z, w ∈ 𝔻^{2}

R_{2}(z, w) = ∑_{ν=1}^{d′} B_{ν}(z)\overline{B_{ν}(w)}

gilt. Setzt man nun die obigen Darstellungen von R_{1} und R_{2} in die Gleichung

p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)} = (1 − z_{1}\overline{w_{1}})R_{1}(z, w) + (1 − z_{2}\overline{w_{2}})R_{2}(z, w)

von oben ein, so erhält man die Behauptung.

Bemerkung 3.4. (a) Nach dem Beweis von Satz 3.3 kann man die Polynome A_{ν}, B_{ν} so wählen, daß

deg(A_{ν}) ≤ deg(q) − 1

und

deg(B_{ν}) ≤ deg(q) − 1

für ν = 1, …, r.

(b) Die Darstellung für p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)} in Satz 3.3 kann aus der für |p(z)|^{2} − |q(z)|^{2} gegebenen Darstellung hergeleitet werden.

Beweis. Von (b). Seien also die Voraussetzungen wie in Satz 3.3 und es gelte:

|p(z)|^{2} − |q(z)|^{2} = (1 − |z_{1}|^{2}) ∑_{ν=1}^{r} |A_{ν}(z)|^{2}
+ (1 − |z_{2}|^{2}) ∑_{ν=1}^{r} |B_{ν}(z)|^{2}

für alle z ∈ ℂ^{2}. Man definiert für alle Polynome A auf ℂ^{2} das Polynom Ã durch:

Ã(z) = \overline{A(z̄)} (z ∈ ℂ^{2}).

Ist

A(z) = ∑_{j,k=0}^{N} c_{jk}z_{1}^{j}z_{2}^{k},

dann ist

Ã(z) = ∑_{j,k=0}^{N} \overline{c_{jk}}z_{1}^{j}z_{2}^{k}.

Dann kann man obige Gleichung auch schreiben als

p(z)p̃(z̄) − q(z)q̃(z̄) = (1 − z_{1}\overline{z_{1}}) ∑_{ν=1}^{r} A_{ν}(z)Ã_{ν}(z̄)
+ (1 − z_{2}\overline{z_{2}}) ∑_{ν=1}^{r} B_{ν}(z)B̃_{ν}(z̄)

für alle z ∈ ℂ^{2}. Man definiert das Polynom S(z_{1}, z_{2}, ξ_{1}, ξ_{2}) in vier komplexen Variablen durch

S(z, ξ) = p(z)p̃(ξ) − q(z)q̃(ξ)
− (1 − z_{1}ξ_{1}) ∑_{ν=1}^{r} A_{ν}(z)Ã_{ν}(ξ) − (1 − z_{2}ξ_{2}) ∑_{ν=1}^{r} B_{ν}(z)B̃_{ν}(ξ).

Dann folgt mit obiger Gleichung, daß S(z, z̄) = 0 für alle z ∈ ℂ^{2}. Schreibt man nun das Polynom S(z, z̄) als

S(z, z̄) = ∑ a_{αβ}z^{α}z̄^{β}

mit Koeffizienten a_{αβ} ∈ ℂ und α, β ∈ ℕ^{2}, so gilt

a_{αβ} = \frac{1}{α!β!} \frac{∂^{α}}{∂z^{α}} \frac{∂^{β}}{∂z̄^{β}} S(z, z̄)|_{z=0} = 0

für alle α, β ∈ ℕ^{2} und somit S(z, ξ) = 0 für alle z, ξ ∈ ℂ^{2}. Also gilt die Gleichung aus Satz 3.3 für alle z, w̄ ∈ ℂ^{2}.

Korollar 3.5. Sei φ eine rationale innere Funktion auf 𝔻^{2} mit φ = \frac{q}{p} für Polynome p, q in zwei komplexen Variablen und p ≠ 0 auf 𝔻^{2}. Dann existieren Polynome A_{ν}, B_{ν}, ν = 1, …, r, in zwei komplexen Variablen, so daß, falls man f_{ν} = \frac{A_{ν}}{p} und g_{ν} = \frac{B_{ν}}{p} setzt,

1 − φ(z)\overline{φ(w)} = (1 − z_{1}w̄_{1}) ∑_{ν=1}^{r} f_{ν}(z)\overline{f_{ν}(w)}
+ (1 − z_{2}w̄_{2}) ∑_{ν=1}^{r} g_{ν}(z)\overline{g_{ν}(w)}

für alle z = (z_{1}, z_{2}) und w = (w_{1}, w_{2}) ∈ 𝔻^{2} gilt. Die Funktionen f_{ν}, g_{ν} sind rational und auf 𝔻^{2} analytisch.

Beweis. Nach Satz 3.3 existieren Polynome A_{ν}, B_{ν}, ν = 1, …, r, in zwei komplexen Variablen, so daß

p(z)\overline{p(w)} − q(z)\overline{q(w)} = (1 − z_{1}w̄_{1}) ∑_{ν=1}^{r} A_{ν}(z)\overline{A_{ν}(w)}
= (1 − z_{2}w̄_{2}) ∑_{ν=1}^{r} B_{ν}(z)\overline{B_{ν}(w)}

für alle z = (z_{1}, z_{2}) und w = (w_{1}, w_{2}) ∈ 𝔻^{2} gilt. Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch p(z)\overline{p(w)}(≠ 0), so erhält man

1 − φ(z)\overline{φ(w)} = (1 − z_{1}w̄_{1}) ∑_{ν=1}^{r} f_{ν}(z)\overline{f_{ν}(w)}
+ (1 − z_{2}w̄_{2}) ∑_{ν=1}^{r} g_{ν}(z)\overline{g_{ν}(w)}

für alle z = (z_{1}, z_{2}) und w = (w_{1}, w_{2}) ∈ 𝔻^{2}.

3. Ein Kalkül holomorpher ℂ-wertiger Funktionen

Um Satz 3.2 und Satz 3.3 in der Operatorentheorie anwenden zu können, benötigen wir noch einen Kalkül für holomorphe ℂ-wertige Funktionen. Sei dazu im Folgenden H ein Hilbertraum. Jede Funktion f ∈ O(𝔻^{2}) hat eine Potenzreihendarstellung

f(z) = ∑_{α∈ℕ^{2}} a_{α}z^{α}

für z = (z_{1}, z_{2}) ∈ 𝔻^{2}. Diese Potenzreihenentwicklung konvergiert kompakt gleichmäßig und absolut auf 𝔻^{2}. Für zwei strikte Kontraktionen S, T ∈ L(H) definiert man dann f(S, T) durch

f(S, T) = ∑_{α∈ℕ^{2}} a_{α}S^{α_{1}}T^{α_{2}}.

Für jedes vertauschende Tupel T = (T_{1}, …, T_{n}) ∈ L(H)^{n} von Operatoren kann man ein gemeinsames Spektrum, das sogenannte Taylor-Spektrum, σ(T) ⊂ ℂ^{n} so definieren, daß gilt:

(i) ∅ ≠ σ(T) ⊂ ℂ^{n} ist kompakt (ii) Es existiert ein Algebrenhomomorphismus

Φ : O(σ(T)) → L(H), f ↦ Φ(f) =: f(T)

mit

Φ(1) = 1_{H} und Φ(z_{i}) = T_{i} (1 ≤ i ≤ n).

Die Abbildung Φ erfüllt außerdem für f = (f_{1}, …, f_{m}) ∈ O(U)^{m}, wobei U ⊃ σ(T) offen sei, den spektralen Abbildungssatz

σ(f_{1}(T), …, f_{m}(T)) = f(σ(T)).

Für T ∈ L(H)^{n} vertauschend gilt

σ(T^{∗}) = { \atop σ(T)}.

Für f ∈ O(U) mit U ⊃ σ(T) offen, ist

f̃: Ũ → ℂ, f̃(z) := \overline{f(z̄)}

analytisch und es gilt

f(T)^{∗} = f̃(T^{∗}).

3. EIN KALKÜL HOLOMORPHER ℂ-WERTIGER FUNKTIONEN 63

Die Definition und Beweise der wichtigsten Eigenschaften des analytischen Funktionalkalküls in mehreren Variablen findet der Leser etwa in [EP96]. Für T ∈ L(H) definiert

L_{T} : L(H) → L(H) , X ↦ T X
R_{T} : L(H) → L(H) , X ↦ XT

die Links- bzw. Rechtsmultiplikation mit T. Offensichtlich ist für zwei vertauschende Tupel S = (S_{1}, …, S_{n}) ∈ L(H)^{n} und T = (T_{1}, …, T_{n}) ∈ L(H)^{n} das Tupel

M_{(S,T)} := (L_{S}, R_{T}) = (L_{S_{1}}, …, L_{S_{n}}, R_{T_{1}}, …, R_{T_{n}}) ∈ L(L(H))^{2n}

vertauschend. Man kann zeigen (siehe [Esc88]), daß in diesem Fall

σ(M_{(S,T)}) = σ(S) × σ(T) (⊂ ℂ^{2n})

gilt. Somit läßt sich M_{(S,T)} vermöge des analytischen Funktionalkalküls in Funktionen f ∈ O(σ(S) × σ(T)) einsetzen. Ist f ∈ O(𝔻^{n} × 𝔻^{n}) eine analytische Funktion mit Potenzreihenentwicklung f(z, w) = ∑_{α∈ℕ^{2}} a_{α}z^{α_{1}}w^{α_{2}} und gilt σ(S) ∪ σ(T) ⊂ 𝔻^{n}, so folgt

f(M_{(S,T)})(1_{H}) = ( ∑_{α∈ℕ^{2}} a_{α}L_{S}^{α_{1}}R_{T}^{α_{2}})(1_{H})
= ( ∑_{α∈ℕ^{2}} a_{α}L_{S^{α_{1}}} R_{T^{α_{2}}} )(1_{H})
= ∑_{α∈ℕ^{2}} a_{α}S^{α_{1}}T^{α_{2}}.

Hat die Funktion f ∈ O(𝔻^{n} × 𝔻^{n}) die Form

f(z, w) = g(z)h(w)

mit analytischen Funktionen g und h, dann gilt

f(M_{(S,T)})(1_{H}) = g(M_{(S,T)})h(M_{(S,T)})(1_{H})
= g(L_{S})h(R_{T})(1_{H})
= (L_{g(S)}R_{h(T)})(1_{H})
= g(S)h(T).

4. Anwendungen in der Operatorentheorie

Sei T im Folgenden eine strikte Kontraktion auf einem Hilbertraum H. In diesem Fall gilt auch 1_{H} − T T^{∗} > 0.

Satz 3.6. Sei T wie oben und φ eine rationale innere Funktion auf ℂ. Dann existieren rationale Funktionen f_{ν}, ν = 1, …, n, auf ℂ, die analytisch auf 𝔻 sind, so daß gilt:

1_{H} − φ(T)φ(T)^{∗} = ∑_{ν=1}^{n} f_{ν}(T)(1_{H} − T T^{∗})f_{ν}(T)^{∗}.

Beweis. Sei φ eine rationale innere Funktion auf ℂ. Dann kann man φ schreiben als φ = \frac{q}{p} mit teilerfremden Polynomen p und q auf ℂ. Nach Lemma 3.1 existieren dann rationale Funktionen f_{1}, …, f_{n} auf ℂ, deren Nenner mit p übereinstimmen, so daß

1 − φ(z)\overline{φ(w)} = (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{n} f_{ν}(z)\overline{f_{ν}(w)}

für z, w ∈ 𝔻 gilt. Insbesondere ist jedes f_{ν} analytisch auf 𝔻. Nach Definition von φ̃ kann man diese Gleichung auch in der Form

1 − φ(z)φ̃(w̄) = (1 − zw̄) ∑_{ν=1}^{n} f_{ν}(z)f̃_{ν}(w̄)

für z, w ∈ 𝔻 schreiben. Da z und w unabhängig sind, gilt auch

1 − φ(z)φ̃(ξ) = (1 − zξ) ∑_{ν=1}^{n} f_{ν}(z)f̃_{ν}(ξ) = ∑_{ν=1}^{n} f_{ν}(z)(1 − zξ)f̃_{ν}(ξ)

für z, ξ ∈ 𝔻. Die Funktion

Φ(z, ξ) = 1 − φ(z)φ̃(ξ) (z, ξ ∈ 𝔻)

ist analytisch auf 𝔻^{2}. Dann folgt die Behauptung mit dem im vorherigen Abschnitt eingeführten analytischen Funktionalkalkül

1_{H} − φ(T)φ(T)^{∗} = 1_{H} − φ(T)φ̃(T^{∗})
= Φ(M_{(T,T^{∗})})(1_{H})
= ∑_{ν=1}^{n} f_{ν}(L_{T})(1_{L(H)} − L_{T} R_{T^{∗}})f̃_{ν}(R_{T^{∗}})(1_{H})
= ∑_{ν=1}^{n} L_{f_{ν}(T)}(1_{L(H)} − L_{T} R_{T^{∗}})R_{f̃_{ν}(T^{∗})}(1_{H})
= ∑_{ν=1}^{n} f_{ν}(T)(1_{H} − T T^{∗})f_{ν}(T)^{∗}.

Aus Satz 3.6 folgt die von Neumannsche Ungleichung für die strikte Kontraktion T, denn offensichtlich gilt

1_{H} − φ(T)φ(T)^{∗} ≥ 0

und somit

∥φ(T)∥ ≤ 1.

Sei nun p ein Polynom in einer komplexen Variablen mit |p(z)| ≤ 1 auf \overline{𝔻}. Dann existiert nach dem Satz von Carathéodory (siehe [Gar81, Theorem 2.1]) eine Folge von endlichen Blaschke-Produkten {φ_{n}}_{n=1}^{∞}, die auf 𝔻 kompakt gleichmäßig gegen p konvergiert. Indem man Satz 3.6 auf die Funktionen φ_{n} anwendet, erhält man

∥p(T)∥ = lim_{n→∞} ∥φ_{n}(T)∥ ≤ 1.

Daraus erhält man die von Neumannsche Ungleichung auch für beliebige Kontraktionen T ∈ L(H). Sei dazu p ein Polynom in einer komplexen Variablen mit ∥p∥_{∞,𝔻} ≤ 1, so folgt

∥p(T)∥ = lim_{r↑1} ∥p(rT)∥ ≤ 1.

Eine analoge Aussage gilt auch für ein Paar von vertauschenden strikten Kontraktionen:

Satz 3.7. Sei (T_{1}, T_{2}) ein Paar von vertauschenden strikten Kontraktionen auf einem Hilbertraum H und φ eine rationale innere Funktion auf 𝔻^{2}. Dann existieren rationale Funktionen f_{1}, …, f_{s} und g_{1}, …, g_{s} auf ℂ^{2}, die auf 𝔻^{2} analytisch sind, so daß die folgende Gleichheit gilt:

1_{H} − φ(T_{1}, T_{2})φ(T_{1}, T_{2})^{∗} = ∑_{ν=1}^{s} f_{ν}(T_{1}, T_{2})(1_{H} − T_{1}T_{1}^{∗})f_{ν}(T_{1}, T_{2})^{∗}
+ ∑_{ν=1}^{s} g_{ν}(T_{1}, T_{2})(1_{H} − T_{2}T_{2}^{∗})g_{ν}(T_{1}, T_{2})^{∗}.

Beweis. Sei φ eine rationale innere Funktion auf 𝔻^{2}. Dann kann man φ schreiben als φ = \frac{q}{p} mit Polynomen p und q. Dann existieren nach Korollar 3.5 rationale Funktionen f_{1}, …, f_{s} und g_{1}, …, g_{s} auf ℂ^{2}, deren Nenner mit p übereinstimmen, so daß

1 − φ(z)\overline{φ(w)} = (1 − z_{1}w̄_{1}) ∑_{ν=1}^{s} f_{ν}(z)\overline{f_{ν}(w)} + (1 − z_{2}w̄_{2}) ∑_{ν=1}^{s} g_{ν}(z)\overline{g_{ν}(w)}

für z = (z_{1}, z_{2}) und w = (w_{1}, w_{2}) ∈ 𝔻^{2} gilt. Insbesondere ist jedes f_{ν} und jedes g_{ν} analytisch auf 𝔻^{2}. Nach Definition von φ̃ kann man diese Gleichung auch in der Form

1 − φ(z)φ̃(w̄) = (1 − z_{1}w̄_{1}) ∑_{ν=1}^{s} f_{ν}(z)f̃_{ν}(w̄) + (1 − z_{2}w̄_{2}) ∑_{ν=1}^{s} g_{ν}(z)g̃_{ν}(w̄)

für z = (z_{1}, z_{2}) und w = (w_{1}, w_{2}) ∈ 𝔻^{2} schreiben. Da z und w unabhängig sind, gilt auch

1 − φ(z)φ̃(ξ) = (1 − z_{1}ξ_{1}) ∑_{ν=1}^{s} f_{ν}(z)f̃_{ν}(ξ) + (1 − z_{2}ξ_{2}) ∑_{ν=1}^{s} g_{ν}(z)g̃_{ν}(ξ)
= ∑_{ν=1}^{s} f_{ν}(z)(1 − z_{1}ξ_{1})f̃_{ν}(ξ) + ∑_{ν=1}^{s} g_{ν}(z)(1 − z_{2}ξ_{2})g̃_{ν}(ξ)

für z, ξ ∈ 𝔻^{2}. Die Funktion

Φ(z, ξ) := 1 − φ(z)φ̃(ξ)

ist analytisch auf 𝔻^{2} × 𝔻^{2}. Dann folgt die Behauptung mit dem im vorherigen Abschnitt eingeführten Funktionalkalkül für das Paar T = (T_{1}, T_{2}) von vertauschenden strikten Kontraktionen wie im Beweis von Satz 3.6:

1_{H} − φ(T)φ(T)^{∗}
= 1_{H} − φ(T)φ̃(T^{∗})
= Φ(M_{(T,T^{∗})})(1_{H})
= ∑_{ν=1}^{s} f_{ν}(T)(1_{H} − T_{1}T_{1}^{∗})f̃_{ν}(T^{∗}) + ∑_{ν=1}^{s} g_{ν}(T)(1_{H} − T_{2}T_{2}^{∗})g̃_{ν}(T^{∗})
= ∑_{ν=1}^{s} f_{ν}(T)(1_{H} − T_{1}T_{1}^{∗})f_{ν}(T)^{∗} + ∑_{ν=1}^{s} g_{ν}(T)(1_{H} − T_{1}T_{1}^{∗})g_{ν}(T)^{∗}.

Aus Satz 3.7 folgt die Andosche Ungleichung für das Paar (T_{1}, T_{2}) von vertauschenden strikten Kontraktionen: Sei p ein Polynom in zwei komplexen Variablen mit ∥p∥_{∞,𝔻^{2}} ≤ 1. Da der Satz von Carathéodory auch mehrdimensional gilt (siehe [Rud69, S.126]), existiert eine Folge {φ_{n}}_{n=1}^{∞} von rationalen inneren Funktionen auf 𝔻^{2}, die auf 𝔻^{2} kompakt gleichmäßig gegen p konvergiert. Aus Satz 3.7 folgt ∥φ_{n}(T_{1}, T_{2})∥ ≤ 1 und somit gilt

∥p(T_{1}, T_{2})∥ = lim_{n→∞} ∥φ_{n}(T_{1}, T_{2})∥ ≤ 1

genau wie im eindimensionalen Fall. Daraus erhält man auch für ein beliebiges Paar von vertauschenden Kontraktionen T ∈ L(H)^{2} die Andosche Ungleichung. Sei dazu p ein Polynom in zwei komplexen Variablen, so folgt

∥p(T)∥ = lim_{r↑1} ∥p∥_{∞,𝔻^{2}} ∥\frac{p}{∥p∥_{∞,𝔻^{2}}} (rT)∥ ≤ ∥p∥_{∞,𝔻^{2}}.

Bemerkung. Für Polynome in N ≥ 3 Variablen ist Satz 3.3 falsch. Denn würde ein solcher Satz gelten, dann würde daraus wie im oben beschriebenen zweidimensionalen Fall die Andosche Ungleichung für ein beliebiges Tupel von vertauschenden Kontraktionen folgen. Wir wissen aber, daß ein solches Analogon der Andoschen Ungleichung falsch ist (siehe [Var74]).

Wie eingangs erwähnt, ist eine interessante offene Frage (vgl. [CW99]), ob es möglich ist, einen direkten Beweis für Satz 3.3 zu geben, der nicht die Andosche Ungleichung für Paare von vertauschenden Kontraktionen benutzt. Wir schließen die Arbeit mit einigen Anmerkungen zu diesem Problem.

Die von Rudin in [Rud69, Satz 5.5.1] gegebene Version des Satzes von Carathéodory zeigt, daß jede Funktion f ∈ H^{∞}(𝔻^{n}) auf 𝔻^{n} kompakt gleichmäßig durch eine Folge innerer Funktionen in A(𝔻^{n}) approximiert werden kann. Für n = 1 sind die inneren Funktionen in A(𝔻) genau die endlichen Blaschke-Produkte. Nach Satz 5.2.5 in [Rud69] sind allgemeiner die inneren Funktionen in A(𝔻^{n}) genau die rationalen Funktionen der Form

f(z) = \frac{m(z)p̃(\frac{1}{z})}{p(z)},

wobei p ein Polynom in n komplexen Variablen ist, das keine Nullstelle in 𝔻̄^{n} hat, und m ein Monom ist so, daß m(z)p̃(\frac{1}{z}) ein Polynom in n komplexen Variablen ist. Es genügt also, Satz 3.3 zu beweisen für den Fall, daß p ein Polynom in zwei komplexen Variablen ohne Nullstellen in 𝔻̄^{2} ist und daß q ein Polynom in zwei komplexen Variablen von der Form

q(z) = m(z)p̃(\frac{1}{z})

mit einem geeigneten Monom m ist. Für einfache Beispiele der Form

p(z) = 1 + az_{1} + bz_{2} (a, b ∈ ℂ : |a| + |b| < 1)

und

m(z) = z_{1}z_{2}

haben Cole und Wermer in [CW99] die Lösbarkeit dieses Problems durch explizite Rechnungen nachgeprüft. Ob das Problem allgemein mit direkten Methoden lösbar ist, muß an dieser Stelle offen bleiben.

\underline{Offenes Problem}: Sie p ein Polynom in zwei komplexen Variablen ohne Nullstellen in 𝔻̄^{2} und sei m(z) = z^{α} (α ∈ ℕ^{2}) ein Monom mit der Eigenschaft, daß q(z) = m(z)p̃(\frac{1}{z}) ein Polynom in zwei komplexen Variablen ist. Man zeige ohne Benutzung der Andoschen Ungleichung, daß endlich viele Polynome A_{1}, …, A_{r}, B_{1}, …, B_{r} in zwei komplexen Variablen existieren mit

|p(z)|^{2} − |q(z)|^{2} = (1 − |z_{1}|^{2}) ∑_{ν=1}^{r} |A_{ν}(z)|^{2} + (1 − |z_{2}|^{2}) ∑_{ν=1}^{r} |B_{ν}(z)|^{2}

für alle z ∈ ℂ^{2}.

Literaturverzeichnis

[Agl88] J. Agler. An abstract approach to model theory. Surveys of some recent results in operator theory, 2:1–23, 1988.

[Agl90] J. Agler. On the representation of certain holomorphic functions defined on a polydisc. Operator Theory: Advances and Applications, 48:47–66, 1990.

[AM99] J. Agler and J. E. McCarthy. Nevanlinna-pick interpolation on the bidisk. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 506:191–204, 1999.

[And63] T. Ando. On a pair of commuting contractions. Acta Sci. Math., 24:88–90, 1963.

[Aro50] N. Aronzajn. Theory of reproducing kernels. Trans. Am. Math. Soc., 68:337–404, 1950.

[Bar02] C. Barbian. Positivitätsbedingungen funktionaler Hilberträume und Anwendungen in der mehrdimensionalen Operatorentheorie. Diplomarbeit, Universität des Saarlandes, 2002.

[BCR84] C. Berg, J.P.R. Christensen, and P. Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups. Springer Verlag, New York, 1984.

[CD75] M.J. Crabb and A.M. Davie. von neumann’s inequality for hilbert space operators. Bull. London Math. Soc., 48:49–50, 1975.

[Con81] J.B. Conway. Subnormal Operators. Pitman Research Notes in Mathematics, Vol.51, Boston, 1981.

[Con85] J.B. Conway. A course in functional analysis. Springer Verlag, New York, 1985.

[CW99] B.J. Cole and J. Wermer. Ando’s theorem and sums of squares. Indiana Univ. Math. J., 48:767–791, 1999.

[EP96] J. Eschmeier and M. Putinar. Spectral decompositions and analytic sheaves. London Math. Society Monographs, Vol.10, Clarendon Press, Oxford, 1996.

[EP02] J. Eschmeier and M. Putinar. Spherical contrations and interpolation problems on the unit ball. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 542:219–236, 2002.

[Esc88] J. Eschmeier. Tensor products and elementary operators. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 390:47–66, 1988.

[Gar81] J. Garnett. Bounded analytic functions. Academic Press, New York, 1981.

[Jar81] H. Jarchow. Locally convex spaces. B.G. Teubner, Stuttgart, 1981.

[Kle55] V.L. Klee. Separation properties of convex cones. Proc. Amer. Math. Soc., 6:313–318, 1955.

[Kra82] S.G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables. Wiley-Interscience Publication, New York, 1982.

[Par70] S. Parrott. Unitary dilations for commuting contractions. Pacific Math. J., 34:481– 490, 1970.

[Pau86] V. I Paulsen. Completely bounded maps and dilations. Pitman Research Notes in Mathematics, Vol.146, New York, 1986.

[Ran86] R.M. Range. Holomorphic functions and integral representations in several complex variables. Springer Verlag, New York, 1986.

[Rud69] W. Rudin. Function theory on polydiscs. Benjamin, New York, 1969.

[Rud91] W. Rudin. Functional Analysis. McGraw-Hill International Editions, New York, 1991.

[Sak71] S. Sakai. C^{∗}-algebras and W^{∗}-algebras. Springer Verlag, Berlin, 1971.

[Sch97] H. Schröder. Funktionalanalysis. Akademie Verlag, Berlin, 1997.

[SN53] B. Sz.-Nagy. Sur les contractions de l’espace de hilbert. Acta Sci. Math., 6:87–92, 1953.

[SN74] B. Sz.-Nagy. Unitary dilations of Hilbert space operators and related topics. American Mathematical Society, Providence, 1974.

[Var74] N. Th. Varopoulos. On an inequality of von neumann and an application of the metric theory of tensor products to operators theory. J. Funct. Anal., 16:83–100, 1974.

[Wer97] D. Werner. Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin, 1997.