UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 10 Abgabetermin: Dienstag, 29.06.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 44 (4 Punkte) Sei E versehen mit der induktiven lokalkonvexen Topologie eines strikten Einbettungsspektrums (j_{n} : E_{n} → E)_{n∈ℕ} aus vollständigen lokalkonvexen Hausdorffräumen E_{n} ⊊ E. Zeigen Sie, dass E nicht metrisierbar ist.

Aufgabe 45 (4 Punkte) Sei (E_{i})_{i∈I} eine Familie lokalkonvexer topologischer Vektorräume. Zeigen Sie:

( ∏_{i∈I} E_{i} )′ ≅ ⨁_{i∈I} E′_{i}

als Vektorräume.

Aufgabe 46 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass es normierte Räume gibt, die nicht tonneliert sind. (Hinweis: Man betrachte den Folgenraum

E = {(x_{n})_{n≥1}; es existiert ein n_{0} ∈ ℕ mit x_{n} = 0 für alle n ≥ n_{0}} ⊂ ℓ^{∞}

mit der Norm ∥ · ∥_{∞} und die Menge

T = \{(x_{n})_{n≥1} ∈ E ; |x_{n}| ≤ \frac{1}{n} für alle n ≥ 1\} .)

Aufgabe 47 (4 Punkte) Sei E ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Zeigen Sie: Ist E tonneliert, so ist auch die Vervollständigung Ê tonneliert. Gilt die Umkehrung?