UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 11 Abgabetermin: Dienstag, 06.07.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 48 (4 Punkte) Sei E ein bornologischer oder tonnelierter lokalkonvexer topologischer Vektorraum und M ⊂ E′ eine Menge stetiger Linearformen auf E mit der folgenden Eigenschaft:

Ist B ⊂ E beschränkt, so ist auch {f(x) : f ∈ M, x ∈ B} ⊂ k beschränkt.

Zeigen Sie: Die Menge M ist gleichstetig.

Aufgabe 49 (4 Punkte) Seien E, F lokalkonvexe Hausdorffräume. Wir schreiben L_{s}(E, F) für den Raum L(E, F), versehen mit der durch das Halbnormensystem

∥T ∥_{x,p} = p(T x), x ∈ E, p stetige Halbnorm auf F

erzeugten Topologie, und L_{b}(E, F) für L(E, F), versehen mit der durch das Halbnormensystem

∥T ∥_{B,p} = sup_{x∈B} p(T x), B ⊂ E beschränkt, p stetige Halbnorm auf F

erzeugten Topologie. Sei F vollständig. Zeigen Sie:

(a) E tonneliert ⇒ L_{s}(E, F) folgenvollständig.

(b) E bornologisch ⇒ L_{b}(E, F) vollständig.

Aufgabe 50 (4 Punkte) Sei E ein Banachraum mit dim E = ∞. Zeigen Sie:

(E, σ(E, E′)) ist nicht bornologisch und nicht tonneliert.

(Hinweis: Die Menge B_{E′} ist nicht σ(E, E′)-gleichstetig. Warum?)

Aufgabe 51 (4 Punkte) Seien E, F lokalkonvexe Räume, E tonneliert und (T_{n})_{n∈ℕ} eine Folge stetig, linearer Operatoren T_{n} : E → F. Für alle x ∈ E existiere lim_{n→∞} T_{n}x ∈ F. Zeigen Sie, dass der Operator

T : E → F ; x ↦ lim_{n→∞} T_{n}x

stetig, linear ist.

Aufgabe 52^{∗} (8^{∗} Punkte) Seien E, F, G lokalkonvexe topologische Vektorräume und B : E × F → G eine bilineare Abbildung. Zeigen Sie:

(a) B ist stetig genau dann, wenn für jede stetige Halbnorm q auf G stetige Halbnormen p_{E} auf E und p_{F} auf F existieren derart, dass q(B(x, y)) ≤ p_{E}(x)p_{F} (y) für alle x ∈ E, y ∈ F.

(b) Sind E, F Frécheträume und sind alle Abbildungen B(x, ·), B(·, y) (x ∈ E, y ∈ F) stetig, so ist B stetig.

(Hinweis zu (b): Es genügt die Folgenstetigkeit von B im Punkt (0, 0) zu zeigen.)