UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 12 Abgabetermin: Dienstag, 13.07.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 53 (4 Punkte) Sei ⟨E, F ⟩ ein Dualsystem. Eine lineare Abbildung T : E → E heißt konjugierbar, falls eine lineare Abbildung T′ : F → F existiert mit

⟨T x, y⟩ = ⟨x, T′y⟩ (x ∈ E, y ∈ F).

Zeigen Sie: Eine lineare Abbildung T : E → E ist genau dann konjugierbar, wenn sie schwach stetig ist, das heißt T : (E, σ(E, F)) → (E, σ(E, F)) stetig ist.

Aufgabe 54 (4 Punkte) Sei ⟨E, F ⟩ ein Dualsystem und F_{0} ⊊ F ein echter linearer Teilraum von F, der punktetrennend für E ist, d.h. zu jedem x ∈ E, x ≠ 0, existiert ein u ∈ F_{0} mit ⟨x, u⟩ ≠ 0. Zeigen Sie, dass σ(E, F_{0}) echt gröber ist als σ(E, F).

Aufgabe 55 (4 Punkte) Seien E, F lokalkonvexe Hausdorffräume und T : E → F eine stetige lineare Abbildung. Zeigen Sie:

(a) T : (E, σ(E, E′)) → (F, σ(F, F′)) ist stetig.

(b) Die Abbildung T′ : F′ → E′, T′(u) = u ∘ T, ist stetig und linear, wenn man F′ und E′ jeweils beide mit der schwachen Topologie (Mackey-Topologie, starken Topologie) in den Dualsystemen ⟨F, F′⟩ und ⟨E, E′⟩ versieht.

Aufgabe 56 (4 Punkte) Sei E ein tonnelierter lokalkonvexer topologischer Vektorraum, γ ⊂ P(E) ein gesättigtes System von Teilmengen von E und τ_{γ} die zugehörige γ-Topologie für das Dualsystem ⟨E, E′⟩ auf E′. Zeigen Sie, dass (E′, τ_{γ}) folgenvollständig ist. (Hinweis: Aufgabe 51)

Aufgabe 57^{∗} (4^{∗} Punkte) Sei (E_{i})_{i∈I} eine Familie lokalkonvexer topologischer Vektorräume und E = ∏_{i∈I} E_{i} versehen

mit der Produktopologie. Zeigen Sie: Die schwache Topologie auf E bezüglich ⟨E, E′⟩ ist die Produkttopologie der schwachen Topologien auf den E_{i} bezüglich ⟨E_{i}, E′_{i}⟩ (i ∈ I).