UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 13 Abgabetermin: Dienstag, 20.07.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 58 (4 Punkte) Sei ⟨E, F ⟩ ein Dualsystem und seien τ_{1}, τ_{2} zulässige Topologien auf E bzgl. ⟨E, F ⟩ mit τ_{1} ⊂ τ_{2}. Zeigen Sie: Ist (E, τ_{1}) (folgen-,quasi-)vollständig, so ist (E, τ_{2}) vollständig im selben Sinne.

Aufgabe 59 (4 Punkte) Seien E und F lokalkonvexe Hausdorffräume. Auf L(E, F) betrachte man die γ-Topologien τ_{w} und τ_{c}, definiert durch γ_{w} = {S ⊂ E; S endlich} und γ_{c} = {S ⊂ E; S kompakt}. Zeigen Sie: Ein gleichstetiges Netz (A_{i})_{i∈I} in L(E, F) konvergiert genau dann bezüglich τ_{w}, wenn es bezüglich τ_{c} konvergiert.

Aufgabe 60 (6+2^{∗} Punkte) Für einen k-Vektorraum X bezeichne X^{∗} = {u; u : X → k linear} den algebraischen Dualraum. Zeigen Sie:

(a) X^{∗} ist σ(X^{∗}, X)-vollständig.

(b) Für einen lokalkonvexen Hausdorffraum E ist die kanonische Abbildung

j : (E, σ(E, E′)) → ((E′)^{∗}, σ((E′)^{∗}, E′)) ; j(x)(x′) = ⟨x, x′⟩,

ein topologischer Monomorphismus mit dichtem Bild.

(c) Ein lokalkonvexer Hausdorffraum E ist genau dann σ(E, E′)-vollständig, wenn die Abbildung j aus Teil (b) surjektiv ist.

(d) ^{∗} Ein normierter Raum (E, ∥·∥) ist genau dann σ(E, E′)-vollständig, wenn dim E < ∞.

Aufgabe 61 (4 Punkte) Sei T : E → F eine stetig lineare Abbildung zwischen lokalkonvexen Hausdorffräumen und T′ : F′ → E′, T′v := v ∘ T, die adjungierte Abbildung. Zeigen Sie, dass gilt:

(ker T)^{⊥} = \overline{(im T′)}^{σ(E′,E)}, ^{⊥}(ker T′) = \overline{(im T)}^{σ(F,F′)}.

Aufgabe 62^{∗} (4^{∗} Punkte) Sei (E, τ) ein Semi-Montelraum, das heißt ein lokalkonvexer Hausdorffraum, in dem jede beschränkte Menge relativ kompakt ist. Zeigen Sie für eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in E:

(x_{n}) → x bzgl. σ(E, E′) ⇔ (x_{n}) → x bzgl. τ.

(Hinweis: Auf abgeschlossenen beschränkten Mengen B ⊂ E stimmen σ(E, E′) und τ überein. Um dies zu zeigen, benutzen Sie, dass jede stetige, bijektive Abbildung f : X → Y zwischen kompakten Hausdorffräumen X, Y offen ist.)