UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 1 Abgabetermin: Montag, 26.04.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (3+1 Punkte)

Sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Unter einer kompakten Ausschöpfung von U versteht man eine Folge (K_{n})_{n∈ℕ} kompakter Teilmengen in U, so dass K_{n} ⊂ int(K_{n+1}) für alle n ∈ ℕ und U = ⋃_{n=1}^{∞} K_{n} gilt. Zeigen Sie:

(a) Für alle U ⊂ ℝ^{n} offen existiert eine kompakte Ausschöpfung.

(b) Ist (K_{n})_{n∈ℕ} eine kompakte Ausschöpfung von U, so existiert zu jeder kompakten Menge K ⊂ U ein n ∈ ℕ mit K ⊂ K_{n}.

Seien (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) metrische Räume. Dann heißt eine Abbildung f : (X, d_{X}) → (Y, d_{Y}) isometrisch, wenn d_{Y} (f(x), f(y)) = d_{X}(x, y) für alle x, y ∈ X gilt.

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Seien (X, d), (Y_{1}, d_{1}) und (Y_{2}, d_{2}) metrische Räume und seien

j_{1} : (X, d) → (Y_{1}, d_{1}), j_{2} : (X, d) → (Y_{2}, d_{2})

isometrische Abbildungen mit dichtem Bild. Weiter seien (Y_{1}, d_{1}) und (Y_{2}, d_{2}) vollständig. Zeigen Sie: Es gibt eine eindeutige isometrische Bijektion ϱ : (Y_{1}, d_{1}) → (Y_{2}, d_{2}) mit j_{2} = ϱ ∘ j_{1}.

Aufgabe 3 (1+2+2=5 Punkte)

Sei (X_{n}, d_{n})_{n≥0} eine Folge metrischer Räume und sei

X = ∏_{n=0}^{∞} X_{n} = {(x_{n})_{n≥0} ; x_{n} ∈ X_{n} für alle n ≥ 0}.

Bestimmen Sie eine Metrik d auf X, für die gilt:

(a) Eine Folge in X konvergiert genau dann bezüglich d, wenn sie komponentenweise konvergiert.

(b) Der Raum (X, d) ist genau dann vollständig, wenn jeder der Räume (X_{n}, d_{n}) vollständig ist.

(Hinweis: Betrachten Sie das Beispiel O(U) aus der Vorlesung.)

Sei E ein k-Vektorraum (k = ℝ oder ℂ). Eine Menge M ⊂ E heißt

• konvex, falls tx + (1 − t)y ∈ M für alle x, y ∈ M, t ∈ [0, 1],

• absolut konvex, falls αx + βy ∈ M, für alle x, y ∈ M, α, β ∈ k mit |α|, |β| ≤ 1,

• kreisförmig, falls αx ∈ M für alle x ∈ M, α ∈ k mit |α| ≤ 1.

Aufgabe 4 (2+2+1 Punkte)

Sei E ein k-Vektorraum und M ⊂ E. Zeigen Sie:

(a) C(M) := {∑_{i=1}^{n} t_{i}x_{i} ; n ≥ 1, x_{1}, …, x_{n} ∈ M, t_{1}, … t_{n} ∈ [0, 1] mit ∑_{i=1}^{n} t_{i} ≤ 1} ist die

kleinste konvexe Menge in E, die M enthält.

(b) Γ(M) := {∑_{i=1}^{n} α_{i}x_{i} ; n ≥ 1, x_{1}, …, x_{n} ∈ M, α_{1}, … α_{n} ∈ k mit ∑_{i=1}^{n} |α_{i}| ≤ 1} ist die

kleinste absolut konvexe Menge in E, die M enthält.

(c) M ist absolut konvex ⇔ M ist konvex und kreisförmig.