UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 2 Abgabetermin: Dienstag, 04.05.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 5 (1+1+2 Punkte)

Sei (X, t) ein topologischer Raum und A ⊂ X. Zeigen Sie:

(a) Int(A) ist die größte offene Menge in X, die in A enthalten ist.

(b) \overline{A} ist die kleinste abgeschlossene Menge in X, in der A enthalten ist.

(c) Ist (X, t) metrisierbar, so gilt

\overline{A} = \{ x ∈ X ; es existiert eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in X mit lim_{n→∞} x_{n} = x \} .

Aufgabe 6 (1+1+2 Punkte)

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für ∅ ≠ A ⊂ X sei die Abstandsfunktion d_{A} : X → ℝ definiert durch

d_{A}(x) = inf_{y∈A} d(x, y) (x ∈ X) .

Zeigen Sie:

(a) d_{A} ist stetig auf X für alle ∅ ≠ A ⊂ X.

(b) Für x ∈ X und ∅ ≠ A ⊂ X gilt: d_{A}(x) = 0 ⇔ x ∈ \overline{A} .

(c) Sind F, G ⊂ X abgeschlossene Mengen in X, so gibt es eine stetige Funktion f : X → [0, ∞) mit f(x) = 0 für alle x ∈ F und f(y) = 1 für alle y ∈ G.

Aufgabe 7 (4 Punkte)

Sei (X, d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ M ⊂ X. Zeigen Sie: Ist X separabel, so ist auch M mit der Relativtopologie separabel.

Aufgabe 8 (4 Punkte)

Seien (X_{n}, d_{n}) (n ∈ ℕ_{0}), metrische Räume und sei X = ∏_{n=0}^{∞} X_{n} versehen mit der Metrik

d ((x_{n})_{n=0}^{∞}, (y_{n})_{n=0}^{∞}) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2^{n}} · \frac{d_{n}(x_{n}, y_{n})}{1 + d_{n}(x_{n}, y_{n})} (vergleiche Aufgabe 3).

Zeigen Sie:

(X, d) ist separabel ⇔ alle (X_{n}, d_{n}) sind separabel.

Zwei Metriken d_{1}, d_{2} auf einer Menge X heißen äquivalent, wenn Konstanten α, β > 0 existieren mit

αd_{1}(x, y) ≤ d_{2}(x, y) ≤ βd_{1}(x, y) für alle x, y ∈ X.

Sie heißen topologisch äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie auf X induzieren.

Aufgabe 9 (2+2 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass äquivalente Metriken stets auch topologisch äquivalent sind.

(b) Gibt es topologisch äquivalente Metriken, die nicht äquivalent sind? (Hinweis: X = ℝ, d_{1}(x, y) = |x − y|, d_{2}(x, y) = min(1, |x − y|).)