UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 3 Abgabetermin: Dienstag, 11.5.2004 vor der Vorlesung

Aufgabe 10 (4 Punkte)

Sei X ein kompakter metrischer Raum. Zeigen Sie:

(a) X ist separabel.

(b) X ist vollständig.

Aufgabe 11 (4 Punkte)

Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum. Sei ∅ ≠ Y ⊂ X eine Teilmenge und d_{Y} die Relativmetrik von d auf Y. Zeigen Sie:

Y ⊂ X ist abgeschlossen ⇔ (Y, d_{Y}) ist ein vollständiger metrischer Raum.

Aufgabe 12 (4 Punkte)

Sei (X, t) ein topologischer Raum. Zeigen Sie:

X ist kompakt ⇔ Für jede Familie (F_{i})_{i∈I} abgeschlossener Mengen F_{i} ⊂ X
mit f.i.p. ist ⋂_{i∈I} F_{i} ≠ ∅.

Aufgabe 13 (2+2=4 Punkte)

Zeigen Sie:

(a) Sei (X, t) ein topologischer Raum und sei M ⊂ X. Dann ist:

\overline{M} = \{x ∈ X ; ∃ Netz (x_{α})_{α∈A} in M mit lim_{α∈A} x_{α} = x\} .

(b) Ein Netz in einem topologischen Produkt konvergiert genau dann, wenn es komponentenweise konvergiert.

Aufgabe 14 (2+3+3=8 Punkte)

Seien (X_{i}, t_{i}) (i ∈ I) topologische Räume und sei X = ∏_{i∈I} X_{i} mit der Produkttopologie t

versehen. Für jedes i ∈ I sei A_{i} ⊂ X_{i} eine nichtleere Teilmenge und A = ∏_{i∈I} A_{i} ⊂ X.

Zeigen Sie:

(a) A_{i} ⊂ X_{i} abgeschlossen für alle i ∈ I ⇒ A ⊂ X abgeschlossen.

Gilt auch die umgekehrte Implikation?

(b) \overline{A} = ∏_{i∈I} \overline{A_{i}}.

(c) Int(A) ⊂ ∏_{i∈I} Int (A_{i}). Gilt Gleichheit? (Beweis oder Gegenbeispiel)