UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 4 Abgabetermin: Dienstag, 18.05.2001, vor der Vorlesung

Aufgabe 15 (4 Punkte)

(a) Sei (X_{n}, d_{n})_{n≥0} eine Folge metrischer Räume. Zeigen Sie, dass die Produkttopologie auf X = ∏_{n=0}^{∞} metrisierbar ist (das heißt, sie wird durch eine geeignete Metrik induziert).

(b) Zeigen Sie: Ein unendliches topologisches Produkt nichttrivialer normierter Räume ist niemals normierbar.

(Hinweis zu (b): Zeigen Sie, dass jede Nullumgebung im Produktraum einen nichttrivialen linearen Teilraum enthält.)

Eine Menge B ⊂ E in einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum (E, t) heißt beschränkt, falls zu jeder absolutkonvexen Nullumgebung U ⊂ E ein δ > 0 existiert mit B ⊂ δU.

Aufgabe 16 (4 Punkte)

Seien E, F lokalkonvexe topologische Vektorräume und T : E → F linear. Zeigen Sie:

(a) T stetig ⇒ T beschränkt (d.h. T bildet beschränkte Mengen in E auf beschränkte Mengen in F ab)

(b) Sei E ein Banachraum und τ_{w} die schwache Topologie auf E. Untersuchen Sie Stetigkeit und Beschränktheit der Abbildung id : (E, τ_{w}) → E.

(Hinweis zu (b): Im Fall dim(E) = ∞ enthält jede τ_{w}-Nullumgebung einen nichttrivialen Teilraum von E.)

Aufgabe 17 (4 Punkte)

Seien E, F lokalkonvexe topologische k-Vektorräume, B ⊂ E und T : E → F linear. Zeigen Sie:

(a) B beschränkt ⇔ für jede Folge (x_{n}) in B und jede Nullfolge (α_{n}) in k gilt (α_{n}x_{n}) → 0.

(b) T folgenstetig ⇒ T beschränkt (im Sinne von Aufgabe 1).

Aufgabe 18 (5 Punkte)

Sei E ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und seien A, B, M_{1}, ..., M_{r} ⊂ E. Zeigen Sie:

(a) A beschränkt ⇒ \overline{Γ(A)} beschränkt

(b) A, B beschränkt ⇒ A + B beschränkt

(c) A kompakt ⇒ A beschränkt

(d) M_{1}, ..., M_{r} absolutkonvex ⇒

Γ(M_{1} ∪ ... ∪ M_{r}) = \{∑_{i=1}^{r} α_{i}x_{i} | \begin{matrix}x_{i} ∈ M_{i} für i = 1, ..., r und \\ α_{1}, ..., α_{r} ∈ k mit ∑_{i=1}^{r} |α_{i}| ≤ 1 \end{matrix} \} .

(e) M_{1}, ..., M_{r} absolutkonvex und kompakt ⇒ Γ(M_{1} ∪ ... ∪ M_{r}) kompakt

Aufgabe 19^{∗} (4 Punkte)

Seien E, F lokalkonvexe topologische Vektorräume. Für alle i ∈ I sei A_{i} : E → F eine stetige lineare Abbildung.

(a) Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) Die Familie (A_{i})_{i∈I} ist punktweise beschränkt, d.h. für jedes x ∈ E ist die Menge {A_{i}x; i ∈ I} beschränkt in F.

(ii) Für jede Nullumgebung V ⊂ F ist die Menge ⋂_{i∈I} A_{i}^{−1}(V) absorbierend in E.

(b) Sei nun die Topologie auf E von einer vollständigen Metrik erzeugt. Die Familie (A_{i})_{i∈I} sei punktweise beschränkt. Zeigen Sie: Für jede abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebung V ⊂ F ist T := ⋂_{i∈I} A_{i}^{−1}(V)

eine Nullumgebung in E.

(c) Welcher Satz aus der FA I ist damit bewiesen?

(Hinweis zu b): Es gilt E = ⋃_{n∈N} nT.)

(Hinweis zu (b): Satz von Baire)