UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 5 Abgabetermin: Dienstag, 25.05.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 20 (1+2+2=5 Punkte)

Sei E ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Zeigen Sie:

(a) Jedes konvergente Netz in E ist ein Cauchy-Netz.

(b) Jede Cauchy-Folge in E ist beschränkt. Gilt dies auch für Cauchy-Netze?

(c) Ist K ⊂ E kompakt und (x_{i})_{i∈I} ein Cauchy-Netz in E mit x_{i} ∈ K für alle i ∈ I, so ist (x_{i})_{i∈I} konvergent, und der Grenzwert liegt in K.

Aufgabe 21 (4 Punkte)

Sei E ein lokalkonvexer Hausdorffraum, M ⊂ E absolutkonvex und kompakt. Dann gilt: E_{M} = ⋃_{n∈ℕ}nM ist zusammen mit der durch p_{M}(x) = inf{ϱ > 0; x ∈ ϱM} definierten

Halbnorm ein Banachraum.

Aufgabe 22 (4 Punkte)

Sei U ⊂ ℂ offen und sei O(U) versehen mit der durch das Halbnormensystem

p_{K}(f) = sup_{z∈K} |f(z)| (K ⊂ U kompakt)

gegebenen metrisierbaren lokalkonvexen Topologie τ (siehe Vorlesung und Übung).

(a) Zeigen Sie: M ⊂ O(U) kompakt ⇔ M ist abgeschlossen und beschränkt in O(U).

(b) Ist der Raum (O(U), τ) normierbar?

(c) Zeigen Sie: Die Ableitung ist ein stetiger linearer Operator auf dem Raum (O(U), τ).

(Hinweis zu (a): Satz von Montel.)

Aufgabe 23 (4 Punkte)

Sei E ein k-Vektorraum und u : E → k eine lineare Abbildung. Seien p_{1}, ..., p_{n} Halbnormen auf E mit

|u(x)| ≤ ∑_{i=1}^{n} p_{i}(x) (x ∈ E).

Zeigen Sie: Es existieren lineare Abbildungen u_{1}, ..., u_{n} : E → k mit u = ∑_{i=1}^{n} u_{i} und

|u_{i}(x)| ≤ p_{i}(x) (x ∈ E, i = 1, ..., n).

(Hinweis: Betrachten Sie die Halbnorm p : E^{n} → ℝ, (x_{1}, ..., x_{n}) ↦ ∑_{i=1}^{n} p_{i}(x_{i}), und iden-

tifizieren Sie E mit einem geeigneten Teilraum von E^{n}. Wenden sie dann den Satz von Hahn-Banach für Halbnormen an.)

Sei E ein k-Vektorraum. Man nennt eine absolut konvexe Menge B ⊂ E eine Banachkugel, falls die Halbnorm

p_{B} : E_{B} = ⋃_{n∈ℕ} nB → ℝ ; x ↦ inf{λ > 0 : x ∈ λB}

eine Norm auf E_{B} und (E_{B}, p_{B}) ein Banachraum ist.

Aufgabe 24^{∗} (4 Punkte)

Seien E, F lokalkonvexe Hausdorffräume, T : E → F stetig linear und B ⊂ E absolut konvex. Zeigen Sie:

(a) F_{T B} = T E_{B} und für die lineare Abbildung T_{B} : E_{B} → F_{T B}, x ↦ T x gilt

p_{T B}(T x) = inf{p_{B}(x − y); y ∈ ker T_{B}}.

(b) Ist B ⊂ E eine beschränkte Banachkugel, so ist T B ⊂ F eine Banachkugel in F.