UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 6 Abgabetermin: Dienstag, 01.06.2001, vor der Vorlesung

Aufgabe 25 (4 Punkte)

Sei

s = {x = (x_{n})_{n≥1}; x Folge in ℂ mit ∥x∥_{k} = ∑_{n=1}^{∞} |x_{n}|n^{k} < ∞ für alle k ∈ ℕ} .

Zeigen Sie, dass s zusammen mit der von dem Halbnormensystem (∥ · ∥_{k})_{k∈ℕ} erzeugten lokalkonvexen Topologie ein Fréchetraum ist.

Aufgabe 26 (2+2+2=6 Punkte)

Sei (E, τ) ein Fréchetraum und d eine translationsinvariante Metrik auf E, die die Topologie τ erzeugt. Sei F ⊂ E ein abgeschlossener Teilraum und τ_{q} die Quotiententopologie von τ auf E/F. Zeigen Sie:

(a) Durch

ϱ([x], [y]) = inf{d(x − y, z); z ∈ F }

wird eine translationsinvariante Metrik ϱ auf E/F definiert.

(b) Die Quotientenabbildung q : (E, d) → (E/F, ϱ) ist stetig und offen. Schließen Sie, daß die Topologie τ_{q} von ϱ erzeugt wird.

(c) Der Raum (E/F, τ_{q}) ist ein Fréchetraum.

(Hinweis zu (b): Es gilt q({x ∈ E; d(x, 0) < ε}) = {u ∈ E/F; ϱ(u, 0) < ε}. Hinweis zu c): Vergleichen Sie mit dem entsprechenden Beweis im Fall von Banachräumen.)

Aufgabe 27 (4 Punkte) Sei T : E → F eine lineare Abbildung zwischen lokalkonvexen Hausdorffräumen, N ⊂ E ein linearer Teilraum mit T |N = 0 und T̂ : E/N → F definiert durch T̂([x]) = T x. Zeigen Sie:

(a) T ist stetig (bzw. offen) ⇔ T̂ ist stetig (bzw. offen)

(b) Falls dim F < ∞, so gilt: T ist stetig ⇔ ker T ist abgeschlossen.

Aufgabe 28 (4 Punkte) Sei E = C([0, 1]) mit der lokalkonvexen Topologie versehen, die durch das Halbnormensystem {p_{x}; x ∈ [0, 1]} mit p_{x}(f) = |f(x)| gegeben ist, und sei für x ∈ [0, 1]

δ_{x} : E → ℂ ; f ↦ f(x).

Zeigen Sie: Jedes stetige Funktional μ auf E ist von der Form

μ = ∑_{i=1}^{n} c_{i}δ_{x_{i}}

mit c_{1}, ..., c_{n} ∈ ℂ, x_{1}, ..., x_{n} ∈ [0, 1], n ∈ ℕ. (Hinweis: Aufgabe 23.)

Aufgabe 29^{∗} (4 Punkte) Sei (E, ∥ · ∥) ein normierter Raum. Eine Teilmenge M ⊂ E_{1} heißt normierend für E′, falls

∥u∥ = sup_{x∈M} |u(x)| (u ∈ E′).

Zeigen Sie: M ist normierend für E′ ⇔ \overline{Γ(M)} = E_{1}. (Hinweis: Trennungssatz.)

Sie können sich die Übungsblätter auch direkt aus dem Netz herunterladen. Die Adresse lautet

http://www.math.uni-sb.de/˜ ag-eschmeier/lehre/ss04/fa2

Die Blätter liegen im DVI-, PS- und PDF-Format vor.