UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 7 Abgabetermin: Dienstag, 08.06.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 30 (4 Punkte) Sei E = C[0, 1] der Raum der stetigen Funktionen von [0, 1] nach ℂ.

(a) Zeigen Sie, dass

d(f, g) = ∫_{0}^{1} \frac{|f(x) − g(x)|}{1 + |f(x) − g(x)|}dx (f, g ∈ E)

eine Metrik auf E definiert.

(b) Sei weiter τ die durch das Halbnormensystem (p_{x}, x ∈ [0, 1]) mit p_{x}(f) = |f(x)| induzierte lokalkonvexe Topologie (vergleiche Aufgabe 28). Zeigen Sie, dass die Identität

id : (E, τ) → (E, d) ; x ↦ x

folgenstetig aber nicht stetig ist.

(c) Folgern Sie, dass (E, τ) nicht metrisierbar ist.

(Hinweis zu (b): Satz von der majorisierten Konvergenz.)

Aufgabe 31 (4Punkte) Sei E ein k-Vektorraum. Wir betrachten die lokalkonvexe Toplogie τ auf E, die durch das System aller Halbnormen auf E erzeugt wird. Zeigen Sie:

(a) Die Menge aller absorbierenden, absolutkonvexen Teilmengen von E ist eine Nullumgebungsbasis von τ.

(b) τ ist feinste lokalkonvexe Topologie auf E.

(c) τ ist Hausdorffsch.

(d) Jedes lineare Funktional E → k ist bezüglich τ stetig.

Aufgabe 32 (4+2^{∗} Punkte) Sei E ein k-Vektorraum und τ die feinste lokalkonvexe Topologie auf E (siehe Aufgabe 31). Zeigen Sie:

(a) Jeder Teilraum von E ist abgeschlossen.

(b) Jede beschränkte Teilmenge von E ist in einem endlichdimensionalen Teilraum von E enthalten.

(c) ^{∗} Ist dim E = ∞, so ist τ nicht metrisierbar.

Sei E ein topologischer k-Vektorraum und K ⊂ E konvex. Ein x ∈ K heißt Extremalpunkt von K, falls für x_{1}, x_{2} ∈ K, λ ∈ (0, 1) mit x = λx_{1} + (1 − λ)x_{2} folgt, dass x = x_{1} = x_{2}. Eine kompakte, konvexe Teilmenge S ⊂ K heißt Seite von K, falls für alle x_{1}, x_{2} ∈ K mit {λx_{1} + (1 − λ)x_{2}; λ ∈ (0, 1)} ∩ S ≠ ∅ gilt, dass x_{1}, x_{2} ∈ S.

Aufgabe 33 (4 Punkte) Sei E ein Hausdorffscher topologischer k-Vektorraum und K ⊂ E konvex und kompakt. Zeigen Sie:

(a) Ein x ∈ K ist genau dann Extremalpunkt von K, falls {x} eine Seite von K ist.

(b) Beliebige Durchschnitte von Seiten von K sind Seiten von K.

(c) Sei k = ℝ. Für alle stetigen, ℝ-linearen Abbildungen y : E → ℝ ist

S_{y} = { x ∈ K; y(x) = max_{ξ∈K} y(ξ) }

eine Seite von K.

Aufgabe 34^{∗} (4 Punkte) Berechnen Sie alle Extremalpunkte der abgeschlossenen Einheitskugeln in folgenden normierten Räumen (E, ∥ · ∥).

(a) E = c_{0} = {x = (x_{n})_{n∈ℕ}; x Folge in ℂ mit lim_{n→∞} x_{n} = 0}, ∥ · ∥ = ∥ · ∥_{∞}.

(b) E = ℓ^{2}, ∥ · ∥ = ∥ · ∥_{2}.