UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2004

Blatt 9 Abgabetermin: Dienstag, 22.06.2004, vor der Vorlesung

Aufgabe 40 (4 Punkte) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} eine offene Menge und (K_{n})_{n∈ℕ} eine kompakte Ausschöpfung von Ω. Für jedes K ⊂ Ω kompakt sei D(K) = {f ∈ C^{∞}(ℝ^{n}) : supp f ⊂ K} versehen mit der Relativtopologie bzgl. C^{∞}(ℝ^{n}), und sei

D(Ω) = ⋃_{K⊂Ω kompakt} D(K)

versehen mit der induktiven lokalkonvexen Topologie τ der Inklusionen (i_{K})_{K⊂Ωkompakt} mit i_{K} : D(K) → D(Ω), f ↦ f. Zeigen Sie:

(a) τ ist die induktive lokalkonvexe Topologie bezüglich den Inklusionen (i_{K_{n}})_{n∈ℕ}.

(b) Die Abbildungen δ_{z} : D(Ω) → ℂ, f ↦ f(z) sind stetig für z ∈ Ω und D(Ω) ist Hausdorffsch.

(c) D(Ω) ist \underline{kein} Fréchetraum.

(Hinweis zu (c): Wenden Sie den Satz von Baire auf D(Ω) = ⋃_{n∈ℕ}D(K_{n}) an.)

Aufgabe 41 (4 Punkte) Zeigen Sie für den Raum D(Ω) aus Aufgabe 40:

(a) Für f ∈ C(Ω) ist T_{f} : D(Ω) → ℂ, φ ↦ ∫_{Ω} f(x)φ(x)dx stetig und linear.

(b) Die Abbildung C(Ω) → D(Ω)′, f ↦ T_{f} ist linear und injektiv.

(c) Ist f ∈ C^{1}(Ω), so gilt für i = 1, ..., n und ∂_{i} := \frac{∂}{∂x_{i}}:

T_{∂_{i}f}(φ) = −T_{f}(∂_{i}φ) (φ ∈ D(Ω)).

(Hinweis zu (b): Benutzen Sie, dass es zu jedem V ⊂ ℝ^{n} offen ein φ ∈ D(V) gibt mit

φ ≥ 0 und ∫_{V} φdx = 1.)

Aufgabe 42 (4 Punkte) Zeigen Sie für den Raum D(Ω) aus Aufgabe 40:

(a) Für f ∈ C^{∞}(Ω) ist M_{f} : D(Ω) → D(Ω), φ ↦ fφ stetig und linear.

(b) Für D = ∑_{|i|≤p} a_{i}D^{i}, D^{i} = \frac{∂^{i_{1}}}{∂x_{1}^{i_{1}}} ⋯ \frac{∂^{in}}{∂x_{n}^{in}}, a_{i} ∈ ℂ, i = (i_{1}, ..., i_{n}) ∈ ℕ^{n} (|i| = i_{1} + ⋯ i_{n})

ist die Abbildung

D : D(Ω) → D(Ω), f ↦ ∑_{|i|≤p} a_{i}D^{i}f,

stetig und linear.

(c) Für T ∈ D(Ω)′ und f ∈ C^{∞}(Ω) definiert man fT ∈ D(Ω)′ und ∂_{i}T ∈ D(Ω)′ durch fT (φ) = T (fφ) und ∂_{i}T (φ) = −T (∂_{i}φ) für φ ∈ D(Ω). Zeigen Sie:

∂_{i}(fT) = (∂_{i}f)T + f(∂_{i}T) (i = 1, ..., n).

Aufgabe 43 (4 Punkte) Sei E ein lokalkonvexer Hausdorffraum und sei B das System der abgeschlossenen, absolut konvexen und beschränkten Mengen in E. Sei E_{B} = ⋃_{n∈ℕ}nB, versehen mit dem Minkow-

skifunktional von B, i_{B} : E_{B} → E, x ↦ x die Inklusionsabbildung B ∈ B und τ_{ind} die induktive lokaklkonvexe Topologie bezüglich den Abbildungen i_{B} : E_{B} → E (B ∈ B). Zeigen Sie:

(a) id : (E, τ_{ind}) → E ist stetig.

(b) Jede beschränkte lineare Abbildung id : (E, τ_{ind}) → F (F lokalkonvexer topologischer Vektorraum) ist stetig.

(c) id : (E, τ_{ind}) → E ist genau dann ein topologischer Isomorphismus, wenn jede beschränkte lineare Abbildung T : E → F (F lokalkonvexer topologischer Vektorraum) stetig ist.