Grundlagen zum Proseminar

Auf diesem Blatt werden einige grundlegende Definitionen und einfache Eigenschaften metrischer und normierter Räume zusammengefasst, die für das Seminar/Proseminar über Abbildungsgrade im Sommersemester 2006 benötigt werden.

1. Metrische Räume

Sei X eine nichtleere Menge. Eine Abbildung d : X × X → [0, ∞) heißt Metrik auf X, falls gilt:

• Für x, y ∈ X ist d(x, y) = d(y, x).

• Für x, y ∈ X ist d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

• Für x, y, z ∈ X ist d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) (Dreiecksungleichung). Man nennt das Paar (X, d) dann einen metrischen Raum.

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die folgenden Begriffe werden als bekannt vorausgesetzt:

• offene und abgeschlossene Teilmengen von X,

• Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge von X,

• konvergente Folgen und Cauchy-Folgen in X,

• Vollständigkeit von X,

• stetige Funktionen von X in einen weiteren metrischen Raum (Y, d^{∗}).

Ist (X, d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ Ω ⊂ X, so ist

p(·, Ω) : X → ℝ, x ↦ p(x, Ω) = inf_{z∈Ω} d(x, z)

die Abstandsfunktion zu Ω. Es gilt

|p(x, Ω) − p(y, Ω)| ≤ d(x, y) (x, y ∈ X)

und daher ist p(·, Ω) stetig.

Eine Teilmenge Ω ⊂ X eines metrischen Raums (X, d) heißt kompakt, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

(i) Ist (U_{λ})_{λ∈Λ} eine offene Überdeckung von Ω, das heißt jedes U_{λ} (λ ∈ Λ) ist offen und es gilt Ω ⊂ ⋃_{λ∈Λ} U_{λ}, so gibt es endlich viele λ_{1}, …, λ_{r} ∈ Λ mit Ω ⊂ ⋃_{i=1}^{r} U_{λ_{i}}.

(ii) Jede Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in Ω hat eine konvergente Teilfolge mit Limes

in Ω. Eine Menge Ω ⊂ X heißt relativ kompakt, falls ihr Abschluss \overline{Ω} ⊂ X kompakt ist. Kompakte Mengen sind stets abgeschlossen und abgeschlossene Teilmengen von kompakten Mengen sind wieder kompakt. Ist (Y, d^{∗}) ein weiterer metrischer Raum, f : X → Y eine stetige Funktion und Ω ⊂ X kompakt, so ist auch f(Ω) ⊂ Y kompakt.

Ist (X, d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ Y ⊂ X, so ist d|_{Y ×Y} eine Metrik auf Y (Relativmetrik auf Y). Eine Teilmenge V ⊂ Y ist genau dann offen (abgeschlossen) in (Y, d|_{Y ×Y}), wenn es eine in (X, d) offene (abgeschlossene) Menge U ⊂ X mit V = U ∩ Y gibt.

Ein metrischer Raum (X, d) heißt zusammenhängend, wenn es keine offenen Mengen ∅ ≠ Ω_{1}, Ω_{2} ⊂ X mit X = Ω_{1} ∪^{•} Ω_{2} gibt. Eine Teilmenge Ω ⊂ X heißt zusammenhängend, wenn Ω mit der Relativmetrik d|_{Ω×Ω} zusammenhängend ist. Eine (Zusammenhangs-)komponente von Ω ist eine zusammenhängende Teilmenge von Ω, zu der es keine zusammenhängende echte Obermenge in Ω gibt. Ist K ⊂ Ω eine Komponente von Ω und ist Ω^{∗} ⊂ Ω eine zusammenhängende Menge mit Ω^{∗} ∩ K ≠ ∅, so gilt Ω^{∗} ⊂ K. Weiterhin nennt man ein Ω ⊂ X wegzusammenhängend, wenn es für alle x, x^{∗} ∈ Ω eine stetige Abbildung γ : [0, 1] → Ω mit γ(0) = x und γ(1) = x^{∗} gibt. Damit ist jede wegzusammenhängende Menge zusammenhängend. Ist Ω ⊂ X (weg-)zusammenhängend und f : X → Y eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum (Y, d^{∗}), so ist auch f(Ω) (weg-)zusammenhängend.

2. Normierte Räume

Es sei K = ℝ oder K = ℂ und X ein Vektorraum über K.

Eine Abbildung

∥ · ∥ : X → [0, ∞), x ↦ ∥x∥

heißt Norm auf X, falls gilt:

• Für x ∈ X und λ ∈ K ist ∥λ · x∥ = λ · ∥x∥.

• Für x ∈ X ist ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0.

• Für x, y ∈ X ist ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (Dreiecksungleichung). Man nennt das Paar (X, ∥ · ∥) dann einen normierten Raum. In diesem Fall wird durch d(x, y) = ∥x − y∥ (x, y ∈ X) eine Metrik auf X definiert. Ist X bezüglich dieser Metrik vollständig, so nennt man (X, ∥ · ∥) einen Banachraum (B-Raum).

Zwei Normen ∥ · ∥_{1} und ∥ · ∥_{1} auf X heißen äquivalent, falls es Konstanten c_{1}, c_{2} > 0 gibt, so dass

c_{1}∥x∥_{1} ≤ ∥x∥_{2} ≤ c_{2}∥x∥_{1}

für alle x ∈ X gilt. In diesem Fall haben (X, ∥ · ∥_{1}) und (X, ∥ · ∥_{2}) dieselben offenen (abgeschlossenen, kompakten) Mengen und daher auch dieselben topologischen Eigenschaften (Konvergenz, Stetigkeit, Vollständigkeit). Ist X = K^{n}, so sind alle Normen auf X äquivalent zur euklidischen Norm, die durch

∥x∥ = (∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2})^{\frac{1}{2}} (x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n})

gegeben ist.

Eine kompakte Teilmenge K ⊂ X in einem normierten Raum (X, ∥ · ∥) ist stets abgeschlossen und beschränkt (das heißt, es existiert ein C > 0 mit ∥x∥ ≤ C für alle x ∈ K). Ist X = K^{n} mit einer beliebigen Norm, so gilt auch die Umkehrung, das heißt jede Menge, die abgeschlossen und beschränkt ist, ist auch kompakt.

Eine Teilmenge C ⊂ X heißt konvex, wenn für x, y ∈ C und t ∈ [0, 1] auch tx + (1 − t)y ∈ C gilt. Bezüglich einer beliebigen Norm auf X sind alle Kugeln konvex und jede konvexe Menge ist wegzusammenhängend. Beliebige Durchschnitte von konvexen Mengen sind konvex. Ist C konvex und sind x_{1}, …, x_{p} ∈ C, α_{1}, …, α_{p} ∈ [0, 1] mit ∑_{i=1}^{p} α_{i} = 1, so ist auch ∑_{i=1}^{p} α_{i}x_{i} ∈ C. Ist Ω ⊂ X eine Teilmenge, so nennt man

konv(Ω) = {∑_{i=1}^{p} α_{i}x_{i}; p ∈ ℕ, x_{i} ∈ Ω, α_{i} ∈ [0, 1] mit ∑_{i=1}^{p} α_{i} = 1}

die konvexe Hülle von Ω. Damit ist konv(Ω) die kleinste konvexe Obermenge von Ω.