UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 10 Abgabetermin: Donnerstag, 05.07.2007

Aufgabe 40 (4 Punkte) Sei ⟨E, F ⟩ ein Dualsystem und seien τ_{1}, τ_{2} zulässige Topologien auf E bezüglich ⟨E, F ⟩ mit τ_{1} ⊂ τ_{2}. Zeigen Sie: Ist (E, τ_{1}) (folgen-, quasi-)vollständig, so ist (E, τ_{2}) vollständig im selben Sinne.

Aufgabe 41 (4 Punkte) Sei Ω ⊂ ℝ^{N} offen. Für z ∈ Ω sei δ_{z} ∈ D(Ω)′ definiert durch δ_{z}(φ) = φ(z) (z ∈ D(Ω)). Sei τ eine zulässige Topologie auf D(Ω)′ bezüglich des Dualsystems ⟨D(Ω), D(Ω)′⟩. Zeigen Sie, dass die lineare Hülle LH{δ_{z}; z ∈ Ω} dicht in (D(Ω)′, τ) liegt.

Aufgabe 42 (4 Punkte) Seien E, F lokalkonvexe Hausdorffräume. Auf L(E, F) betrachte man die γ-Topologien τ_{w} und τ_{c}, die durch γ_{w} = {S ⊂ E; S endlich} und γ_{c} = {S ⊂ E; S kompakt} definiert sind. Zeigen Sie, dass ein gleichstetiges Netz (A_{i})_{i∈I} in L(E, F) genau dann bezüglich τ_{w} konvergiert, wenn es bezüglich τ_{c} konvergiert.

Aufgabe 43 (2+2=4 Punkte) Für k ∈ ℕ sei f_{k} ∈ C^{∞}(ℝ) definiert durch f_{k}(x) = cos(x) (x ∈ ℝ).

(a) Zeigen Sie mit den Bezeichnungen aus Aufgabe 21, dass

T_{f_{k}} ⟶^{k→∞} 0 bezüglich σ(D(Ω)′, D(Ω)).

(b) Gilt auch

T_{f_{k}} ⟶^{k→∞} 0 bezüglich τ_{b}(D(Ω)′, D(Ω)) ?

Hinweis: Benutzen Sie partielle Integration oder die Stetigkeit des Ableitungsoperators \frac{d}{dx} : D(Ω)′ → D(Ω)′.

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http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre