UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 11 Abgabetermin: Donnerstag, 12.07.2007

Aufgabe 44 (4 Punkte) Sei T : E → F eine stetig lineare Abbildung zwischen lokalkonvexen Hausdorffräumen und T′ : F′ → E′, T′v = v ∘ T die adjungierte Abbildung. Zeigen Sie, dass gilt:

(ker T)^{⊥} = \overline{(Im T′)}^{σ(E′,E)}, ^{⊥}(ker T′) = \overline{(Im T)}^{σ(F,F′)}.

Aufgabe 45 (4 Punkte) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und sei D(Ω)′ versehen mit der Topologie τ_{b} (D(Ω)′, D(Ω)). Zeigen Sie, dass die Abbildung

j : D(Ω) → D(Ω)′, f ↦ T_{f}

dichtes Bild hat.

Aufgabe 46 (2+2+2+2^{∗}=6+2^{∗} Punkte) Für einen k-Vektorraum X bezeichne X^{∗} = {u; u : X → k linear} den algebraischen Dualraum. Zeigen Sie:

(a) X^{∗} ist σ(X^{∗}, X)-vollständig.

(b) Für einen lokalkonvexen Hausdorffraum E ist die kanonische Abbildung

j : (E, σ(E, E′)) ⟶ ((E′)^{∗}, σ((E′)^{∗}, E′)) , j(x)(x′) = ⟨x, x′⟩

ein topologischer Monomorphismus mit dichtem Bild.

(c) Ein lokalkonvexer Hausdorffraum E ist genau dann σ(E, E′)-vollständig, wenn die Abbildung j aus Teil (b) surjektiv ist.

(d)^{∗} Ein normierter Raum (E, ∥·∥) ist genau dann σ(E, E′)-vollständig, wenn dim E < ∞ ist.

Aufgabe 47 (4 Punkte) Sei (E, τ) ein Semi-Montelraum, das heißt ein lokalkonvexer Hausdorffraum, in dem jede beschränkte Menge relativ kompakt ist. Zeigen Sie für eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in E und x ∈ E

x_{n} ⟶^{n} x bezüglich σ(E, E′) ⟹ x_{n} ⟶^{n} x bezüglich τ.

Hinweis: Auf abgeschlossenen beschränkten Mengen B ⊂ E stimmen σ(E, E′) und τ überein. Benutzen Sie hierzu, dass jede stetige Bijektion zwischen kompakten Hausdorffräumen offen ist.

Eine lineare Abbildung T : E → F zwischen lokalkonvexen topologischen Vektorräumen heißt kompakt, falls eine Nullumgebung V ⊂ E existiert, für die T V ⊂ F relativ kompakt ist.

Aufgabe 48^{∗} (4^{∗}Punkte) Sei E ein vollständiger lokalkonvexer Hausdorffraum, so dass alle Abbildungen

Φ_{U} : E → E_{(U)}^{∼}, x ↦ x + ker ϱ_{U} (U ∈ U_{E}(0))

kompakt sind (zum Beispiel ein vollständiger nuklearer Raum). Zeigen Sie, dass jede beschränkte Menge B ⊂ E relativ kompakt in E ist.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

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