UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 3 Abgabetermin: Donnerstag, 17.05.2007

Aufgabe 11 (2+1+1=4 Punkte) Seien E, F lokalkonvexe topologische Vektorräume. Für i ∈ I sei A_{i} : E → F eine stetige lineare Abbildung.

(a) Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) Die Familie (A_{i})_{i∈I} ist punktweise beschränkt, das heißt für jedes x ∈ E ist die Menge {A_{i}x; i ∈ I} beschränkt in F.

(ii) Für jede Nullumgebung ist die Menge ⋂_{i∈I} A_{i}^{−1}(V) absorbierend in E.

(b) Sei nun die Topologie auf E von einer vollständigen Metrik erzeugt. Die Familie (A_{i})_{i∈I} sei punktweise beschränkt. Zeigen Sie: Für jede abgeschlossene absolutkonvexe Nullumgebung V ⊂ F ist T = ⋂_{i∈I} A_{i}^{−1}(V) eine Nullumgebung in E. Hinweis: Es gilt E = ⋃_{n∈ℕ} nT.

(c) Welcher Satz aus der FA I ist damit bewiesen?

Aufgabe 12 (2+2+2=6 Punkte) Sei (E, τ) ein Fréchetraum und d eine translationsinvariante Metrik auf E, die die Topologie τ erzeugt. Sei F ⊂ E ein abgeschlossener Teilraum und τ_{q} die Quotiententopologie von τ auf E/F. Zeigen Sie:

(a) Durch

ϱ ([x], [y]) = inf{d(x − y, z); z ∈ F } (x, y ∈ E)

wird eine translationsinvariante Metrik ϱ auf E/F definiert.

(b) Die Quotientenabbildung q : (E, d) → (E/F, ϱ) ist stetig und offen. Schließen Sie, dass die Topologie τ_{q} von ϱ erzeugt wird. Hinweis: Es gilt q ({x ∈ E; d(x, 0) < ε}) = {u ∈ E/F; ϱ(u, 0) < ε}.

(c) Der Raum (E/F, τ_{q}) ist ein Fréchetraum. Hinweis: Vergleichen Sie mit dem entsprechenden Beweis im Fall von Banachräumen.

Aufgabe 13 (2+2=4 Punkte) Sei T : E → F eine lineare Abbildung zwischen lokalkonvexen Hausdorffräumen, N ⊂ E ein linearer Teilraum mit T |_{N} = 0. Wir betrachten

T̂ : E/N → F; T̂[x] = T x.

Zeigen Sie:

(a) T ist stetig (offen) ⟺ T̂ ist stetig (offen).

(b) Ist dim F < ∞, so gilt: T ist stetig ⟺ ker T ist abgeschlossen.

Aufgabe 14 (4 Punkte) Sei E ein k-Vektorraum und u : E → k eine lineare Abbildung. Seien p_{1}, …, p_{n} Halbnormen auf E mit

|u(x)| ≤ ∑_{i=1}^{n} p_{i}(x) für alle x ∈ E.

Zeigen Sie: Es existieren lineare Abbildungen u_{1}, …, u_{n} : E → k mit u = ∑_{i=1}^{n} u_{i} und |u_{i}(x)| ≤ p_{i}(x) für alle x ∈ E und alle i = 1, …, n. Hinweis: Betrachten Sie die Halbnorm p : E^{n} → ℝ; (x_{1}, …, x_{n}) ↦ ∑_{i=1}^{n} p_{i}(x_{i}) und identifizieren Sie E mit einem geeigneten Teilraum von E^{n}.

Aufgabe 15^{∗} (4^{∗} Punkte) Sei (E, ∥ · ∥) ein normierter Raum. Eine Teilmenge M ⊂ E_{1} = {x ∈ E; ∥x∥ ≤ 1} heißt normierend für E′, falls

∥u∥ = sup_{x∈M} |u(x)| für alle u ∈ E′

gilt. Zeigen Sie: M ist normierend für E′ ⟺ \overline{Γ(M)} = E_{1}.

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http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre