UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 4 Abgabetermin: Donnerstag, 24.05.2007

Sei E ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Für M ⊂ E sei M^{∘} = {x′ ∈ E′; |x′(x)| ≤ 1 für alle x ∈ M} ⊂ E′. Für N ⊂ E′ sei ^{∘}N = {x ∈ E; |x′(x)| ≤ 1 für alle x′ ∈ N} ⊂ E.

Aufgabe 16 (4 Punkte) Sei E ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und sei ∅ ≠ M ⊂ E. Zeigen Sie, dass

∘(M^{∘}) = \overline{Γ(M)}.

Sei E ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Eine Familie (u_{i})_{i∈I} von Linearformen E → k heißt gleichstetig, falls eine Nullumgebung U ⊂ E existiert mit u_{i} ∈ U^{∘} für alle i ∈ I.

Aufgabe 17 (2+2=4 Punkte) Sei E ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Zeigen Sie:

(a) Eine Familie (u_{i})_{i∈I} von Linearformen auf E ist genau dann gleichstetig, wenn es eine stetige Halbnorm p auf E gibt, so dass

|u_{i}(x)| ≤ p(x) für alle x ∈ E und alle i ∈ I.

(b) Sei F ⊂ E ein linearer Teilraum und (u_{i})_{i∈I} eine gleichstetige Familie von Linearformen auf F. Dann gibt es eine gleichstetige Familie (v_{i})_{i∈I} von Linearformen auf E mit u_{i} = v_{i}|_{F} für alle i ∈ I.

Aufgabe 18 (2+2=4 Punkte) Sei E ein topologischer Vektorraum und seien A ⊂ E abgeschlossen, B ⊂ E kompakt mit A ∩ B = ∅. Zeigen Sie:

(a) Es gibt eine Nullumgebung V in E mit (B + V) ∩ A = ∅.

(b) Ist E lokalkonvex und sind A, B zusätzlich konvex, so existieren u ∈ E′, α_{1}, α_{2} ∈ ℝ

mit

Re u(x) < α_{1} < α_{2} < Re u(y) (x ∈ A, y ∈ B) .

Hinweis: Benutzen Sie Teil (a) und den Trennungssatz aus der Vorlesung.

Aufgabe 19 (2+2+2=6 Punkte) Sei X ein Banachraum über ℂ und L(X) = {T; T : X → X stetig, linear}. Sei τ_{WOT} die durch die Halbnormen

∥T ∥_{x,u} = |⟨T x, u⟩| (x ∈ X, u ∈ X′)

und τ_{SOT} die durch die Halbnormen

∥T ∥_{x} = ∥T x∥ (x ∈ X)

erzeugte lokalkonvexe Topologie auf L(X). Zeigen Sie, dass (L(X), τ_{WOT}) und (L(X), τ_{SOT}) dieselben abgeschlossenen, konvexen Mengen besitzen. Beweisen Sie dazu mit Hilfe von Aufgabe 14:

(a) Ist λ : (L(X), τ_{SOT}) → ℂ stetig linear, so gibt es Linearformen λ_{1}, …, λ_{n} : L(X) → ℂ

und Vektoren x_{1}, …, x_{n} ∈ X \{0} mit λ = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} und λ_{i}(T) ≤ ∥T x_{i}∥ für alle T ∈ L(X)

und i = 1, …, n.

(b) Für λ_{i} und x_{i} aus (a) gibt es eine stetige Linearform u_{i} ∈ X′ mit

u_{i}(T x_{i}) = λ_{i}(T) (T ∈ L(X)) .

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre