UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 5 Abgabetermin: Donnerstag, 31.05.2007

Aufgabe 20 (1+1+2=4 Punkte) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} eine offene Menge und (K_{n})_{n∈ℕ} eine kompakte Ausschöpfung von Ω. Für jede kompakte Menge K ⊂ Ω sei

D(K) = {f ∈ C^{∞}(ℝ^{n}); supp f ⊂ K}

versehen mit der Relativtopologie bezüglich C^{∞}(ℝ^{n}). Weiter sei

D(Ω) = ⋃ (D(K); K ⊂ Ω kompakt)

versehen mit der induktiven lokalkonvexen Topologie τ der Inklusionen

i_{K} : D(K) → D(Ω), f ↦ f (K ⊂ Ω kompakt).

Zeigen Sie:

(a) τ ist die induktive lokalkonvexe Topologie bezüglich den Inklusionen (i_{K_{n}})_{n∈ℕ}.

(b) Die Abbildungen

δ_{z} : D(Ω) → ℂ, f ↦ f(z) (z ∈ Ω)

sind stetig und D(Ω) ist Hausdorffsch.

(c) D(Ω) ist kein Fréchetraum.

Hinweis: Wenden Sie den Satz von Baire auf D(Ω) = ⋃_{n∈ℕ} D(K_{n}) an.

Aufgabe 21 (1+1,5+1,5=4 Punkte) Zeigen Sie für den Raum D(Ω) aus Aufgabe 20:

(a) Für f ∈ C(Ω) ist die Abbildung

T_{f} : D(Ω) → ℂ, φ ↦ ∫_{Ω} f(x)φ(x) dx

linear und stetig.

(b) Die Abbildung C(Ω) → D(Ω)′, f ↦ T_{f} ist linear und injektiv. Hinweis: Benutzen Sie, dass es zu jeder offenen Teilmenge V ⊂ ℝ^{n} ein φ ∈ D(V) gibt mit φ ≥ 0 und ∫_{V} φ dx = 1.

(c) Ist f ∈ C^{1}(Ω), so gilt für i = 1, …, n und ∂_{i} = \frac{∂}{∂x_{i}}

T_{∂_{i}f}(φ) = −T_{f}(∂_{i}φ) für alle φ ∈ D(Ω).

Aufgabe 22 (1,5+1,5+1=4 Punkte) Zeigen Sie für den Raum D(Ω) aus Aufgabe 20:

(a) Für f ∈ C^{∞}(Ω) ist M_{f} : D(Ω) → D(Ω), φ ↦ f · φ linear und stetig.

(b) Für D = ∑_{i∈ℕ^{n}, |i|≤p}a_{i}D^{i} mit p ∈ ℕ, D^{i} = (\frac{∂}{∂x_{1}} )^{i_{1}} … (\frac{∂}{∂x_{n}} )^{i_{n}} und a_{i} ∈ ℂ ist die

Abbildung

D : D(Ω) → D(Ω), φ ↦ ∑_{|i|≤p} a_{i}D^{i}φ

linear und stetig.

(c) Für T ∈ D(Ω)′, f ∈ C^{∞}(Ω) und i = 1, …, n definiert man fT ∈ D(Ω)′ und ∂_{i}T ∈ D(Ω)′ durch

fT (φ) = T (fφ) und ∂_{i}T (φ) = −T (∂_{i}φ) (φ ∈ D(Ω)).

Zeigen Sie:

∂_{i}(fT) = (∂_{i}f)T + f(∂_{i}T).

Aufgabe 23 (2+2=4 Punkte)

(a) Seien ((E_{α})_{α∈A}, (ϕ_{αβ})_{α≥β}) und ((F_{α})_{α∈A}, (π_{αβ})_{α≥β}) projektive Spektren und seien T_{α} : E_{α} → F_{α} für α ∈ A stetig linear mit

π_{αβ} ∘ T_{α} = T_{β} ∘ ϕ_{αβ} für alle α ≥ β.

Zeigen Sie, dass eine eindeutig bestimmte stetig lineare Abbildung T : proj_{α}E_{α} → proj_{α}F_{α} existiert mit

π_{β} ∘ T = T_{β} ∘ ϕ_{β} für alle β ∈ A.

Hierbei seien ϕ_{β} : proj_{α}E_{α} → E_{β} und π_{β} : proj_{α}F_{α} → F_{β} für β ∈ A die kanonischen Projektionen.

(b) Formulieren und beweisen Sie ein entsprechendes Resultat für induktive Spektren.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre