UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 6 Abgabetermin: Freitag, 08.06.2007

Aufgabe 24 (4 Punkte)

Sei E ein Banachraum, B_{E} die abgeschlossene Einheitskugel in E und j : E → E′′ die kanonische Isometrie. Zeigen Sie:

(a) j(B_{E}) ist σ(E′′, E′)-dicht in B_{E′′}.

(b) E ist schwach quasivollständig genau dann, wenn E reflexiv ist.

Hierbei bezeichnet σ(E′′, E′) die schwach-∗-Topologie von E′′ als Dualraum von E′.

Aufgabe 25 (1+1+2+2=6 Punkte)

Sei E ein Hausdorffscher lokalkonvexer topologischer Vektorraum und sei B das System der abgeschlossenen, absolut konvexen und beschränkten Mengen in E. Sei E_{B} = ⋃_{n∈ℕ} nB, B ∈ B, versehen mit dem Minkowskifunktional von B. Zeigen Sie:

(a) E = ⋃_{B∈B} E_{B}.

(b) Bezeichnet ind_{B∈B}E_{B} den Raum E, versehen mit der induktiven lokalkonvexen Topologie der Inklusionsabbildungen i_{B} : E_{B} ↪ E (B ∈ B), so ist id : ind_{B∈B}E_{B} → E stetig.

(c) Jede beschränkte lineare Abbildung T : ind_{B∈B}E_{B} → F in einen lokalkonvexen topologischen Vektorraum F ist stetig.

(d) Die identische Abbildung id : ind_{B∈B}E_{B} → E ist genau dann ein topologischer Isomorphismus, wenn jede beschränkte lineare Abbildung T : E → F, F lokalkonvexer topologischer Vektorraum, stetig ist.

Aufgabe 26 (2+2=4 Punkte)

(a) Zeigen Sie: Es gibt keine stetige Funktion f : ℝ → ℂ mit

∫_{ℝ} f(t)φ(t) dt = φ(0)

für alle φ ∈ D(ℝ) (hierbei bezeichne D(ℝ) den in Aufgabe 20 definierten Raum).

(b) Berechnen Sie die distributionelle Ableitung (vgl. Aufgabe 22) der lokal integrierbaren Funktion

H : ℝ → ℝ , H(x) = \{ \begin{matrix}0 & ; & x < 0 \\ 1 & ; & x ≥ 0 \end{matrix}

(eine Funktion auf ℝ heißt lokal integrierbar, wenn sie über jeder kompakten Teilmenge von ℝ integrierbar ist).

Aufgabe 27 (4 Punkte)

Sei E der induktive Limes eines abzählbaren strikten Einbettungsspektrums (E_{n})_{n∈ℕ} aus vollständigen lokalkonvexen Hausdorffräumen E_{n} mit E_{n} ≠ E für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie: E ist nicht metrisierbar.

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