UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 7 Abgabetermin: Donnerstag, 13.06.2007

Aufgabe 28 (4 Punkte) Sei E ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Zeigen Sie: Ist E tonneliert, so ist auch die Vervollständigung Ê tonneliert. Gilt auch die Umkehrung?

Aufgabe 29 (3+2=5 Punkte) Seien E, F, G lokalkonvexe topologische Vektorräume und B : E × F → G eine bilineare Abbildung. Zeigen Sie:

(a) B ist genau dann stetig, wenn für jede stetige Halbnorm q auf G stetige Halbnormen p_{E} auf E und p_{F} auf F existieren, so dass

q (B(x, y)) ≤ p_{E}(x) · p_{F} (y)

für alle x ∈ E und y ∈ F gilt.

(b) Sind E.F Frécheträume und sind alle Abbildungen B(x, ·) (x ∈ E) und B(·, y) (y ∈ F) stetig, so ist B stetig. Hinweis: Es genügt die Folgenstetigkeit von B zu zeigen. Betrachten Sie für eine Nullfolge (y_{n})_{n∈ℕ} in F die Menge {B(·, y_{n}); n ∈ ℕ} ⊂ L(E, G).

Aufgabe 30 (4 Punkte) Sei E ein Banachraum. Zeigen Sie:

(E, σ(E, E′)) ist tonneliert ⇔ dim E < ∞.

Hinweis: Die Menge B_{E′} ist nicht σ(E, E′)-gleichstetig, wenn dim E = ∞.

Aufgabe 31 (4 Punkte) Seien E, F lokalkonvexe Räume, E tonneliert und (T_{n})_{n∈ℕ} eine Folge stetig linearer Operatoren T_{n} : E → F. Für alle x ∈ E existiere lim_{n→∞} T_{n}x ∈ F. Zeigen Sie, dass der Operator

T : E → F, x ↦ lim_{n→∞} T_{n}x

stetig linear ist.

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http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre