UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 8 Abgabetermin: Donnerstag, 20.06.2007

Aufgabe 32 (4 Punkte) Sei E = {f ∈ C[0, 1]; supp f ⊂ (0, 1]} versehen mit der Supremumsnorm auf [0, 1]. Zeigen Sie, dass E bornologisch, aber nicht tonneliert ist. Hinweis: Die Menge \{f ∈ E; |f(\frac{1}{n})| ≤ \frac{1}{n} für alle n ∈ ℕ^{∗}\} ⊂ E ist eine Tonne.

Aufgabe 33 (4 Punkte) Sei E ein bornologischer oder tonnelierter lokalkonvexer Raum und M ⊂ E′ eine Menge stetiger Linearformen auf E, so dass gilt:

Ist B ⊂ E beschränkt, so ist auch {f(x); f ∈ M, x ∈ B} ⊂ k beschränkt.

Zeigen Sie: Die Menge M ist gleichstetig.

Aufgabe 34 (2+2=4 Punkte) Seien E, F lokalkonvexe Hausdorffräume. Wir schreiben L_{s}(E, F) für den Raum L(E, F) versehen mit der durch das Halbnormensytem

∥T ∥_{x,p} = p(T x) (x ∈ E, p stetige Halbnorm auf F)

erzeugten Topologie und L_{b}(E, F) für L(E, F) versehen mit der durch das Halbnormensytem

∥T ∥_{B,p} = sup_{x∈B} p(T x) (B ⊂ E beschränkt, p stetige Halbnorm auf F)

erzeugten Topologie. Sei F vollständig. Zeigen Sie:

(a) E tonneliert ⇒ L_{s}(E, F) folgenvollständig.

(b) E bornologisch ⇒ L_{b}(E, F) vollständig.

Aufgabe 35 (4 Punkte) Sei (E_{i})_{i∈I} eine Familie lokalkonvexer topologischer Vektorräume. Zeigen Sie:

(∏_{i∈I} E_{i})′ ≅ ⨁_{i∈I} E′_{i}

als Vektorräume.

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