UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2007

Blatt 9 Abgabetermin: Donnerstag, 28.06.2007

Aufgabe 36 (4 Punkte) Sei ⟨E, F ⟩ ein Dualsystem. Eine lineare Abbildung T : E → E heißt konjugierbar, falls eine lineare Abbildung T′ : F → F existiert mit

⟨T x, y⟩ = ⟨x, T′y⟩ (x ∈ E, y ∈ F).

Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung T : E → E genau dann konjugierbar ist, wenn sie schwach stetig ist, das heißt T : (E, σ(E, F)) → (E, σ(E, F)) stetig ist.

Aufgabe 37 (4 Punkte) Sei ⟨E, F ⟩ ein Dualsystem und F_{0} ⊊ F ein echter linearer Teilraum von F, der punktetrennend für E ist, das heißt zu jedem x ∈ E \ {0} existiert ein u ∈ F_{0} mit ⟨x, u⟩ ≠ 0. Zeigen Sie, dass σ(E, F_{0}) echt gröber ist als σ(E, F).

Aufgabe 38 (1+3=4 Punkte) Seien E, F lokalkonvexe Hausdorffräume und T : E → F eine stetig lineare Abbildung. Zeigen Sie:

(a) T : (E, σ(E, E′)) → (F, σ(F, F′)) ist stetig.

(b) Die Abbildung

T′ : F′ → E′, T′(u) = u ∘ T

ist stetig linear, wenn man F′ und E′ jeweils beide mit der schwachen Topologie (Mackey-Topologie, starken Topologie) in den Dualsytemen ⟨F, F′⟩ und ⟨E, E′⟩ versieht.

Aufgabe 39 (1+3+2=6 Punkte) Sei Ω ⊂ ℝ^{N} offen, p ∈ ℕ und a_{α} ∈ C^{∞}(Ω) für alle α ∈ ℕ^{N} mit |α| ≤ p. Zeigen Sie:

(a) Der Operator

L : C^{∞}(Ω) → C^{∞}(Ω), f ↦ ∑_{|α|≤p} a_{α} · D^{α}f

und der entsprechende Operator L : D(Ω) → D(Ω) sind linear und stetig. Hinweis: Aufgabe 22

(b) Es gibt einen eindeutig bestimmten stetig linearen Operator L^{∗} : D(Ω) → D(Ω) mit

∫_{Ω} fL^{∗}(φ)dx = ∫_{Ω} L(f)φdx (φ ∈ D(Ω), f ∈ C^{∞}(Ω)).

Hinweis: Aufgabe 21

(c) Für f ∈ C^{∞}(Ω) sei T_{f} ∈ D(Ω)′ wie in Aufgabe 21 definiert. Wir haben dort bereits gezeigt, dass die Abbildung

j : C^{∞}(Ω) → D(Ω)′, f ↦ T_{f}

linear und injektiv ist. Finden Sie einen stetig linearen Operator L̃ : D(Ω)′ → D(Ω)′, der L : C^{∞}(Ω) → C^{∞}(Ω) fortsetzt in dem Sinne, dass

j ∘ L = L̃ ∘ j

gilt. Hierbei sei D(Ω)′ mit der Topologie τ_{b}(D(Ω)′, D(Ω)) versehen.

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