UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Komplexe Analysis

Sommersemester 2011

Blatt 1 Abgabetermin: Dienstag, 26.04.2011

Aufgabe 1 (4 Punkte)

Sei K ⊂ ℂ^{n} eine kompakte, konvexe Menge. Zeigen Sie, dass K polynom-konvex ist.

(Hinweis: Beweis von Korollar 5.7.)

Für ein Kompaktum K ⊂ ℂ^{n} bezeichne P (K) die Algebra aller stetigen Funktionen f : K → ℂ, für die es eine

Folge (p_{k})_{k∈ℕ} von Polynomen p_{k} ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{n}] gibt mit ∥f − p_{k}∥_{∞,K} ⟶^{k→∞} 0.

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Sei K ⊂ ℝ^{n} kompakt. Zeigen Sie, dass K als Teilmenge von ℂ^{n} polynom-konvex ist. (Hinweis:

Zeigen Sie zunächst, dass K̃ ⊂ ℝ^{n} ist. Beweisen Sie dann, dass K̃ = K ist. Sie dürfen benutzen, dass P (L) = C(L) für jedes Kompaktum L ⊂ ℝ^{n} ist (Satz von Stone-Weierstraß).)

Eine offene Menge Ω ⊂ ℂ^{n} heißt polynomieller Polyeder, falls Ω die Gestalt Ω = {z ∈ ℂ^{n}; ∥p(z)∥_{∞} < 1} mit einem endlichen Tupel p = (p_{1}, …, p_{m}) ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{n}]^{m} hat.

Aufgabe 3 (4 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℂ^{n} offen. Zeigen Sie, dass Ω Rungesch ist genau dann, wenn es eine Folge polynomieller Polyeder (Ω_{k})_{k∈ℕ} mit Ω_{k} ⊂ Ω_{k+1} (k ∈ ℕ) gibt so, dass

Ω = ⋃_{k∈ℕ} Ω_{k}.

Aufgabe 4 (4 Punkte)

Sei K ⊂ ℂ^{n} kompakt. Zeigen Sie:

K polynom-konvex ⟹ ℂ^{n} \ K zusammenhängend.

Gilt auch die umgekehrte Inklusion? Beweis oder Gegenbeispiel!

Aufgabe 5^{∗} (4^{∗} Punkte)

Sei K ⊂ ℂ kompakt. Zeigen Sie, dass

K̃ = K ∪ ⋃(C; C beschränkte Komponente von ℂ \ K).

(Hinweis: Sei w ein Punkt in der unbeschränkten Komponente von ℂ \ K. Benutzen Sie zum Beweis von w ∉ K̃ den Satz von Runge (Korollar 11.1.4 in ”Lorenz, Funktionentheorie”).)

(bitte wenden)

Hinweis:

Bitte geben Sie Ihre Lösungen zu den Übungsblättern vor der Vorlesung ab. Einen Schein erhalten Sie, wenn Sie mindestens 50% der Gesamtpunkte aller Übungen erzielen, regelmäßig an den Übungen teilnehmen und am Ende des Semesters eine mündliche Prüfung bestehen. Die mit ^{∗} versehenen Aufgaben gehen dabei nicht in die Berechnung der Gesamtpunkte ein. Die Übungen finden 14-tägig statt. Bei Fragen oder Problemen bezüglich der Übungen wenden Sie sich bitte an Michael Wernet (Zimmer 4.17, Email: wernet@math.uni-sb.de).

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre