UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Komplexe Analysis

Sommersemester 2011

Blatt 2 Abgabetermin: Dienstag, 10.05.2011

Aufgabe 6 (2+2=4 Punkte)

Sei K ⊂ ℂ kompakt und u : K → [−∞, ∞) nach oben halbstetig. Zeigen Sie:

(a) u ist nach oben beschränkt und nimmt sein Supremum an auf K.

(b) Es existiert eine punktweise monoton fallende Folge (u_{k})_{k∈ℕ} stetiger Funktionen u_{k} : K → ℝ

mit

lim_{k→∞} u_{k}(x) = u(x) (x ∈ K).

(Hinweis: Betrachten Sie die Funktionen u_{k}(x) = sup_{y∈K}(u(y) − k|x − y|).)

Aufgabe 7 (4 Punkte)

Sei u : Ω → ℝ harmonisch auf einer offenen Menge Ω ⊂ ℂ. Zeigen Sie: Für a ∈ Ω und r > 0 mit \overline{D}_{r}(a) ⊂ Ω gilt

u(a) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + re^{it})dt.

(Hinweis: Cauchysche Integralformel.)

Aufgabe 8 (4 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℂ offen, u : Ω → [−∞, ∞) subharmonisch und a ∈ Ω, r > 0 mit u(a) > −∞ und \overline{D}_{r}(a) ⊂ Ω. Zeigen Sie die Ungleichung

u(a) ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + re^{it})dt.

(Hinweis: Benutzen Sie die Aufgaben 6 (b) und 7 sowie den folgenden Satz (Sie müssen diesen Satz nicht beweisen). Satz (10.2.3 in [Lorenz]): Seien a ∈ ℂ, r > 0. Zu jeder stetigen Funktion h : ∂D_{r}(a) → ℝ existiert eine stetige Funktion H : \overline{D}_{r}(a) → ℝ so, dass h = H|_{∂D_{r}(a)} gilt und H|_{D_{r}(a)} harmonisch ist.)

(bitte wenden)

Aufgabe 9 (3+3=6 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℂ offen und u : Ω → [−∞, ∞) nach oben halbstetig. Zu jedem a ∈ Ω gebe es ein r(a) > 0 mit \overline{D}_{r(a)}(a) ⊂ Ω und

u(a) ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + re^{it})dt (0 < r < r(a)).

Hierbei sei das Integral als −∞ definiert, falls der Integrand nicht integrabel ist. Zeigen Sie für K ⊂ Ω kompakt und h : K → ℝ stetig mit u ≤ h auf ∂K und h|_{Int(K)} harmonisch die folgenden Aussagen:

(a) Die Menge

M := {z ∈ K; (u − h)(z) = sup_{w∈K}(u − h)(w)}

ist kompakt und nicht leer.

(b) Wäre u − h > 0 auf M, so wäre M ⊂ Int(K) und zu jedem b ∈ ∂M gäbe es ein r > 0 mit

(u − h)(b) ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(u − h)(b + re^{it})dt < (u − h)(b).

Folgern Sie, dass u subharmonisch ist.

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre