UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Komplexe Analysis

Sommersemester 2011

Blatt 3 Abgabetermin: Dienstag, 24.05.2011

Aufgabe 10 (3+1=4 Punkte)

Sei u : G → [−∞, ∞) subharmonisch auf einem Gebiet G ⊂ ℂ und sei a ∈ G mit u(z) ≤ u(a) für alle z ∈ G.

(a) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 8, dass die Menge {z ∈ G; u(z) = u(a)} offen ist.

(b) Folgern Sie, dass u konstant ist.

Aufgabe 11 (2+2+1=5 Punkte)

Sei u : G → [−∞, ∞) subharmonisch auf einem Gebiet G ⊂ ℂ mit u ≢ −∞.

(a) Seien a ∈ G mit u(a) > −∞ und R > 0 mit \overline{D}_{R}(a) ⊂ G. Zeigen Sie, dass u|_{\overline{D}_{R}(a)} integrabel ist. Wählen Sie dazu stetige Funktionen h_{k} : \overline{D}_{R}(a) → ℝ mit h_{k} ↓ u|_{\overline{D}_{R}(a)} und berechnen Sie

∫_{\overline{D}_{R}(a)} h_{k}dz

mit Hilfe von Polarkoordinaten.

(b) Zeigen Sie, dass die Menge

M := {z ∈ G; es existiert eine Umgebung U von z mit u|_{U} ∈ L^{1}(U)}

abgeschlossen in G ist.

(Hinweis: Sonst gäbe es eine Folge (a_{k})_{k∈ℕ} in M, so dass u(a_{k}) > −∞ für alle k ∈ ℕ und lim_{k→∞} a_{k} ∈ G \ M gilt.)

(c) Schließen Sie, dass u lokal integrabel ist.

Aufgabe 12 (4 Punkte)

Sei U ⊂ ℂ^{n} offen und sei f ∈ O(U) analytisch mit f(z) = 0 für alle z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ U mit z_{1} = 0. Zeigen Sie, dass eine analytische Funktion g ∈ O(U) existiert mit f(z) = z_{1}g(z) für alle z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ U.

(Hinweis: Riemannscher Hebbarkeitssatz)

(bitte wenden)

Aufgabe 13 (4 Punkte)

Sei U ⊂ ℂ^{n} offen, so dass jedes Cousin-I-Datum über U eine Lösung hat. Zeigen Sie, dass H^{1}(C^{∞}(U), \overline{∂}) = 0 ist.

(Hinweis: Offene Kugeln B ⊂ ℂ^{n} sind Rungesch.)

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre