UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Komplexe Analysis

Sommersemester 2011

Blatt 4 Abgabetermin: Dienstag, 07.06.2011

Aufgabe 14 (4 Punkte)

Seien ∅ ≠ K ⊂ ℂ^{n} kompakt, ∅ ≠ A ⊂ ℂ^{n} abgeschlossen und (A_{j})_{j∈ℕ} eine absteigende Folge abgeschlossener Mengen A_{j} ⊂ ℂ^{n} mit A = ⋂_{j∈ℕ} A_{j}. Zeigen Sie, dass

lim_{j→∞} dist(K, A_{j}) = dist(K, A).

Aufgabe 15 (4 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℂ^{n} offen. Zeigen Sie, dass Ω genau dann ein Holomorphiebereich ist, wenn es eine Folge analytischer Polyeder Ω_{k} (k ∈ ℕ) gibt mit Ω_{k} ⊂ Ω_{k+1} für alle k ∈ ℕ und Ω = ⋃_{k∈ℕ} Ω_{k}.

Aufgabe 16 (2+1+2=5 Punkte)

Seien U ⊂ ℂ^{n} offen, g, h ∈ O(U) mit g|_{Z(h)} ≡ 0 und (∂_{ν}h(z))_{1≤ν≤n} ≠ 0 für alle z ∈ Z(h). Man zeige:

(a) Zu a ∈ Z(h) existiert eine biholomorphe Abbildung f : V → W von einer offenen Umgebung V ⊂ U von a auf einen offenen Polyzylinder W ⊂ ℂ^{n} um 0 mit h ∘ f^{−1}(z) = z_{n} für alle z ∈ W.

(Hinweis: Beweis von Satz 3.2.)

(b) Für z = (z′, z_{n}) ∈ W mit z_{n} ≠ 0 ist

(g/h) ∘ f^{−1}(z) = \frac{1}{z_{n}} ∫_{[0,z_{n}]} ∂_{n}(g ∘ f^{−1})(z′, ξ)dξ.

(c) Es gibt eine eindeutige Funktion G ∈ O(U) mit G(z) = \frac{g(z)}{h(z)} für alle z ∈ U \ Z(h).

(bitte wenden)

Sei A ⊂ U analytisch in einer offenen Menge U ⊂ ℂ^{n}. Eine Funktion f : A → ℂ heißt holomorph, wenn zu jedem α ∈ U eine offene Umgebung U_{α} von α und ein f_{α} ∈ O(U_{α}) existieren mit f = f_{α} auf A ∩ U_{α}.

Aufgabe 17 (3+2=5 Punkte)

Sei U ⊂ ℂ^{n} offen mit H^{1}(C^{∞}(U), \overline{∂}) = 0. Seien h ∈ O(U) eine Funktion mit (∂_{ν}h(z))_{1≤ν≤n} ≠ 0 für alle z ∈ Z(h) und f : Z(h) → ℂ holomorph. Man zeige

(a) Es gibt eine offene Überdeckung U = ⋃_{α∈U} U_{α} und Funktionen f_{α}, h_{α} ∈ O(U_{α}) mit

f_{β} − f_{α} = h(h_{β} − h_{α}) auf U_{α} ∩ U_{β}  und  f_{α} = f auf U_{α} ∩ Z(h)

für alle α, β ∈ U.

(Hinweis: Aufgabe 16.)

(b) Es gibt eine Funktion F ∈ O(U) mit f = F |_{Z(h)}.

Aufgabe 18^{∗} (4^{∗} Punkte)

Sei Ω ⊂ ℂ^{n} offen, (Ω_{j})_{j∈ℕ} und (K_{j})_{j∈ℕ} aufsteigende Folgen offener Mengen Ω_{j} ⊂ ℂ^{n} beziehungsweise kompakter Mengen K_{j} ⊂ ℂ^{n} mit Ω = ⋃_{j∈ℕ} Int(K_{j}), so dass für alle j ∈ ℕ gilt:

(i) K_{j} ⊂ Ω_{j} ⊂ Ω,

(ii) K_{j} hat die Cousin-Eigenschaft,

(iii) Jedes g ∈ O(K_{j}) ist auf K_{j} gleichmäßiger Limes einer Folge in O(Ω_{j+1}).

Zeigen Sie, dass die \overline{∂}-Sequenz auf Ω exakt ist.

(Hinweis: Gehen Sie wie im Beweis von Satz 7.8 vor.)

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre