UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Komplexe Analysis

Sommersemester 2011

Blatt 5 Abgabetermin: Dienstag, 21.06.2011

Aufgabe 19 (3 Punkte)

Sei U = B_{1}(0) \ \overline{B}_{\frac{1}{2}} (0) ⊂ ℂ^{2} und V = \{z ∈ ℂ; (0, z′) ∈ U\}. Gibt es zu jeder holomorphen Funktion f ∈ O(V) eine holomorphe Funktion F ∈ O(U) mit f(z) = F (0, z) für alle z ∈ V?

Aufgabe 20 (2+2=4 Punkte)

Seien D ⊂ ℂ^{n} eine offene, konvexe Menge, a ∈ D und f ∈ O(D). Man zeige:

(a) Für z ∈ D gilt f(z) = f(a) + ∑_{j=1}^{n}(z_{j} − a_{j}) ∫_{0}^{1} \frac{∂f}{∂z_{j}} (a + t(z − a))dt.

(b) Benutzen sie Teil (a) um zu zeigen, dass g_{1}, …, g_{n} ∈ O(D) existieren mit

f(z) = f(a) + ∑_{j=1}^{n}(z_{j} − a_{j})g_{j}(z) (z ∈ D).

Aufgabe 21 (4 Punkte)

Man zeige: Die Funktion r : ℂ^{n} → ℝ, r(z) = log(1 + ∥z∥^{2}) ist streng plurisubharmonisch. Die Funktion u : ℂ^{2} → ℝ

u(z, w) = Re w + |z|^{8} + \frac{15}{7}|z|^{2}Re z^{6}

ist C^{∞} mit ⟨L_{z}(u)t, t⟩ ≥ 0 für alle z, t ∈ ℂ^{2}, aber u ist in keinem Punkt (z, w) ∈ ℂ^{2} streng plurisubharmonisch.

Aufgabe 22 (2+2+2=6 Punkte)

Sei U ⊂ ℂ offen und u ∈ C^{2}(U, ℝ). Man zeige:

(a) Hat u in einem Punkt a ∈ U ein lokales Maximum, so ist Δu(a) ≤ 0.

(b) Ist Δu ≥ 0 auf U, so ist u subharmonisch.

(Hinweis: Mit Teil (a) folgt zunächst, dass für alle ϵ, δ > 0 die Funktion u(z) − ϵ + δ|z|^{2} subharmonisch ist auf U.)

(c) Ist u subharmonisch, so ist Δu ≥ 0.

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre