UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Komplexe Analysis

Sommersemester 2011

Blatt 6 Abgabetermin: Dienstag, 05.07.2011

Aufgabe 23 (3+1=4 Punkte)

Seien U ⊂ ℂ^{n}, V ⊂ ℂ^{m} offen und r ∈ C^{2}(U, ℝ). Zeigen Sie:

(a) Ist f : V → U holomorph, so gilt für alle z ∈ V

L_{z}(r ∘ f) = J_{f}(z)^{∗}L_{f(z)}(r)J_{f}(z).

(b) Ist f : V → U biholomorph, so ist mit r auch r ∘ f streng plurisubharmonisch.

Aufgabe 24 (4 Punkte)

Sei 𝔻 = D_{1}(0) der offene Einheitskreis und seien Ω ⊂ ℂ^{n} streng pseudokonvex, p ∈ ∂Ω. Man zeige: Ist f : 𝔻 → ℂ^{n} holomorph mit f(0) = p und f(𝔻) ⊂ \overline{Ω}, so ist f konstant.

(Hinweis: Man benutze Aufgabe 23, Aufgabe 22 und Aufgabe 10.)

Aufgabe 25 (4 Punkte)

Seien a ∈ ℂ^{n}, R > 0 und r = (r_{1}, …, r_{n}) ∈ (0, ∞)^{n}. Man zeige, dass die Kugel B_{R}(a) ⊂ ℂ^{n} streng pseudokonvex ist, aber für n > 1 der Polyzylinder P_{r}(a) ⊂ ℂ^{n} nicht.

(bitte wenden)

Eine beschränkte offene Menge D ⊂ ℂ^{n} besitzt definitionsgemäß einen Rand der Klasse C^{k} (k ≥ 1), wenn eine C^{k}-Randfunktion für D existiert, d.h. eine Funktion r ∈ C^{k}(U, ℝ) auf einer offenen Menge U ⊃ ∂D mit U ∩ D = {z ∈ U; r(z) < 0} und grad r(z) ≠ 0 für alle z ∈ ∂D.

Aufgabe 26^{∗} (6^{∗}+2^{∗}=8^{∗} Punkte)

Sei D ⊂ ℂ^{n} eine beschränkte offene Menge mit C^{2}-Rand. Man zeige:

(a) Gibt es eine C^{2}-Randfunktion r ∈ C^{2}(U, ℝ) für D mit ⟨L_{z}(r)t, t⟩ > 0 für alle z ∈ ∂D und t ∈ ℂ^{n} \ {0} mit ∑_{j=1}^{n}(∂_{j}r)(z)t_{j} = 0, so ist D streng pseudokonvex. Zeigen Sie dazu

nacheinander:

(i) Sei λ > 0 und ϱ = e^{λr} − 1. Dann gilt für z ∈ ∂D und t ∈ ℂ^{n}

⟨L_{z}(ϱ)t, t⟩ = λ (⟨L_{z}(r)t, t⟩ + λ |∑_{j=1}^{n}(∂_{j}r)(z)t_{j}|^{2}) .

(ii) Sei K = {(z, t) ∈ ∂D × ℂ^{n}; ∥t∥ = 1 und ⟨L_{z}(r)t, t⟩ ≤ 0}. Dann ist

inf_{(z,t)∈K} |∑_{j=1}^{n}(∂_{j}r)(z)t_{j}| > 0.

(iii) Für λ groß genug ist ϱ streng plurisubharmonisch in jedem z ∈ ∂D.

(b) Ist n = 1, so ist D ⊂ ℂ streng pseudokonvex.

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre