UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Kevin Everard �

Übungen zur Vorlesung Banachräume analytischer Funktionen

Sommersemester 2012

Blatt 1 Abgabetermin: Montag, 07.05.2012, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (4 Punkte)

Sei f ∈ H^{p} (1 ≤ p ≤ ∞) nullstellenfrei so, dass auch \frac{1}{f} ∈ H^{p}. Zeigen Sie, dass f eine äußere Funktion ist.

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Seien c > 0 und 1 ≤ p ≤ ∞. Sei ψ ∈ ℒ^{p}(𝕋) eine messbare Funktion mit ψ(𝕋) ⊂ [c, ∞). Zeigen Sie, dass eine Funktion f ∈ H^{p} existiert mit

|f^{∗}| = ψ λ-fast überall und ∥f∥_{p} = ∥ψ∥_{L^{p}(𝕋)}.

(Hinweis: Es ist log x ≤ x − 1 für alle x > 1.)

Aufgabe 3 (3 Punkte)

Seien 1 ≤ p < q ≤ ∞ und f ∈ H^{p} mit f^{∗} ∈ L^{q}(𝕋). Zeigen Sie, dass f ∈ H^{q}.

Seien f, g innere Funktionen. Man sagt f teilt g, falls es eine innere Funktion h gibt mit g = fh.

Aufgabe 4 (5 Punkte)

Zeigen Sie, dass jede Familie (g_{i})_{i∈I} innerer Funktionen einen bis auf einen Phasenfaktor eindeutig bestimmten größten gemeinsamen Teiler hat.

Aufgabe 5* (6* Punkte)

Für 1 ≤ p ≤ ∞ sei

h^{p} = {f : 𝔻 → ℂ; f ist harmonisch mit ∥f∥_{p} := sup_{0≤r<1} ∥f_{r}∥_{p} < ∞}.

Zeigen Sie, dass h^{p} bezüglich ∥ · ∥_{p} ein Banachraum ist, und geben Sie einen isometrischen Isomorphismus h^{p} ≅ L^{p}(𝕋) für 1 < p ≤ ∞ bzw. h^{1} ≅ M(𝕋) an.

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre