UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Kevin Everard �

Übungen zur Vorlesung Banachräume analytischer Funktionen

Sommersemester 2012

Blatt 2 Abgabetermin: Montag, 21.05.2012, vor der Vorlesung

Aufgabe 6 (3 Punkte)

Geben Sie einen isometrischen Isomorphismus zwischen h^{2} und ℓ^{2}(ℤ) an.

Aufgabe 7 (2+2=4 Punkte)

Sei u ∈ h_{ℝ}^{2} = \{f ∈ h^{2}; f(𝔻) ⊂ ℝ\} und sei z^{(n)} = z^{n} für n ≥ 0, z^{(n)} = \overline{z}^{|n|} für n < 0. Zeigen Sie:

(a) Es gibt eine Folge (a_{n})_{n∈ℤ} in ℓ^{2}(ℤ) mit

u(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}z^{(n)} (z ∈ 𝔻)

und

ũ(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} −i sgn(n) a_{n}z^{(n)} (z ∈ 𝔻).

(Hinweis: Nach Aufgabe 11 (Funktionentheorie IIb) gilt P (z, ξ) = ∑_{n=−∞}^{∞} z^{(n)}\overline{ξ}^{n} für z ∈ 𝔻 und ξ ∈ 𝕋.)

(b) Es gilt ∥ũ∥_{2} ≤ ∥u∥_{2}.

Aufgabe 8 (1+3=4 Punkte)

Zeigen Sie:

(a) Es gibt keine Konstante A > 0 derart, dass ∥ũ∥_{∞} ≤ A∥u∥_{∞} für alle harmonischen Funktionen u : 𝔻 → ℝ gilt.

(b) Es gibt keine Konstante B > 0 derart, dass ∥ũ∥_{1} ≤ B∥u∥_{1} für alle harmonischen Funktionen

u : 𝔻 → ℝ gilt. (Hinweis: Führen Sie Teil (b) auf Teil (a) zurück wie im letzten Teil des Beweises von Satz 13.4. Benutzen Sie dabei, dass

Φ : L^{∞}(𝕋, ℝ) → L^{1}(𝕋, ℝ)′, Φ(g)(u) = ∫_{𝕋} ug dλ

ein isometrischer Isomorphismus ist.)

Aufgabe 9 (1+3=4 Punkte)

Sei 1 ≤ p < ∞. Für f ∈ H^{p} \ {0} sei

δ(f) = exp ( log |f(0)| − ∫_{𝕋} log |f^{∗}| dλ).

Zeigen Sie:

(a) δ(f) ∈ [0, 1].

(b) Es ist H^{p} = ⋁_{n∈ℕ} z^{n}f genau dann, wenn δ(f) = 1.

Aufgabe 10* (4×2*=8* Punkte)

Zeigen Sie:

(a) Es ist \overline{LH\{P (z, ·); z ∈ 𝔻\}}^{L^{1}(𝕋)} = L^{1}(𝕋). (Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Hahn-Banach und die L^{1}-L^{∞}-Dualität.)

(b) Ist (f_{n})_{n} eine beschränkte Folge in H^{∞} und konvergiert (f_{n})_{n} punktweise auf 𝔻 gegen eine

Funktion f ∈ H^{∞}, so gilt

w^{∗}- lim_{n→∞} f_{n}^{∗} = f^{∗} in L^{∞}(𝕋) = L^{1}(𝕋)′.

(c) Ist M ⊂ H^{2} ein abgeschlossener Teilraum mit zM ⊂ M, so gilt auch fM ⊂ M für alle

f ∈ H^{∞}. (Hinweis: Wenden Sie Teil (b) an auf eine Folge der Form f_{n} = f_{r_{n}}.)

(d) Jede Funktion f ∈ H^{2} mit Re f > 0 auf 𝔻 ist eine äußere Funktion. (Hinweis: F_{}ür n → ∞ gilt

⋁_{k∈ℕ} z^{k}f ∋ \frac{f}{\frac{1}{n} +f} → 1 bzgl. τ_{w^{∗}}.)

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre