UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Kevin Everard �

Übungen zur Vorlesung Banachräume analytischer Funktionen

Sommersemester 2012

Blatt 3 Abgabetermin: Montag, 11.06.2012, vor der Vorlesung

Aufgabe 11 (4 Punkte)

Sei (z_{j})_{j≥1} eine interpolierende Folge für H^{∞} und sei B_{0} das Blaschke-Produkt zur Nullstellenfolge (z_{j})_{j≥1}. Zeigen Sie: Ist f_{1} ∈ H^{∞} eine Funktion mit

inf_{z∈𝔻} |B_{0}(z)| + |f_{1}(z)| > 0,

so gibt es Funktionen g_{0}, g_{1} ∈ H^{∞} mit B_{0}g_{0} + f_{1}g_{1} ≡ 1 auf 𝔻.

In der folgenden Aufgabe dürfen Sie benutzen, dass eine Folge (z_{k})_{k≥1} in 𝔻 genau dann interpolierend für H^{∞}(𝔻) ist, wenn sie die Carleson-Bedingung (C) erfüllt.

Aufgabe 12 (4 Punkte)

Sei (z_{k})_{k≥1} eine Folge in der oberen Halbebene ℍ = {z ∈ ℂ; Im(z) > 0}. Zeigen Sie, dass (z_{k})_{k≥1} genau dann interpolierend für H^{∞}(ℍ) = {f ∈ O(ℍ); ∥f∥_{ℍ} < ∞} ist, wenn ein δ > 0 existiert mit

inf_{n,k≥1} ∏_{ν≠k^{ν=1}}^{n} |\frac{z_{k} − z_{ν}}{z_{k} − \overline{z_{ν}}} | > δ.

(Hinweis: Benutzen Sie eine geeignete konforme Abbildung.)

Aufgabe 13 (4+4* Punkte)

Sei (z_{j})_{j≥1} eine interpolierende Folge für H^{∞} und sei M ∈ ℝ mit

M > sup_{a∈B_{ℓ^{∞}}} inf{∥g∥_{∞}; g ∈ H^{∞} mit g(z_{j}) = a_{j} für alle j ≥ 1}.

Zeigen Sie:

(a) Für n ≥ 1 gibt es Funktionen f_{1}, …, f_{n} ∈ H^{∞} mit f_{j}(z_{k}) = δ_{j,k} für 1 ≤ j, k ≤ n und

∑_{j=1}^{n} |f_{j}(z)| ≤ M^{2} für alle z ∈ 𝔻.

(Hinweis: Definieren Sie f_{j} = ( \frac{1}{n} ∑_{ν=1}^{n} ξ^{−jν}g_{ν})^{2} mit ξ = exp( \frac{2πi}{n}) und geeigneten g_{1}, …, g_{n} ∈ H^{∞}.)

(b) Benutzen Sie den Satz von Montel und ein Diagonalverfahren, um zu zeigen, dass eine Folge (f_{j})_{j≥1} in H^{∞} existiert mit f_{j}(z_{k}) = δ_{j,k} für alle j, k ≥ 1 und

∑_{j=1}^{∞} |f_{j}(z)| ≤ M^{2} für alle z ∈ 𝔻.

Aufgabe 14 (4 Punkte)

Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 13, um zu zeigen, dass für jede Folge (z_{j})_{j≥1}, die interpolierend für H^{∞} ist, ein stetig linearer Operator S : ℓ^{∞} → H^{∞} existiert mit (S a)(z_{k}) = a_{k} für alle a = (a_{j})_{j≥1} ∈ ℓ^{∞} und k ≥ 1.

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre