UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Kevin Everard �

Übungen zur Vorlesung Banachräume analytischer Funktionen

Sommersemester 2012

Blatt 4 Abgabetermin: Montag, 25.06.2012, vor der Vorlesung

Aufgabe 15 (4 Punkte)

Sei (z_{k})_{k≥1} eine Folge in 𝔻. Zeigen Sie, dass (z_{k})_{k≥1} die Carleson-Bedingung genau dann erfüllt, wenn es ein δ > 0 gibt so, dass für alle k ≥ 1 ein φ_{k} ∈ B_{H^{∞}} existiert mit φ_{k}(z_{k}) = δ und

φ_{k}(z_{j}) = 0 für alle j ≠ k. (Hinweis: Benutzen Sie die Blaschke-Produkte B_{k} zu den Nullstellenfolgen (z_{j})_{j≠k}.)

Aufgabe 16 (2+3+1=6 Punkte)

Sei (z_{k})_{k≥1} eine Folge in 𝔻 und sei

R : H^{2} → ℂ^{ℕ}, f ↦ (f(z_{k})(1 − |z_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}} )_{k≥1}.

Zeigen Sie:

(a) Ist (z_{k})_{k≥1} interpolierend für H^{∞}, so ist R(H^{2}) = ℓ^{2}.

(b) Ist ℓ^{2} ⊂ R(H^{2}), so gibt es zu jedem w ∈ ℓ^{2} eine eindeutige Funktion f_{w} ∈ H^{2} ⊖ ker R mit Rf_{w} = w. In diesem Fall ist die Abbildung S : ℓ^{2} → H^{2}, w ↦ f_{w} stetig.

(c) Ist ℓ^{2} ⊂ R(H^{2}), so gilt ℓ^{2} = R(H^{2}).

Aufgabe 17 (3+1=4 Punkte)

Sei für λ ∈ 𝔻 die Funktion K_{λ} ∈ H^{2} definiert durch K_{λ}(z) = \frac{1}{1−z\overline{λ}}. Zeigen Sie:

(a) ⟨f, K_{λ}⟩_{H^{2}} = f(λ) für alle f ∈ H^{2}.

(b) ∥K_{λ}∥_{2}^{2} = \frac{1}{1−|λ|^{2}} .

Aufgabe 18 (2+3* Punkte)

Sei (z_{k})_{k≥1} eine Folge in 𝔻. Sei R definiert wie in Aufgabe 16 und sei u_{k} = \frac{K_{z_{k}}}{∥K_{z_{k}} ∥_{2}} (wie in Aufgabe 17). Zeigen Sie:

(a) Ist R(H^{2}) ⊂ ℓ^{2}, so ist R stetig.

(b) Die Inklusion R(H^{2}) ⊂ ℓ^{2} gilt genau dann, wenn ein c > 0 existiert so, dass für alle endlichen Folgen (a_{k})_{k≥1} in ℂ die Abschätzung ∥ ∑_{k≥1} a_{k}u_{k}∥_{2}^{2} ≤ c ∑_{k≥1} |a_{k}|^{2} gilt.

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre