UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Kevin Everard �

Übungen zur Vorlesung Banachräume analytischer Funktionen

Sommersemester 2012

Blatt 5 Abgabetermin: Montag, 09.07.2012, vor der Vorlesung

Bei der Bearbeitung der Aufgaben 19 und 20 dürfen Sie die Gültigkeit des Corona-Theorems benutzen.

Aufgabe 19 (4 Punkte)

Seien (a_{n})_{n≥1}, (b_{n})_{n≥1} zwei Folgen paarweise verschiedener Elemente in 𝔻, die beide die Blaschke-Bedingung erfüllen. Seien A, B ∈ H^{∞} die zugehörigen Blaschke-Produkte. Zeigen Sie, dass es genau dann ein f ∈ H^{∞} gibt mit f(a_{n}) = 0 und f(b_{n}) = 1 für alle n ≥ 1, wenn ein δ > 0 existiert mit |A(z)| + |B(z)| ≥ δ für alle z ∈ 𝔻.

Aufgabe 20 (2+3=5 Punkte)

Seien f ∈ H^{∞} und α ∈ 𝕋. Zeigen Sie:

(a) Ist (z_{n})_{n≥1} eine Folge in 𝔻 mit lim_{n→∞} z_{n} = α und lim_{n→∞} f(z_{n}) = w ∈ ℂ, so gibt es ein φ ∈ Δ_{α} mit φ(f) = w.

(b) Es gibt ein w ∈ ℂ mit f̂|_{Δ_{α}} ≡ w genau dann, wenn f stetig fortsetzbar auf 𝔻 ∪ {α} ist.

Aufgabe 21 (2+2+1=5 Punkte)

Sei B das Blaschke-Produkt zur Nullstellenfolge (α_{n})_{n≥0} und sei α ∈ 𝕋. Zeigen Sie:

(a) Es konvergiert

B(z) = ∏_{n=0}^{∞} \frac{|α_{n}|}{α_{n}} \frac{α_{n} − z}{1 − \overline{α_{n}}z}

kompakt gleichmäßig auf D_{B} = ℂ \ \overline{\{1/\overline{α_{n}}; n ∈ ℕ\}}. (Hinweis: Beweis von Satz 7.5.)

(b) Ist 0 ∉ ⋂_{ε>0} \overline{B(D_{ε}(α) ∩ 𝔻)}, so ist α ∈ D_{B} und |B(α)| = 1.

(c) Ist φ ∈ Δ_{α} mit φ(B) = 0, so gibt es eine Folge (z_{n})_{n≥1} in 𝔻 mit

lim_{n→∞} z_{n} = α und lim_{n→∞} B(z_{n}) = 0.

(Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 20.)

Die Übungsblätter finden Sie auch auf unserer Homepage:

http://www.math.uni-sb.de/ag/eschmeier/lehre