UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 1 Abgabetermin: Donnerstag, 28.10.2004

Wir betrachten die Abbildung τ : ℂ^{n} → [0, ∞)^{n}; (a_{1}, …, a_{n}) ↦ (|a_{1}|, …, |a_{n}|). Eine offene Menge Ω ⊂ ℂ^{n} heißt Reinhardtbereich, falls τ^{−1}({τ(a)}) ⊂ Ω für alle a ∈ Ω gilt. Ein Reinhardtbereich heißt vollständig, falls P_{τ(a)}(0) ⊂ Ω für alle a ∈ Ω gilt.

Aufgabe 1 (1+2+1=4 Punkte)

Zeigen Sie:

(a) Für alle a = (a_{1}, … a_{n}) ∈ ℂ^{n} ist

τ^{−1}({τ(a)}) = {(a_{1}e^{iθ_{1}}, …, a_{n}e^{iθ_{n}}); θ_{1}, …, θ_{n} ∈ [0, 2π]} .

(b) Eine Menge Ω ⊂ ℂ^{n} ist genau dann ein Reinhardtbereich, wenn es eine offene Menge W ⊂ [0, ∞)^{n} mit Ω = τ^{−1}(W) gibt. In diesem Fall ist W eindeutig bestimmt und Ω ist genau dann vollständig, wenn

r_{1}, …, r_{n} ∈ [0, ∞) mit W = ∏_{i=0}^{n}[0, r_{i}) existieren.

(c) Ein Reinhardtbereich Ω ⊂ ℂ^{n} ist bereits durch τ(Ω) eindeutig bestimmt.

Aufgabe 2 (2+2=4 Punkte)

(a) Zeigen Sie: Für R > 0 und r ∈ (0, ∞)^{n} sind B_{R}(0) und P_{r}(0) vollständige Reinhardtbereiche in ℂ^{n}. Skizzieren Sie die Mengen τ(B_{R}(0)) und τ(P_{r}(0)) für n = 2.

(b) Sei n ≥ 2 und r = (r_{1}, …, r_{n}) ∈ (0, 1)^{n}. Für z = (z_{1}, … z_{n}) ∈ ℂ^{n} betrachte man z′ = (z_{1}, …, z_{n−1}) ∈ ℂ^{n−1}. Zeigen Sie, dass die Menge

H(r) = {z ∈ ℂ^{n}; z′ ∈ P_{r′}(0), |z_{n}| < 1} ∪ {z ∈ ℂ^{n}; z′ ∈ P_{1}(0), r_{n} < |z_{n}| < 1}

ein nicht vollständiger Reinhardtbereich in ℂ^{n} ist. Skizzieren Sie τ(H(r)) für n = 2.

Aufgabe 3 (2+2=4 Punkte)

Zeigen Sie:

(a) Die ℝ-linearen Abbildungen

dx_{k} : ℂ^{n} → ℂ, (z_{i})_{i} ↦ Re z_{k} , dy_{k} : ℂ^{n} → ℂ, (z_{i})_{i} ↦ Im z_{k} (1 ≤ k ≤ n)

bilden eine Basis des ℂ-Vektorraums

Λ := {φ; φ : ℂ^{n} → ℂ ist ℝ-linear} .

(b) Auch die Abbildungen

dz_{k} : ℂ^{n} → ℂ, (z_{i})_{i} ↦ z_{k} , dz̄_{k} : ℂ^{n} → ℂ, (z_{i})_{i} ↦ z̄_{k} (1 ≤ k ≤ n)

bilden eine Basis von Λ.

Aufgabe 4 (4 Punkte)

Sei p = ∑_{α∈ℕ^{n}} a_{α}z^{α} ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{n}] mit a_{α} = 0 für fast alle α ∈ ℕ^{n} ein Polynom in n

Variablen über ℂ. Zeigen Sie für alle k ∈ ℕ: p ist genau dann homogen vom Grad k — das heißt, es gilt p(λz) = λ^{k}·p(z) (λ ∈ ℂ, z ∈ ℂ^{n})

— wenn a_{α} = 0 für alle α ∈ ℕ mit |α| ≠ k gilt, p also nur aus Monomen vom Grad k besteht.