UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 10 Abgabetermin: Montag, 17.01.2005

Aufgabe 44 (4 Punkte) Führen Sie den Beweis von Lemma 6.18 aus der Vorlesung aus.

Aufgabe 45 (4 Punkte) Sei K ⊂ ℂ^{n} kompakt. Zeigen Sie, dass K̃ = K̂_{ℂ^{n}} gilt.

Aufgabe 46 (4 Punkte) Sei K ⊂ ℂ^{n} eine kompakte, konvexe Menge. Zeigen Sie, dass K polynom-konvex ist. (Hinweis: Benutzen Sie Lemma 7.2(c) und betrachten Sie die Mengen

B_{ε}(K) = {z ∈ ℂ^{n}; dist(z, K) < ε} (ε > 0) .)

Für ein Kompaktum K ⊂ ℂ^{n} bezeichne P (K) die Algebra aller stetigen Funktionen f : K → ℂ, für die es eine Folge (p_{k})_{k} von Polynomen p_{k} ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{n}] gibt mit ∥f − p_{k}∥_{∞,K} ⟶^{k→∞} 0.

Aufgabe 47 (4 Punkte) Sei K ⊂ ℝ^{n} kompakt. Zeigen Sie, dass K als Teilmenge von ℂ^{n} polynom-konvex ist. (Hinweis: Zeigen Sie mit Lemma 7.2, dass K̃ ⊂ ℝ^{n} ist. Beweisen Sie dann, dass K̃ = K gilt. Sie dürfen dabei benutzen, dass P (K) = C(K) für jedes Kompaktum K ⊂ ℝ^{n} ist.)

Aufgabe 48^{∗} ( 4^{∗} Punkte) Sei K ⊂ ℂ^{n} kompakt. Zeigen Sie:

(a) Für z ∈ K̃ gibt es eine eindeutige multiplikative Linearform λ = λ_{z} : P (K) → ℂ mit λ(p) = p(z) und |λ(p)| ≤ ∥p∥_{∞,K} für alle p ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{n}].

(b) Für jede multiplikative Linearform 0 ≠ λ : P (K) → ℂ mit |λ(p)| ≤ ∥p∥_{∞,K} für alle p ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{n}] existiert genau ein z ∈ K̃ mit λ = λ_{z}.