UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 11 Abgabetermin: Montag, 24.01.2005

Aufgabe 49 (4 Punkte) Sei K ⊂ ℂ^{n} kompakt und K̃ die polynom-konvexe Hülle von K. Zeigen Sie, dass

∥f∥_{∞,K} = ∥f∥_{∞,K̃}

für alle f ∈ O(K̃) gilt.

Aufgabe 50 (4 Punkte) Sei U ⊂ ℂ^{n} offen. Zeigen Sie, dass U genau dann Rungesch ist, wenn es eine Folge polynomialer Polyeder (Ω_{k})_{k≥1} mit Ω_{k} ⊂ Ω_{k+1} (k ≥ 1) gibt, so dass

U = ⋃_{k≥1} Ω_{k} .

Aufgabe 51 (4 Punkte) Sei K ⊂ ℂ^{n} kompakt. Zeigen Sie:

K polynom-konvex ⇒ ℂ^{n} \ K zusammenhängend .

Gilt auch die umgekehrte Implikation? (Beweis oder Gegenbeispiel)

Sei Ω ⊂ ℂ^{n}. Eine Funktion u : Ω → [−∞, ∞) heißt nach oben halbstetig, falls die Mengen u^{−1}( [−∞, t) ) für alle t ∈ ℝ offen in Ω (bezüglich der Relativtopologie im ℂ^{n}) sind.

Aufgabe 52 (4 Punkte) Sei K ⊂ ℂ^{n} kompakt und u : K → [−∞, ∞) nach oben halbstetig. Zeigen Sie:

(a) u ist nach oben beschränkt auf K und nimmt sein Supremum auf K an.

(b) Es existiert eine punktweise monoton fallende Folge (u_{k})_{k≥1} stetiger Funktionen

u_{k} : K → ℝ mit

lim_{k→∞} u_{k}(x) = u(x) (x ∈ K) .

Hinweis zu (b): Betrachten Sie die Funktionen

u_{k}(x) := sup_{y∈K}(u(y) − k∥x − y∥) .