UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 12 Abgabetermin: Montag, 31.01.2005

Aufgabe 53 (4 Punkte) Sei u : Ω → ℝ eine harmonische Funktion auf einer offenen Menge Ω ⊂ ℂ. Zeigen Sie: Ist a ∈ Ω und r > 0 mit D̄_{r}(a) ⊂ Ω , so gilt

u(a) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + re^{it})dt .

Aufgabe 54 (4 Punkte) Sei Ω ⊂ ℂ offen, u : Ω → [−∞, ∞) subharmonisch und a ∈ Ω, r > 0 mit u(a) > −∞ und D̄_{r}(a) ⊂ Ω. Zeigen Sie die Ungleichung

u(a) ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + re^{it})dt .

(Hinweis: Benutzen Sie die Aufgaben 52(b) und 53, sowie den folgenden Satz. (Sie müssen diesen Satz nicht beweisen.)

Satz (10.2.3 in [Lorenz]): Seien a ∈ ℂ und r > 0. Zu jeder stetigen Funktion h : ∂D_{r}(a) → ℝ existiert eine stetige Funktion H : D̄_{r}(a) → ℝ, so dass H|_{∂D_{r}(a)} = h gilt und H|_{D_{r}(a)} harmonisch ist. )

Aufgabe 55 (2+2+2=6 Punkte) Sei u : Ω → [−∞, ∞) eine nach oben halbstetige Funkfion auf einer offenen Menge Ω ⊂ ℂ, so dass zu jedem a ∈ Ω ein r(a) > 0 existiert mit D̄_{r(a)}(a) ⊂ Ω und

u(a) ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + re^{it})dt

für alle 0 < r < r(a). (Dabei sei obiges Integral als −∞ definiert, falls der Integrand nicht integrabel ist.) Zeigen Sie für K ⊂ Ω kompakt und h : K → ℝ stetig, so dass u ≤ h auf ∂K gilt und h|_{Int(K)} harmonisch ist, die folgenden Aussagen.

(a) Die Menge

M := {z ∈ K; (u − h)(z) = sup_{w∈K}(u − h)(w)}

ist kompakt und nichtleer.

(b) Wäre u − h > 0 auf M, so wäre M ⊂ Int(K) und zu jedem b ∈ ∂M gäbe es ein r > 0

mit

(u − h)(b) ≤ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(u − h)(b + re^{it})dt < (u − h)(b) .

Folgern Sie nun, dass u subharmonisch ist.

Aufgabe 56 (3+1=4 Punkte) Sei u : G → [−∞, ∞) subharmonisch auf einem Gebiet G ⊂ ℂ und sei a ∈ G mit u(z) ≤ u(a) für alle z ∈ G.

(a) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 54, dass die Menge {z ∈ G; u(z) = u(a)} offen ist.

(b) Folgern Sie, dass u konstant ist.

Aufgabe 57^{∗} (5^{∗} Punkte) Sei u : G → [−∞, ∞) subharmonisch auf einem Gebiet G ⊂ ℂ mit u ≢ −∞.

(a) Seien a ∈ G mit u(a) > −∞ und R > 0 mit D̄_{R}(a) ⊂ G. Zeigen Sie, dass u|_{D̄_{R}(a)} integrabel ist. Wählen Sie dazu stetige Funktionen h_{k} : D̄_{R}(a) → ℝ mit h_{k} ↓ u|_{D̄_{R}(a)} und berechnen Sie ∫_{D̄_{R}(a)} h_{k}dz mit Hilfe von Polarkoordinaten.

(b) Zeigen Sie, dass die Menge

M := {z ∈ G; es existiert eine Umgebung U von z mit u|_{U} ∈ L^{1}(U)}

abgeschlossen in G ist.

(Hinweis: Sonst gäbe es eine Folge (a_{k})_{k∈ℕ} in M, so dass u(a_{k}) > −∞ für alle k ∈ ℕ und lim_{k→∞} a_{k} ∈ Ω \ M gilt.

(c) Schließen Sie, dass u lokal integrabel ist.