UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 13 Abgabetermin: Donnerstag, 10.02.2005

Aufgabe 58 (4 Punkte) Sei U ⊂ ℂ^{n} offen und sei f ∈ O(U) analytisch mit f(z) = 0 für alle z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ U mit z_{1} = 0. Zeigen Sie, dass eine analytische Funktion g ∈ O(U) existiert mit f(z) = z_{1}g(z) für alle z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ U. (Hinweis: Riemannscher Hebbarkeitssatz)

Aufgabe 59 (4 Punkte) Sei U ⊂ ℂ^{n} offen, so dass jedes Cousin-I-Datum über U eine Lösung hat. Zeigen Sie, dass H^{1}(C^{∞}(U), ¯∂) = 0 ist. (Hinweis: Offene Kugeln B ⊂ ℂ^{n} sind Rungesch.)

Aufgabe 60 (4 Punkte) Sei Ω ⊂ ℂ^{n} offen, (Ω_{j})_{j∈ℕ} und (K_{j})_{j∈ℕ} aufsteigende Folgen offener Mengen Ω_{j} ⊂ ℂ^{n} beziehungsweise kompakter Mengen K_{j} ⊂ ℂ^{n} mit Ω = ⋃_{j∈ℕ} Int(K_{j}), so dass für alle j ∈ ℕ gilt:

(i) K_{j} ⊂ Ω_{j} ⊂ Ω,

(ii) K_{j} hat die Cousin-Eigenschaft,

(iii) jedes g ∈ O(K_{j}) ist auf K_{j} gleichmäßiger Limes einer Folge in O(Ω_{j+1}).

Zeigen Sie, dass die ¯∂-Sequenz auf Ω exakt ist. (Hinweis: Gehen Sie wie im Beweis von Satz 7.8 vor.)

Aufgabe 61 (4 Punkte) Sei K ⊂ ℂ^{n} kompakt und sei (A_{j})_{j∈ℕ} eine absteigende Folge abgeschlossener Mengen A_{j} ⊂ ℂ^{n}. Setze A = ⋂_{j∈ℕ} A_{j}. Zeigen Sie, dass

lim_{j→∞} dist(K, A_{j}) = dist(K, A) .