UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 2 Abgabetermin: Montag, 8.11.2004

Aufgabe 5 (Cauchy-Produkt von Reihen) (4 Punkte)

Seien a = ∑_{j∈ℕ^{n}} a_{j}, b = ∑_{j∈ℕ^{n}} b_{j} konvergente Reihen. Für j ∈ ℕ^{n} sei c_{j} = ∑_{k+l=j^{k,l∈ℕ^{n}}} a_{k} · b_{l}.

Zeigen Sie, dass ∑_{j∈ℕ^{n}} c_{j} = a · b.

(Hinweis: Man kann zunächst die Konvergenz von ∑_{j∈ℕ^{n}} c_{j} (etwa mit Hilfe von Korollar 1.5

aus der Vorlesung) zeigen und dann eine geeignete Abzählung von ℕ^{n} und das Cauchy-Produkt im Fall n = 1 benutzen um den Reihenwert zu bestimmen.)

Seien c_{ν} ∈ ℂ für ν ∈ ℕ^{n}. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe ∑_{ν∈ℕ^{n}} c_{ν}z^{ν} ist das Innere der Menge der Punkte z ∈ ℂ^{n}, für die die Reihe konvergiert.

Aufgabe 6 (2+3=5 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass der Konvergenzbereich einer Potenzreihe stets ein vollständiger Reinhardtbereich ist.

(b) Bestimmen Sie für die folgenden Potenzreihen den Konvergenzbereich Ω und skizzieren Sie τ(Ω) für n = 2.

(i) ∑_{ν∈ℕ^{n}} z^{ν}

(ii) ∑_{k=0}^{∞}(z_{1} · . . . · z_{n})^{k}

(iii) ∑_{ν=(ν_{1},ν_{2})∈ℕ^{2}} \frac{ν_{1}}{ν_{2}!}z^{ν}

Aufgabe 7 (4 Punkte)

Sei U ⊂ ℂ^{n} ≅ ℝ^{2n} offen und f = (u, v) : U → ℂ ≅ ℝ^{2} stetig partiell differenzierbar. Sei a ∈ U und Df(a) das totale Differential von f in a. Zeigen Sie: Fasst man Df(a) als ℝ-lineare Abbildung ℂ^{n} → ℂ auf, so gilt mit den Bezeichnungen aus Aufgabe 3

Df(a) = ∑_{k=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{k}} (a)dx_{k} + ∑_{k=1}^{n} \frac{∂f}{∂y_{k}} (a)dy_{k} .

Wie sieht die entsprechende Basisentwicklung von Df(a) nach den dz_{k}, dz̄_{k} (1 ≤ k ≤ n) aus?

Aufgabe 8 (2+2=4 Punkte)

Sei Ω ⊂ ℂ^{n} offen.

(a) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) Ω ist Vereinigung offener Polyzylinder mit Mittelpunkt 0.

(ii) Für w = (w_{i}) ∈ Ω und z = (z_{i}) ∈ ℂ^{n} mit |z_{i}| ≤ |w_{i}| (1 ≤ i ≤ n) ist auch z ∈ Ω. (iii) Ω ist ein vollständiger Reinhardtbereich.

(b) Erfüllt Ω die Bedingungen aus (a) und ist f ∈ O(Ω), so hat f eine kompakt gleichmässig konvergente Potenzreihenentwicklung

f(z) = ∑_{ν∈ℕ^{n}} a_{ν}z^{ν}

auf ganz Ω.

Aufgabe 9^{∗} (3^{∗} Punkte)

Zeigen Sie den Satz von Liouville im mehrdimensionalen Fall: Jede beschränkte, holomorphe Funktion f : ℂ^{n} → ℂ ist konstant. (Hinweis: Ein Induktionsbeweis ist möglich.)