UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 3 Abgabetermin: Montag, 15.11.2004

Aufgabe 10 (4 Punkte)

Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und h = (h_{1}, …, h_{n}) : G → ℂ^{n} holomorph (das heißt komponentenweise holomorph). Zeigen Sie: Ist ∥h∥ : G → ℂ konstant, so ist h konstant. Bleibt diese Behauptung richtig, wenn man die euklidische Norm ∥ · ∥ durch die Maxi-

mumsnorm ∥(z_{ν})_{j=1}^{n}∥_{∞} = max_{ν=1,...,n} |z_{ν}| ersetzt?

Für eine beschränkte, offene Menge D ⊂ ℂ^{n} definieren wir die Diskalgebra über D durch

A(D) = {f ∈ C(D̄); f|_{D} holomorph} .

Aufgabe 11 (3 Punkte)

Sei D ⊂ C^{n} eine beschränkte, offene Menge. Zeigen Sie, dass A(D) abgeschlossen in dem Raum C(D̄) der stetigen Funktionen auf D̄ mit der Supremumsnorm ist.

Aufgabe 12 (2+2+2=6 Punkte)

Sei a ∈ ℂ^{n}, r ∈ (0, ∞)^{n} und P = P_{r}(a) ⊂ ℂ^{n} ein Polyzylinder mit ausgezeichnetem Rand ∂_{0}P.

(a) Zeigen Sie: Für jedes z ∈ P existiert eine Konstante C_{z} > 0, so dass

f(z) ≤ C_{z}∥f∥_{∞,∂_{0}P}

für alle f ∈ A(P) gilt.

(Hinweis: Cauchy’sche Integralformel = Satz 1.2)

(b) (Maximumprinzip) Zeigen Sie, dass

f(z) ≤ ∥f∥_{∞,∂_{0}P}

für alle z ∈ P̄ und f ∈ A(P) gilt.

(Hinweis: Wenden Sie (a) für z ∈ P auf die Funtionen f^{k} (k ∈ ℕ) an.)

(c) Sei S ⊂ ∂P eine abgeschlossene Teilmenge des Randes von P. Es gelte

f(z) ≤ ∥f∥_{∞,S}

für z ∈ P̄ und f ∈ A(P). Zeigen Sie, dass ∂_{0}P ⊂ S gilt.

Bemerkung: Die Aufgabenteile (b) und (c) zeigen das ∂_{0}P die kleinste abgeschlossene Teilmenge von ∂P ist, für die das Maximumprinzip für Funktionen aus der Diskalgebra gilt. Man nennt ∂_{0}P daher auch den Shilov-Rand von P.

Aufgabe 13 (2=2=4 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass eine offene Menge G ⊂ ℂ^{n} genau dann zusammenhängend ist, wenn sie wegzusammenhängend ist.

(b) Sei U ⊂ ℂ^{n} offen und C eine Zusammenhangskomponente von U. Zeigen Sie, dass ∂C ⊂ ∂U gilt.

Aufgabe 14^{∗} (3^{∗} Punkte)

Sei G ⊂ ℂ^{n} ein Gebiet und f ∈ O(G) mit ∂_{ν}f = 0 für alle ν = 1, …, n. Zeigen Sie, dass f konstant ist.